Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương trình, bất phương trình Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị : TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN Mã số : ……………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực : VŨ NGỌC HÒA Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý Giáo dục: Phương pháp dạy môn Phương pháp giáo dục: Lĩnh vực khác ……… Có đính kèm: Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học : 2011 – 2012 (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN Mã số : ……………………… SẢN PHẨM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực : VŨ NGỌC HÒA Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy môn Phương pháp giáo dục: Lĩnh vực khác ……… Có đính kèm: Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học : 2011 – 2012 (3) SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : Họ và tên: VŨ NGỌC HÒA Ngày tháng năm sinh: Ngày 30 tháng năm 1967 Nam, Nữ: Nam Địa : P2 KP6A, tổ 14, phường Tam Hiệp , TP Biên Hòa Điện thoại: (CQ)/ Fax : (NR); ĐTDĐ: 0907185797 Email: info@123doc.org Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên II -TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: ĐHSP - Năm nhận : 1995 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC: - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán - Số năm có kinh nghiệm: 26 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có năm gần đây: 1.Sai lầm học sinh giải toán 2.Dùng lượng giác để giải bất đẳng thức 3.Môt số kinh nghiệm dạy hình học không gian (4) SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 20 tháng năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học : 2011 – 2012 Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Họ và tên tác giả: VŨ NGỌC HÒA Đơn vị (tổ) : Toán Lĩnh vực : Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác ………………………… Tính - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp đã có Hiệu - Hoàn toàn và đã triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao - Hoàn toàn và đã triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng : - Cung cấp các luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt Khá Đạt - Đưa các giải pháp kiến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực và dễ vào sống: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) (Ký tên và ghi rõ họ tên) (5) A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài Trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi ta thường gặp các bà toán giải phương trinh, bất phương trinh đôi có chứa tham số Đối với nhiều học sinh công việc này không đơn giản ! Đề tài : “ Ứng dụng đạo hàm giải phương trình và bất phương trình” giúp học sinh giải vấn đề trên II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải các bài toán phương trình cách ứng dụng giải tích giải các bài toán đại số III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình, bất phương trình, giới hạn, đạo hàm, tính đơn điệu hàm số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài là toàn chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần:đạo hàm, giới hạn, liên tục ,phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit IV Kế hoạch nghiên cứu Từ đầu năm học 2011 đến hết năm học 2012, là đầu năm học lớp 12 học