- Các vấn đề bức xúc sự cần thiết, tính cấp bách, tính mới của đề tài cần được giải quyết dựa trên các quan điểm nghiên cứu khoa học và thực tiễn của bản thân người thực hiện sáng kiến k[r]
(1)BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Người thực hiện: Tôn Nữ Thanh Thủy Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn: Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác: Có đính kèm: Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012 (2) BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên: Tôn Nữ Thanh Thủy Ngày tháng năm sinh: 09 – 01 - 1963 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: 141/28 khu phố Tân Phong Biên Hòa Đồng Nai Điện thoại: (CQ)/(NR): 0613818674 ; ĐTDĐ: 01684834384 Fax: E-mail: info@123doc.org Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: THPT chuyên Lương Thế Vinh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 1984 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy môn toán Số năm có kinh nghiệm: 28 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có năm gần đây: 1)Tích phân 2)Hệ phương trình 3)Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 4)Khảo sát hàm số 5)Cực trị hình học (3) BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI +Tính cấp thiết đề tài : Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12 chuẩn bị thi vào đại học, giải vấn đề ứng dụng tích phân cách dễ dàng +Tính đề tài : bổ sung tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng quanh trục tung điều kiện (C): y = f(x) không rút quy tắc ngược x theo y dễ dàng Bài viết đã trích đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ số 397 tháng năm 2010 I THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Thực trạng mặt tích cực các vấn đề có liên quan đến đề tài - Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quan với đề tài - Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quan với đề tài Khó khăn - Thực trạng mặt tiêu cực các vấn đề có liên quan đến đề tài - Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quan với đề tài - Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quan với đề tài Số liệu thống kê Các số liệu để làm đánh giá thực trạng các vấn đề có liên quan đến đề tài và làm so sánh với kết đề tài II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Quan điểm các nhà khoa học vấn đề có liên quan đến đề tài (có cước chú tài liệu trích dẫn) - Các vấn đề xúc (sự cần thiết, tính cấp bách, tính mới) đề tài cần giải dựa trên các quan điểm nghiên cứu khoa học và thực tiễn thân người thực sáng kiến kinh nghiệm Nội dung, biện pháp thực các giải pháp đề tài - Các nội dung đề tài đã cá nhân nghiên cứu qua lý luận và thử nghiệm thực tiễn (4) - Phân tích các điểm cá nhân đưa mà chưa đề cập đến đã có đề cập chưa đủ, chưa đúng - Trình bày các giải pháp mình vấn đề, đồng thời đưa các ví dụ minh hoạ cụ thể III KẾT QUẢ - Trình bày lợi ích trực tiếp thu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào dạy học, giáo dục học sinh và quản lý giáo dục đơn vị toàn ngành - Các kết dạng cải thiện điều kiện làm việc, nâng cao chất lượng công việc; góp phần giải vấn đề thực tiễn, đóng góp vào việc phát triển giáo