Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I.. Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các cot [r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – Lớp 10 (ngày thi: 04/01/2013) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ( điểm ) x y 2x 2y 2m x y 4 Cho hệ phương trình : a Giải hệ m=4 b Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt Câu ( điểm ) a b Giải phương trình : x x x 3x 2x x x m x x x Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x cho x1 10 x 3m Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm AB , E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh : CD OE Câu ( điểm ) Giải bất phương trình: ( x 3x) x x 0 Câu ( điểm ) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 Chứng minh : 1 1 2 a b c b c a c a b abc -HẾT Sở GD&ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Nguyễn Du Tổ Toán – Tin ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 10 – Năm 2012-2013 Môn : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I : ( 4.0 điểm) Cho hàm số y = mx - 2(m + 1)x + m + (Pm ) , m 0 a) Xác định m để đồ thị (Pm ) cắt trục Ox hai điểm phân biệt x1,x2 thỏa mãn : x1 - x = 2 b) Xác định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt x - x + k - 3k - = (2) c) Xác định tập hợp tất các đỉnh I (Pm ) ? Bài II : ( 3.0 điểm ) a) Giải phương trình 2x - + x + = - x : y x - 3y = x y - 3x = x y b) Giải hệ phương trình : Bài III: ( 3.0 điểm ) a) Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b , đường phân giác BAC cắt BC D CMR : (b + c)AD = bAB + cAC b) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy các điểm A1,A2 đối xứng qua trung điểm BC Trên cạnh AC lấy các điểm B1,B2 đối xứng qua trung điểm AC Trên cạnh AB lấy các điểm C1,C2 đối xứng qua trung điểm AB Gọi G, G1 ,G2 là trọng tâm các tam giác ABC,A1B1C1, A2B2C2 CMR : G,G1 ,G2 thẳng hàng ……………….Hết ……………… SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1(2,0 điểm) Giải phương trình: x x 3 x 2 x x 16 ( x R) y2 3 y x 3x x y2 Câu 2(2,0 điểm) Giải hệ phương trình : 1 2 Câu 3(1,0 điểm) Cho tan a cot a 3 Tính giá trị biểu thức sau : tan a cot a A sin a sin a cos a cos a Câu 4(2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 x y 0 (3) và điểm M 3;1 Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ điểm M tới đường tròn (C) Viết phương trình dường thẳng T1T2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình là x y 0 và x y 0 Viết phương trình đường thẳng AC Câu 5(2,0 điểm) a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c 3 bc a c a b a b c 1 4 x y z x , y , z b) Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh 1 1 x y z x y z x y 2z -Hết TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN - - ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 Môn: TOÁN – Năm học: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 60 Phút Bài 1: (1.5điểm) y x2 Tìm tập xác định hàm số: Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 3x x1 x 3 Bài 3: (2điểm) x y xy 4 x y xy 3 Giải hệ phương trình Bài 4: (1.5điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh bất đẳng thức: a b2 c 2( ab ac bc) Bài 5: (1điểm) MA MB 2MC 0 Cho tam giác ABC, hãy xác định điểm M cho Bài 6: (2điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , chứng minh rằng: a b2 c2 R abc cotA + cotB + cotC = (4) -HẾT SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (4 điểm) x y m 2 x y x y m Cho hệ phương trình a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm (trong đó m là tham số; x và y là ẩn) A xy x y 2011 b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn x 3m 1 x 6m 0 Câu II (1,5 điểm) x y xy 1 2 x y 4 Giải hệ phương trình Câu III (1 điểm) xy 1 x 1 y Chứng minh x, y là các số thực dương thì Câu IV (3,5 điểm) A 1; B 4;3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành cho góc AMB 45 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết 17 D 2;1 , E 3; , F ; 5 Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c AB Gọi I, p là tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC 2 c p a a p b b p c Së GD&§T H¶i D¬ng Trêng THPT nam S¸ch -Hết §Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 10 n¨m häc 2012-2013 (Thêi gian lµm bµi 150 phót) (5) Câu (2 điểm) Cho phương trình: x 2m 1 x m 0 a) Giải phương trình với m b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt là độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Câu (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: a) x 16 x 17 1 x y 5 2 b) x xy y 7 A 0;1 , B a ; Câu (1,5 điểm) Cho các tập hợp a Hãy tìm: C A B a) Khi b) Tìm a cho A B Câu (2 điểm) Qua đỉnh A hình vuông vẽ hai tia, góc lập hai tia đó 45 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC các điểm N và M a) Chứng minh các điểm C, M, N, Q, P nằm trên đường tròn b) Tính chu vi tam giác CMP Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trung điểm AB, N thuộc đường thẳng AC cho NA NC 0 , P là điểm thuộc đường thẳng BC cho PB 4 PC Chứng minh M, N, P thẳng hàng a b b c c a 8a 2b 2c a , b , c Câu (1 điểm) Cho Chứng minh rằng: Dấu xảy nào? SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2 điểm) a) Cho hàm số y x 2mx 3m và hàm số y x Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt hai điểm phân biệt và hoành độ chúng dương x x 12 10 x b) Giải bất phương trình: Câu (2 điểm) (4 x3 x 3)3 x a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: x 11x 23 4 x Câu (2 điểm) (6) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A(hoành độ A dương), d cắt trục tung B(tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB 2 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x 2) ( y 3) 9 và điểm A(1; 2) Đường thẳng qua A, cắt (C) M và N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm) a) Chứng minh tứ giác lồi ABCD là hình bình hành và AB BC CD DA2 AC BD 1 2 2 h b c (trong đó AB=c; AC=b; đường b) Tìm tất các tam giác ABC thỏa mãn: a cao qua A là ) Câu (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: 2 2a 2b 2c a b b c c a 3 b c c a a b a b c …………………Hết………………… SỞ GD & ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HIỆP HÒA MÔN TOÁN KHỐI 10 *** Năm học: 2011 – 2012 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu I (6 điểm) x y m x y x y m (trong đó m là tham số; x và y là ẩn) Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm hệ phương trình đã cho) Câu II (6 điểm) Giải bất phương trình: x 3 x x x x x x x Giải phương trình: x Câu III (6 điểm) A xy x y 2012 , (x, y là (7) IA 3IB IC Gọi M, N là hai Cho tam giác ABC, gọi I là điểm xác định bởi: MN MA 3MB MC Chứng minh M, N luôn qua điểm phân biệt thoả mãn: điểm cố định Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) và đường thẳng d: 4x – 3y – 23 = Hai điểm B và C di chuyển trên d cho đoạn BC luôn có độ dài Tìm B và C cho chu vi tam giác ABC là nhỏ Câu IV (2 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab + bc + ca = Chứng minh : 1 1 2 a b c b c a c a b abc -Hết TRƯỜNG THPT MINH CH¢U ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN THI: TOÁN 10 – Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1 điểm) Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình: x x 2m có đúng nghiệm mx m 1 x m 0 Câu (1 điểm) Tìm tất các giá trị m để phương trình: có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 1 Câu3 (3 điểm) x y x y 5 x y x y 1 1) Giải hệ phương trình: 2) Giaûi phöông trình: 9( x x 2) x 3)Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có nghiệm nhất: x x x x m Câu (4điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì Chứng minh rằng: MA2 MB MC 3MG GA2 GB GC Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam 2 giác ABC, tìm vị trí M để MA MB MC đạt giá trị bé 2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) và hai đường thẳng d1 : x y 0 , (8) d : x y 0 Gọi A là giao điểm d1 và d a Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên d1 , qua điểm M và tiếp xúc với d b Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt d1 , d B và C cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB B 2; 1 , đường cao hạ từ A và phân giác góc C có phương trình x y 27 0 và x y 0 Tìm tọa độ điểm A và điểm C Phân 3) Trong hệ trục Oxy cho ABC có giác góc C nói trên là phân giác hay phân giác ngoài? Câu (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a bc b ca c ab SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (4,0 điểm) x x x x 2 x Giải phương trình: x m 1 x m3 m 1 0 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ P x13 x23 x1 x2 x1 3x2 biểu thức sau: Câu (1,5 điểm) x x y xy xy y 1 ( x, y ) x y xy (2 x 1) 1 Giải hệ phương trình: Câu (1,5 điểm) x x2 x , y Cho là hai số thực dương thoả mãn điều kiện trị nhỏ P x y y y 2012 Tìm giá Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P là điểm đối xứng O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh OA OB OC OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho MAB MBC MCD MDA Chứng minh đẳng thức sau: (9) AB BC CD DA2 AC BD.sin , đó là số đo góc hai đường thẳng AC và BD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC các cot 13 M 1; , N ; , P ; 2 2 (M, N, P không trùng với các đỉnh tam giác điểm ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm có hoành độ dương —Hết— Q 1; 1 và điểm A (10)