sinh học đạo hàm, tính đơn điệu V Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng nhiều đây là Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp VI Bố cục đề tài Gôm hai phần chính: Phương trình, bất phương trình không chứa tham số Phương trình, bất phương trình chứa tham số B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.Tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên D Nếu f '( x) ³ 0, " x Î D thì hàm số f (x) đồng biến (tăng) trên D f '( x) £ 0, " x Î D Nếu thì hàm số f (x) nghịch biến (giảm) trên D (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn trên D) f ( x) a ;b thì phương trình f ( x) = k ( k Î ¡ ) có Nếu hàm tăng (hoặc giảm) trên khoảng không quá nghiệm khoảng (a;b) f ( x) a ;b thì u, v a ;b ta có f (u) = f ( v) Û u = v Nếu hàm tăng ( giảm) trên khoảng Nếu hàm Nếu hàm f (x) giảm trên khoảng (a;b) thì f ( x) g( x) a ;b thì phương trình Nếu hàm tăng và là hàm giảm khoảng f ( x) = g( x) a ;b có nhiều nghiệm thuộc khoảng f ( x) tăng trên khoảng (a;b) thì u, v a ;b u, v a ;b ta có ta có f (u) < f ( v) Û u < v f (u) < f ( v) Û u > v (6) f ( x) Nếu hàm số liên tục trên f ( x0) = để Nếu hàm số điểm f ( x) ( ) x0 Î a ;b éa;bù f ( a) f ( b) < x Î ( a;b) ê ë ú ûvà thì tồn ít điểm é a ;bù ê úvà f ( a) f ( b) < thì tồn û đơn điệu và liên tục trên ë để f ( x0) = f ( x) Nếu là hàm số đồng biến thì y = f (x), n Î N , n ³ đồng biến , f (x) f ( x) > 0) y = - f ( x) (với là nghịch biến , nghịch biến Tổng các hàm đồng biến trên D là đồng biến trên D n Giải phương trình, bất phương trình (không chứa tham số) Từ các tính chất trên ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: f x k Biến đổi phương trình dạng: , nhẩm nghiệm f ( x ) Chứng minh đồng biến (hoặc nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: f x g(x) Biến đổi phương trình dạng: nhẩm nghiệm f ( x ) g ( x ) Chứng mimh đồng biến còn nghịch biến hàm thì phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng f u g(v) chứng minh f đơn điệu đó u v f (u) < f ( v) Đối với bất phương trình thì biến đổi dạng , chứng minh f đơn điệu, kết luận MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x - + 4x - = (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng thì giá trị biểu thức tăng Từ đó suy vế trái là hàm đồng biến ,vế phải là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải x³ Điều kiện: æ ö 4x ÷ f ' ( x) = + > 0, " x Î ç ç ; +¥ ÷ ÷ ÷ f ( x) = 4x - + 4x - ç è ø 4x - 4x - Đặt Ta có é1 ö ê ; +¥ ÷ ÷ ÷ ê2 ÷ f ( x) = 4x - + 4x - f ( x) = ø ë Do đó hàm số đồng biến trên , nên phương trình æö 1÷ ÷ fç =1 ç ÷ x= ç ÷ 2 là nghiệm phương trình đã có nghiệm thì đó là nghiệm Hơn nữa, è ø nên cho Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x - + x + + x + 16 = 14 Giải Điều kiện: x ³ Đặt f (x) = x + x - + x + + x + 16 (7) f ¢(x) = Ta có x + + x- x+7 + x + 16 > 0, " x Î ( 5; +¥ ) é ë5; +¥ ) Do đó hàm số f (x) = x + x - + x + + x + 16 đồng biến trên ê Mà f(9) = 14 nên x = là nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2x + + 2x + + 2x + = (1) Giải 3 Đặt f (x) = 2x + + 2x + + 2x + f ' ( x) Ta có: Do đó hàm số Mà æ ffç ç ç è (2 x 1) f ( x) ( x 2) (2 x 3) 0; x , 1, 2 đồng biến 3ö ÷ ÷ = - + - 2; ff( - 1) = 0; ÷ ÷ 2ø æ 1ö ç ÷ - ÷ = 1+ x 2; lim ( ) = ±¥ ç ÷ ç x®±¥ ÷ è 2ø Vậy x = - 1là