Tính theo a thể tích của khối chóp S.HACD và khoảng cách từ 0 đường thẳng SC tới đường thẳng BD biết mặt phẳng SAB hợp mặt phẳng đáy góc 60.. PHẦN TỰ CHỌN 3,0 điểm: Thí sinh chỉ chọn làm[r]
(1)TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 LẦN Môn thi: TOÁN, Khối A, A1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x (C ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị Tìm tham số m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị ( C ) điểm phân biệt A(1;0) , B, C cho diện tích tam giác HBC 1(đvđt), với H (1;1) 2cos Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x x x x (sin cos ) cos 2sin( x ) 2 2 y x 5 y 12 x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 y (10 x 17 x 3) 3 15 x (x,y ) sin x cos x I dx tan x cot x 12 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên đáy trùng trọng tâm H tam giác ABC Tính theo a thể tích khối chóp S.HACD và khoảng cách từ đường thẳng SC tới đường thẳng BD biết mặt phẳng (SAB) hợp mặt phẳng đáy góc 60 Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương Chứng minh x3 y3 z3 ( ) 2 x y z xy yz yz xz xz xy ( x 1)( y 1)( z 1) x y z 1 ; Dấu nào xảy ra? PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có A(1;0) đường chéo BD có phương trình x y 0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại hình thoi biết khoảng cách từ tâm hình thoi tới BC Câu 8.a (1,0 điểm) 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) ( x 2) ( y 1) z 3 cho M cách H(1;0;1) và mặt phẳng (P) x y z 0 đoạn có độ dài x x 1 log 0,5 log 0 x Câu 9.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình B Theo chương trình nâng cao: Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác từ đỉnh A x 0 , phương trình đường cao từ đỉnh C x y 0 Tìm toạ độ A, B, C biết đỉnh B thuộc đường tròn có 2 phương trình x ( y 2) 25 và đường thẳng AC qua M ( 1;1) Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; 0) B(0; -2; 0) C(1; 1; 0) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) x y 0 cho MA2 2MB MC nhỏ Câu 9.b (1 điểm) C0 C1 C2 C 2013 C 2014 S 2014 2014 2014 2014 2014 k 2014 2015 với Cn là tổ hợp chập k n phần tử Tính tổng (2) ……………….Hết…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh………………………………………….; Số báo danh………… (3) TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu ý Nội dung I(2đ) 1(1đ Khảo sát hàm số (C) ) Điểm a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: lim y ; lim y x x 0,25 đồ thị hs không có tiệm cận x 0 y ' x x, y ' 0 x 2 •Chiều biến thiên: BBT x - y’ - + + 0,25 - y + - -2 Hàm số NB trên ( ; 0) và (2 ; +), ĐB trên (0 ; 2) Hàm số CĐ(2;2) CT(0;2) c) Đồ thị: Tâm đối xứng:I(1 ; 0) 0,25 0,25 2(1đ ) Tìm m .PTHĐ x 3x mx m ( x 1)( x x 2) m( x 1) 0 0,25 (4) x 1 F ( x) x x m 0 0,25 m 3 F (1) Điều kiện Giả sử B( x ; mx m) C ( x ; mx m) BC (1 m ) (x x ) 4x x 1 2 d ( H , BC ) II(2đ) 1(1đ ) 2 4(3 m)(1 m2 ) 1 S d ( H , BC ).BC 4(3 m)(1 m ) 1 1 m , 2 m 2(n) KL 0,5 Giải phương trình x x x sin x.cos cos3 cos (sin x cos x) 2 Phương trình x x x sin x cos x sin x cos cos (2 cos 1) 0 2 x (sin x cos x)(1 cos ) 0 x cos x=2 k 4 TH1 (k Z ) TH2 2(1đ ) sin x cos x 0 tan x x k 2 ( k Z ) 0,5 0,25 0,25 Vậy phương trình có các nghiệm trên Giải hệ pt… Điều kiện x 4 Phương trình (2) y (5 x 1)(2 x 3) 3(1 x) x (l ) 4 xy 6 y y x x 5 y 4 Ta hệ pt 4 xy 6 y Chia pt thứ cho 0,25 y và pt thứ hai cho y (do y=0 loại) 0,25 (5) 3 x x 5 y y x 5 y4 Ta a x 1; b y với a 0, b a ab b 5 5 b a a b b thay vào (2) Ta có hệ pt ta 5 b ( ) b 5 1 b b 2b3 3b 20b 20 0 • Đặt 0,25 (b 1)(b3 3b 20) 0 (b 1)(b 