Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó Bµi 3.. Nếu ta [r]
ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Số phần tử tập hợp.Tập hợp phần tử tập hợp.Tập hợp conn tử tập hợp.Tập hợp tập hợp.Tập hợp cona tập hợp.Tập hợp cont tập hợp.Tập hợp conp hợp.Tập hợp conp.Tập hợp.Tập hợp conp hợp.Tập hợp conp 1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng khơng có phần tử 2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A B hay BA Nếu AB BA ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B *.D¹ng 1: RÌn kÜ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài 1: Cho tập hợp A chữ cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh a HÃy liệt kê phần tử tập hợp A b Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông b A c A h A Bµi 2: Cho tËp hợp chữ X = {A, C, O} a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ chữ tập hợp X b/ Viết tập hợp X cách tính chất đặc trng cho phần tử X Bài 3: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B không thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử võa thc A võa thc B d/ ViÕt tËp hỵp F phần tử thuộc A thuộc B Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b} a/ HÃy rõ tập hợp A có phần tử b/ HÃy rõ tập hợp A có phần tử c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải tập hợp A không? Bài 5: Cho tập hỵp B = {x, y, z} Hái tËp hỵp B có tất tập hợp con? *Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp Bài 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài 2: HÃy tính số phần tử tập hợp sau: a/ Tập hợp A số tự nhiên lẻ có chữ số b/ Tập hợp B số 2, 5, 8, 11, …, 296., 296 c/ TËp hỵp C c¸c sè 7, 11, 15, 19, …, 296., 283 Bµi 3: Cha mua cho em mét qun sè tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em đà phải viết chữ số để đánh hết sổ tay? C.HNG DN V NH: Bài 1.HÃy xác định tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp a, A tập hợp chữ số số 2002 b, B tập hợp chữ cụm từ cách mạng tháng tám c, C tập hợp số tự nhiên có chữ số d, D tập hợp số tự nhiên có hai chữ khác và có chữ số tận Bài Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông N N N* N N* N* { 1,2,3,4 } Φ N* Bài HÃy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp a A = { ; 3; ; ; ; 49 } b B = { 11 ; 22 ; 33; 44 ; ; 99 } c C = { ; ; ; 12; .; 99 } d D = { ; ; 10 ; 15; ; 100 } Bài HÃy viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp a A = { ; ; ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 } b.B = { ; ;13 ; 19 ; 25 ; 31; 37 } A 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100 B 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90 Bài toán 5: Cho a) A x N x 2; x 3; x 100 A x N x ab; a 3.b b) B x N x 6; x 100 B x N 20x c) C x N x 11.n 3; n N ; x 300 HÃy viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử Bài Tìm số phần tử tập hợp sau a A = { Φ } b B = { x ∈ N / x ⋮2 ; ≤ x ≤100 } c C = { x ∈ N / x +1=0 } d D = { x ∈ N / x ⋮ } Bài Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp a Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = b Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < c Tập hợp C số tự nhiên x mà x – = x + d TËp hỵp D số tự nhiên x mà x : = x : e Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bài Cho A = { ; 2; } T×m tất tập hợp tập hợp A Bài Ta gọi A tập hợp thực sù cđa B nÕu A B vµ A ≠ B HÃy viết tập hợp thực tập hỵp B = { ; 2; ; } Bài Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e } a ViÕt c¸c tËp cđa A có phần tử b Viết tập A có hai phần