Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Một số kiến thức cơ bản Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng Loại 2: Lập PT mpQ với Q qua M và chứa d L[r]
(1)GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT CHƯƠNG HÌNH HỌC LỚP 12 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong năm học 2010 – 2011 tôi đã thực đề tài này và đã áp dụng các lớp 12A1, 12A2, 12B9 mà tôi giảng dạy , tôi nhận thấy kết việc kiểm tra chương các bài tập sách giáo khoa và sách bài tập dạng toán thi tốt nghiệp , đại học đa số học sinh giải Năm học 2011 – 2012 tôi tiếp tục áp dụng đề tài này các lớp tôi giảng dạy 12B7 và 12B10 đồng thời các thầy cô dạy toán 12 tổ đã vận dụng đề tài này giảng dạy trên lớp Trong năm học 2011 – 2012 tôi có bổ sung thêm số dạng toán khác nhằm bước hoàn thiện đề tài và có thể áp dụng rộng rãi và lâu dài tổ Toán Trường THPT Đoàn Kết Trong toán học nói chung và hình học nói riêng không có phương pháp nào chung để giải các bài toán Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Với loại bài toán luôn đòi hỏi học sinh phải nắm các khái niệm , định lý, tính chất để giải , đồng thời phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và đề phương pháp giải cho bài cụ thể Với học sinh lớp 12, bước sang học kỳ các em đã làm quen với phương pháp toạ độ không gian và các bài tập là đa dạng.Đa số học sinh là yếu môn Hình học nói chung và Hình học giải tích nói riêng, lúng túng vận dụng kiến thức đã học và lựa chọn phương pháp giải Để phần nào giúp cho học sinh bớt lúng túng giải toán “ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” tôi đã tổng hợp và đưa số bài toán quen thuộc chương trình và hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải mà học sinh có thể tiếp thu và vận dụng tốt giải toán, đồng thời từ đó học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng vào các bài tập nâng cao,gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Toán học là môn khoa học , học toán đòi hỏi người học ngoài việc phải nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất còn đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào các bài toán cụ thể để giải , không thể đơn là thuộc - Trong quá trình học toán và giải toán lại không có phương pháp chung nào để có thể giải các bài toán, bài khác thì có thể vận dụng các phương pháp giải khác - Phân loại các dạng toán , phân tích tìm phương pháp giải để từ đó rút kinh nghiệm giải đồng thời có thể vận dụng các kinh nghiệm , kiến thức đó để giải các bài toán khác là cần thiết và hữu ích cho các đối tượng học sinh (2) Nội dung biện pháp thực các giải pháp đề tài 2.1 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 2Thuận lợi: - Được quan tâm và đạo Ban lãnh đạo nhà trường công tác đổi phương pháp giảng dạy - Các em học sinh ngoan và có ý thức học tập 2.2 Khó khăn: - Điều kiện học tập chưa tốt, sở vật chất còn hạn chế - Là trường miền núi nên mặt kiến thức chưa đồng các học sinh với nhau, còn nhiều học sinh có hoàn cảnh gia đình khó khăn , các em phải phụ giúp gia đình kiếm bữa ăn nên thời gian cho học tập quá ít dẫn đến học yếu là tất nhiên 2.3 Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện: - Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán quen thuộc và phương pháp giải - Phạm vi nghiên cứu: Hình học lớp 12 Chương trình 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - Thực đề tài các bài tập và chuyên đề học sinh lớp 12A1 , 12A2 , 12B9 năm học 2010 – 2011 2.4 Tình trạng thực tế trước thực đề tài: - Đa số học sinh chưa nắm vững các khái niệm, định lý… - Vận dụng kiến thức vào giải toán còn hạn chế - Lúng túng chọn phương án giải - Kết còn thấp - Chưa thực ham thích học toán với lý không giải bài tập Kết kiểm tra: ( kiểm tra lớp 12A1 , 12A2 và 12B9 với 124 học sinh) 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9Lớp SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB % 12A1 40 0 6 31 77.5 12A2 44 7 27 61.36 12B9 40 0 21 52.5 Tổng 124 20 17 19 18 17 12 79 63.71 Đề bài đã ra: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A( 1;1;0),B(1;0; 2),C(2; 2;0) a Chứng minh A,B,C không thẳng hàng b Lập phương trình mặt phẳng (ABC) c Lập phương trình mặt cầu có tâm I(0; 2;1) và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) - Chất lượng bài giải học sinh thấp, kĩ giải toán còn yếu - Học sinh không nắm rõ : + Khái niệm vecto cùng phương (3) + Khái niệm khoảng cách,công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu + Kỹ tìm tích có hướng hai vecto 2.5 Các biện pháp thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình, phân tích và cùng học sinh xây dựng phương pháp giải Bước 3: Rèn luyện kĩ giải các bài tập tương ứng cho học sinh thông qua số bài tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng NỘI DUNG A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Hệ trục toạ độ Cho ba trục toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz vuông góc với đôi điểm O Gọi i, j, k là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, yOy, zOz Hệ ba trục toạ độ gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz đơn giản là toạ độ Oxyz + Trục Ox gọi là trục hoành z + Trục Oy gọi là trục tung + Trục Oz gọi là trục cao + Điểm O gọi là gốc hệ toạ độ k j 2/ Tọa độ Vectơ , tọa độ điểm i O x a Cho hệ toạ độ Oxyz v (x; y;z) v xi y j zk M(x; y;z) OM xi y j zk M1 x1, y1,z1 M2 x 2, y 2,z + Với hai điểm và thì: M1M2 x x1, y y1,z z1 v1 (x1, y1,z1 ) và v (x ,y ,z2 ) thì: b Nếu có hai vectơ b1 b2 b3 b4 v1 v x x , y1 y ,z1 z v1 v x x , y1 y ,z1 z kv1 (kx1,ky1,kz1 ) v1.v x 1.x y1.y z1.z y (4) b5 v1 v x1x y1y z1z 0 x1 x v1 v y1 y z z b6 Tích có hướng hai vectơ v1 (x1,y1,z1 ) và v (x , y ,z2 ) là y z z x x y 1 1 1 v ,v v , , 2 y z z x x y 2 2 2 v vectơ xác định bởi: Ứng dụng tích có hướng hai vecto c a a,b c c b a a,b 0 b a,b cùng phương a,b c 0 a,b,c c đồng phẳng a,b a b sin(a,b) d 4/ Khoảng cách hai điểm M x , y ,z M x , y ,z Cho hai điểm 1 1 và 2 , thì khoảng cách d M và M là độ dài vectơ M1M2 : 2 d M1M2 x1 x y1 y z1 z 5/ Góc hai vectơ v (x , y 2,z ) xác định bởi: Góc hai vectơ v1 (x1, y1, z1) và x1.x y1.y z1.z cos x11 y11 z11 x 22 y 22 z 22 6/ Hai vectơ cùng phương v (x , y ,z ) v 1 Hai vectơ và (x , y ,z2 ) cùng phương với v kv và tồn số thực k cho v1 ,v2 0 v kv Chú ý: 7/ Phương trình mặt phẳng a Khái niệm. Một vectơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) giá n (5) 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555vu ông góc với ( ) Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định cho biết điểm M ( ) và vectơ pháp tuyến nó b Phương trình tổng quát