2)(b 5b 10) 0 • Nên 1(1đ ) 43 ; ( ; ) 4 x; y Kết luận III(1đ ) x y 4 a 2 b 1 x a 1 b 2 y 0,25 Tính tích phân 12 12 cos x.sin x.cos x sin 2 x.cos x I dx dx sin 2 x sin x cos4 x 4 1 4 • • Đặt t sin x dt 2 cos xdx Đổi cận 0,25 x 12 t1 0,25 I Khi đó • t2 dt 4 t 2 1 2 dt 1 t I ( dt ) ln t t 1 21 14 I ln 9 • KL 1 0,5 (6) (1đ) Tính thể tích và khoảng cách IV S A N D I x H B K C • Kẻ HI AB , vì SH AB nên AB ( SHI ) Gt góc SIH= 60 a 2.a a BH IH IH BH AD BD a • Do IH // AD nên BD AD a SH IH tan 600 • • dt ( AHCD) dt ( ABCD ) (dt ( AHB ) dt ( BHC )) = a2 ( 0,25 0,25 a2 a2 2a ) 6 1 a 2a 2a SH dt ( AHCD ) 3 (đvtt) •V • Kẻ Cx//BD suy BD//(SC,Cx) • d ( SC , BD) d ( BD, ( SC , Cx)) d ( H , ( SC , Cx)) • Kẻ HK Cx K 0,25 • Vì SH Cx, HK Cx nên Cx (SHK) hay (SHK) (SC,Cx) • Kẻ HN SK suy HN (SC,Cx) 0,25 (7) a a a SH HK a2 a2 • d(SC,BD)=HN= SH HK V (1đ) Chứng minh rằng…… • Đặt P x3 y3 z3 ( ) x y z y (2 z x ) z (2 x y ) x(2 y z ) 0,25 x3 y 2z x x y (2 z x) y3 z 2x y y z (2 x y ) z3 x 2y z z x (2 y z ) • Ta có x3 y3 z3 xyz • Cộng vế ta xy yz yz xz xz xy • Hay P 1 Dấu xảy x y z 1 (*) Q • Đặt 2 x y z 1 ( x 1)( y 1)( z 1) 1 x y z ( x y )2 ( z 1) ( x y z 1) 2 • Ta có a b (a b)2 Vì dấu = a=b x y z 3 ( x 1)( y 1)( z 1) ( ) • dấu = x=y=z 54 Q x y z ( x y z 3)3 , đặt t x y z • đó 54 Q f (t ) t (t 2)3 xét hsố f(t) trên (1; ) Ta t 1(l ) 2 162 f '(t ) 0 f (t ) t 4( n) Lập bbt ta t (t 2) =f(4) Q dấu xảy x=y=z=1 Vậy • Từ (*), (**) suy đpcm 0,25 (**) 0,5 (8) PHẦN TỰ CHỌN: Câu VIa(2đ) ý 1(1đ) Tìm B, C, D… Nội dung Điểm 0,25 • pt AC qua A, vuông góc với BD x+y-1=0 • I là giao AC, BD nên I(0;1) • Vì I là trung điểm AC nên C(-1;2), kẻ IH vuông góc BC nên IH= • AC= 2 IC , tam giác ICB vuông I nên 1 ID 2 2 IH ID IH 0,25 • Nên BD= 0,25 x ( y 1)2 8 • Toạ độ B, D thoả mãn x y 0 0,25 x 2, y 3 • Giải x 2, y B1 (2;3), D1 ( 2; 1), C1 ( 1; 2) B2 ( 2; 1), D2 (2;3), C2 ( 1; 2) • KL 2(1đ) Viết phương trình mp(P)………… • Gọi M(a;b;c) 2 • Do M thuộc mặt cầu (S) nên (a 2) (b 1) c 3 (1) • Do MH=2 nên (a 1) b (c 1) 2 2a 2b c 2 1 • Vì d(M;(P))=2 nên • Từ (1), (2) ta 2a+2b-2c=4 Từ (3) TH1 2a+2b+c=7 Do đó c=1 thay vào (2), (4) 0,5 (2) 2 (3) (4) (5) 0,25 a 1, b 2 (a 1)2 b 4 a 3, b 0 a b 3 • Từ (3) TH2 2a+2b+c=-5 kết hợp (4) ta có c= -3 2 Thay vào (2) (a 1) b 2(l ) • Kết luận M(1;2;1) M(3;0;1), 0,25 (9) VII.a (1 đ) Giải bất phương trình x x 1 log x 1 log 3 log x x 0 log x x x 1 x 3 x x 1 x 0,5 •BPT x2 x x1 x 0 x 1 x 0 x x 1 • •Kết luận T 3;1 0,25 0,25 VI.b(2đ) 1(1đ) Tìm toạ độ…………………… • Gọi AD x-1=0, CE x-2y-6=0 Kẻ HM vuông góc AD K, H thuộc AB Pt HM y=1 • K là giao điểm HM và AD nên K(1;1), từ đó H(3;1) • Pt AB qua H vuông góc CE là 2x+y-7=0 • A là giao điểm AB, AD nên A(1;5) 0,5 • Pt AC qua A, M 2x-y+3=0 Nên C là giao CE và AC nên C(-4;-5) • B thoả mãn 2 x y 0 2 x ( y 2) 25 0,5 giải B1 (0;7), B2 (4; 1) • Vì AD là phân giác nên loại B1 (0;7) 2(1đ) Tìm toạ độ…… IA IB IC 0 • Gọi I(a;b;c) thoả mãn (10) 0,25 a 1 a 2(0 a) (1 a) 0 3 0 b 2( b) b 0 b 0 c 2(0 c) (0 c) 0 c 0 • Ta 3 ; ;0 Nên I( ) cố định MA2 2MB MC ( IA IM ) 2( IB IM ) ( IC IM ) IA2 IB IC IM ( IA IB IC ) 4MI IA2 IB IC MI 0,25 • Do I, A, B, C cố định nên tổng nhỏ và chi MI nhỏ Hay M là hình chiếu I lên (P) x 1.k y 2k z 0.k x y 0 • Gọi M(x;y;z) ta có IM k n ( P ) 13 x 10 17 y 20 z 0 0,5 13 17 M ( ; ;0) 10 20 • KL VII.b 1đ Tính tổng 2014! C 2015! k !(2014 k )! k 1 C2015 k 1 k 1 2015 (k 1)! 2015 (k 1) ! 2015 k 2014 • 0,5 k 0 2014 • 1 2014 2015 C2015 C2015 C2015 C2015 C2015 2015 (1 1) 2015 C2015 2015 S 22015 • Kết lận: S= 2015 ……………………Hết……………… 0,5 (11) (12)