Phương pháp: - từ M hạ MH a => MH chính là dM,a - cách tính MH: ta chú ý tới các mặt phẳng xác định bởi M và đường thẳng a, hoặc mặt phẳng đi qua M và vuông góc đường thẳng a tại H rồi d[r]
(1)BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán THPT, hình học không gian luôn là mảng kiến thức khó học sinh, là học sinh có lực học trung bình và yếu Các bài toán tính khoảng cách hình học không gian lại càng khó học sinh Trong quá trình học, các em luôn đặt câu hỏi lại kẻ thêm các đường phụ Và câu hỏi đó các em không trả lời thì tiếp thu các em có phần hạn chế Việc làm bài các em mang tính rập khuôn, máy móc Chính vì tôi viết chuyên đề này mong trả lời câu hỏi trên các em Đây là tài liệu nhỏ để các em và các thầy cô đồng nghiệp tham khảo (2) II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Việc đổi phương pháp dạy và học nhà trường phổ thông thực Việc đổi này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu và giải vấn đề Người dạy là người hướng dẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học Thực tế lực học môn toán học sinh trường THPT Trị An nào? Tròng ba năm gần đây, chất lượng học tập HS trường THPT Trị An nhìn chung thấp Vấn đề tự rèn luyện đạo đức, kỉ luật và ý thức học tập HS chưa cao Sau đây là bảng số liệu thống kê kết học tập môn toán HS trường THPT Trị An năm qua: TỈ LỆ HỌC LỰC CỦA HS KHỐI THPT(%) Năm học KHỐI 10 KHỐI 11 KHỐI 12 K - G Tbình Y - K K - G Tbình Y - K K - G Tbình 2008 – 2009 28,6 53,1 18,3 34,0 39,0 27,0 32,5 61,3 2009 – 2010 23,1 41,6 35,1 30,9 51,9 17,1 37,2 46,3 2010 - 2011 26,2 47,4 6,8 34,3 44,4 8,4 25,1 40,9 Trong đó: K – G: Khá - Giỏi; Y – K: Yếu – Kém; Tbình: Trung bình Thống kê trên cho ta thấy lực học môn toán hs trường THPT Trị An là thấp Việc đổi phương pháp dạy và học là việc làm cấp bách Đặc biết môn hình học không gian, đọc bài toán, học sinh phải vẽ hình, tìm hướng giải Đối với các học sinh trung bình, yếu, đây là việc khó khăn vì nó đòi hỏi học sinh phải hình dung hình vẽ, kẻ thêm các đường phụ Trong đầu các em luôn đặt câu hỏi lại kẻ thêm đường phụ vậy, và các bước tính toán nào? Đối với bài toán khoảng cách, đa số các học sinh trung bình và yếu không làm được, nhiều thời gian Hiểu tâm lý học sinh vậy, chuyên đề “BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11” này thực theo hướng sau: + Phân loaị theo chủ đề, đưa phương pháp giải + Các ví dụ minh họa, có các lời bình, giải thích ta lại làm vậy? Y-K 6,3 16,5 8,8 (3) + Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập Nội dung đề tài: a Những kiến thức cần nhớ: * Trong mặt phẳng: +Các hệ thức lượng tam giác thường dùng: - Định lí Cosin tam giác: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA - Diện tích tam giác ABC: 1 abc S= a = bc sin A= =pr =√ p( p − a)( p− b)( p −c ) 2 4R Trong đó: R: bán kính đường tròn ngoại tiếp p: nửa chu vi r: bán kính đường tròn nội tiếp - Nếu tam giác ABC vuông A, AH là đường cao ta có: BC2 = AB2 + BC2 (định lí Pytago) 1 = 2+ 2 AH AB AC giác vuông) (công thức tính đường cao tam (4) - Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các cạnh tương ứng nhau: Δ ABC AB BC AC đồng dạng Δ EFG thì EF = FG = EG * Trong không gian: - Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: a , b ⊂(P) , a ∩b=I c ⊥a,c⊥b } ⇒c ⊥( P) - Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: a ⊂(P) a⊥(Q) } ⇒(P) ⊥(Q) - Góc hai đường thẳng a,b góc hai đường thẳng a’,b’ cùng qua điểm O và a’//a, b’//b - Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến *Các định nghĩa khoảng cách: - Cho điểm O và đường thẳng a Gọi H là hình chiếu O trên a Khi đó độ dài đoạn OH gọi là khoảng cách từ O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) - Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( α ) là khoảng cách hai điểm O và H, với H là hình chiếu vuông góc O lên ( α ), kí hiệu d(O,( α )) - Cho đường thẳng a song song mặt phẳng ( α ), khoảng cách a và ( α ) là khoảng cách từ điểm thuộc a tới ( α ), kí hiệu d(a,( α )) - Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( α ) và ( β ) kí hiệu là d(( α ),( β )) là khoảng cách từ điểm bất kì mặt phẳng này đến mặt phẳng - Khoảng cách hai đường thẳng chéo là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó (5) * Một nguyên tắc quan trọng là tính toán hình học không gian ta đưa tính toán mặt phẳng nào đó b Các dạng toán và phương pháp giải: Vấn đề 1: khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a Phương pháp: - từ M hạ MH a => MH chính là d(M,a) - cách tính MH: ta chú ý tới các mặt phẳng xác định M và đường thẳng a, mặt phẳng qua M và vuông góc đường thẳng a H dựa vào hệ thức lượng tam giác để tính (cần chú ý đến yếu tố vuông góc) ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm cạnh SC và M là trung điểm đoạn AB a)Chứng minh IO (ABCD) b)Tính khoảng cách từ A đến SC b)Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM bài giải: (6) a)Ta có: SA ⊥ (ABCD) IO // SA } ⇒ IO ⊥(ABCD) b) Trong mặt phẳng (SAC) dựng AK ⊥SC (K thuộc SC) đó AK= d(A,SC) ABCD là hình vuông cạnh a nên AC= a √ Tam giác SAC vuông A, AK là đường cao 1 SA AC2 a √ = + ⇒ d ( A ,SC)=AK= = AK √ SA AC2 SA + AC2 c) Trong (ICM) dựng IH ⊥ MC (H thuộc CM) đó IH = d(I,CM) ta có: CM ⊥ IH CM ⊥ IO } ⇒ CM ⊥(IOH )⇒ CM ⊥ OH Gọi N là giao điểm MO với cạnh CD Tam giác MHO đồng dạng tam OH OM OM CN a = giác MNC nên: CN =MC ⇒OH=MC √5 a √ 30 2 ⇒ d ( I ,CM)=IH= √ IO +OH = 10 *Giaỉ thích ta lại có định hướng và lời giải vây? b) -AK là khoảng cách từ A đến SC -ta có nhận xét: AK nằm mặt phẳng chứa A và SC -ta lại có tam giác SAC vuông và AK là đường cao tam giác đó c) IH là khoảng cách từ I đến CM - IH nằm (ICM) chứa I và CM Nhưng tam giác ICM ta lại có ít thông tin nó Vậy làm theo hướng câu b), ta dễ vào ngõ cụt phải tính toán phức tạp - Vậy ta theo hướng là xác định mặt phẳng chứa I và vuông góc với CM H, mặt phẳng cần tìm đó là (IOH) - Tam giác IOH vuông O, biết IO = a/2, OH chưa có ta có thể tính nhờ vào hai tam giác đồng dạng là MHO và MNC Ví dụ 2: Cho hình chóp OABC với AB=7, BC = 5, CA = 8,OA= Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC (7) Bài giải: Dựng OH ⊥ BC => OH= d(O,BC) Ta có: BC ⊥ OH BC ⊥ OA } ⇒BC ⊥(OAH)⇒ BC ⊥ AH Diện tích tam giác ABC có: S = √ p ( p − a)( p −b)( p −c )=10 √ 2S AH là đường cao tam giác ABC nên AH= =4 √ BC 2 Suy d (O, BC ) OH OA AH 8 giải thích: - OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng BC - tam giác ABC biết cạnh ta thường sử dụng tới công thức Hêrông để tính diện tích - mặt phẳng chứa O và BC là (OBC), ta có thể tính các cạnh tam giác OBC, lần dùng công thức Hêrông để tính diện tích, sau đó ta tính chiều cao OH tam giác đó Tuy nhiên, cách tính trên là phức tạp - ta lại để ý: mặt phẳng (OAH) chứa O và vuông góc BC H Tam giác OAH vuông O, đã biết cạnh OA, cạnh AH ta tính nhờ đã có diện tích tam giác ABC (8) Vấn đề 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * phương pháp: Cách xác định hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P): - xác định (hoặc dựng) (Q) chứa M và vuông góc với (P) - xác định Δ=( P)∩(Q) - từ M hạ MH ⊥ Δ (H Δ ) Qua cách dựng trên ta H là hình chiếu vuông góc M lên (P) Chú ý các bước trên là cách xác định (cách dựng) hình chiếu vuông góc