tử c Có tập hợp A có ba phần tử d Có tập hợp A có bốn phần tử e Tập hợp A có tập hợp Bài 11 Gọi A tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, B tập hợp số tự nhiên có ba chữ số , C tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D tập hợp số tự nhiên có ba chữ số tận Dùng kí hiệu sơ đồ để biểu thị quan hệ tập hợp Bài 12 Cho tËp hỵp A = { ; ;7 } , h·y lËp tËp hỵp B gåm số tự nhiên có ba chữ số khác từ phần tử tập hợp A Bảo tập hợp A tập hợp tập hợp B hay sai? Tìm tập hợp chung hai tập hợp A B Bài 13 Tìm tập hợp tập hợp sau a A = { ; ; ; 1; } b B tập hợp số tự nhiên x mà x = c C tập hợp số lẻ nhỏ 10 d D tập hợp số tự nhiên x mµ x : = Bµi 17 Trong lớp học , học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Có 25 ngời học tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, 18 ngời học hai thứ tiếng Hỏi lớp học có học sinh Bài 18 Kết điều tra ë mét líp häc cho thÊy : cã 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích b¬i; 36 häc sinh thÝch bãng chun; 14 häc sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh thích ba môn ;12 học sinh không thích môn nào.Tìm xem lớp học có học sinh Bài 19 Trong số 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 học sinh thích văn a Nếu có học sinh không thích toán văn có học sinh thích hai môn văn toán b Có nhiều học sinh thích hai môn văn toán c Có học sinh thích hai môn văn toán Bài toán 1: Cho tập hợp A a, b, c, d , e a) Viết tập hợp A có phần tử b) Viết tập hợp A có hai phần tử c) Có tập hợp A có ba phÇn tư ? cã phÇn tư ? d) TËp hợp A có tập hợp ? Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B không trờng hỵp sau a) A 1;3;5 ; B 1;3;7 b) A x, y ; B x, y, z c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn Bài toán 3: Ta gọi A lµ tËp thùc sù cđa B nÕu A B; A B H·y viÕt c¸c tËp thùc sù cđa tËp hỵp B 1; 2;3 B 3; 4;5 Bài toán 4: Cho tập hợp A 1; 2;3; ; Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài toán 5: Cho tập hợp A 1; 2;3; a) Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tập hợp tập hợp A Bài toán 6: Cho tập hợp A 1;3;6;8;9;12 B = x N * / x 12 a)Tìm tập hợp C phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D phần tử thuộc hai tập hợp A Hoặc tập hợp B Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9 HÃy nêu tập hợp tập M gồm số: a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai ch÷ sè c) Là số chẵn ; Bài toán 11: Cho a) HÃy liệt kê phần tử tËp hỵp A ; tËp hỵp B b) Hai tËp hợp A, B có nahu không ? Vì ? Bài toán 13: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn a) CMR: B A b) ViÕt tËp hỵp M cho B M , M A Có tập hợp M nh vËy A x N x 2; x 4; x 100 Bài toán 14: Cho a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? B x N x 8; x 100 A x N x 7.q 3; q N ; x 150 b) TÝnh tæng phần tử tập hợp A Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 T×m x; y M biÕt 30 x y 40 Bài toán 10: Cho a) A 1; ; B 1;3;5 b) A x, y ; B x, y, z , t H·y viÕt c¸c tËp hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Các phép toán N Tính chất giao hốn phép cộng phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia NÕu a b= a = b = II Bài tập *.Dạng 1: Các toán tính nhanh Bài 1: Tính tổng sau cách hợp lý a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 Bài 2: Tính nhanh phép tính sau: a/ 17 125 b/ 37 25 Bài 3: Tính nhanh cách hợp lí: a/ 997 + 86 b/ 37 38 + 62 37 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 đ, 998 34 c/ 43 11 d/ 67 99; 67 101 Bài 4:i 