mặt phẳng: 2 + Ax By Cz D 0 (A B C 0) cóVTPT n (A;B;C) M(x ;y ;z ) + Mặt phẳng qua điểm có VTPT n (A;B;C) có phương trình: A(x x ) B(y y ) C(z z0 ) 0 8/ Phương trình đường thẳng a Định nghĩa: Vectơ a 0 và có giá là đường thẳng d d / / d a 0 là vectơ phương đường thẳng b Phương trình đường thẳng: u Đường thẳng d qua M(x0;y0;z0) có VTCP (a;b;c) x x0 at a2 b2 c 0 y y bt t IR z z ct có phương trình tham số Nếu abc 0 khử tham số t phương trình: x x y y z z0 a b c ( gọi là phương trình chính tắc) 9/ Phương trình mặt cầu a Mặt cầu tâm I(a;b;c) , bán kính R>0 có phương trình: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R 2 2 b Phương trình: x y z 2ax 2by 2cz d 0 (1) 2 Nếu a b c d thì phương trình (1) là phương trình mặt cầu có 2 tâm I( a; b; c) , bán kính R a b c d 10 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: (P) : Ax By Cz D 0 (A B C2 0) M(x 0;y 0;z ) d(M,(P)) Ax By Cz0 D A B2 C2 11 Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính R (6) Mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên mp(P) (S) (P) d(I,(P)) R (S) (P) H d(I,(P)) R (S) (P) (C) d(I,(P)) R ( mp(P) tiếp xúc mặt cầu H) 2 Với (C) là đường tròn tâm H , bán kính r R IH B NỘI DUNG CỤ THỂ: Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng: - Học sinh cần nắm + Khái niệm vecto pháp tuyến mặt phẳng c a a,b c c b + Tính chất tích có hướng n AB,AC - Định hướng VTPT mặt phẳng qua điểm A,B,C là A( 1;1;2),B(1; 1;0),C(2; 1;2) Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua Giải: Ta có AB (2; 2; 2),AC (3; 2;0) (P) qua A (P) qua A (P) qua B (P)cóVTPTn AB, AC ( 4; 6;2) (P) qua C Phương trình mp(P): 4(x 1) 6(y 1) 2(z 2) 0 2x 3y z 0 Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d - Học sinh cần hiểu đường thẳng d có điểm phân biệt A,B thuộc mp(Q) thì đường thẳng d chứa mp(Q) ( đó AB là VTCP d) - Bài toán trở thành lập phương trình mp qua điểm không thẳng hàng - Học sinh định PP giải PP: - Lấy điểm A d ( điểm cụ thể) MA n u,MA - mp(Q) qua M có VTPT (với u là vtcp d) Ví dụ 2: Lập PT mp(Q) qua M( 1;1;2) và chứa đường t , y 2t , z 1 3t thẳng d : x u (1 ;2;3), A(2;0;1) d MA (3; 1; 1) Giải: d có VTCP (7) (Q)quaM( 1;1;2) (Q)cóvtptn u,MA (1;10; 7) Ta có: (Q) : 1(x 1) 10(y 1) 7(z 2) 0 x 10y 7z 0 (Q)quaM (Q) d Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc mp(P) - Học sinh cần nắm + Dạng phương trình mặt cầu + Điều kiện để mp và mặt cầu tiếp xúc + Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mp PP - Tìm bán kính mặt cầu: R d(I,(P)) - Mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có phương trình: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm A( 2;1; 3) và tiếp xúc mp(P): 2x y 2z 0 1 5 Giải: Ta có bán kính 2 Phương trình mặt cầu: (x 2) (y 1) (z 3) 25 R d(A,(P)) Loại 4: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng (Q) - Học sinh cần hiểu khái niệm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng MH (Q) H (Q) - H là hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng (Q) PP: - Lập PT đường d qua M và vuông góc với mp(Q) ( thỏa tính vuông góc) - Khi đó H d (Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H (Q) ) Ví dụ 4: Tìm tọa đô điểm H hình chiếu vuông góc M(4; 2; 2) lên mặt phẳng (Q) : 2x y 3z 0 n Giải: mp(Q) có VTPT (2;1; 3) dquaM d (Q) Đ thẳng d: dquaM(4; 2; 2) d có