M lên (P), dựng xong ta phải có bước chứng minh MH ⊥(P) Khi đó, việc tính khoảng cách từ M đến (P) ta đưa bài toán tính độ dài đoạn MH (Q) Thông thường, việc tính MH ta chú ý các điều sau: - MH nằm tam giác vuông, ta sử dụng định lí Pytago, công thức tính đường cao tam giác vuông, tỉ số lượng giác - MH nằm tam giác đã biết độ dài cạnh và góc xen cạnh đó ta dùng định lí Cosin tam giác - MH nằm tam giác mà tam giác này lại đồng dạng với tam giác khác, đó ta lập tỉ số tương ứng thích hợp hai tam giác trên Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) , SA = 2a, BC = 2a, CD = a a)Tính d(A,(SBC)) b)Tính d(A,(SBD)) bài giải: a)Từ A dựng AM vuông góc SB (M thuộc SB) (9) ta có: BC ⊥ AB BC ⊥ SA } ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒BC ⊥ AM AM ⊥ BC AM ⊥ SB } ⇒ AM⊥(SBC) ⇒AM=d ( A ,(SBC)) Tam giác SAB vuông A và AM là đường cao nên: 1 AB2 AS2 a = + ⇒ AM= = AM AB AS AB2 + AS2 √ 2a ⇒ d ( A ,(SBC))= √5 b)Dựng AI BD, AH SI √ Ta có BD vuông góc với mp(SAI) nên BD vuông góc AH AH SI AH (SBD) AH d ( A, ( SBD)) AH BD 1 2a 2 AI 2 AI AB AD 1 a AH AH AI AS d ( A, ( SBD)) a *Nhận xét: a)Do điểm A nằm mp(SAB) vuông góc với (SBC), giao tuyến hai mp này la SB Vậy để tìm hình chiếu A trên (SBC) ta cần từ A hạ AM vuông góc với SB b)trong hình chóp ta chưa thấy mp nào chứa A và vuông góc (SBD), ta phải dựng mặt phẳng -để ý là A thuộc đt SA vuông góc với BD, nên ta dựng mp (SAI) chứa A và vuông góc BD, mặt phẳng này vuông góc (SBD) Giao tuyến 2mp này là đt SI Vậy để tìm hình chiếu A trên (SBD), ta dựng AH vuông góc SI Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, SA = SA = 2a tính khoảng cách: a)Từ S đến (ABCD) b)từ trung điểm I CD đến (SHC), H là trung điểm AB bài giải: (10) a) ( SAB) ( ABCD) ( SAB) ( ABCD) AB SH ( ABCD) ( SAB) SH AB d ( S , ( ABCD)) SH SA2 AH a 15 b)dựng IK vuông góc HC IK CH IK ( SHC ) d ( I ,( SHC )) IK IK SH 1 a HIC : d ( I , ( SHC )) IK IK IH IC Nhận xét: a)S nằm (SAB) vuông góc (ABCD), và giao tuyến mp này là AB Tam giác SAB cân S, H là trung điểm AB Do đó H là hình chiếu S lên (ABCD) b)Điểm I nằm (ABCD) vuông góc (SHC), giao tuyến mp này là HC Vậy muốn tìm hình chiếu I lên (SHC) ta cần dựng IK vuông góc CH Vấn đề 3: khoảng cách đường thẳng chéo *phương pháp: TH 1: a,b là hai đường thẳng chéo nhau, và a b ta làm sau: - dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b B - (P), dựng BA vuông góc a A đó AB là đoạn vuông góc chung a,b (11) TH 2: a,b chéo không vuông góc với ta làm sau: - dựng mp(P) chứa a và song song b - lấy M tùy ý trên b, dựng MM’ vuông góc (P) M’ - từ M’ dựng b’//b cắt a A - từ A dựng AB // MM’ cắt b B Đoạn AB là đoạn vuông góc chung a và b *chú ý: TH 2, việc tìm đoạn vuông góc chung là phức tạp ta có thể làm sau: trên đường thẳng b chọn điểm M thích hợp Khi đó: d(a,b)=d(M,(P)) Ta đưa bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = 3a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 4a Tính: a)d(SB,AD) b)d(SC,AB) Nhận xét: (12) a)ta dễ nhận thấy AD vuông góc (SAB), nên AD và SB là hai đường thẳng chéo và vuông góc (TH1) Từ A hạ AI vuông góc SB thì SI là đoạn vuông góc chung AD và SB b)SC và AB là đường thẳng chéo nhau, không vuông góc với Việc dựng đoạn vuông góc chung đt là khó khăn Để ý SC nằm (SCD) và (SCD)// AB, ta đưa bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải: a)Từ A dựng AI vuông góc SB (I thuộc SB) ta có AD (SAB) AD AI AI là đoạn vuông góc chung AD và SB 1 4a AI tam giác SAB: AI AB AS 4a d(AD,SB)=AI= Vậy SC ( SCD) d (CD,AB) d ( AB, ( SCD)) d ( A, ( SCD)) AB //( SC D) b) Trong tam giác SAD dựng AK vuông góc SD K AK SD AK ( SCD) d ( A, ( SCD)) AK AK CD 1 12a 2 AK 2 AK AS AD Vậy d(CD,AB)=12a/5 Các dạng toán tính khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song chúng ta đưa bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà cách tìm lời giải bài toán chúng ta đã biết (13) CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1)Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác cạnh a, AB vuông góc (BCD) và AB = a TÍnh khoảng cách: a)Từ D đến (ABC) b)Từ B đến (ACD) 2)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = h gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách: a)Từ B đến (SCD) b)Từ O đến (SCD) 3)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy và SA = SB = 3a tính khoảng cách: a)Từ S đến (ABCD) b)từ trung điểm I CD đến (SHC), với H là trung điểm AB c)Từ AD đến (SBC) 4)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = 2a, SA vuông góc với đáy Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB d) SB và AD 5) Cho tứ diện OABC có OA, OB,OC đôi vuông góc và OA=OB=OC=a gọi I là trung điểm BC Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng a) OA và BC b) AI và OC 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a tính khoảng cách giưa các đường thẳng: a)SA và BD b) SC và BD c) AC và SD 7) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có cùng đáy AB a)CM AB vuông góc CD b)Xác định đoạn vuông góc chung AB và CD 8) Cho hình chóp S.ABC có SA = a , tam giác ABC vuông B với AB = a M là trung điểm AB Tính độ dài đoạn vuông góc chung SM và BC (14) 9)Cho hình vuông ABCD cạnh a I là trung điểm AB Dựng IS vuông a góc (ABCD) và IS= Gọi M,N,P là trung điểm BC,SD,SB Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a)NP và AC b)MN và AP 10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a Gọi I và K là trung điểm AD và BC a) CM: (SIK) vuông góc (SBC) b) Tính d(AD,SB) 11)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA a Tính: a)d(A,(SCD)), d(B,(SCD)) b)d(AD,(SBC)) 12)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60 o gọi O là giao điểm AC và BD, SO vuông góc (ABCD) và SO = 3a/4 E,F là trung điểm BC và BE a) CM: (SOF) vuông góc (SBC) b)Tính d(O,(SBC)), d(A,(SBC)) 13) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a)CM: B’D vuông góc (BA’C’) b)Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’) c)Tính d(BC’,CD’) 14)Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 o, SA = SB a = SD = a)Tính d(S,(ABCD)) và độ dài SC b)CM: (SAC) vuông góc (ABCD) và SB vuông góc BC c)tính góc tạo (SBD) và (ABCD) III Kết luận: Qua thực tiễn giảng dạy, tôi đã dùng tài liệu này cho các em tham khảo Tôi nhận thấy các em tiếp thu bài nhẹ nhàng và có hứng thú nhiều môn hình học không gian Kết đạt các em các bài kiểm tra các em đã cải thiện Tài liệu này viết dành cho các học sinh yếu và trung bình lớp 11 quan hệ vuông góc không gian là phần quan trọng, vì mảng (15) kiến thức này còn liên quan nhiều đến chương trình hình học lớp 12 Đối với học sinh 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp thì đây là tài liệu bổ ích Do đối tượng là học sinh yếu và trung bình, khả nhận thức các em chưa nhanh nhạy, số tiết dạy trên lớp giáo viên truyền đạt lý thuyết và ví dụ minh họa Tôi kiến nghị nên tăng thời lượng môn toán để giáo viên có thể truyền đạt cho học sinh nói trên phương pháp học tập, phương pháp lập luận và giải vấn đề Trong quá trình viết tài liệu này mặc dù đã cố gắng không tránh khỏi sai sót, mong quý thầy cô đồng nghiệp và các em học sinh góp ý để chuyên đề này tốt Xin chân thành cảm ơn! Vĩnh cửu ngày 20 tháng năm 2012 Người thực Trịnh Anh Minh (16)