nghiệm phương trình đã cho Ví dụ 4: Giải phương trình : 5x3 - + 2x - + x = Giải x³ Điều kiện: 3 Đặt f (x) = 5x - + 2x - + x 15x2 f ¢( x) = + + > 0, " x Î ( ;+¥ ) 3 5x - (2x - 1) Ta có é1 ö ê ; +¥ ÷ ÷ ÷ ê3 ÷ ø Suy hàm số f đồng biến trên ë Mà f ( 1) = nên x = là nghiệm phương trình 2x3 + 3x2 + 6x + 16 = + - x (1) Giải ïìï 2x + 3x + 6x + 16 ³ ïìï (x + 2)(2x2 - x + 8) ³ Û í Û - 2£ x £ í ïï - x ³ ïï - x ³ îï Điều kiện: îï Ví dụ : Giải phương trình : Khi đó, (1) Û Xét hàm số 2x3 + 3x2 + 6x + 16 - 4- x = f ( x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 - f ¢( x) = Ta có Do đó hàm số 3(x2 + x + 1) 2x3 + 3x2 + 6x + 16 + 4- x 4- x f ( x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 - é- 2;4ù ê ú û trên ë > 0, " x Î (- 2;4) 4- x é- 2;4ù ú ë û đồng biến trên ê (8) Mà f ( 1) = nên x = 1là nghiệm phương trình ( x + 2) ( 2x - 1) - Ví dụ 6: Giải phương trình x + = 4- ( x + 6) ( 2x - 1) + x +2 Giải Điều kiện: x³ Phương trình viết lại ( )( 2x - - 2x - - > Û x > Phương trình có nghiệm thì Xét hàm số Ta có g¢( x) = f ( x) = g( x) h ( x) 2x - ) x +2 + x +6 = với g( x) = 2x - - 3;h ( x) = x + + x + > 0, " x > 5;h¢( x) = x +2 + x+6 > 0, " x > g( x) = 2x - - ; h ( x) = x + + x + Do đó hàm số dương và cùng đồng biến trên ( 5;+¥ ) Suy f ( x) = g( x) h( x) đồng biến trên ( 5;+¥ ) f ( 7) = Mà nên x = là nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình x + x - Điều kiện: x£ 1- 3x + = Giải æ 1ù ç ç- ¥ ; ú f ( x) = x + x - 1- 3x + ç 3ú û Xét hàm số trên è f '(x) = 5x4 + 3x2 + > 0, " x < 1- 3x Ta có æ 1ù ç ç- ¥ ; ú f ( x) = x + x - 1- 3x + ç 3ú û Mà f ( - 1) = Do đó hàm số đồng biến trên è Vậy x = - là nghiệm phương trình 2 Ví dụ Giải phương trình 3x(2 + 9x + 3) + (4x + 2)(1 + + x + x ) = Giải Phương trình viết lại (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + = ( - 3x) (2 + (- 3x)2 + 3) Xét hàm số f (t) = t(2 + t + 3) trên ¡ Ta có Do đó hàm số đồng biến trên ¡ Từ (1) f '(t) = + t2 + + Û f ( 2x + 1) = f ( - 3x) Û 2x + = - 3x Û x = - Vậy phương trình có nghiệm là x =- 5 t (1) t2 + > 0, " t Î ¡ (9) x2 + 15 = 3x - + x2 + Giải Ví dụ 9: Giải phương trình 2 x + 15 > x + 8, " x Î ¡ Nhận xét: Viết phương trình dạng x2 + 15 - f ( x) = x + 15 Xét hàm số nên æ ç f '(x) = x ç ç ç è x + 15 Ta có 3x - £ Û x £ x2 + - 3x + = æ ç ç ; +¥ ç è3 x + - 3x + trên ö ÷ ÷ - < 0, " x > ÷ ÷ ø x2 + ÷ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø f ( x) = x + 15 - x + - 3x + Do đó hàm số nghịch biến trên f ( 1) = Mà nên x = là nghiệm phương trình 2 - 2x - x + 2x- = ( x - 1) Ví dụ 10: Giải phương trình : thì phương trình vô nghiệm æ ç ; +¥ ç ç è3 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø (1) Giải ( 1) Û x2- x - x- +2 x- = x - 2x + Û 2 + x - = 2x - x + x2 - x ( 2) Xét hàm số Khi đó phương trình (2) chính là phương trình t ¢ f ( t ) = + ln2 > 0, " t Î ¡ f ( t) = 2t + t Ta có nên hàm số đồng biến trên ¡ f ( x - 1) = f x2 - x Û x - = x2 - x Û x = Do đó từ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = ( Ví dụ 11: Giải phương trình : Đặt u = x2 + x + 1; ( ) f ( x - 1) = f x2 - x f ( t ) = 2t + t ) log3 x2 + x + = x2 - 3x + 2 2x - 2x + Giải v = 2x2 - 2x + ( u > 0;v > 0) Þ v - u = x2 - 3x + u = v - u Û u + log3 u = v + log3 v v Khi đó phương trình đã cho trở thành (1) f ¢( t ) = + > 0, " t > f ( t) = t + log3 t f ( t ) = t + log3 t t ln3 Xét hàm số ta có nên hàm số đồng t > biến Do đó từ (1) ta có éx = f ( u) = f ( v) Û u = v Û v - u = Û x2 - 3x + = Û ê êx = ê ë x = ; x = Vậy nghiệm phương trình đã cho là log3 Ví dụ 12: Giải phương trình: Điều kiện: x > t = log7 x Û x = 7t Đặt ( log7 x = log3 + x ) (1) Giải (10) t t æ 7ö æö ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ Û t = log3 + Û = + Û = 2ç +ç ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ è3÷ ø ç è ø Khi đó (1) (2) t t æö 1÷ æ 7ö ÷ ç ç ÷ ç f ( t) = 2ç ÷ + ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç 3ø ÷ è3ø ç è Xét hàm số Hàm số này là tổng hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn f ( 2) = Û f ( t) = f ( 2) Û t = Û x = 49 điệu giảm Hơn nên (2) ( ) t t t 3 3 Ví dụ 13: Giải phương trình : 2x - x + 2x - 3x + = 3x + + x + (1) Giải 3 3 Biến đổi (1) Û 2x - 3x + + 2x - 3x + = x + + x + (*) f ¢( t ) = + > 0, " t Î ¡ \ { 0} f ( t) = t + t t Xét hàm số Ta có Do đó hàm số đồng biến Û f 2x3 - 3x + = f x2 + Û 2x3 - 3x + = x2 + Û 2x3 - x2 - 3x - = Từ (*) é êx = - ê Û ( 2x + 1) x2 - x - = Û ê ê 1± êx = ê ë ( ) ( ( ) ) x =- 1± ;x = 2 Vậy nghiệm phương trình đã cho là Ví dụ 14: Giải phương trình x +2- 3 2x2 + = 2x2 - x +1 Giải Ta có x +2- Xét hàm số 2x + = 2x - f ( t) = t + + t f ¢( t ) = ( t + 1) Ta có Suy hàm số đồng biến + ( ) Û f ( x + 1) = f 2x Từ (*) Ví dụ 15: Giải phương trình x +1 Û x + + x + = 2x2 + + 2x2 (*) trên ¡ 33 t2 > 0, " t Î ¡ \ { 0;- 1} éx = ê Û 2x = x + Û 2x - x - = Û ê êx = - ê ë Vậy phương trình có nghiệm là Ta có 2 x =- ;x = 6x + = x3 - 5x - Giải 6x + = x3 - 5x - Û 6x + + 6x + = x3 + x (*) (11) f ( t) = t + t f ¢( t ) = 3t + > 0, " t Î ¡ f ( t) = t + t Xét hàm số trên ¡ Ta có Suy đồng ¡ biến trên Û f ( ) 6x + = f ( x) Û ( ) 6x + = x Û x3 - 6x - = Û ( x + 1) x2 - x - = Từ (*) éx = - ê Û ê ± 21 êx = ê ë x = - 1;x = Vậy phương trình có nghiệm là ( 8x : Giải phương trình : Ví dụ 16 ± 21 ) + x + ( x - 6) - x = Giải Điều kiện: x £ ( 8x Ta có ) ( ) + x + ( x - 6) - x = Û 8x2 + x = ( - x) - x é é ù Û ê( 2x) + 1ú2x = ê - x ê ê ú ë û ë ( ( ) f ( t ) = t2 + t ) ù + 1ú - x ú û (*) f ¢( t ) = 3t + > 0, " t Î ¡ Xét hàm số trên ¡ Ta có f ( t) = t2 + t Do đó hàm số đồng biến trên ¡ ìï £ x £ Û f ( 2x) = f - x Û 2x = - x Û ïí Û x =1 ïï 4x + x - = ïî Từ (*) Vậy nghiệm phương trình là x = ( ( ) ) Ví dụ 17: : Giải phương trình : (sin x - 2)(sin x - sin x + 1) = 3sin x - + Giải 3 Phương trình viết lại (sin x - 1) + (3sin x - 1) = (3sin x - 1) + 3sin x - (1) Xét hàm f (t ) t 3t , f (t ) 3t 0, t ¡ suy f (t) đồng biến trên ¡ 3 Do đó (1) sin x 3 3sin x sin x 3sin x 0 sin x 0 x k (k ¢ ) Ví dụ 18: Giải bất phương trình x + ln x £ Giải Điều kiện: x > f ¢( x) = 1+ > 0, " x > 0;+¥ ) ( x Xét hàm số trên Ta có nên hàm số f ( x) = x + ln x ( 0;+¥ ) đồng biến trên f ( 1) = x + ln x £ Û f ( x) £ f ( 1) Û x £ Mặt khác Do đó bất phương trình f ( x) = x + ln x Kết hợp với điều kiện x > ta nghiệm bất phương trình đã cho là < x £ (12) Ví dụ 19: Giải bất phương trình 15 + x - - x > (*) Giải Điều kiện: - 15 £ x £ Xét hàm số f ( x) = 15 + x - f ¢( x) = ( 15 + x) Ta có f ( x) = 15 + x 4 2- x + 2- x é- 15;2ù ê ú û trên ë ( - x) > 0, " x Î ( - 15;2) Suy hàm số é- 15;2ù ê ú û đồng biến trên ë f ( 1) = 15 + x - - x > Û f ( x) > f ( 1) Û x > Mà nên bất phương trình Kết hợp với điều kiện - 15 £ x £ thì nghiệm bất phương trình đã cho là < x £ Ví dụ 20: Giải bất phương trình: ( log4 x < log5 + x Giải Điều kiện: x > t t = log4 x Đặt ta có x = Khi đó, bất phương trình: ) ( log4 x < log5 + x ) t t æö æö ÷ ÷ Û t < log5 + Û < + Û < 3ç +ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ç ç5ø è5ø ( t ) t t t (*) t æö æö ÷ ÷ f ( t ) = 3ç +ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç5÷ 5÷ è ø è ø Xét hàm số Hàm số này là tổng hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn điệu giảm f ( 1) = Û f ( t) > f ( 1) Û t < Hơn nên từ (*) log4 x < Û < x < Với t < ta có Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là < x < Ví dụ 21: Giải bất phương trình 7x + + 7x - + 49x2 + 7x - 42 < 181- 14x (*) Giải Điều kiện: Bất phương trình (*) viết lại dạng x³ ( ) ( 7x + + 7x - + ) 7x + + 7x - - 182 < Û 7x + + 7x - - 13 < é6 ö ê ; +¥ ÷ ÷ ÷ ê7 ÷ f ( x) = 7x + + 7x - - 13 ø Xét hàm số trên ë æ6 ö 7 ÷ ç ÷ ; +¥ f ¢( x) = + >0 ç ÷ ç7 ÷ ø nên hàm số 7x + 7x - Do trên è é6 ö ê ; +¥ ÷ ÷ ÷ ê7 ÷ f ( x) = 7x + + 7x - - 13 ø ë đồng biến trên (13) Mà f ( 6) = nên 7x + + 7x - - 13 < Û f ( x) < f ( 6) Û x < 6 £ x <6 ta nghiệm bất phương trình đã cho là Kết hợp với điều kiện Qua các ví dụ giải phương trình và bất phương trình trên thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu hàm số hay và tự nhiên Bài tập rèn luyện Giải các phương trình, bất phương trình sau: x³ x + + 2x + £ x2 + x + - x + x2 - x + - x2 - 2x + - x2 - x + = - x + + x2 + x + = x2 - 6x + 11 > - x - ( x x + x + 12 = 12 5- x + - x ) x - + 4- x = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 - x- 4- x > 3 2 x - 4x - 5x + = 7x + 9x - 10 6x + = 8x3 - 4x - log2 x2 + 3x + < x2 - x - 2 2x + 2x + 3 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số KIẾN THỨC CẦN NHỚ y = f ( x) Cho hàm số liên tục trên tập D Phương trình f ( x) = m có nghiệm x Î D Bất phương trình f ( x) £ m Bất phương trình f ( x) £ m Û f ( x) £ m £ max f ( x) có nghiệm x Î D D D Û f ( x) £ m D Û max f ( x) £ m D có nghiệm đúng với x Î D Û max f ( x) ³ m f ( x) ³ m D Bất phương trình có nghiệm x Î D Û f ( x) ³ m f ( x) ³ m D Bất phương trình có nghiệm đúng với x Î D PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để giải bài toán tìm giá trị tham số m cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm sau: f ( x) = g( m) f ( x) ³ g( m) ; f ( x) £ g( m) Biến đổi phương trình, bất phương trình dạng ( ) y = f ( x) Tìm tập xác định D hàm số y = f ( x) Lập bảng biến thiên hàm số trên D f ( x) ;max f ( x) D Tìm D Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy giá trị m cần tìm Lưu ý: Trong trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa các biểu thức phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ: (14) t = j ( x) j ( x) f ( x) + Đặt ( là hàm số thích hợp có mặt ) x Î D t Î K + Từ điều kiện ràng buộc ta tìm điều kiện f ( t ) = h ( m) f ( t ) ³ h ( m) ; f ( t ) £ h ( m) + Ta đưa PT, BPT dạng ( ) y = f ( t) + Lập bảng biến thiên hàm số trên K + Từ bảng biến thiên ta suy kết luận bài toán MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA x2 + mx + = 2x + có nghiệm thực phân biệt Ví dụ Tìm m để phương trình Giải: ìï ìï 2x + ³ ïx³ - ïï ï Û í 2 Û í ïï x + mx + = ( 2x + 1) ïï mx = x2 + 4x - ïïî x + mx + = 2x + ïî mx = 3x2 + 4x - (*) Xét phương trình Do x = Þ 0.x = - 1, phương trình này vô nghiệm Nghĩa là không có giá trị nào m để phương trình có nghiệm x = x ¹ Þ 3x + =m x + Ta xét hàm số é ö ê- ; +¥ ÷ ÷ \ { 0} ÷ f ( x) = 3x + ê ÷ ø x trên tập ë é ö ÷ " x Î ê- ; +¥ ÷ \ { 0} f '( x) = + > ÷ ê ÷ ø x ë Ta có với , é ö ê- ; +¥ ÷ ÷ \ { 0} ÷ f ( x) = 3x + ê ÷ ø x đồng biến trên ë suy hàm số æ æ 1ö 1ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ lim+ f ( x) = lim ç x + = ¥ lim f x = lim x + = +¥ ç ç ( ) ÷ ÷ ç ç x ® + ÷ ÷ x® x®0 x® è xø xø è ; æ ö ÷ lim f ( x) = lim ç 3x + - ÷ = +¥ ç ÷ ç x®+¥ x®+¥ è ÷ xø Ta có bảng biến thiên hàm số x f’(x) f(x) 1/ 2+ f ( x) + Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số é ö ê- ; +¥ ÷ ÷ \ { 0} ÷ ê ÷ ø y = m ë thẳng trên miền f ( x) = 3x + - x và đường (15) Dựa vào bảng biến thiên ta giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( m Ví dụ Tìm m để bất phương trình é0 ;1 + 3ù ê ú ë û ) m³ x2 - 2x + + + x ( - x) £ có nghiệm thuộc Giải: Þ - x ( - x) = t - Đặt t = x - 2x + m( t + 1) £ t2 - Khi đó bất phương trình trở thành: (*) x- t'= ,t ' = Û x = x x + Ta có Ta có bảng biến thiên : x t’ t 1 + 2 m£ Từ đó ta có £ t £ , từ (*) suy t2 - f ( t) = é1;2ù ê û ú t + trên tập ë Xét hàm số t2 - t + (1) ( t + 1) + > f '( t ) = "t Î ( t + 1) Ta có với Ta có bảng biến thiên hàm số t f ( t) f’(t) é1;2ù ê û ú ë + f(t) xÎ é 0;1 + 3ù ê ú ë û Bất phương trình đã cho có nghiệm é1;2ù ê û ú Û bất phương trình ( 1) có nghiệm t Î ë Û m £ max f ( t ) = f ( 2) = é ù ê1;2ú ë û Ví dụ 3.Tìm m để phương trình phân biệt 2x + 2x + 24 - x + - x = m( m Î ¡ ) có nghiệm thực (16) Giải Điều kiện: £ x £ f ( x) = 2x + 2x + 24 - x + - x Xét hàm số Ta có 1 é0;6ù ê û ú trên tập ë f ( x) = ( 2x) + ( 2x) + 2( - x) + 2( - x) 3 1 1 4 f '( x) = ( 2x) + ( 2x) + ( - x) ( - 1) + ( - x) ( - 1) 4 æ ö ÷ ç ÷ æ1 1ç 1 ö ÷ 1 1 1 ÷ ç ç ÷ ÷ = ç + ç = + - ÷ ÷ ç ç ÷ 3 ÷ 3 ç ç 4 ÷ è ø x x 4 x x ç ÷ x x x x ( ) ( ) ÷ ( ) ( ) ç è ø æ ö ÷ ç ÷ ö ç 1æ 1 1 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ æ1 ö = ç + + ç ÷ öæ ÷ ç ç ÷ ÷ çç çç + ÷ 4 2 ÷ 2ç ÷ ÷ ç ÷ 2x - x + è 2x - x øç4 ( 2x) ÷ ÷ ( ) ( - x) ø÷ ÷ çè ÷çç4 2x - x ø ÷ ç ç4 2x - x øè è éæ ù ö ÷ êç ú ÷ æ1 ö æ ö ç 1 1 1 ÷ ÷ ÷ êç ú ç ÷ ÷ ÷ =ç + + + + ç ç ç ÷ ÷ êç ÷ ú ç ç ÷ 4 4 2 ÷ ÷ ç ç ÷ 2x - x è 2x è 2x øú - x øê2ç x 4 ( ) ç ÷ x x ( ) ø÷ ç ( ) ê ú ëè û æ ö ÷ ç ÷ æ1 ö 1ç 1 1 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + + + + >0 ç ç ÷ ÷ ç 4 2÷ ÷ ç 2ç ç ÷ è ø 2x 6- x 4 2x ( - x) ç ( - x) ÷ ÷ ç ( 2x) " x Î ( 0;6) ø Ta có è với f '( x) = Û 2x = - x Û 2x = - x Û x = Ta có bảng biến thiên x + f’(x) f(x) 2 6 12 Số nghiệm phương trình đã cho số giao điểm đồ thị hàm số é0;6ù y = m trên miền ë ê û ú y = f ( x) và đường thẳng Dựa vào bảng biến thiên ta giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán + £ m < + Ví dụ Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình x2 + 2x - = m( x - 2) có nghiệm thực phân biệt: Giải Điều kiện: m > Þ x ³ Ta có: éx = ê Û ê 2 ê( x - 2) ( x + 4) = m( *) x + 2x - = m( x - 2) Û ( x - 2) ( x + 4) = m( x - 2) ë (17) Nhận thấy phương trình đã cho luôn có nghiệm x = , để chứng minh m > phương trình đã ( *) luôn có nghiệm thực x > cho có nghiệm thực phân biệt ta cần