v tcpu n x 4 2t y t H d (Q) z 3t 2x y 3z 0 x 4 2t y t z 3t t x 2 H(2; 3;1) y z 1 (8) Loại 5: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng d - Học sinh cần hiểu khái niệm hình chiếu vuông góc điểm lên đường thẳng MH d - H là hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng d H d Từ khái niệm dẫn đến xây dựng PP giải Cách : - Lập PT mp(Q) qua M và vuông góc với d ( thỏa tính vuông góc) - Khi đó H d (Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H d ) Cách - Lấy điểm H d ( dạng tham số) ( thỏa tính thuộc H d ) - Tìm MH , MH d MH.u 0 Giải tìm tham số ( thỏa tính vuông góc) - Thay tham số vào H Ví dụ 5: Tìm tọa đô điểm H hình chiếu vuông góc M( 1;2; 2) lên đường d: x y z 1 , 1 thẳng Giải: ( cách 2) u (2; 1;2) đường thẳng d có VTCP Ta có H(2t;1 t; 2t) d MH (1 2t; t;1 2t) MH d MH.u 0 2(1 2t) 1( t) 2(1 2t) 0 t 10 14 19 H ; ; 9 Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu ( S) - Học sinh cần nắm hai mp song song thì VTPT mp này là VTPT mp - Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mp(P) bán kính mặt cầu - Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ 6: Lập PT mp(P) Biết (P)// (Q): 2x + y - 2z - = và tiếp xúc mặt cầu 2 (S) : x + y + z - 2x + 4y - 6z - = Giải: - Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) , bán kính R = (P) / /(Q) (P) : 2x + y - 2z + D = (D -4) ( có cùng VTPT) (9) D D 4 D 18 (thỏa (P) tiếp xúc (S) (P 1) : 2x + y - 2z - = 0, (P2 ) : 2x + y - 2z +18 = d(I, (P)) R - ĐK) Vậy Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mp(P) , mp(Q) PP: - Lấy điểm I (d) ( dạng tham số ) - Mặt cầu (S) tiếp xúc mp d(I,(P)) d(I,(Q)) - Giải tìm tham số và thay vào tìm tâm I và bán kính x y z 1 I d : 1 và tiếp xúc Ví dụ : Lập PT mặt cầu (S) có tâm (P): 2x + y - 2z+ = 0, (Q): x - 2y +2z - = Giải: Ta có I(1 t;t; 1 2t) d Mặt cầu (S) tiếp xúc (P),(Q) d(I,(P)) d(I,(Q)) 2(1 t) t 2( 2t) (1 t) 2t 2( 2t) 3 t 3t t t 7 / t I(0; 1; 3),R 3 x (y 1)2 (z 3)2 9 9 t I( ; ;6),R (x )2 (y )2 (z 6)2 2 2 2 Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa a (Q) chứa đường thẳng d1 và (Q)// d2 b (Q) // d1 và (Q)// d2 ( d1 , d2 là hai đường thẳng chéo nhau) - Học sinh cần nắm đường thẳng d1,d2 có VTCP u1,u2 mp(Q) chứa d1 và mp(Q) / /d2 mp(Q) cóVTPT n u1,u2 + + mp(Q) / / d1và mp(Q) / /d2 mp(Q) coù VTPT n u1,u2 x 1 y z x y z 1 d2 : 1 2 1 Ví dụ 8: Cho đường thẳng a.Lập PT mp(Q) chứa d1 và song song d2 b.Lập PT mp(Q) song song d1,d2 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 9 u (1;1;2) u Giải: d có VTCP , d có VTCP ( 1; 2;3) d1 : (Q)chứad1 a (Q) / /d 2 (Q)quaA(0;1; 1) d1 (Q)có vtpt n u1,u2 (7; 5; 1) (Q) : 7x 5(y 1) 1(z 1) 0 7x 5y z 0 (10) Kiểm tra: B( 1;0;2) d2,B (Q) Vậy (1) là PTmp(Q) PT b.(Q) / / d1,(Q) / /d2 (Q)có vtpt n u1,u2 (7; 5; 1) (Q) : 7x 5y z D 0 Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;1) , bán kính R = Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I,(Q)) R D 15 10 D 3 75 D 15 (Q1 ) : 7x 5y z 15 0 (Q ) : 7x 5y z 15 0 Kiểm tra A(0;1; 1) d1,B( 1;0;2) d2 không thỏa (Q1 ),(Q2 ) Vậy phương trình (Q1 ),(Q2 ) là PT mặt phẳng cần tìm Loại 9: Lập PT đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 ( d1,d2 chéo cắt nhau) dquaM dquaM d d1,d d2 d cóvtcpu u1,u2 PP: Ví dụ 9: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1;2) và vuông góc với đường x y z 1 x 1 y z d 1: ,d2 : 1 1 2 thẳng Giải: d có VTCP u1 (1;1;2) , d có VTCP u2 ( 1; 2;3) dquaM(1; 1;2) dquaM d cóvtcpu u1,u2 (7; 5; 1) d d1,d d2 x y 1 z d: 5 1 10 Loại 10: : Lập PT đường thẳng d qua điểm M , vuông góc với d1 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010và cắt d2 - Học sinh cần hiểu E d2 thì tọa độ điểm đó thỏa phương trình đường thẳng - Đường thẳng qua M, E đã thỏa điều kiện cắt d2 - ME d1 ME.u2 0 (11) PP: - Lấy điểm E d2 ( dạng tham số) 0 Giải tìm tham số - Tìm ME , ME d1 ME.u - Khi đó d qua M có VTCP ME Ví dụ 10: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1;2) và vuông góc với x 1 y z x y z 1 d2 : d 1: , 1 2 1 cắt E( t; 2t;2 3t) d2 ME ( t;1 2t;3t) ME d1 ME.u 0 ( t) (1 2t) 6t 0 t ME ; ;1 7;1;3 3 ME Đường thẳng d qua M có VTCP Có x y 1 z phương trình: 11 Loại 11: Gọi d là giao tuyến hai mp(P) và mp(Q) Viết phương trình tham số d PP: Cách n1 n2 - mp(P) có VTPT và (Q) có VTPT n1,n2 và điểm A (P) (Q) - Tìm u n1,n2 - Khi đó đường thẳng d qua A và có VTCP Cách – Tìm A d (Q) (P) , B d (Q) (P) - Đường thẳng d qua A,B viết dạng tham số Cách 3: Đặt x = t dẫn đến giải hệ tìm y , z theo t Ví dụ 11: Gọi d là giao tuyến hai mp (P) : 2x y z 0 và (Q) : x 3y 2z 0 Viết phương trình tham số d Giải: cách mp(P) có vtpt n1 (2;1; 1) , mp(Q) có vtpt n2 (1; 3;2) u n1,n2 ( 1; 5; 7) 2x y z 0 d (P) (Q) A(1;1;2) d x 3y 2z 0 x 1 t dquaA(1;1;2) PT : y 1 5t d coù vtcp u n1,n2 ( 1; 5; 7) z 2 7t Ta có : Cách 2: (12) 2x y z 0 d (P) (Q) A(1;1;2) d,B(0; 4; 5) d x 3y 2z 0 x 1 t dquaA dquaA PTTS : y 1 5t dquaB d coù vtcp AB ( 1; 5; 7) z 2 7t 12 Loại 12: lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc đường thẳng lên mp(Q) PP: (Cách 1) - Lấy trên hai điểm cụ thể A,B - Tìm A’ , B’ là hình chiếu vuông góc A,B lên mp(Q) - Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’ ( Lưu ý: d (Q) M thì cần tìm thêm điểm A M ) (Cách 2) - Ta có d (P) (Q) (P)quaA (P) coù vtpt n u ,nq - Với (P) là mp chứa và (P) (Q) - chuyển PT đường thẳng d tham số x y z : mp(Q) : x 2y 3z 1 Ví dụ 12: Cho , Lập PT tham số đường thẳng d là hình chiếu vuông góc lên mp(Q) Giải: ( Cách 1) Ta có (Q) M M(1;1;2) ( giải hệ để tìm tọa độ điểm M) A(2;3;1) Tìm tọa độ A’ là hình chiếu vuông góc A lên mp(Q) 10 13 19 3 5 A ' ; ; MA ' ; ; (3;6;5) 7 7 7 3 5 MA ' ; ; (3;6;5) 7 7 Đường thẳng d qua M(1;1;2) có vtcp x 1 3t y 1 6t z 2 5t Có phương trình tham số d: ( Cách 2) Đường thẳng có vtcp u (1;2; 1) , mp(Q) có vtpt n1 (1;2; 3) Ta có d (P) (Q) Với (P)quaA(2;3;1) (P) (P) coù vtpt n u ,n1 ( 4;2;0) (P) (Q) (P) : 4(x 2) 2(y 3) 0(z 1) 0 2x y 0 (13) x 3t y 6t 2x y 0 d: z 5t x 2y 3z 0 chuyển dạng tham số Khi đó 13 Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng chéo d1,d2 và song song với đường thẳng d3 PP: - d1 , d2 chéo và VTCP là u1,u2 , d3 có VTCP u3 - Lấy điểm A d1,B d2 dạng thamsố AB - AB / /d3 AB cùng phương với u3 AB mu3 - Giải hệ tìm tham số AB ,điểm A Khi đó d qua A có VTCP u3 Ví dụ 13: Cho đường thẳng chéo d1,d2 Lập phương trình đường thẳng d cắt d1,d2 và song đường thẳng d3 với x 2t x y z x y z 1 d1 : y t d2 : d3 : 2 z 1 t Giải: Ta có d3 có VTCP u3 ( 1;2;1) A(2t ; t ;1 t) d1 , B(1 2k ;2k ;1 3k) d2 AB (1 2k 2t ; 2k t ; 3k t) AB / /d3 AB cùng phương với u3 AB mu3 1 2k 2t m k 0 1 2k t 2m t 1 A(2; 2;0) 3k t m m 1 Vậy đường thẳng d qua A(2;-2;0) có VTCP u3 ( 1;2;1) x y 2 z Có PT : 14 Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng chéo d1,d2 PP: - Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d1 - Tìm B d2 (Q) MB và so sánh với phương u1 - (Nếu cùng phương thì loại – MB không cắt d1) Khi đó đường thẳng d qua M và có VTCP MB (14) Ví dụ 14: Lập PT đường thẳng d qua M( 1;1;2) và cắt đường thẳng x y z x 6 y z d1 : d2 : 1 Giải: mp(Q) qua M chứa d có PT: (Q) : x 10y 7z 0 Gọi B d2 (Q) B( 8;1;1) ( giải hệ) u (1;2;3) Ta có: MB ( 7;0, 1) không cùng phương với Đường thẳng d qua M( 1;1;2) có vtcp MB ( 7;0, 1) x 7t y 1 z 2 t Có phương trình: 15 Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) M Lập PT đường thẳng qua M, chứa (Q), d PP: - M d (Q) ( giải hệ ) ,d có vtcp u , mp(Q) có vtpt n qua M, (Q), d qua M, có vtcp u u,n Ví dụ 15: Đường thẳng d : x 2 2t , y t , z 2t cắt mặt phẳng (Q) : x y 2z 0 M Lập phương trình đường thẳng qua M, chứa (Q), d Giải: ta có M d (Q) M(4; 1; 3) qua M qua M (Q), d có vtcp u u,n (0; 6;3) Phương trình : x 4 ; y 6t , z 3t 16 Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm và bán kính (C) PP: - Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R - mp(Q) cắt (S) theo đường tròn (C) d(I,(Q)) R - Tâm (C) là hình chiếu vuông góc I lên mp(Q) 2 r R d (I,(Q)) - Bán kính (C) : 2 (S) : x y z 4x 2y 6z 0 và Ví dụ 16: Cho mặt cầu mp (Q) : 2x y 2z 0 Chứng minh mp(Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Tìm tọa độ tam và bán kính (C) Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; 3) , bán kính R = 4 1 d(I,(Q)) 2 R Ta có Vậy (Q) cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính: r 16 2 (15) Tâm H là hình chiếu vuông góc I lên mp(Q) H (Q) Với x 2 2t quaI(2;1; 3) PT : y 1 t (Q) z 2t x 2 2t y 1 t z 2t 2x y 2z 0 t / x 2 / 5 tâm H ; ; 3 3 y 5 / z / Ta có 17 Loại 17: Lập PT đường vuông góc chung d d1,d2 - Học sinh cần hiểu khái niệm hai đường thẳng vuông góc chung hai đường d d1 d d d2 d d M,d d N thẳng chéo là đường vuông góc chung u PP: - d1 , d2 chéo và VTCP là 1,u2 - Lấy điểm A d1,B d2 dạng tham số ( đường thẳng AB thỏa cắt d1 , d2) AB d AB.u 1 0 AB d2 AB.u AB giải hệ tìm tham số ( thỏa AB vuông góc với d1,d2) Vậy đường thăng qua A,B là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d2 - Khi đó đường vuông góc chung d qua A có VTCP là AB u u1,u2 và qua điểm A) ( có thể lấy VTCP * Chú ý: có thể giải: d (P) (Q) (P) d1 (Q) d2 (P) d2 (Q) d1 sau đó chuyển dạng tham số Với x y z 1 d1 : 1 1 Ví dụ 17: Cho hai đường thẳng chéo nhau: x y 1 z d2 : 1 Lập PT đường vuông góc chung d1,d2 u (1; 1; 1) u Giải: d1 có VTCP , d2 có VTCP (2; 1;1) A(2 t; t; t) d1 , B(2k; k;1 k) d2 Ta có AB (2k t 2; k t 1;k t 2) (16) AB d1 AB.u 0 AB.u AB d2 Giải hệ : k ,t AB 14 (2k t 2) ( k t 1) (k t 2) 0 2(2k t 2) ( k t 1) (k t 2) 0 27 1 ; ; ( 2; 3;1),A ; ; 14 14 14 7 7 AB ( 2; 3;1) 14 Đường vuông góc chung d qua A và có VTCP x 2t , y 3t , z t 7 Có phương trình: 18 Loại 18: Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo ( không dùng công thức khoảng cách đường thẳng chéo để tính) - Học sinh cần nắm được: + Độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách hai đường + Các phương pháp tính khác hình học không gian lớp 11 - PP: - Cách 1: Tìm tọa độ điểm A,B theo ví dụ 12 - Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song đường thẳng ( mp(P) chứa d1 , (P)//d2) ) Khi đó: d(d1,d2 ) d(d2 ,(P)) d(M,(P)) ( M tùy ý trên d ) x 1 y z x y z 1 d2 : d1 : 1 2 1 Ví dụ 18: Cho đường thẳng Chứng minh d1,d2 chéo Tính khoảng cách d1,d2 u (1;1;2) u Giải: d1 có VTCP , d2 có VTCP ( 1; 2;3) Học sinh đã biết cách giải Tính khoảng cách d1,d2 Lập phương trình mp(P) chứa d1và (P)//d2 (P)quaA(0;1; 1) d1 (P)chứad1 (P) / /d (P)có vtpt n u1,u2 (7; 5; 1) (P) : 7x 5(y 1) 1(z 1) 0 7x 5y z 0 Ta có M( 1;0;2) d2 Khi đó : d(d1,d2 ) d(d2,(P)) d(M,(P)) 7 24 75 Trên đây là số dạng toán mà học sinh hay gặp phải, tôi đã định hướng và cùng học sinh xây dựng phương pháp giải để từ đó học sinh hiểu rõ lý thuyết đồng thời có số phương pháp định để vận dụng vào giải các bài toán có nội dung phức tạp (17) - Ví dụ Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu(S) (P) : 2x 2y z 0,(S) : x y z 2x 4y 6z 11 0 CMR: (P) cắt (S) theo đường tròn X định tâm,bán kính x y z2 : , mp(P) : x 2y z 0 Gọi M , Cho đ thẳng C (P) Tính d(M,(P)) , biết MC Cho hai mp(P) : x y z 0,mp(Q) : x y z 0 Viết PT mp(R) Biết (R) (Q),(R) (Q) và d(O,(R)) 2 x y z x y z 1 : , 2 : 1 2 Xác định điểm Cho đường thẳng M 1 cho d(M, ) 1 III HIỆU QUẢ CỦA ĐÊ TÀI 171 7171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171 7171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171 7171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171 717171717171717171717171717171717171717171717171717171717 - Với cách phân tích , hướng dẫn và cùng học sinh xây dựng phương pháp giải cho loại toán cụ thể đã phần nào giúp học sinh có học lực yếu và trung bình học tập tốt hơn, thích học toán vì đã bước giải các bài tập sách giáo khoa, sách bài tập số sách tham khảo khác Đối với học sinh khá , giỏi thì có thể khai thác phương pháp đã biết để giải các bài phức tập - Kết áp dụng đề tài cho các lớp 12A1,12A2 , 12B9 ( năm học 2010– 2101) Đề kiểm tra khảo sát: ( thời gian làm bài 30 phút) Trong không gian Oxyz cho A( 1;1;1),B( 2;1; 1),C(1; 2;2),D(1; 1; 3) a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua các điểm A,B,C Suy A,B,C,D là đỉnh tứ diện b Lập phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp(P) c Lập phương trình mp(Q) chứa đường thẳng AB và song song đường thẳng CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD d ( dành riêng cho lớp A) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Thang điểm : Lớp B câu a: điểm , câu b: điểm , câu c : điểm Lớp A : câu 2,5 điểm Lớp 12A1 12A2 SS 40 44 1- 2- 3- 4- 5- 6- 71.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 6 88.5 13 13 99.5 10 >=TB 18 40 10 43 % 100 97.7 (18) 12B9 40 Tổng 124 1 2 11 11 16 32 32 11 30 113 75 91.13 - Kết áp dụng đề tài cho các lớp 12B7, 12B10 ( năm học 2011– 2012) ( Thời gian làm bài 40 phút) Trong không gian Oxyz cho Cho đường thẳng chéo nhau, mặt cầu (S) x y z 1 x y 1 z 1 : 2 : 1 1 1 , điểm M( 1;-2;0) 2 (S) : x y z 2x 4y 4z 0 Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc M lên Lập PT mp( α ) chứa 1 và ( α )// Tìm d( 1, ) Viết phương trình đường thẳng 3 qua A(1;2;3) và 3 1 , Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với1 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181 818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 181818181818181818181818181818181818181818181818181818 