Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED.[r]
(1)§Ò thi SỐ 10 C©u : (2 ®iÓm) Cho P= a − a −a+ a − a +14 a− a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên C©u : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho th× tæng c¸c lËp phư¬ng cña chóng chia hÕt cho b) Tìm các giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u : (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 1 1 + + = 18 x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 b) Cho a , b , c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c C©u : (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh ®iÓm M cho c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi C©u : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi C©u : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) (2) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1; a≠ ; a ≠ 0,25 Rót gän P= a+1 0,25 a− b) (0,5®) P= a− 2+3 =1+ a−2 a −2 ; ta thÊy P nguyªn a-2 lµ íc cña 3, mµ ¦(3)= { −1 ; 1; − ;3 } 0,25 Từ đó tìm đợc a { −1 ;3 ; } 0,25 C©u : (2®) a)(1®) Gäi sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a2 +2 ab+b2 )− ab ] = a+b ¿ − ab =(a+b) ¿ ¿ 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) a+b ¿ − ab chia hÕt cho ¿ ¿ 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,5 0,25 Do đó Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm đợc x=0 x=-5 thì Min P=-36 0,25 C©u : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 (3) §KX§ : x ≠ − ; x ≠ −5 ; x ≠ − ; x ≠ −7 0,25 Ph¬ng tr×nh trë thµnh : ¿ 1 1 + + = ( x+ 4)(x +5) (x+5)(x +6) (x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 − + − + − = x + x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 1 − = x + x +7 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy a= y + z ; b= x+ z ; c= x+ y 2 ; 0,5 Thay vào ta đợc A= y + z + x + z + x + y = ( y + x )+( x + z )+( y + z ) 2x 2y 2z [ x y z x z y ] 0,25 Từ đó suy A (2+2+2) hay A 0,25 C©u : (3 ®) a) (1®) ^1 Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^ D1=120 − M V× ^ M =600 nªn ta cã Suy : ^ M 3=1200 − ^ M1 x ^ D 1= ^ M3 E Chøng minh Δ BMD ∾ ΔCEM D (1) B Suy BD =CM BM y A CE V× BM=CM= BC 2 0,5 M C , từ đó BD.CE=BM.CM , nªn ta cã BD.CE= BC 0,5 (4) b) (1®) Tõ (1) suy BD MD = CM EM mµ BM=CM nªn ta cã BD MD = BM EM Chøng minh Δ BMD ∾ Δ MED Từ đó suy ^ D 1= ^ D2 0,5 , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn 0,5 C©u : (1®) Gọi các cạnh tam giác vuông là x , y , z ; đó cạnh huyền là z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm đợc các giá trị x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 0,25 (5) (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 (6)