SKKN TOAN THPT 46

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện c[r]

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là mảng toán tương đối khó học sinh, đó có dạng toán giao điểm đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu và hệ thống các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì tôi đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi Thường xuyên phân công dạy lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12, bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính cầm tay và thương xuyên ôn thi đại học cho các em nên tôi thường xuyên tiếp xúc và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này Khó khăn Mới đưa số dạng toán thường gặp thông qua các ví dụ, chưa giải các bài toán tổng quát Số liệu thống kê Trước thực chuyên đề học sinh khá lúng túng việc giải lựa chọn phương pháp phù hợp để giải bài toán dạng này III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận: - Thông qua qua qua trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạng bài toán liên quan - Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên đề Từ đó hình thành sở nghiên cứu chuyên đề này Nội dung , biện pháp thực các giải pháp đề tài - Nội đề tài nghiên cứu trên sở lí thuyết và bài tập mà các em đã học chương trình THPT - Đề tài cho các em thấy các dạng bài toán có chứa tham số giao điểm hàm số bậc ba với đường thẳng.Giúp cho học sinh tự phát và lĩnh hội kiến thức Phương pháp Nhẩm một nghiệm phương trình hoành độ giao điểm C : y ax3  bx  cx  d (a 0) Cho hàm số bậc ba   và đường thẳng  d  : y a ' x  b ' Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt k điểm và phương trình hoành độ giao điểm chúng có k nghiệm phân biệt, và nghiệm đó chính là hoành độ các giao điểm Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d), ta có: ax3  bx2  cx  d a ' x  b '  ax3  bx   c  a ' x  d  b ' 0  a 0   * Nếu phương trình (*) có nghiệm là x0 thì (*)   x  x0   a1 x  b1 x  c1  0  x  x0   a1 x  b1 x  c1 0  ** 1/ Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (**) vô nghiệm có nghiệm kép x0 2/ Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (**) có nghiệm kép khác x0 có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm là x0 3/ Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác x0 Các ví dụ: VÍ DỤ 1: Cho hàm số y  x3   m  1 x   m  m  3 x   m2 (C) Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành Ox a/ điểm phân biệt b/ điểm c/1 điểm Định hướng Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành là x3   m  1 x   m  m  3 x   m 0 Nhận xét: x 1 là nghiệm phương trình (1) (1) có đồ thị Nếu từ đầu các em không nhận thay x=1 là nghiệm phương trình (1) thì các em có thể làm sau: Cho m nhận số giá trị cụ thể, thay giá trị m vào PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba phương trình nào có chung nghiệm thì đó có thể là nghiệm cuả PT (1) Chẳng hạn: Cho m= thì PT(1) trở thành x  x  3x  0 có nghiệm x 1; x 1,7 Cho m=1 thì PT(1) trở thành x  x  x  0 có nghiệm x 1; x 2 Ta nhận thấy với hai giá trị m khác thì ta hai phương trình cụ thể có nghiệm chung là x =1 Vậy x= có thể là nghiệm phương trình (1) Để chắn x= là nghiệm (1) hay không ta cần thay x = vào phương trình (1), thoả mãn thì x 1 là nghiệm cần tìm phương trình (1) Khi đó ta giải bài toán sau Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành là x3   m  1 x   m  m  3 x   m 0 (1) Vì x = là nghiệm phương trình (1) , ta có : Pt (1)   x  1  x  mx  m  3 0  x 1  2  x  mx  m  0  1' g x  x  mx  m   g  x  12  3m Đặt   , Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành nên số nghiệm (1) số giao điểm (C) và trục hoành Ox a/ Đồ thị (C) cắt Ox điểm phân biệt  Phương trình (1) có nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác  g  x   