Δ ; Δ và tiếp xúc mặt cầu (S) ( Thang điểm câu 2,5 điểm) 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9Lớp SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB % 12B7 40 7 31 77.5 12B10 41 0 35 85.4 Tổng 81 11 16 13 14 10 66 81.5 IV ĐỀ XUẤT – KHUYẾN NGHỊ: - Để áp dụng tốt và có hiệu đề tài thì giáo viên cần bước xây dựng và củng cố các kiến thức có liên quan cho học sinh , đồng thời phải (19) cho học sinh hiểu rõ dấu hiệu chất khái niệm, định lý, tính chất đó - Từ khái niệm định hướng phương pháp giải Ví dụ : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng d + Học sinh cần hiểu H là hình chiếu vuông góc điểm M lên MH d H d đường thẳng d + Từ đó xây dựng phương pháp giải ( nhiều cách khác nhau) - Tập cho học sinh xây dựng phương pháp giải từ bài sau đó tới các bài phức tạp để bước củng cố kiến thức và tạo đam mê học toán cho học sinh V Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa hình học 12 ( ban và nâng cao) – Bộ GD Sách bài tập hình học 12 ( ban và nâng cao) Bộ GD Tài liệu chuẩn kiến thức Hình học 12 - Bộ GD Sách giáo viên Hình học 12 ( ban và nâng cao)- Bộ GD Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Huỳnh Công Thái Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Nguyễn Đức Đồng MỤC LỤC STT 10 Nội dung Lý chọn đề tài Tổ chức thực đề tài Cơ sở lý luận Nội dung biện pháp thực các giải pháp đề tài Một số kiến thức Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M và chứa d Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc mp(P) Loại 4-5: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng (Q), lên đường thẳng d Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu ( S) Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mp(P) , mp(Q) Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa a (Q) chứa đường thẳng d1 và (Q)// d2 b (Q) // d1 và (Q)// d2 Loại 9: Lập PT đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 Loại 10: : Lập PT đường thẳng d qua điểm M , vuông Trang 1 3-5 10 (20) 11 12 13 14 15 16 17 góc với d1 20202020202020202020202020202020202020202020202 02020202020202020202020202020202020202020202020 20202020202020202020202020202020202020202020202 02020202020202020202020202020202020202020202020 20202020202020202020202020202020202020202020202 02020202020202020202020202020202020202020202020 20202020202020202020202020202020202020202020202 02020202020202020202020202020202020202020202020 20202020202020202020202020202020202020202020202 02020202020202020202020202020202020202020202020 20202020202020202020202020202020202020và cắt d2 Loại 11: Gọi d là giao tuyến hai mp(P) và mp(Q) Viết phương trình tham số d Loại 12: lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc đường thẳng lên mp(Q) Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng chéo d1,d2 và song song với đường thẳng d3 Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng chéo d1,d2 Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) M Lập PT đường thẳng qua M, chứa (Q), d Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm và bán kính (C) Loại 17: Lập PT đường vuông góc chung d d1,d2 Loại 18: Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo ( không dùng công thức khoảng cách đường thẳng chéo để tính) Hiệu đề tài Đề xuât- khuyến nghị 11 12 13 14 15 17 17 (21)