SKKN Toán thpt

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I - Cơ sở thưc tiễn Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà không ai vượt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm… Nội dung các bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Ở bậc THCS cũng như THPT (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh. Với những lí do như vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phương pháp giải toán cực trị”. Với mong muốn được trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả. B. NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN I - Định nghĩa: 1/ Định nghĩa 1: Cho biểu thức , ),( yxf xác định trên miền D , ta nói M là giá trị lớn nhất của , ),( yxf trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn: i) Với , yx thuộc D thì Myxf ≤, ),( với M là hằng số. ii) Tồn tại , 00 yx thuộc D sao cho Myxf =, ),( 2/ Định nghĩa 2: Cho biểu thức , ),( yxf xác định trên miền D , ta nói m là giá trị nhỏ nhất của , ),( yxf trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn: i) Với mọi , yx thuộc D thì myxf ≥, ),( với m là hằng số. ii) Tồn tại , 00 yx thuộc D sao cho myxf =, ),( . Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau: + Chứng tỏ Myxf ≤, ),( hoặc myxf ≥, ),( ) với mọi , , yx thuộc D + Chỉ ra sự tồn tại , 00 yx thuộc D để , ),( yxf đạt cực trị. Chú y đến miền giá trị của biến. Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của MinAA, là giá trị nhỏ nhất của A II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1/ Tính chất 1: Giả sử BA ⊂ khi đó ta có: a/ )(max)( xfxfMax BxAx ∈∈ ≤ b/ )(min)( xfxfMin Bx Ax ∈ ∈ ≥ 2/ Tính chất 2: Nếu 0),( ≥yxf với mọi x thuộc D , ta có: a/ )(max)( 2 xfxfMax DxDx ∈∈ = )(min)( 2 xfxfMin Dx Dx ∈ ∈ = 3/ Tính chất 3: )()())()(/ 21 xfMaxxfMaxxgxfMaxa DxDxDx ∈∈∈ +≤+ )1( )()())()(/ 21 xfMinxfMinxgxfMinb DxDxDx ∈∈∈ +≤+ )2( Dấu bằng trong )1( xẩy ra khi có ít nhất một điểm 0 x mà tại đó )(xf và )(xg cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại 0 x thuộc D mà tại đó gf , cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì )2( có dấu bằng. 4/ Tính chất 4: ))((min)( 1 xfxfMax Dx Dx −−= ∈ ∈ 5/ Tính chất 5: Nếu đặt )(xfMaxM Dx∈ = , )(min xfm Dx∈ = thì { } mMMaxxfMax DxDx ,)( ∈∈ = . 6/ Tính chất 6: Giả sử { } 0)(; 1 ≤∈= xfDxD và { } 0)(; 2 ≥∈= xfDxD thì { } )(min);(max)( 2 1 xfxfMinxfMin Dx DxDx ∈ ∈∈ −= Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập. Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số )(xf nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó. III - Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị: 1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 544 3 2 +− = xx A Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có: xxxx ∀≥+−=+− ,44)12(544 22 x xx ∀≤ +− ⇒ , 4 3 544 3 2 2 1 4 3 =⇔=⇒ xAMax Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “ A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương. Ta đưa ra một ví dụ: Xét biểu thức 4 1 2 − = x B Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng 4− khi 0 = x , ta sẽ đi đến: 4 1 max −=B không phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với 3 = x thì 4 1 5 1 −≥ . Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 44)12(544 22 ≥+−=+− xxx nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra 0 > A , do đó A lớn nhất khi và chỉ khi A 1 nhỏ nhất 544 2 +−⇔ xx nhỏ nhất. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 22 yxA += biết 4=+ yx Lời giải sai: Ta có: xyyxA 2 22 ≥+= Do đó A nhỏ nhất xyyx 2 22 =+⇔ 2==⇔ yx Khi đó 822 22 =+=MinA Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được ),(),( yxgyxf ≥ , chứ chưa chứng minh được myxf ≥),( với m là hằng số. Ta đưa ra một vị dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng 44 2 −≥ xx sẽ suy ra: 2 x nhỏ nhất 20)2(44 22 =⇔=−⇔−=⇔ xxxx . Dẫn đến: 24 2 =⇔= xMinx Dễ thấy kết quả đúng phải là: min 00 2 =⇔= xx Cách giải đúng: Ta có: 1624)( 2222 =++⇔=+ yxyxyx )1( Ta lại có: 020)( 222 ≥+−⇒≥− yxyxyx )2( Từ )1( , )2( : 816)(2 2222 ≥+⇒≥+ yxyx Vậy 28 ==⇔= yxMinA 2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: xxA += Lời giải sai: 4 1 2 1 4 1 4 1 2 −       +=−       ++=+= xxxxxA Vậy 4 1 −=MinA Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh , 4 1 )( −≥xf chưa chỉ ra trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức . 4 1 )( −≥xf Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 2 1 −=x vô lý. Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có 0 ≥ x Do đó 0≥+= xxA Min 00 =⇔= xA Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của: ))(()( xzxyyxxyzA +++= , với 0,, ≥zyx và 1=++ zyx Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 2 )(4 baab +≤ 1)()(4 2 =++≤+ zyxzyx 1)()(4 2 =++≤+ xzyxzx 1)()(4 2 =++≤+ yxzyxx Nhân từng vế (do hai vế đều không âm) 1)))((64 ≤+++ xzxyyxxyz 64 1 =MaxA Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để 64 1 =A là: Cách giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 .31 xyzzyx ≥++= )1( 3 ))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx +++≥+++++= )2( Nhân từng vế )1( với )2( do 2 vế đều không âm)          ≥ =++ =+ =+ =+ 0,, 1 zyx zyx yxz xzy zyx      ≥ =++ === 0,, 1 0 zyx zyx zyx ⇔ mâu thuẩn 3 3 9 2 .92       ≤⇒≥ AA 3 1 9 2 3 ===⇔       = zyxMaxA Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ I/ Phương pháp tam thức bậc hai 1 - Nội dung Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do. 2 - Các ví dụ Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 18 2 +−= xxA 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 142 2 +−= xxB 3/ Tìm giá trị nếu có của 143 2 +−−= xxC 4/ Cho tam thức bậc hai cbxaxP =+= 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 0 > a Tìm giá trị lớn nhất của P nếu 0 < a HD giải: Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai. 1/ 1515)4(18 22 −≥−−=+−= xxxA 415min =⇔−=⇒ xA 2/ 11)1(2142 22 −≥−−=+−= xxxB 11min =⇔−=⇒ xB 3/ 3 7 3 7 3 2 3143 2 2 ≤+       −−=+−−= xxxC 3 2 3 7 max =⇔=⇒ xC 4/ c acb a b xa a c x a b xacbxaxP 4 4 2 2 2 22 − −       −=       ++=++= + Nếu a b x a acb Pa 24 4 min:0 2 =⇔ − −=> + Nếu a b x a acb Pa 24 4 max:0 2 =⇔ − −=< Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 )1( ++= xxA HD: )1( 2 ++⇔ xxMinMinA Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: [ ] )()( 2 NkxfB k ∈= Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của )7)(4)(3( −−−= xxxxC HD: Dùng phương pháp đổi biến. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của 544 3 2 +− = xx M Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương nhị thức: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 )1( 1 + ++ = x xx P HD: 2 )1( 1 1 1 1 + + + −= x x P Đặt , 1 1 + = x y có 4 3 4 3 2 1 1 2 2 ≥+       −=+−= yyyP 1 2 1 4 3 =⇔=⇔= xyMinP Cách 2: Viết N dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm: 4 3 1(2 1 4 3 )1(4 444 2 2 2 ≥         + − += + +− = x x x xx P 1 4 3 =⇔= xMinP Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến: Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 3 yxxyA −−= Biết yx, là nghiệm của phương trình: 1025 =+ yx Giải: Ta có: 2 510 1025 x yyx − =⇔=+ )10016059( 4 1 2 −+−=⇒ xxA 25 59 160 4 59 2 −       +−= x 25 3481 6400 59 80 4 59 2 −         +       −−= x 25 59 1600 59 80 4 59 2 −+       −−= x 59 125 59 80 4 59 59 125 2 ≤       −−=⇔ xA Vậy        = = ⇔= 59 95 59 80 59 125 max y x A 3 - Một số bài tập