12  3m      g  m  m            m   m    2;  \   1  m  1; m 2 b/ Đồ thị (C) cắt Ox điểm  Phương trình (1) có đúng nghiệm , hay phương trình (1’) có nghiệm kép khác có nghiệm phân biệt đó có nghiệm là + Phương trình (1’) có nghiệm kép khác   g  x  0    m      12  3m 0 m 2; m    m   m  m    + Phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm là 12  3m    g  x       m 2; m   g  1 0   m   m    m 2; m  Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox điểm c/ Đồ thị (C) cắt Ox điểm  Phương trình (1) có đúng nghiệm , hay phương trình (1’) vô nghiệm có nghiệm kép là x =   g x    0    g  x        m 1   Vậy với  12  3m    12  3m 0    m 2  m    ;     2;   m  ( ;  2)  (2; )  m 2  thì (C) cắt Ox điểm VÍ DỤ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  x   m   x  2m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị và trục hoành là x  x   m   x  2m 0  1  x    x    x  x  m  0    x  x  m 0  1'  Đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ âm  phương trình (1) có nghiệm âm phân biệt  phương trình (1’) có nghiệm âm phân biệt khác -2    1' 1  4m    S     1'    P 1' m           m 0 m   m  VÍ DỤ 3: (KHỐI A 2010) Cho hàm số y  x3  x    m  x  m (14), m là tham số a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = b/ Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có 2 hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x1  x2  x3  Bài giải: b/ Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (C) và trục hoành là: x  x    m  x  m 0  1  x 1   x  x  m 0  1'  Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt và phương trình (1’) có nghiệm phân biệt khác g x x  x  m Kí hiệu   và x1 1, x2 , x3 là các nghiệm (1’) Yêu cầu bài toán thoả mãn và  g  x     g  1 0   2  x2  x3  1  4m     m 0   x1  x2   x1 x2   m     m 0 1  2m     m    m 0  m       m   m 0 2 VÍ DỤ 4: Chứng minh đồ thị hàm số y  x  3mx  3m x  m (C) luôn cắt (d): y=3x  3m điểm phân biệt (m là tham số) Định hướng: Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d), ta có: x3  3mx  3m2 x  m3 3x  3m  x  3mx  3(m  1) x  m3  3m 0 Đối với bài này cho m nhận số giá trị cụ thể thì ta không tìm nghiệm chung x0 các phương trình tương ứng ví dụ trên Khi đó ta thử nhẩm nghiệm PT hoành độ giao điểm theo m, Chẳng hạn ví dụ ta thấy x = m là nghiệm phương trình Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) là: x  3mx  3m x  m3 3 x  3m 2 (1)  x  3mx  3( m  1) x  m  3m 0  ( x  m)( x  2mx  m2  3) 0  x m  2  x  2mx  m  0 (2) 2 Đặt g ( x)  x  2mx  m  Ta có  3  0, m Và g(m)  0, m Suy pt(2) luôn có nghiệm phân biệt khác m, đó pt(1) luôn có ba nghiệm phân biệt Vậy (C) luôn cắt (d) ba điểm phân biệt (đpcm) VÍ DỤ 5: Tìm m để đồ thị hàm số y x  2mx   2m  1 x  m   m  trục hoành điểm phân biệt có hoành dương Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) là: x  2mx   2m  1 x  m   m  0 (1)  ( x  m)( x  mx  m  1) 0  x m  2  x  mx  m  0 (2) cắt 2 Đặt g ( x)  x  mx  m  Theo yêu cầu bài toán thì m  và PT(2) phải có hai nghiệm phân biệt âm, khác m m    g( x )    P   S    g(m) 0  m   4  3m   m    m   m  0 VÍ DỤ 6: Tìm m để đồ thị hàm số m   2  m  m1  3  m    m  y x   2m  1 x  x cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Giải: Đồ thị hàm số y x   2m  1 x  x cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng  phương trình x   2m  1 x  x 0  1 có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình  x 0 x   2m  1 x  x 0  x  x   2m  1 x  9 0    x   2m  1 x  0  1'  c x1.x2    a Phương trình (1’) có nên luôn có nghiệm trái dấu Do đó hoành độ giao điểm đồ thị với Ox là x1  x0 0  x2 Để x1 , x0 , x2 lập thành cấp số cộng  x1  x2 2 x0  2m  0  m  VÍ DỤ 7: Tìm m để đồ thị hàm số y  f ( x) x3  3mx  2m(m  4) x  9m  m  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Định hướng: Đối