dục – đào tạo, phục vụ cho công tác giáo dục - đào tạo, nghiên cứu khoa học đơn vị toàn ngành - Trình bày số liệu thống kê, phân tích so sánh kết đạt so với trước thực sáng kiến kinh nghiệm này IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Các luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách - Đưa các giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực và dễ vào sống - Phạm vi đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu V KẾT LUẬN Khái quát các vấn đề rút kết từ sáng kiến kinh nghiệm này và nêu đề xuất với các cấp quản lý VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Ghi tên tài liệu tham khảo và tên tác giả đã sử dụng trích dẫn sáng kiến kinh nghiệm Tên tài liệu - Tác giả - Nhà xuất - Năm xuất NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên) TÔN NỮ THANH THỦY (5) BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Chuyên LƯƠNG THẾ VINH CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hòa., ngày27 tháng4 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 - 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Họ và tên tác giả: Tôn nữ Thanh Thủy Đơn vị (Tổ): Toán Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn: Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác: Tính - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp đã có Hiệu - Hoàn toàn và đã triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao - Hoàn toàn và đã triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng - Cung cấp các luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt Khá Đạt - Đưa các giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực và dễ vào sống: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) (6) ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY PHẦN I: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I)Ý nghĩa hình học tích phân : Cho y = f(x) liên tục và f(x) > x[a, b] Thế thì diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hsố y = f(x); trục Ox; đt x = a và b đt x = b là :S = ∫ f ( x)dx a *Hệ :Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f(x), Ox, đường thẳng x = a; x = b là : b S= y y=f(x) x a b ∫ ¿ f ( x)∨dx a * Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm bước: 1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] l x1;x2; x3;.… (ax1<x2<x3<…b) 2) Chọn cach sau: *Lập bảng xét dấu : f(x) trên [a;b] * Đưa dấu GTTĐ|f(x)| ngoài dấu Tích phân trên đoạn tạo nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) nhận dấu trên đoạn này *Dùng đồ thị y c y= f(x) = a, x = b là : S = O b a II)Diện tích hình phẳng: I)Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: y = f(x); y = g(x) liên tục trên [a,b] và đường thẳng x ∫ ¿ f (x) − g(x )∨dx a x b * Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| ;Ta làm bước: 1)Giải pt: f(x)-g(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] là x1;x2; x3;.… (a x1<x2 < x3 < … b) 2)Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| cách sau: a) Lập bảng xét dấu : f(x)-g(x) trên [a;b] b) Đưa dấu GTTĐ|f(x)-g(x)| ngoài dấu Tích phân trên đoạn tạo nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) – g(x) nhận dấu trên đoạn này c) Khử dấu GTTĐ |f(x)-g(x)| đồ thị (7) 3) Diện tích hình phẳng giới hạn các đường cong tự cắt khép kín : A) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn : Bước 1: Giải phương trình : f(x) = g(x) b Bước 2: Sử dụng S = x=a ¿ x=b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ( C1 ): y =f ( x ) (C 2): y=g( x ) ¿{ ¿ ∫|f (x )− g ( x)|dx a y y f(x) g(x) f(x) s s a g(x) b x O O B)Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn : a ¿ ( C1 ): y =f (x ) (C 2): y=g( x ) (C 3): y=h( x) ¿{{ ¿ Bước 1: Giải phương trình tương giao tìm hoành độ giao điểm ¿ C ≡(C 1) ∩(C 2)giaûi phöông trình f ( x )=g( x ) A ≡( C )∩ (C3 )giaûi phöông trình g( x )=h(x ) B ≡(C 1)∩(C )giaûi phöông trình h ( x)=f ( x ) ¿{{ ¿ Bước 2: Sử dụng c S= b ∫ (f ( x )− h( x ))dx+∫ (g(x )− h( x)) dx a c h(x) c b x (8) C) Chú ý : Cần phải điền “đvdt” vào kết cuối cùng các bài toán tính diện tích hình phẳng III) BÀI TẬP MẪU: Bài 1: Tính S: ¿ (P): y=f (x )=2 x2 − x − (Ox): y =0 ( d 1): x =−2 ;(d ): x=4 ¿{{ ¿ 10 s1 s3 -5 -2 s2 -4 -6 -8 Giải : + PTHĐGĐ (P) và Ox là : 2x2 – 4x – -10 x=−1 ¿ x=3 ¿ ¿ ¿ ¿ 6=0 Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x) = 2x2 – 4x – trên đoạn [– 2; 4] x -2 -1 f(x) + 0 + −1 S= (*) ∫ f ( x)dx − ∫ f (x) dx+∫ f ( x )dx −2 −1 Cách : Vẽ đồ thị suy (*) Cách 3: Vì trên đoạn con, f(x) nhận dấu nên ta đưa dấu GTTĐ ngoài dấu tích phân trên đoạn : [-2; -1]; [-1; 3]; [3; 4] −1 S= |∫ −2 || || | f (x )dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x ) dx Bài : Tính S: −1 ¿ (P): y=x −3 x+ (D): y =x −1 Oy : x=0 ¿{{ ¿ Giải: (P)∩Ox: x2 – 3x + = x = 1; x = (P)∩(D): x2 – 3x + = x – x2 – 4x + = x = 1; x = (D)∩Oy: x = y = - (0, -1) (P) ∩Oy: x = y = (0, 2) S = S + S2 = x − x +2 ∫ [ ¿ −( x −1)] dx+∫ [( x −1)−(x − x +2)] dx = Y (D) S2 S1 y (P) (9) (C) x ( ∫ ( x − x+ 3) dx −∫ (x − x +3)dx=¿ 3 x x − x +3 x ¿0 − − x +3 x ¿1 3 ) ( ) = 28 ( đvdt) Bài 3: Tính S: {(C): y2 + x – = 0; (D): x + y – = 0} Giải : ¿ (C): y 2+ x −5=0 ( D) : x+ y − 3=0 ¿{ ¿ ¿ (C): x −5 − y ( D): x=3 − y ¿{ ¿ (C) ∩(D): – y2 = – y y2 – y – = (C) Ox: y = x = y=− ¿ y−2 ¿ ⇒ ¿ x=4 ¿ x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Cách 1: S = ∫ [(5 − y 2)−(3− y) ] dx = −1 - ∫ ( y − y −2)dx −1 −1 y y = − − −2 y ¿2− = − −2 − + − +2 = (đvdt) ( ) ( )( ) Cách : S = ∫ [ √ − x − ( − x ) ] dx +2∫ √5 − x dx = 4 − x ¿12 ¿ − x ¿1 /2 ¿ ¿ ¿ = ∫ (3− x) d (3 − x )−∫ ¿ 1 3−x ¿ ¿ − x ¿3 /2 ¿54 = − x ¿ 3/ ¿ 41 − ¿ ¿ ¿ −2 − (1 −8) − (0 −1)= (đvdt) 3 ( ) Bài 4: Tính S = {(P1): x2 = ay; (P2): y2 = ax} (a > 0) y a (P1) x a (10) ¿ x2 a ¿ x=0 , y=0 ¿ x y =ax ¿ =ax x =a x x=a , y=a ⇔ a Giải : (P1) ∩(P2) : y =ax ¿ x y =ax ¿ ¿ y 2= ¿{ ¿{ ¿ a ¿ ¿ ¿ y =ax ¿{ ¿ a 3 x 2√ a x 2a a a a ax − dx x x − ¿ = − = (đvdt) √ S= ∫ = √ a 3a 3a y= ( ) ( ) 2 Bài 5: Cho : {(P): y = 2x ; (C): x + y = 8} (P) chia (C) thành phần, tìm tỉ số diện tích phần đó Giải: Nhìn vào đồ thị ta có : S2 = 2∫ [ √ 8− y − y2 ] y = dy 2 2∫ √8 − y dy −∫ y dy =¿ x y3 ¿0=2 I − 3 2I − Xét I = ∫ √ − y dy Đặt y = √ Sint dy = √ Costdt ∫ √ − y dy I= = π/4 π/4 ∫ √8 − Sin2 t √2 Costdt π/4 = ∫ √1 −Sin t Cost dt π/4 π 1 t + Sin t ¿π0 / = + =π +2 2 = 2 + (đvdt) ∫ Cos t dt=4 ∫ (1+ Cos2 t ) dt=¿ 0 8 Vậy S2 = 2I - = 2 + - Ta có: S1 + S2 = (2 √ )2 = 8 S1 = 8 S1 = S2 (2 π + 43 ) = [ ] = 6 - (đvdt) 9π −2 = π +2 2π+ π− Bài 6: Tính S: {(P): y = |x2 – 4x + 3| ; (D): y = x + 3} Giải : ( ) (11) x +3=x − x +3 ¿ x+ 3=− x + x −3 ¿ ¿ ¿ ¿ (P) ∩ (D): (P) ∩ Ox: y = x2 – 4x + = x = hay x = x −5 x=0 ¿ x −3 x +6=0 ¿ ¿ ¿ ¿ x=0 ; y=3 ¿ x=5 , y =8 ¿ ¿ ¿ ¿ ∫ [ ( x +3 ) −( x2 − x+ 3) ] dx S= y +∫ [ ( x +3 ) +(x − x+3) ] dx+ ¿ ∫ [ ( x +3 ) −( x2 − x+ 3) ] dx = s3 ∫ (− x 2+ x )dx ∫ (x2 −3 x +6) dx + s2 s1 ∫ (− x 2+ x )dx ( = ( − − x 5x + ¿0 2 ) + x x 109 + ¿ 3= 32 ) ( x 3x − ¿1 + ) x (đvdt) VI)BT Tương tự : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y = Sinx trên [0, 2] và trục Ox 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị : y = x3 - 3x và y = x 3)(TN2001-2002) (1,0 đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường :y2 = 2x + và y = x – V)LUYỆN TẬP : (2m 1) x m x Bài : (D/2002):Cho hs: y = (Cm) 1.K/S và vẽ đồ thị (C) hsố (1) với m = -1 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) và trục toạ độ 3.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = x Bài 2:(A–2007)Tính diện tích hình phẳng g/ hạn các đường : y = (e +1)x, y = (1 + ex)x Bài 6:(Cao Đẳng 08-09)Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P) :y = – x2 + 4x và đt d : y = x Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) : y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến nó M(3, 5) và trục tung Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các nhánh đường (y x)2 = x3 và đt x = Bài :Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường cong x2 = 4ay; y= 8a x 4a (a> 0) Bài : Tính diện tích phần hình tròn (12) x2 + y2 = bị phân chia parabol y2 = 2x Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x4 - 2x3 + x2 + ; trục hoành và đường thẳng // với truc tung và qua các điểm cực tiểu đường cong trên Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x ; y = x + Sin2x (0 x ) Bài 9:Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = Sin3x ; y = Cos3x, x =0 (0 x /4) Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường cong y = - x2 và y3 = x2 PHẦN II: THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY A)LÝ THUYẾT: I)Thể tích vật thể : Cắt vật thể V mp (P) và (Q) vuông góc với trục Ox x = a, x = b (a < b) Một mp tùy ý vuông góc với Ox x (a ≤ x ≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đọan [a; b] Thể tích V vật thể V giới hạn hai mp (P) và (Q) tính công b thức : V =∫ S( x )dx a II)Tính thể tích vật thể tròn xoay : 1)Gọi H là hình phẳng giới hạn đồ thị :y = f(x) liên tục trên [a; b], x’Ox, đường thẳng x = a; x = b.Gọi H là hình tròn xoay y tạo thành quay H 1vòng quanh y y= f(x) d trục hòanh x a VH = f (x) ¿2 dx ¿ b ∫¿ b b = ∫ y dx M(x, y) x M=(x, y) a c a 2)Gọi H là hình phẳng giới hạn đồ thị : y = f(x) liên tục trên [a; b] x = g(y) liên tục trên [c, d] , y’Oy, đường thẳng y = c; y = d Gọi H/ là hình tròn xoay tạo thành quay H vòng quanh trục tung VH’ = g( y )¿ dy ¿ d ∫¿ c III)BÀI TẬP MẪU : d = ∫ x dy c (13) ¿ ( P): y=2 x − x Tìm Vx S quay quanh trục Ox và Vy S Ox : y =0 ¿{ ¿ Bài 1: Cho S: quay quanh trục Oy a) (P) ∩Ox: 2x – x2 = x = 0; x = 2 2 ∫ ( x − x ) dx=π ∫ ( x − x + x ) dx π x − x + x ¿ 20=16 π (đvdt ) (3 ) 15 1.5 y=f(x) y=q(x) 0.5 -2 -1 -0.5 y=g(x) -1 b) (P): y = 2x – x2 (x – 1)2 = – y Cung OA : x = - √ 1− y ; cung AB : x = + √ 1− y Vy = 2 ∫ [ ( 1+ √1 − y ) − ( − √ 1− y ) ] dy π ∫ √ 1− y dy=¿ π ∫ ( − y )1 /2 d (1− y) 1− y ¿ 3/ ¿ 10= Bài 2: Cho S: 8π ¿ 8π (đvdt) ¿ (P): y =x 2(x >0) ( D1) : y=− x +10 Tìm Vx (D2): y=1 ¿{{ ¿ S quay quanh trục Ox và Vy S quay quanh trục Oy Giải: a)Vx S quay quanh trục Ox: (D1) ∩(D2): - 3x + 10 = x = (P) ∩(D2): x2 = x = > (P) ∩(D1): x2 = - 3x + 10 x = > 0; y = D1 (P) D2 O -1 (14) Vx = − x +10 ¿2 −1 ¿ dx ¿ = π π ∫ ( x 1)dx+ π ∫ ¿ ( − x +10 ¿3 ¿ (¿ − x ¿)¿32 =¿ ¿ −3 π¿ x5 − x ¿21 + ) (đvdt) b)Vy S quay quanh trục Oy (P): y = x2 (x >0) x = √ y ; (D1): y = -3x + 10 x = Vy = π ∫ ( [ ( 10 − y )2 − ( √ y ) dy ] π ( y − 10 ) π − y ¿ 1=¿ ) = 31 π 61 π =6 π= 5 10 − y π ( y −10 )2 d ( y −10) − π ∫ ydy ∫ 1 = 152 π 15 π 101 π − = 27 54 Bài 3: Cho S là hình phẳng giới hạn elip (E): x2 y2 + =1 a2 b2 (0 < b < a) a Tìm Vx S quay quanh Ox b.Tìm Vy S quay quanh Oy Y Y (p2 ) x (p1 ) X -2 Giải: x2 y2 y2 x2 b2 2 + =1 ⇔ =1 − ⇔ y = (a − x ) a) (E): 2 a b b2 a2 a2 b 2 −b 2 √a − x Cung BA: y = a √ a − x ; Cung CA: y = a Do các cung BA và CA đối xứng qua Ox nên : a Vx = π ∫ −a ( b 2 πb a − x dx= √ a a ) a ∫ ( a2 − x 2) dx −a = πb2 x3 a a x − ¿ −a a2 ( ) = π ab2 (đvdt) Bài 4: Cho S: {(P1): y = – x2; (P2): y = x2 + 2}.Tình Vx S quay quanh Ox Giải: (P1) ∩(P2): – x2 = x2 + x2 = x = ± (15) x +2¿ 2 (4 − x2 ) − ¿ ¿ V=2 = ¿ Y C 1 π∫ ¿ A ( 24 π ∫ ( 1− x ) dx=24 π x − x3 ¿ ) O = 16 (đvdt) Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R = quay quanh trục Oy Giải Phương trình (I R): ( x – 2)2 + y2 = (x – 2)2 = – y2 x = ± √ 1− y Vy= 2 2 ∫ [ ( 2+ √ 1− y 2) − ( 2− √ 1− y 2) ] dy I B -1 = 16 π ∫ √ 1− y dy Đặt y = Sint dy = Costdt Vy = π /2 π /2 16 π ∫ √ −Sin t Costdt π/2 = 8 ∫ ( 1+Cos 2t ) dt = 16 π ∫ Cos tdt π/ t+ Sin t ¿0 ( y=g(x) ) L3 đvdt) Bài 6: Cho S: {(P):y=2x2; (D): y = 2x +4} Tính Vx S quay quanh Ox Giải : (C) ∩ (D): 2x2 = 2x + x2 – x + = x = - x=2 12 10 Vx = y (P) x O -2 -4 -6 -8 -10 L2 -6 -8 = −1 (C) -4 π∫¿ -5 x + ¿2 −4 x ¿ ¿ ¿ -2 x + ¿3 ¿ πx5 288 π (đvdt) π (¿ 2− ¿)¿ 2−1= 5 ¿ ¿ x (C): y= ;( P): y =x Bài 7: Cho S: { quanh quanh Ox } Tính V S x X (16) Giải : PTHĐGĐ (C) và (P) là 2 Vx = x ¿ ¿ ¿ π ∫¿ 486 π = 35 (đvtt) x3 =x x=0 ¿ x=3 ¿ ¿ ¿ ¿ (17) IV)BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : 1)Tính thể tích vật thể sinh quay hình phẳng(H) giới hạn đồ thị:y = xex , x = 1, y = ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ? 2) Cho hình tròn tâm I(2, 0), R = quay quanh Oy Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên 3)(A/ 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị :y = | x2 – 4x + 3|, y= x + 4) (B/2002):Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y = x2 4 và y x2 = 5)B–2007)Hình phẳng (H) giới hạn 3đường : y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox V)LUYỆN TẬP : Bài 1:Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường xy = 4, x = 1; x = 4, y = quanh Ox Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn trục hoành và (P) : y = x(4 - x) quanh Ox Bài : Tính thể tích tròn xoay sinh quay hình thang cong giới hạn các đường y= xex; x = , x = quanh trục Ox Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy Bài : Tính thể tích tròn xoay sinh quay hình thang cong giới hạn các đường y= xex; x = , x = quanh trục Oy Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía bởi(P):y= x2 , bị chắn phía trên đt qua A(1, 4) và có hệ số góc k.Tìm k để hình nói trên có diện tích nhỏ Bài 8: Xét hình có diện tích S chắn (P):y = x2 và đthẳng có hệ số góc k, quaA(x0; y0) Miền của(P) thỏa:y0>x02 Tìm k để S nhỏ Bài : Tính diện tích hình giới hạn các đường: x + y = ; x2 – 2x +y=0 Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x và y = Sin2x + x (0 x) Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn y2 = 2x và 27y2 = 8(x –1)3 Bài 12 : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên hình tròn: x2 + (y – b)2 < a2 (0 < a < b) Bài 13 :Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn các đường :y = xex ; x = 1; y = (0 x ) Bài 14 : Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn các đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = (18) Bài 15 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay quanh trục Ox, với H 6 là hình giới hạn đường:y = 0;y = Cos x Sin x ;x = 0; x = /2 Bài 16: Gọi (D) là miền giới hạn :y = - 3x +10, y = và y = x2 (x > 0) Tính thể tích vật thể tròn xoay ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên (C) : y x 2x f (x) Bài 17: Cho (H) giới hạn () : y x g(x) a)Tính S (H) b)Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) vòng quanh x’Ox? Quanh y’Oy? y x Bài 18: a)Tính S (H) : y x và V vật thể tròn xoay cho (H) quay quanh Ox Bài 19: (H) giới hạn (P): y = x2 và (C): y= - x Tính diện tích (H) và thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay (H) vòng quanh trục hoành trục tung Bài 20:Tính thể tích vật thể sinh quay hình phẳng(H) giới hạn đồ thị:y = xex , x = 1, y = ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ? (19) THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Một số học sinh thường gặp khó khăn phải tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục tung điều kiện không rút x theo y dễ dàng Bài viết này giúp các em giải vướng mắc trên y I LÝ THUYẾT: Tính thể tích vật thể y y= f(x) tròn xoay tạo thành khi: d x a b 1) Hình phẳng quay quanh trục hoành: Cho hình phẳng H giới hạn đường M(x, M=(x, y) (C) : y f (x)lieân tuïc treân [a, b] x' Ox d : x a; d : x b y) x c : Gọi K là khối tròn xoay tạo thành quay H quanh trục hoành 1vòng b b ∫[f (x)] dx ∫y dx VK = p a = pa 2) Hình phẳng quay quanh trục tung : Cho hình phẳng H giới hạn đường : (C) : y f (x)lieân tuïc [a, b] x g(y)lieântuïc{c; d ] y' Oy d : y c; d : y d d ∫[g(y)] dy Gọi T là khối tròn xoay tạo thành quay H quanh trục tung 1vòng VT = p c d ∫x dy = pc 3)Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục tung điều kiện không rút x theo y dễ dàng : + Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục và đơn điệu trên [a;b] tồn hàm số ngược x = g(y) liên tục và đơn điệu trên [c;d] d d ∫[g(y)] + Để tính VT = p c dy = ∫x pc dy ; Ta đổi biến : g(y) = x d ∫[g(y)] dy và dy = f’(x)dx; đổi cận ; Tính : VT =p c b ∫x 2 =p f ' (x)dx a II BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1)Cho