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh: a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 Bµi 5: TÝnh nhanh: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 Bµi :TÝnh nhanh: a) 25 12 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 e) 125.18 Bµi 7: Thùc hiƯn phÐp tính cách hợp lí nhất: b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 c) (321 +27)+ 79 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 g) 123 1001 a) 463 + 318 + 137 + 22 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12 Bµi 8: TÝnh cách hợp lí nhất: a) 125 41 c) 12 125 b) 25 10 d) 36 25 50 Chó ý: Quy t¾c ®Ỉt thõa sè chung : a b+ a.c = a (b+ c) hc a b + a c + a d = a.(b + c + d) e) 25 + 37 + 38 12 Bµi 9: Tính cách hợp lí nhất: 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8 e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta A= (100 + 1) 100 : = 5050 cộng chữ số ghi kết váo chữ b) B = + + + + + 100 số Nếu tổng lớn ghi hàng đơn vị số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 váo cộng vào chữ số hàng chục B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759 c) C = + + 10 + 13 + + 301 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 101 kết s cú c bng Bài 2: Tính tổng: cỏch viết chữ số lần khít a) A = + + 11 + 14 + + 302 vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ; b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 1001 kết số có D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 cách viết chữ số lần khít Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + 14 + VÝ dô:123.1001 = 123123 *.Dạng 2: Các toán có liên quan đến dÃy số, a)Tìm số hạng thứ100 tổng tập hợp Gii: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) 1:DÃy số cách đều: khong cỏch - s u VD: TÝnh tæng: S = + + + + + 49 Ta tÝnh tæng S nh sau: d) b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiªn a số thứ 100 = (100-1) – = 292 b S= (292 + 5) 100:2 = 23000 Bµi 1:TÝnh tỉng sau: Bµi 4: Cho tỉng S = + 12 + 17 + 22 + a) A = + + + + + 100 a)Tìm số hạng tứ50 tổng Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 b) Tính tổng 50 số hạng Bài 5:Tính tổng tất số tự nhiên x, biết x số có hai chữ số 12 < x < 91 Bài 6: Tính tổng số tự nhiên a , biết a có ba chữ số 119 < a < 501 Tính tổng chữ số a Bài 7: Tính + + + + 1998 + 1999 Bµi 8: Tính tổng của: a/ Tất số tự nhiên có chữ số b/ Tất số lẻ cã ch÷ sè b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bài 9Tính tổng a/ Tất sè: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ TÊt c¶ số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bài 10: Cho d·y sè: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, H·y t×m công thức biểu diễn dÃy số Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ số không chia hÕt cho 2, biĨu diƠn lµ 2k , k N Các số tự nhiên chẵn số chia hết cho 2, công thức biểu diễn 2k , k N) *Dạng 3: Tìm x Bài 1:Tìm x N biết a) (x –15) 15 = b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435 Bµi 3:Tìm x N biết : a) x –105 :21 =15 Bµi TÝnh nhanh a 417 + 235 + 583 + 765 +8 +11 +14 + + 38 + 41 b 16 25 13 250 c ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435 + 213) – 13 d 2023 - ( 34 + 1560) 1972 – ( 368 + 972) e 364 – ( 364 – 111) 249 – ( 75 – 51) Bµi TÝnh nhanh c¸c tỉng sau a 1+2+3+4+5+ +n e 2+5+11+ +47+65 b 1+3+5+7+ + ( 2n – 1) g 3+12+48+ +3072+12288 c 2+4+6+8+ +2n h 2+5+7+12+ +81+131 d 1+6+11+16+ +46+51 i 4951+53-55+57-59+61-63+65 Bµi a TÝnh nhÈm 204 36 499.12 601.42 199.41 b Tính nhẩm cách nhân thừa sè nµy, chia thõa sè cho cïng mét sè 66.50 72.125 38.5 15.16.125 c TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nhân số bị chia số chia với số khác không 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 81000 : 125 d TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dơng tÝnh chÊt ( a ±b):c=a:c± b:c 169 : 13 660 : 15 119 : 204 : 12 Bài Tìm x a (158 - x) :7 = 20 b 2x – 138 = 23 32 c 231 - (x – ) =1339 :13 d 10 + 2x = 45 : 43 a 70 - 5.(2x - 3) = 45 b 156 – (x + 61) = 82 c 6.(5x + 35) = 330 d 936 - (4x + 24) = 72 a 5.(3 x + 34) = 515 b (158 - x) : = 20 c (7x - 28) 13 = d 218 + (97 - x) = 313 (2x – 39) + = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 (5x + 103) = 12 d) 294 - (7x - 217) = 38 311 : 316 + 62 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 a 420 + 65 = ( x + 175) : + 30 b [ (x +32)− 17 ] = 42 c ( 32 15 ) : = ( x + 70 ) : 14 – 40 d [ 61+(53− x) ] 17 = 1785 e x – 4867 = ( 175 2050 70 ) : 25 + 23 f 697 : 15 x +364 = 17 x g 92.4 – 27 = x+350 + 315 x Bµi TÝnh nhanh (456 11+ 912).37 a 168 168 −168 58 110 13 74 45 16 −17 b.864 48 − 432 96 864 48 432 28+ 45 15 c 7256 4375 −725 3650+ 4375 7255 (315+372) 3+(372+315) 26 13+74 14 d 1978 1979+1980 21+ 1958 1980 1979 −1978 1979 27 45+27 55 2+ 4+ 6+ +14 +16+18 e.26 108− 26 12 127 36 32 −28+24 − 20+16 −12+8 − + 64 127 – 27 100 12 : {390 : [500 – (125 + 35 7)]} 57 : 55 - 70 2.125.18 + 36.252 + 4.223.9 50 + 51 + 52 + + 99 + 100 B = 12 62 32 + 32 + 72 + 20 24:{300 : [375 – (150 + 15 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]} 56 : 53 + 32 2195.1952 - 952 427 - 1952 1768 20 + 22 + 24 + 96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 31 32.33 35 + 38 + 41 + + 92 + 95 A = 46 – ( 16 + 71.4) : 15 – B = 24 – 131 – ( 13 – )2 222 + 224 + 226 + + 444 33 35 : 34 + 22 20 (5346 – 2808) : 54 + 51 10 187 (38 + 62) – 87 (62 + 38) 23 16 - 23 14 11 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} L thõa víi sè mị tù nhiên I/ Kiến thức n ẹũnh nghúa: a a.a……….a n thừa số Quy ước: a = a ; a = ( a 0) Nhân, chia hai lũy thừa soá: a m a n a m n a m : an am n ( n N*) (m, n N *) (m, n N *, m n, a 0) 4.Lũy thừa tích: (a.b)n = an bn Lũy thừa lũy thừa: ( am )n = am.n n ( mn ) Lũy thừa tầng: a a Số phương số mà bình phương số tự nhiên Ví dụ: số 0; 1; 4; 9; 16; 25;… số phương Bài tập: Viết số sau dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số ); a) ; 25; 625; 3125; 2.So sánh số sau: a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh m a) tính thể tích hình lập phương; b) cạnh hình lập phương tăng lên lần , lần thể tích hình lập phương tăng lên lần Trong cách viết hệ thập phân số 2100 có chữ số? SO SÁNH HAI LŨY THỪA A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:C CƠ BẢN: 1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng dạng hai lũy thừa có số (lớn 1) số mũ (lớn 0) so sánh Nếu am = an m = n, an = b n a = b Nếu m > n am > an (a> 1) Nếu a > b an > b n (n > 0) 2) Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a < b a.c < b.c (với c > 0) II/ Bµi tËp Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa a, = c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 528 = b, a a a + b b b b = (g, 12n: 22n = h 84 165b 540 1252 6253 i 274 8110 d 103 1005 10004 m 10 30 25 k b) 27 81 50 c) 25 125 d) 64 16 2006 a) x.5 x.5 x b) x x .x 100 2003 c) x.x x .x d) x x x .x 10 7 a) : ; ; 19 :19 : ; 12 : ; 27 : 81 Bµi tËp 2: TÝnh giá trị biểu thức 25 b) 10 :10 ; : 25 ; : 64 ; : 32 ; 183 : 93 ; 1253 : 254 14 28 a) 16 : b) 27 : c) 125 : 25 d) n 2n 20 e) 12 : g) 64 16 : 46.34.95 212.14.125 453.20 4.182 213 25 12 10 a, 38 : 34 + 22 23 b, 42 – 32 c, d, 35 e, 180 g, 10 10 210 13+210 65 e 72 x4 54 g 11+3 h y ( 1253 75 – 1755 : ) : 20012002 108 2 104 k 16 64 82 : ( 43 25 16) Bµi Cho A = 415 99 – 320 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : B C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723 729 TÝnh C : D 17 15 15 a) (2 17 ).