với bài toán này xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìn các nghiệm phương trình, vì ta có thể sử dụng tính chất cấp số cộng để tìm m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán Chú ý: Nếu đa thức x1; x2 ; x3 thì y  f ( x) ax  bx  cx  d  a 0  có các nghiệm là y  f ( x) a  x  x1   x  x2   x  x3  Giải: Giả sử (Cm ) cắt Ox ba điểm phân biệt x1; x2 ; x3 đó: x3  3mx  2m(m  4) x  9m  m  x  x1   x  x2   x  x3   x3  3mx  2m(m  4) x  9m2  m x3  ( x1  x2  x3 ) x  ( x1x2  x2 x3  x3 x1 ) x  x1x2 x3 Từ đó ta có: x1  x2  x3 3m Vì x1; x2 ; x3 tạo thành cấp số cộng nên x1  x3 2 x2 đó: x1  x2  x3  x1  x3   x2 3 x2 3m  x2 m Vì x2 là hoành độ giao điểm nên f ( x2 ) 0  m  m 0  m 0; m 1 Với m = thì f ( x ) x 0  x 0 (loại) Với m = thì f ( x ) x  x  x  0   x  1 x  x  0   x  0   x  x      x 1   x   x 4  Ta thấy các số: -2 ; ; tạo tành cấp số cộng với công sai Vậy m = thoả mãn yêu cầu bài toán VÍ DỤ 8: Tìm m để đồ thị hàm số y  x3    m  x    5m  x  m  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Giải: Đồ thị hàm số y  x    m  x    5m  x  m  C m  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân  phương trình x    m  x    5m  x  6m =0 (1) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Phương trình x    m  x    5m  x  6m 0  ( x  2)  x    m  x  3m  0  x   x  0    x  x   m x  m  1'      x m   Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì m   3;  2 Trường hợp : m     Để dãy số m;  3;  lập thành cấp số nhân thì m.( 2)   3  m  / Trường hợp :   m   Để dãy số  3; m;  lập thành cấp số nhân thì  3.( 2) m2  m2 6  m  Trường hợp :     m Để dãy số  3;  2; m lập thành cấp số nhân thì  3.m     m  / Vậy với   thoả mãn yêu cầu bài toán m   / 2;  6;  / VÍ DỤ 9: Tìm m để đồ thị hàm số y  f ( x) x   3m  1 x   5m   x   Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Định hướng: Đối với bài toán này xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìm các nghiệm phương trình, vì ta có thể sử dụng tính chất cấp số nhân ,tìm m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán Giải: Giả sử (Cm ) cắt Ox ba điểm phân biệt x1; x2 ; x3 đó: x3   3m  1 x   5m   x   x  x1   x  x2   x  x3   x3   3m  1 x   5m   x  x3  ( x1  x2  x3 ) x  ( x1x2  x2 x3  x3 x1 ) x  x1x2 x3 Từ đó ta có: x1.x2 x3 8 x x  x2  Vì x1; x2 ; x3 tạo thành cấp số nhân nên đó: x1.x2 x3  x2  8  x2 2 Vì x2 là hoành độ giao điểm nên f ( x2 )  f (2) 0  2(2  m) 0  m 2 Với m = thì f ( x ) x  x  14 x  0   x  1 x  x  0   x  0    x  x  0   x 1   x 2  x 4  Ta thấy các số: ; ; tạo tành cấp số nhân với công bội Vậy m = thoả mãn yêu cầu bài toán Phương pháp Sử dụng đồ thị hàm số bậc và vị trí cực trị Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp toạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải bài toán C : y ax3  bx  cx  d (a 0) Giao điểm đồ thị hàm số bậc ba   và d : y a ' x  b ' đường thẳng   đưa bài toán xét giao điểm đồ thị C ' : y ax  bx  c  a ' x  d  b ' (a 0)   hàm số   với trục hoành Hai đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt k điểm và đồ thị hàm số (C’) cắt trục hoành k điểm Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số : y  f  x  ax3  bx  cx  d  a 0  a>0 y’ = có hai a<0 y nghiệm phân biệt I 0yIx x   b  4ac  y’ = có nghiệm kép   b  4ac 0 y’ = vô nghiệm y   b  4ac  y0Ix I x 1/ Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm  f không có cực trị   f có cực trị     yCÑ yCT  2/ Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm   y ' 0      y '  (h.1b)   y y    CÑ CT (h.1a)  f có cực trị    yCÑ yCT 0 (h.2)  0    y'  yCÑ yCT 0 3/ Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm  f có cực trị    yCÑ yCT  (h.3)  0    y'  yCÑ yCT  y (C) yC Ñ y y (C ) A x0 O (h.1a ) x A x0 o (C ) yC A yC Ñ x0 x1 x2 (h.1b x T o ) (yCT = f(x0) = 0) 