hình phẳng (H) giới hạn các đồ thị (C): y = xex ; (): y = x ;(d): x = a)Tính thể tích khối tròn xoay (H) tạo thành cho hình phẳng (H) quay vòng quanh trục hoành -2 -4 (20) b) Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành cho hình phẳng (H) quay vòng quanh trục Tung Giải : a) Thể tích khối tròn xoay (H) : V(H) 1 x3 ∫x e x dx 0 1 ∫(xe x ) dx = 0 x dx ∫ = 0 2 Tính I = TPTP lần I = (e2 – 1) (e 1) 12 (3e2 – 7) (đvtt) KL : V(H) = ∫x e xdx b)Gọi (T) là khối tròn xoay sinh quay (H) quanh y’Oy : +Gọi (T1) là khối trụ có chiều cao h = e, bán kính đáy R = V(T1) = p.R2.h = pe (đvtt) +Gọi (T2) là khối tròn xoay sinh quay quanh y’Oy hình phẳng (H2) giới hạn : y’Oy ; (C) và (d):y = e Trong đó : (C): y = f(x) = xex liên tục, tăng trên [0;1] x = g(y) liên tục tăng trên [0,e] y e x e ∫g(y) dy V(T2) = *Đổi biến x = g(y) với y = xex dy = (ex + xex)dx * Đổi cận y =0 x = và y = e x = 1 ∫x (e x xe x )dx ∫(x x )e x dx V(T2) = = p(4 – e) (Tích Phân Từng Phần lần ) +Gọi (T3) là khối tròn xoay sinh quay quanh trục tung hình phẳng (H3) giới hạn : () và x’Ox và x = V(T3) = VHTrụ - VHnón với khối trụ có chiều cao h = và đáy R = Và khối nón có chiều cao h = và bán kính đáy R = 1 2 V(T3) = p.1 - p.1 = p (đvtt) y=1 O KL : V(T) = V(T1) – V(T2) – V(T3) = pe – p(4 – e) – p = p(2e 14 – ) (đvtt) (21) 2) Tính V khối tròn xoay H tạo thành quay quanh trục tung hình (C) : y Cosx x' Ox y' Oy phẳng (H) : Giải: *PTHĐGĐ (C) và x’Ox là : k Cosx = x = (kZ) (C) : y Cosx (C) : y Cosx x' Ox x' Ox y' Oy x 0; x / *(H): (H): (C) : y Cosx lieân tuïc; Giaûm treân [0. / 2] x g(y) lieân tuïc treân [0,1] y' Oy (H): y 0, y 1 ∫[g(y)] dy ∫x dy V(H) = p *Đổi biến : g(y)=x với y = Cosx dy = -Sinxdx *Đổi cận: y = => x = p/2 y = => x = 0 / 2 ∫x Sinxdx ∫x ( Sinx)dx V(H) = / =>V(H) = đa thức ;phần còn lại là dv) *Vậy V(H) = p(p - 2) y e (TPTP lần với cách đặt u là (đvtt) y= e (C) : y x ln x x' Ox x e 3)Quay hình phẳng (H) : e y= vòng quanh y’Oy Tính thể tích khối tròn xoay x0 H) tạo thành Giải: +Gọi (H1) là hình phẳng giới hạn : (d) : x = e; y’Oy và2đt: y = e ; y = GọiT là khối tròn xoay sinh cho (H1) quay vòng quanh y’Oy T là khối trụ tròn xoay có bán kính đáy R = e và chiều cao h = e V(T) = p.e2.e = p.e3 (đvtt) +Gọi (H2) là hình phẳng giới hạn bởi4 đồ thị: (C): y = xlnx tăng liên tục trên [1,e];y’Oy;y = 0, y = e (C) : x g(y)lieântuïctreân[0, e] y' Oy y 0, y e (H2): +Và gọi K là hình tròn xoay tạo thành quay (H2) quanh trục y’Oy (22) e ∫[g(y)] e dy ∫x dy V(K) =p Do không rút x theo y dễ dàng nên ta phải *Đổi biến : g(y)=x với y = xlnx )dx dy = (1.lnx + x x dy = (lnx + 1)dx *Đổi cận: y = x = 1;y = e x = e e V(K) = 2e e (5e 2) V(K) = (đvtt) 4e 2 = V(T) – V(K) = (đvtt) ∫x (ln x 1)dx p1 +KL: V(H) ) (23) III) LUYỆN TẬP: y x 1)(H) : x' Ox ; x 1 Tính thể tích khốitrònxoay (K) tạo thành quay (H)1vòng quanh 2 Oy(ĐS: (đvtt) ) (C) : y x 2x f (x) 2)Cho hình phẳng (H) giới hạn () : y x g(x) a)Tính thể tích khối tròn xoay (K) tạo thành quay (H) vòng quanh x’Ox(ĐS:125p (đvtt) ) b)Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành quay (H) vòng quanh 176 y’Oy(ĐS: (đvtt)) CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! (24)