phương trình m> f ( x) = ( x - 2) ( x + 4) = x3 + 6x2 - 32 Xét hàm số f '( x) = 3x2 + 12x > Ta có với " x > æ 32ö ÷ ÷ lim f ( x) = lim x3 ç 1+ = +¥ ç ÷ ç x®+¥ x®+¥ ÷ è x x3 ø f ( x) Ta có bảng biến thiên hàm số x f’(x) + f(x) trên ( 2;+¥ ) y = f ( x) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số và đường thẳng y = m trên miền ( 2;+¥ ) Dựa vào bảng biến thiên ta suy m > thì phương trình (*) luôn có nghiệm x > Vậy với m > thì phương trình đã cho luôn có nghiệm thực phân biệt x2 + 2x + - x2 - 2x + = m có nghiệm thực Giải Ví dụ Tìm m để phương trình x2 ± 2x + = ( x ± 1) + ³ > 0, " x Î ¡ Vì TXĐ: D = ¡ Xét hàm số f ( x) = x2 + 2x + - f '( x) = Ta có: x +1 x2 + 2x + f '( x) = Û - nên x2 - 2x + trên ¡ x- x2 - 2x + x +1 x2 + 2x + - x- x2 - 2x + =0 ( ) ( ) 2 Û ( x + 1) x2 - 2x + = ( x - 1) x2 + 2x + Þ ( x + 1) x - 2x + = ( x - 1) x + 2x + Û x4 - 2x3 + 4x2 + 2x3 - 4x2 + 8x + x2 - 2x + = x4 + 2x3 + 4x2 - 2x3 - 4x2 - 8x + x2 + 2x + Û x=0 Thay x = vào phương trình (*) được: = - Vậy phương trình (*) vô nghiệm f '( x) f '( 0) = > Ü f '( x) > 0, " x Î ¡ Suy mang dấu (không đổi dấu), có Ta có 4x lim f ( x) = lim x2 + 2x + - x2 - 2x + = xlim ®+¥ x®+¥ x®+¥ x2 + 2x + + x2 - 2x + 4 = lim x®+¥ 4 + + + 1+ x x x x2 = ( ) (18) lim f ( x) = lim x®- ¥ x®- ¥ ( x2 + 2x + - 4x x2 + 2x + + x2 - 2x + 4 = lim x®- ¥ ) x2 - 2x + = xlim ®- ¥ 4 + - 1+ x x x x =- f ( x) Ta có bảng biến thiên hàm số x - 1+ f’(x) + f(x) -2 Số nghiệm phương trình đã cho số giao điểm đồ thị hàm số y = m trên ¡ y = f ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có nghiệm Û - < m < ìï x2 - 3x - £ ï í ï x - x x - m2 - 15m ³ Ví dụ Tìm m để hệ ïïî có nghiệm thực Giải Ta có: x - 3x - £ Û - £ x £ Hệ phương trình đã cho có nghiệm é- 1;4ù ú Û x - x x - m - 15m ³ có nghiệm x Î ê ë û é ù Û x - x x ³ m + 15m xÎ ê ë- 1;4ú û có nghiệm ìï x + 3x - £ x < f ( x) = x3 - x x = ïí ïï x - 3x2 £ x £ ïî Đặt Ta có ìï 3x2 + 6x - < x < f '( x) = ïí ïï 3x - 6x < x < ïî f '( x) = Û x = 0;x = ±2 Ta có bảng biến thiên : x -1 f’(x) f(x) 0 + 16 -4 f ( x) ³ m2 + 15m có nghiệm ù xÎ é ê- 1;4ú ë û và đường thẳng (19) Û max f ( x) ³ m2 + 15m é ù Û 16 ³ m2 + 15m Û m2 + 15m - 16 £ Û - 16 £ m £ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Û - 16 £ m £ ê- 1;4û ú ë 3 Ví dụ Tìm m để phương trình sin x + cos x = m có nghiệm: Giải 3 sin x + cos x = m Û ( sin x + cosx) ( 1- sin x.cosx) = m Ta có æ pö ÷ t = sin x + cosx = 2.sinç x+ ÷ ç ÷ ç ÷- £ t £ 4ø è Đặt , t2 - 2 t = sin x + cosx Þ t = ( sin x + cosx) Þ sin x.cosx = Khi đó: æ t - 1ö ÷ ÷ tç 1= m Û - t3 + t = m ç ÷ ç ÷ ç ø 2 Phương trình trở thành: è é- 2; 2ù f ( t) = - t + t ê ú û 2 Xét hàm số trên tập ë Ta có: f '( t ) = - 3 t + 2 3 f '( t) = Û - t + = Û t = ±1 Ta có bảng biến thiên: t f’(t) -1 + f(t) 2 2 -1 y = f ( t) Số nghiệm phương trình đã cho số giao điểm đồ thị hàm số và đường thẳng é- 2; 2ù ú y = m trên ê ë û Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có nghiệm Û - £ m £ Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình mx - x - £ m + 1có nghiệm thực Giải Đặt t = x - ³ Þ x = t + Khi đó bất phương trình trở thành: t +1 m t2 + - t £ m + Û m t2 + £ t + Û t2 + ³ m (*) t +1 f ( t) = t + trên ( 0;+¥ ) Xét hàm số ( ) f '( t ) = Ta có: ( ) - t2 - 2t + (t ) +2 , f '( t ) = Û - t2 - 2t + = Û t = - 1± (20) t =0 lim f ( t) = lim x®+¥ x®+¥ t+ t 1+ Ta có bảng biến thiên hàm số t f’(t) + f(t) f ( t) 0 1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy bất phương trình (1) có nghiệm thực Û bất phương trình (*) có nghiệm t > Û max f ( t) ³ m Û m £ ( 0;+¥ ) +1 4 Ví dụ Tìm m để phương trình x - + m x + = x - có nghiệm thực Giải Điều kiện: x ³ x - 1+m x +1 = x - t=4 Đặt Û - x- x- + 24 =m x +1 x +1 (1) x- x + , đó phương trình (1) trở thành: - 3t2 + 2t = m (*) <1 x + Þ t ³ x ³ Ta có và , £ t < é0;1) f ( t ) = - 3t + 2t ë Xét hàm số trên ê f '( t ) = - 6t + 2; f '( t ) = Û - 6t + = Û t = Có t = 1- Ta có bảng biến thiên hàm số t + f’(t) f(t) f ( t) 3 -1 Số nghiệm phương trình đã cho số giao điểm đồ thị hàm số y = m trên miền é ê ë0;1) Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có nghiệm thực Ví dụ 10 Tìm m để phương trình 1+ x + - x + y = f ( t) Û - 1< m £ và đường thẳng ( 1+ x) ( - x) = m có nghiệm thực (21) Giải Điều kiện: - £ x £ Đặt t = + x + - x 1 t'= 1+ x - x với - < x < Ta có: 1 =0 Û x + 1= 8- x Û x = Û x + = 8- x t ' = Û 1+ x - x Ta có bảng biến thiên: x -1 + t’ t 3 Từ đó dẫn đến £ t £ Có t = 1+ x + - x Þ t2 = ( 1+ x + - x ) Þ ( x + 1) ( - x) = t2 - , t2 - =m Û t2 + 2t - = 2m Phương trình đã cho trở tành: é3;3 2ù ê ú f ( t ) = t + 2t - û Xét hàm số trên tập ë "x Î é 3;3 2ù ê ú f '( t ) = 2t + > ë û, Ta có bảng biến thiên hàm số f ( t) Ta có: với t+ t 3 + f’(t) 96 f(t) f’(t) Số nghiệm phương trình đã cho số giao điểm đồ thị hàm số é3;3 2ù ú y = 2m trên ê ë û Vậy phương trình có nghiệm Û £ 2m £ + Û £ m £ y = f ( t) và đường thẳng 9+ 2 CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m để hệ phương trình ìï ïï x + + y + = ïï x y í ïï 1 ïï x + + y + = 15m - 10 x y ïî có nghiệm thực (22) Tìm m để hệ phương trình x4 - 13x + m + x - = 0có đúng nghiệm thực ( + x) ( - x) £ x Tìm m để bất phương trình ù xÎ é ê ë- 4;6ú û - 2x + m nghiệm đúng với Tìm m để phương trình x + - x = - x2 + 9x + m có nghiệm thực Tìm m để phương trình thực phân biệt x - - x - + x - x - + = m có đúng hai nghiệm 6 Tìm m để phương trình sin x + cos x = m.sin2x có nghiệm thực æp ö ÷ ç ÷ ;2 p ç ÷ ç ÷ è ø Tìm m để phương trình cos3x - cos2x + m cosx - = có đúng nghiệm thuộc ép p ù ê ; ú 4 x Î sin x + cos x = m sin2x ê12 2ú ë û có đúng nghiệm Tìm m để phương trình C KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình , làm bài có lập luận chặt chẽ tình giải phương trình, bất phương trình Mặc dù sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài khó phát triển từ các bài tập sách giáo khoa, nên để giải các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài này giới thiệu cách giải số phương trình, bất phương trình Mặc dù đã tham khảo số lượng lớn các tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì lực và thời gian có hạn, mong đóng góp các bạn đồng nghiệp và người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ giải các bài toán liên quan đến hàm số các kỳ thi cuối cấp Người thực Vũ Ngọc Hòa Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12 (23) Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12 Chuyên đề nâng cao Đại số THPT – NXB GD Phạm Quốc Phong Khảo sát nghiệm phương trình – NXB GD Lê Hoành Phò Hàm số - NXB GD Phan Huy Khải Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (24)