4/ Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương  f ( x ) có cực trị x1  0; x2    yCÑ yCT     y(0)  (h4) 5/ Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm   f ( x ) có cực trị x1  0; x2    yCÑ yCT   y(0)  (h5) (h.2) B x1 x'0 x H.4 H.5 VÍ DỤ 10: Tìm m để đồ thị hàm số y  f ( x) x  3x   m cắt trục hoành Ox : y = a/ Tại điểm phân biệt b/ Tại điểm c/ Tại điểm Bài giải Nhận xét: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị và trục hoành là x3  x   m 0  4 Ta không nhẩm nghiệm phương trình (4) Giải: y  f ( x)  x  3x   m Ta có y ' 3x   x 1 y ' 0  x     x  Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu a/ Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt , ta có ycd yct   y  1 y   1     m  1   m     m  1  m  3     m  b/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm,ta có  m  ycd yct 0  y  1 y   1 0    m  1   m  0    m 3 c/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm, ta có m  ycd yct   y  1 y   1     m  1   m     m  1  m      m 3 Vì hàm số luôn có cực đại cực tiểu nên không xẩy trường hợp hàm số luôn đồmg biến Nhận xét: Ví dụ 10 ta có thể sử dụng phương pháp 3,củng kha đơn giản VÍ DỤ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y  f ( x ) x  x  18mx  2m cắt trục hoành điểm phân biệt Nhận xét: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị và trục hoành là x  x  18mx  2m 0  * Nhận thấy không nhẩm nghiệm phương trình (*) này Giải: y  f ( x ) x  x  18mx  2m y 3 x  x  18m, y 1  54m Đồ thị hàm số y  f  x  x  x  18mx  2m cắt trục hoành điểm phân biệt   f có cực trị  y y   CÑ CT Ta có + Hàm số có cực trị  y 0 có nghiệm phân biệt  y   m  2  x 1  y  y( x)      12m   x 9  9  + Ta có Giả sử x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị thì x1; x2 là nghiệm phương trình y’= hay y '( x1 ) 0; y '( x1 ) 0 Suy 54  y1  12m    y2  12m   2  x1 9 2  x2 9 2  y1 y1    12m   x1 x2   9  Do đó 2   12m   6m   9  m0 Vậy m < thoả mãn yêu cầu bài toán Nhận xét : Trong ví dụ này tính ycd yct theo ví dụ thì quá trình tính toán trở nên phức tạp, vì ta sử dụng tính chất điểm cục trị «Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại cực tiểu x0 thì f '( x0 ) 0 » chú ý 3, trang 14 sgk giải tíc12, chương trình chuẩn xuất năm 2008 Nhà xuất BGD f x  x3  3mx  3m x  Cm VÍ DỤ 12: Tìm m để đồ thị hai hàm số y=   ( ) và đường thẳng ( dm ) y 3x  m cắt điểm phân biệt có hoành độ dương Bài giải : Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x3  3mx  3m2 x  3x  m  x  3mx    m  x   m 0 Đặt y g ( x)  x3  3mx    m2  x   m2 y '  g '( x) 3x  6mx    m   1 có đồ thị ( Cm ’) ; Đồ thị ( Cm ) cắt ( dm ) ba điểm phân biệt có hoành độ dương đồ thị ( Cm ’) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương   y g( x ) có cực trị x1  0; x2    yCÑ yCT   y(0)  * Vì  'g ( x )   3m     m  9  0, m >0 nên hàm số luôn có hai cực trị x1; x2 với m  x m  y ' 0  x  6mx    m2  0    x2 m  * Gọi y1; y2 là các giá trị cực trị thì y1  m  3  m  1 y2  m  2m  1  m  1 Khi đó, yCÑ yCT m =  3  m2  1  m  2m  1 Do đó: yCÑ yCT   m  m  m  2m        m    3;  1    2;1   3;1   * y(0)    m   m    ;  1   1;   Vậy    m   3;   3;1   thì đồ thị hai hàm số cắt điểm phân biệt có hoành độ dương Chú ý: f  x 0 * Hàm số f không có cực trị  Phương trình   vô nghiệm có nghiệm kép  f  x  b  4ac 0  * Hàm số f có cực trị  Phương trình f  x  0 có nghiệm phân biệt  f  x  b  3ac  Phương pháp Phương pháp hàm số Nếu phương trình hoành độ giao điểm f  x  g  m  * f  x đó: là hàm số có đồ thị (C) F  x, m  0 biến đổi dạng g m *   là hàm (phụ thuộc tham số m) có đồ thị là đường thẳng d:  0; g  m   song song trục hoành và qua Khi đó ta có thể giải bài toán sau: Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số Bước 2: Dựa vào BBT  Số giao điểm (C) và d VÍ DỤ 13: Biện luận theo