tự giải: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau: a/ 35204 2 +−= xxA b/ 132 2 ++−= xxB 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a/ )5)(3(2)(1( −−−−= xxxxA b/ 542 22 +++−= yyxxB 4 - Tiểu kết Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai. II/ Phương pháp miền giá trị của hàm số: 1 - Nội dung phương pháp Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số )(xf với .Dx ∈ Gọi 0 y là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình (ẩn x ) sau có nghiệm: 0 )( yxf = )1( Dx ∈ )2( Tuỳ dạng của hệ )1( , )2( mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng bya ≤≤ 0 )3( . Vì 0 y là một giá trị bất kỳ của )(xf nền từ )3( ta thu được: axfMin =)( và bxfMax =)( trong đó .Dx ∈ Như vậy thực chât của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện .0≥∆ 2 - Các ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của: 1 1 2 2 ++ +− = xx xx A Giải Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x · sau đây có nghiệm: 1 1 2 2 ++ +− = xx xx a )1( Do 01 2 ≠++ xx nên )1( 1 22 +−=++⇔ xxaaxax )2(0)1()1()1)( 2 =−+++−⇔ axaxa + TH1: Nếu 1 = a thì )2( có nghiệm 0 = x + TH2: Nếu 0 ≠ a thì để )2( có nghiệm, cần và đủ là 0 ≥∆ , tức là: 0)1(4)1( 22 ≥−−+ aa 0)2214)(221( ≥+−+−++⇔ aaa 0)3)(13( ≤−−⇔ aa )1(3 3 1 ≠≤≤⇔ aa . Với 3 1 =a hoặc 3 = a thì nghiệm của )2( là: )1(2 )1( )1(2 )1( a a a a x − + = − +− = Với 3 1 =a thì ,1=x với 3 = a thì 1 −= x Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có: 1 3 1 =⇔= xMinA 13 −=⇔= xMaxA Cách khác: 3 1 )1(2 3 1 242333 2 2 2 22 ≤ ++ + −= ++ −−−++ = xx x xx xxxx A 13max −=⇔=⇒ xA 3 1 )1(3 )1(2 3 1 )1(3 )12(2 )1(3 1 333 333 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ ++ − += ++ +− + ++ ++ = ++ +− = xx x xx xx xx xx xx xx A 1 3 1 =⇔=⇒ xMinA Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dưới dạng khác, đó là: 1/ Chứng minh: 3 1 1 3 1 2 2 ≤ ++ +− ≤ xx xx 2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vô nghiệm): 0 1 1 2 2 =− ++ +− m xx xx 3/ Cho phương trình: ( 01)3102()123 222 =−++−++ xmmxmm có 2 nghiệm ., 21 xx Tìm giá trị lớn nhất của tổng . 21 xx + [...]... nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, phần chuyên đề Toán cực trị” đã phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh - học sinh không còn cảm thấy ngại mà ngược lại còn rất hứng thú khi gặp những bài toán về cực trị Các đồng nghiệp trong trường cũng coi nó như một kinh nghiệm quý trong quá trình giảng dạy về toán cực trị” Từ đó giúp nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên cũng... 1999 ) ≥ 1997 ⇒ min y 2 = 1997 ⇔ x ∈ 2 ; 2000 [ Y1000 = ( x − 999 + x − 1000 ) ≥ 1 ⇒ min Y1000 = 1 ⇔ x ∈ 999, 1000 ] ] 2 Vậy Min y = 1 + 3 + 5 + + 1999 = 1000 = 1000000 Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau: 1/ Tìm miền giá trị của hàm số: y = x − 1 + x − 2 + + + x − 2004 2/ Chứng minh bất đẳng thức: y = x − 1 + x − 2 + + x − 2004 ≥ 10 6 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x... − 2 = 2 2 4 x = 2 ⇔ y = 4 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2 + x − 3 Giải Ta có: A = x − 2 + x − 3 ≥ x − 2 + 3 − x = 1 ⇒ MinA = 1 ⇔ ( x − 2)(3 − x) ≥ 0 ⇔≤ x ≤ 3 Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x − 3 = 3 − x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị của x Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x − 1 + x − 2 + + x − 2000 Dạng hàm . "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ. yyxxB 4 - Tiểu kết Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách. hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai. II/ Phương pháp miền giá trị của hàm số: 1 - Nội dung phương pháp Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn