ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT BẮC TRA MY NĂM 2009 Môn: Toán - Khối A. Thời gian làm bài: 180 phút A. Phần dành chung cho tất cả các thí sinh: Câu 1. Cho hàm số y = x 3 (m + 1)x + 5 m 2 . 1) Khảo sát hàm số khi m = 2; 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng. Câu 2. 1) Giải phương trình: tan 2 cos cos 4 x x x 2) Giải hệ phương trình: x y 1 y x 1 25 x y 11 Câu 3. 1) Tính tích phân: I = 2 0 2 x dx 1 2x . 2) Cho x, y, z là các số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + yz + zx 27xyz. Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 3 ' 3 a AA và 0 ' ' 60 BAD BAA DAA . Tính thể tích hình hộp theo a. B. Phần dành riêng cho từng ban: Câu 5a. (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn) 1) Giải phương trình: 2 2 2 3 1 1 2 3 log log ( 1 ) log log ( 1 ) x x x x . 2) Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) và mặt phẳng () có phương trình 2x 2y z + 1 = 0. a) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với (); b) Gọi d là giao tuyến của () và (). Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B. Câu 5b. (Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao) 1) Giải phương trình: 2 3 2 2 log (4 1) log (2 6) x x x 2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB là hình vuông và A(1; 0; 0), B(0; 1; 0). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của O trên SA, SB, SC. a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A’, B’, C’; b) Chứng minh các điểm O, A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình mặt cầu đó. Hết A. Phần dành chung cho tất cả các thí sinh: Câu ý N ội dung Đi ểm 1(2đ) 1(1đ) Kh ảo sát h àm s ố khi m = 2 Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x 3 3x + 1 1) TXĐ: R 2) SBT •Giới hạn: lim ; lim x x y y 0,25 •BBT: Có y’ = 3x 2 3 = 0 x = 1 x 1 1 + y’ + 0 0 + y 3 1 + Hàm số ĐB trên ( ; 1) và (1 ; +), nghịch biến trên (1 ; 1). 0,25 Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CĐ = y( 1) = 3; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = y(1) = 1. 0,25 3) Đ ồ thị: Giao với Oy: (0 ; 1) Đi qua: (2 ; 3), (2 ; 1) Tâm đối xứng: (0 ; 1) 0,25 2(1đ) Tìm m Có y’ = 3x 2 (m + 1). Hàm số có CĐ, CT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 3(m + 1) > 0 m > 1 (*) 0,25 y” = 6x = 0 x = 0 Đồ thị có tâm đối xứng là U(0 ; 5 m 2 ) 0,25 CĐ, CT của đồ thị và U thẳng hàng. 0,25 Từ giả thiết suy ra I trùng U 5 m 2 = 4 m = 1 (do (*)) 0,25 2(2đ) 1(1đ) Gi ải ph ương tr ình ĐK: x ≠ l (l ) 0,25 PT tanx = cosx(sinx + cosx) sinx = cos 2 x(sinx + cosx) 0,25 sinx(sin 2 x + cos 2 x) = cos 2 x(sinx + cosx) 0,25 sin 3 x = cos 3 x sinx = cosx 4 x k (k ) (Thoả mãn) 0,25 2(1đ) Gi ải hệ PT Đặt 1 0; 1 0 x u y v Ta có hệ mới: 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 25 1 1 11 v u u v u v 2 ( 1)( ) 25 ( ) 2 13 uv u v u v uv 0,25 Đ ặt u + v = S, uv = P, ta có: 2 - 2 - 1 1 2 x 1 3 - 1 - 2 y O 2 ( 1) 25 2 13 S P S P 2 13 1 25 2 S S S 3 15S 50 = 0 0,25 (S 5)(S 2 + 5S + 10) = 0 S = 5 P = 6 0,25 T ừ đó t ìm đư ợc: u = 2, v = 3 hoặc u = 3, v = 2 Suy ra nghiệm hệ đã cho là: 3 8 x y hoặc 8 3 x y 0,25 3 (2đ) 1(1đ) Tính tích phân Đặt 1 2 x u dx = (u 1)du; u(0) = 1, u(2) = 3 0,25 I = 3 1 1 2 2 ( 1) u u du u = 3 1 1 ( 1)( 1) 2 u u du u 0,25 = 3 1 1 1 2 u du u = 3 2 1 1 1 ln (4 ln3) 2 2 2 u u 0,5 2(1đ) Tìm giá nh ỏ nhất v à giá tr ị lớn nhất +) Với x, y, z > 0 ta có 1 1 1 ( ) 9 x y z x y z 1 1 1 9 x y z xy + yz + zx ≥ 9xyz. BĐT này cũng đúng khi xyz = 0 Do đó: x, y, z ≥ 0, thì A ≥ 18xyz. 0,25 Mặt khác, vì x + y + z = 1 nên 1 27 xyz Từ đó suy ra: 18 2 27 3 A . Hơn nữa x = y = z = 1/3 thì A = 2/3. Vậy min A = 2/3. 0,25 +) Ta có: x 2 ≥ x 2 - (y - z) 2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1) Tương tự : y 2 ≥ (1 2z)(1 2x) (2) ; z 2 ≥ (1 2x)(1 2y) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra xyz ≤ (1 2x)(1 2y)(1 2z) xyz ≥ 1 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) 8 xyz 4(xy + yz + zx) ≤ 1 + 9xyz 4 91 xyz zxyzxy 4 1 4 99 4 1 xyz A 0,25 M ặt khác x = 0, y = z = ½ thì A = ¼. V ậy max A = ¼. 0,25 4(1đ) Tính th ể tích h ình h ộp H ạ đ ư ờng cao A’H. Gọi E, F lần l ư ợt l à hình chiếu của H trên AB, AD. Theo định lý 3 đường vuông góc suy ra A’E AB, A’F AD. vuông A’AE bằng vuông A’AF (A’A chung và góc A’AE bằng góc A’AF) HE = HF H thuộc đường phân giác góc BAD H AC. 0,25 Từ A’AE 3 6 a AE , ' 2 a A E F E H C' C A B B' A' D' Từ AHE HE = AE.tan30 0 = 6 a 2 2 2 ' 4 36 3 a a a A H 0,25 Diện tích ABCD là 2 3 2 a . Suy ra thể tích hộp: 3 6 6 a V . 0,25 B. Phần dành riêng cho từng ban: Câu ý N ội dung Đi ểm 5a(3đ) 1(1đ) Gi ải PT Đặt 2 3 log ( 1 ) x x t 2 1 3 log ( 1 ) x x t 0,25 Ta có PT: 2 1 2 log log t t 2 2 log log t t 2 log 0 t t = 1 0,25 Vậy: 2 2 3 log ( 1 ) 1 1 3 x x x x 0,25 2 1 3 x x 2 2 3 0 1 (3 ) x x x 4 3 x . 0,25 2(2đ) a) Viết phương trình mp( ) mp() có 1 vectơ pháp tuyến (2; 2; 1) n ; (4;0; 2) AB 0,25 mp() có 1 vectơ pháp tuyến là (4;0;8) n n AB phương trình mp(): x + 2z 3 = 0 0,75 b) Vi ết ph ương tr ình m ặt cầu Gọi ( ) là mp trung trực của AB thì ( )đi qua trung điểm M(1 ; 2 ; 1) của AB và có 1 vectơ pháp tuyến (4;0; 2) AB PT mp(): 2x z 1 = 0. 0,25 Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao điểm của 3 mặt phẳng ( ), ( ), ( ) toạ độ I là nghiệm của hệ: 2 2 1 0 2 3 0 2 1 0 x y z x z x z I(1 ; 1 ; 1). 0,5 Bán kính mặt cầu 6 R IA PT mặt cầu: (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 = 6 0,25 5b(3đ) 1(1đ) Gi ải ph ương tr ình PT 2 3 2 2 log (4 1) log 2 (2 6) x x x 2 3 4 1 2 (2 6) x x x 0,25 Đặt 2 x = t > 0, ta có PT: t 2 + 1 = t(8t 2 6) = 0 8t 3 t 2 6t 1 = 0 (t 1)(8t 2 + 7t + 1) = 0 t = 1 0,5 Vậy 2 x = 1 x = 0 0,25 2(2đ) a) Vi ết phương tr ình m ặt phẳng Có AC OA, AC SO AC (SOA) AC OA’, lại do OA’ SA nên OA’ (SAC) OA’ SC. Tương tự OB’ SC. Vậy OA’, OB’, OC’ cùng vuông góc với SC chúng thuộc mặt phẳng qua O và vuông góc với SC A’, B’, C’ thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với SC. 0,5 Vì OABC là hình vuông nên C(1 ; 1; 0) (1;1; 2) SC . PT mặt phẳng cần tìm: x + y 2z = 0 0,5 b) Ch ứng minh Viết PT m ặt cầu Vì OA’ (SAC) nên OA’ A’C. Tương tự: OB’ B’C Như vậy: các điểm A, B, A’, B’, C’ nhìn đoạn AC dưới một góc vuông O, A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu (S) đường kính OC. 0,5 Tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm OC 1 1 ; ;0 2 2 I Bán kính của (S): 1 2 2 2 R OC Vậy phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y z . 0,5 C’ I B’ C B O A S A’ . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT BẮC TRA MY NĂM 2009 Môn: Toán - Khối A. Thời gian làm bài: 180 phút A. Phần dành chung. m 2 . 1) Khảo sát hàm số khi m = 2; 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng. Câu 2. 1) Giải phương trình:. . Tính thể tích hình hộp theo a. B. Phần dành riêng cho từng ban: Câu 5a. (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn) 1) Giải phương trình: 2 2 2 3 1 1 2 3 log log ( 1 ) log log ( 1 ) x