tham số m số giao điểm ( Cm ): y  x3  x  m và trục hoành Ox Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số và trục hoành x  x  m 0 (*) Nhận thấy ta không thể nhẩm nghiệm phương trình này Do đó ta phải dùng phương pháp phương pháp3 Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy : x3 x  x  m 0    x m Phương trình Vì hàm số g  x   (**) x x (C) không phụ thuộc vào tham số nên hình dáng đồ thị hai hàm số hai vế phương trình (**) ta có thể biết được, từ đó ta suy số giao điểm chúng Ta có thể giải bài toán sau: Giải Phương trình hoành độ giao điểm là: x3 x  x  m 0    x m 3 Xét hàm số g  x   TXD: D = R x x (C)  x 1 f  x   x  1, f  x  0    x  Ta có Bảng biến thiên: x -1  - f  x  +   Cm  - f  x Số giao điểm (  ) với trục hoành là số giao điểm đường cong (C) với đường thẳng y = m Từ bảng biến thiên ta có: Với  m   m    , (C) cắt trục hoành điểm Với   m 3   m   , (C) cắt trục hoành điểm Với  2 m 3 , (C) cắt trục hoành điểm VÍ DỤ 14: Tìm m để đồ thị hàm số  C  : y  f ( x) x3  x  mx  cắt m trục hoành Ox ba điểm phân biệt Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số và trục hoành x  x  mx  0 (1) Nhận thấy ta không thể nhẩm nghiệm phương trình này Do đó Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy : x  x  mx  0   m  Phương trình x3  x2  x (2) x3  x  y g ( x )  x Vì hàm số hoàn toàn lập bảng biến thiên Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành Ta có thể giải bài toán sau: Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: x  x  mx  0   m  y g ( x )  Xét hàm số TXD : D = x3  x2  x x3  x   Cm '  x D R \  0 x3  x  g '( x)  x2 g '( x) 0  x3  x  0   x  1  x  3x  3 0  x  0   x 1 x  x   ( VN )  Bảng biến thiên x - y’ y + - -  C  cắt trục hoành m phải cắt  C ' m + + + - Để ba điểm phân biệt thì đường thẳng y = -m ba điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m >  m < - VÍ DỤ 15: Tìm m để đồ thị hàm số  C  : y  f ( x ) x  3x   m   x  m cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt thoả mãn: - < x1 < x2 < x3 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: x  x   m   x  0   m  Xét hàm số TXD : D = y g ( x)  x  3x  x  x x3  x  x   Cm '  x D R \  0 x  3x  g '( x)  x2 g '( x) 0  x3  3x  0   x    x  x   0  x  0   x 2 x  x   ( VN )  Bảng biến thiên x - y’ y + -2 - - + + + 10 - Để  C  cắt trục hoành m ba điểm phân biệt thoả mãn - < x1 < x2 < x3 thì đường thẳng y = -m phải cắt  C ' m ba điểm phân biệt thoả mãn - < x1 < x < x Dựa vào bảng biến thiên ta có: < - m < 10  - 10 < m < -2 VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số  C  : y  f ( x) x3  x2  mx  cắt m trục hoành Ox ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 <-3 < x2 < x3 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: x  x  mx  0   m  Xét hàm số TXD : D = y g ( x )  x3  2x2  x x3  x   Cm '  x D R \  0 x3  x  g '( x)  x2 g '( x) 0  x3  x  0   x  1  x  x   0  x  0   x  x  x   ( VN )  Bảng biến thiên x - -3 + y’ y + -1 - 0 + + + + 49/3 Để  C  cắt trục hoành m - ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3 thì đường thẳng y = -m phải cắt  C ' m ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3 Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 49/3  m < - 49/3 C  y  f ( x)  m  1 x  3mx  3mx  m   VÍ DỤ 17: Tìm m để đồ thị hàm số : m cắt trục hoành Ox điểm Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là:  m  1 x  3mx  3mx  m  0  m  x3  ( x  1)3 x3  y g ( x )  ( x  1)3  Cm '  Xét hàm số TXD : D = g '( x)  D R \  1 3(4  x ) ( x  1) g '( x) 0  3(4  x ) 0   x 0  ( x  1)  x 2  x   Bảng biến thiên x - y’ y -2 - 11 + + + - + 1 4/9 - Để  C  cắt trục hoành m  C ' m điểm thì đường thẳng y = m phải cắt điểm  m4  m  4/9 Dựa vào bảng biến thiên ta có:  Bài tập: Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số