(9 ).(2 ) 1997 1995 1994 b) (7 ) : (7 7) 3 3 c) (1 ).(1 ).(3 81 ) 210 13+210 65 (2 ) : (2 ) d) a) 28 104 b) (1 + +…, 296.+ 100)(12 + 22 + …, 296 + 102)(65 111 – 13 15 37) a) A 310.11 310.5 39.24 46.34.95 E 12 e) b) B 213 25 F 10 22 f) Bµi tËp 5: T×m x N biÕt a, 2x = 128 b, x15 = x c, (2x + 1)3 = 125 d, (x – 5)4 = (x - 5)6 d/ 210.13 210.65 28.104 c) C 49.36 644 164.100 d) D 723.542 1084 11.322.37 915 212.14.125 453.204.182 I G H (2.314 ) 355.6 1805 g) h) i) x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3 Bài 1: Tìm số mũ n cho luỹ thừa 3n thảo mÃn điều kiện: 25 < 3n < 250 Bài Tìm số tự nhiên n biÕt a 5n = 125 34 3n = 37 27 3n = 243 49.7n = 2401 b < 3n < 81 25 5n 125 Bài Tìm x số tự nhiên, biết : a 2x = 128 b x15 = x c ( 2x + )3 = 125 d ( x – )4 = ( x – )6 e x2006 = x2 Bài : Tìm x N biết x 20 a) 3 243 b) x x x x c) 16 1024 d) 64.4 16 Bµi T×m x N biÕt x g) 15 17 h) (7 x 11) 2 200 x i) 25 26.2 2.3 x x l) 49.7 2041 m) 64.4 4 x n n) 243 p) 3 Bài 6: Tìm n N biÕt: n b) 25 5 125 b) 50n am>an (a>1) + Nếu hai l thõa cã cïng sè mị (>0) th× l thõa có số lớn lớn Nếu a>b an>bn ( n>0) Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân (a 39nên 95 > 273 Híng dÉn : b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100 a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540 15 15 15 15 60 45 2300 = (23) 100 = 8100 2003 > 2000 = (2.10 ) = (2 ) = 39 40 20 20 21 V× 9100 > 8100 ; nªn 3200 > 2300 b) 72 => 85 < 47 Bµi a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y = y =1 *) NÕu x >0 + NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50 35x + = ( v« lý) + NÕu y > ta thÊy: 35x + v× ( 35x ; ) Mµ 5y ( vô lý 35x + = 2.5y) Vậy x = vµ y = Bµi 1: TÝnh tæng A = + + 22+ + 2100 B = - 32 + 33 - - 3100 Bài giải: A = + + 22 + + 100 => 2A = + 22 + 23 + + 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) VËy A = 2101 - B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101 VËy B = ( 3- 3101) : 2 3 Bài 2: a) Viết tổng sau thµnh mét tÝch: ; ; 2 2004 b) Chøng minh r»ng: A 2 chia hÕt cho 3; vµ 15 Bµi 3: a) ViÕt tỉng sau thµnh mét tÝch 99 b) Chøng minh r»ng: B 1 40 Bµi 4: Chøng minh r»ng: 2004 a) S1 5 6;31;156 100 b) S2 2 31 15 c) s3 16 33 Bài Tính tổng sau cách hỵp lý 2006 100 a) A 2 b) B 1 3 n 2000 c) C 4 d) D 1 200 Bµi Cho A 1 H·y viÕt A+1 díi d¹ng mét l thõa 2005 Bµi Cho B 3 CMR: 2B+3 lµ luü thõa cđa 3 2005 Bµi Cho C 4 CMR: C lµ mét l thõa cđa Bµi 9: Chøng minh r»ng: a) 7 b) 11 c) 10 10 10 222 n2 n 2 n n * e) 10 59 g) 10n N 13 10 9 h) 81 27 45 i) 55 k) 10 10 10 555 Bµi 10 TÝnh nhanh a S = + + 22 + 23 + + 262 + 263 b S = + +32+ 33+ + 320 c S = + + 42 + 43+ + 449 Bµi 11 TÝnh tæng a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301 Bài giải: a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 25 A = 52 + 54+ + 5202 25 A - A = 5202 - VËy A = ( 5202 -1) : 24 304 b) T¬ng tù B = + +1 Bµi 3: TÝnh 1 A = + + + + 100 7 7 4 4 B = − + - + + 200 5 5 Bài giải: 1 A = + + + + 100 7 7 1 7A = + + + + 99 7 1 => 7A - A = - 100 A = − 100 : 7 4 B = − + - + + 200 5 5 4 5B = -4 + + + + 201 5 B+5B = -4 + 200 B = − 4+ 200 : ( ( ) ) Bµi 3: TÝnh 28 24 20 A = 2530 +2528 +2526 + +252 +1 25 +25 +25 + +25 +1 Bài giải: Biến đổi mÉu sè ta cã: 2530 + 2528 + 2526 + +252 + = (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) VËy A = = 626 1+ 25 Bµi tập 11: Viết 2100 số có chữ số tính giá trị Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a b c) Bµi tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd (a + b + c + d)4 = abcd C¸c dÊu hiệu chia hết A/ Mục tiêu: -Học sinh nắm vững tính chất chia hết tdấu hiệu chia hết vào giải tập -Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số häc -RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức 1) Định nghóa: Cho hai số tự nhiên a b (b 0 ) a b.q a b a bội b b ước a 2) Tính chất: 1/ Bất số khác chia hết cho 2/ Nếu a b bc a c 3/ Số chia hết cho số b khác 4/ Bất số củng chia hết cho 5/ Nếu a m b m a bm a b m 6/ Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m 7/ Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a +b không chia hết cho m a - b không chia hết cho m 8/ Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m 9/ Nếu a m, b n ab mn n n Heä Quả: Nếu a b a b Nếu a m, a n , (m, n) 1 a mn A/ LÝ THUYẾT: Gọi A = an an a2 a1a0 Tacoù : A2 a0 2, A5 a0 5 A4 a1a0 4, A25 a1a0 25 A8 a2 a1a0 8, A125 a2 a1a0 125 A3 an an a2 a1 a0 3 A9 an an a2 a1 a0 9 BÀI TẬP: 1) Thay chữ x, y chữ số thích hợp để cho: a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125 b/ Số xy chia hết cho 2, cho4, cho Giải: a/ 275x x 0;5 ; b/ 275x 25 x 0 ; 275x 125 x 0 xy 42 x, y 0;1; 2; ;9 xy 44 x 0;1; 2; ;9 , y 0, 2, 4, 6,8 ; xy 48 x 0; 2; 4;6;8 ; y 2;6 hoaëc x 1;3;5;7;9 ; y 0; 4;8 : LUYỆN TẬP 1) Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – 1 b/ n2 + n + không chia hết cho c/ 10n - d/ 10n + Giải: a/ + Với n = 0, ta coù: 50 – = – = 0 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = – = + Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – = …5 – = … 4 Vậy với n N, 5n – 1 b/ Ta coù n2 + n = n( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, n + n + số lẽ nên không chia hết cho c/ Ta coù 10n - = 100…0 – = 99… n chữ số n chữ số d/ Ta có: 10n + = 100…0 + = 100…08 n chữ số n-1 chữ số 2) Chứng minh raèng: a/ 1028 + 72 b/ 88 + 220 17 Giải: a/ Ta có: 1028 + = 100…0 + = 100……08 (1) 28 chữ số 27 chữ số 28 Số 10 + có tận 008 nên chia hết cho (2) Mặt khác (8;9) = Vậy 1028 + chia heát cho 72 b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 24 + 20 = 220(24 + 1) = 220 17 17 vaây 88 + 220 chia hết cho 17 3/ CMR với số tự nhiên n n + n + không chia hết cho Giải: Với số tự nhiên n n + n = n(n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tận 0; 2; Do n + n + tận 6; 8; nên không chia hết cho 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heát cho Giải: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … =….0 Số có chữ số tận nên chia hết cho Bµi 1:Chứng minh rằng: a) ab ba chia hết cho 11 b) ab ba Chia hết cho với a > b a) Ta coù ab ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vaäy ab ba 11 b) Ta coù : ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = (a – b) Chú ý : Nếu ab cd 11 abcd 11 Bµi Cho abc deg 7 Cmr abc deg 7 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 3) Cho số abc27 Chứng minh số bca 27 Giải: 1)Ta có : abc deg 1000abc deg 1001abc ( abc deg ) 7.143abc (abc deg ) Maø : 7.143 abc7 abc deg 7 Vậy abc deg 7 2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số laø: ab ( < a 9, b 9, a,b N) Khi viết thêm số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số: abba abba 1000a 100b 10b a 1001a 110b 7.11.13a 11.10b 11 Vaäy : abba 11 3) abc27 abc027 1000a bc027 999a a bc027 27.37 a bca 27 bca 27 ( Do 27.37 a 27) LUYEÄN TẬP 1) CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2) CMR Tổng số chẳn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẽ liên tiếp không chia hết cho 10 3) Tìm n N để: a) 27 – 5n n b) n + n + c) 2n + n – d) 3n + 11 – 2n 4) Cmr neáu ab cd eg 11 abc deg 11 5) Cho abc deg 37 Cmr abc deg 37 6) Cho 10 k – 19 với k > CMR: 102k – 19 7) Cho n laø số tự nhiên CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 8) Chứng minh ab 2cd abcd 67 Giải: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + không chia hết cho 4n chia hết cho không chia hết cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + 10 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ö(27) = 1;3;9; 27 5n < 27 nên n < Vậy n 1;3 b) n + n + => n + + n + 2, maø n +2 n + => n + => n + 1; 2; 4 => n 0; 2 c) 2n + n – => 2(n – 2) + n -2 => n - => n – 1;7 => n 3;9 d*) 3n + 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n => 11 – 2n 1;5;7;35 n < nên n 5;3; 2 4) Ta coù : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg ) Do 999911; 9911;(ab cd eg )11 Vaäy : abc deg 11 5) Tacoù : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37 abc ( abc deg) Do 27.37abc 37; (abc deg) 37; Vậy : abc deg 37 6) Ta có: 102k – = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 Vaây 102k – 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaün => n = 2k (k N) Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ => n = 2k + (k N) Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai soá tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho + Trường hợp: n = 3k (k N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n không chia hết cho n = 3k + hoaëc n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết A chia hết cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho 8) Ta có abcd 100ab cd Mà: ab 2cd Suy ra: abcd 2cdcd 200cd cd 201cd 3.67cd 67 abcd 67 Vaäy: Bài Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau: a) Số chia hết cho 5; a) Số chia hết cho cho Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905 b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ; Bài Cho số 123 x 43 y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho Giải Số 123 x 43 y ⋮ nên y = y = Với y = , ta có số 123 x 430 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 ⋮ hay 12 + (x+ 1) ⋮ , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = x = ,ta 1232430 - Nếu x + = x = ,ta 1235430 - Nếu x + = x = ,ta 1238430 Với y = , ta có số 123 x 435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + ⋮ hay 18 + x ⋮ ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435; 1233435; 1236435 1239435 ... 23 10 1 10 13 vµ 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33 10 12 = 9 .10 12 vËy 303202 < 2002303 f, 3 21 vµ 2 31 3 21 = 20 = 910 ; 2 31 = 230 = 810 910 > 810 => 3 21 > 2 31 g, 11 1979 < 11 1980 = (11 3 )66 0 = 13 3 16 60... 16 8 ? ? 16 8 58 11 0 13 74 45 16 ? ?17 b. 864 48 − 432 96 864 48 432 28+ 45 15 c 72 56 4375 −725 365 0+ 4375 7255 ( 315 +372) 3+(372+ 315 ) 26 13 +74 14 d 19 78 19 79 +19 80 21+ 19 58 19 80 19 79 ? ?19 78 19 79... a 1+ 2+3+4+5+ +n e 2+5 +11 + +47 +65 b 1+ 3+5+7+ + ( 2n – 1) g 3 +12 +48+ +3072 +12 288 c 2+4 +6+ 8+ +2n h 2+5+7 +12 + + 81+ 1 31 d 1+ 6 +11 + 16 + + 46+ 51 i 49 51+ 53-55+57-59+ 61 - 63 +65 Bµi a TÝnh nhÈm 204 36 499 .12