y mx  3mx    2m  x  cắt trục hoành Ox a/ Tại điểm phân biệt b/ Tại hai điểm c/ Tại điểm Bài Tìm m để đồ thị (C): y x  3x  mx  2m hai hàm số y = -x + cắt a/ điểm phân biệt b/ điểm c/ điểm Bài Tìm m để đồ thị hàm số y x  mx  (2m  1) x  m  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Bài Tìm m để đồ thị hàm số  Cm  : y  f ( x) x3  3mx2   m2  1 x  m3 cắt trục hoành điểm phân biệt , đó có đúng hai điểm có hoành độ âm Bài Xác định m để (Cm) cắt trục hòanh điểm phân biệt y = (x - 1)(x2 + mx + m) 2 Bài 6: Cho hsố y x  3mx  3(m  1) x  3m có đồ thị là (Cm) ( m là tham số) Xác định m để (Cm) cắt trục hòanh điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số: y = x3 - 3x + Gọi d là đt qua A(3; 2) và có hệ số góc là m Tìm m để dt đó cắt (C ) điểm phân biệt Bài 8: Cho h/s: y x  3x  (m  2) x  2m (Cm ) Tìm m để (Cm) a) Cắt trục hoành điểm p/b b) Cắt trục hoành đ p/b có hoành độ âm c) Cắt trục hoành điểm p/b có đúng hoành độ dương d) Cắt trục hoành điểm p/b có đúng hoành độ âm e) Có hai điềm chung với Ox f) cắt Ox điểm 3 Bài 8: Cho h/s: y  x  x  (m  2) x   m (Cm ) Tìm m để a) (Cm) cắt trục hoành điểm b) (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt Chứng tỏ ba điểm này đề có hoành độ âm (Cm) c) Tiếp xúc với ox Bài 9: Cho hàm số y  x  mx  xác định m cho đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y =5 Xác định tọa độ tiếp điểm? C  Bài 10 Tìm m để đồ thị hàm số m : y = f(x) = x3 - 3x2 - 24x + m cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt thoả mãn: - < x1 < x2 < x3 C  : y Bài 11 Tìm m để đồ thị hàm số m  f  x   x3  2x2  mx  cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 < - < x2 < x3 Bài 12:Tìm m để đồ thị hàm số y  f  x   x  7x  mx   Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Bài 13:Cho h/s: y  x  (2m  3) x  x Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng Tìm cấp số đó IV KẾT QUẢ Trong quá trình thực đề tài, tôi nhận thấy học sinh vận dụng hướng suy nghĩ này, các em nhanh chóng giải bài toán giao điểm đồ thị hàm số bậc ba nói riêng và bài toán giao điểm hai đồ thị nói chung Giúp các em thấy liên hệ chặt chẽ số giao điểm hai đồ thị và số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm chúng từ đó mà có thể tự suy nghĩ giải nhiều dạng bài tập khác Bài toán giao điểm hai đồ thị là bài toán quan trọng chương trình toán THPT, nó thường xuyên có mặt các đề thi tốt nghiệp đề thi đại học, cao đẳng Vì với đề tài này, hy vọng nó giúp ích nhiều cho chất lượng các em các đợt kiểm tra cuối cấp V BÀI HỌC KINH NGHIÊM Để giải các bài toán cụ thể cần rèn luyện cho mình khả nhận xét bài trước bắt đầu làm bài, từ đó lựa chọn các phương pháp phù hợp để có kết bài toán cách nhẹ nhàng hơn, phát huy tính tích cực sáng tạo học tập Từ đó giúp các em hiểu bài cách sâu sắc, điều đó có nghĩa là các em nhớ bài lâu hơn! VI KẾT LUẬN Đề xuất: Tổ chuyên môn triển khai chuyên đề toàn tổ để phát huy tình hiệu chuyên đề củng rút kinh nghiệm đề khắc phục phần còn hạn chế chuyên đề này Học sinh có thể sử dụng chuyên đề này để rèn luyện cho minh kĩ giải số bài toán giao điểm đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng và các bài toán liên quan Trên đây là vài kinh nghiệm tôi góp nhặt và tìm tòi thêm Trong quá trình trình bày khó tránh khỏi số sai sót Kính mong bạn đọc, đồng nghiệp đóng góp ý kiến nhiệt tình, để chuyên đề tôi hoàn thiện và hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn! NGƯỜI THỰC HIỆN Phan Thị Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12- Xuất năm 2008, NXB Giáo dục Các bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán- Tập Tác giả Trần phương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội Phương pháp giải toán giải tích 12 Tác giả Trần Văn Kỷ – NXd Đại học quốc gia TPHCM