…HẾT… HƯỚNG DẪN CHẤM: • Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi nếu có lập luận đúng dựa vào SGK hiện hành và có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó ; chỉ cho đi[r]
(1)www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12-LẦN Môn thi: TOÁN – Khối A, A1, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + x (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Gọi (d ) là đường thẳng qua điểm A(2;−2 ) có hệ số góc k Xác định các giá trị tham số k để (d ) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt có hoành độ lớn − Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2 sin x − cos x − sin x − 2 cos x + = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x + − x = x + 2013 x x − x dx ∫0 2013 x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BA = a, BC = a 2, BD = a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt đáy là trọng tâm G tam giác ABC và khoảng cách từ G đến mặt a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 10 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 4a + 8b + 6ab + Với số thực a, b thay đổi thỏa mãn phẳng (SAB) điều kiện a + 4b + 4ab ≤ a + 2b + II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) x + y = và đường tròn (C ′) ( x − 3) + ( y − 3) = a (a > ) Tìm a để (C ) cắt (C ′) hai điểm phân biệt A, B cho góc AOB 120 Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (1; −2;3) Gọi A, B, C là hình chiếu vuông góc M trên các mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx ) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu qua bốn điểm O, A, B và C Câu 9.a (1,0 điểm) Với n là số nguyên dương, cho khai triển (x ) n + x + = a0 + a1 x + a2 x + + a2 n x n và a1 + 2a2 + + 2na2 n = 81 Tìm n B Theo chương trình Nâng cao x2 y2 + = Gọi F1, F2 là hai tiêu 2013 2012 điểm (E ) , M là điểm tuỳ ý trên (E ) Chứng minh MF1 MF2 + OM = 4025 Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường elíp (E ) : Câu 8.b (1,0 điểm).Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G và A(2;1;0 ) , B(0 ; − ; − 3) , C (1; − ; 0) Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz để độ dài đoạn thẳng MG nhỏ x − y + x − y + = log12 ( x − 1) + log12 ( y − 3) = Câu 9.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: www.mathvn.com – www.dethithudaihoc.com (2) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com ĐÁP ÁN (Gồm trang) ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HS LỚP 12 NĂM 2013-LẦN Môn thi: TOÁN – Khối A , A1 , B & D SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ Câu-Ý ĐIỂM NỘI DUNG Tập xác định: D=R Sự biến thiên: Giới hạn: lim y = +∞; lim y = −∞ 0,25 đ Bảng biến thiên: y ' = −3 x + 3; y ' = ⇔ x = ±1 0,25 đ x →−∞ x →+∞ x −∞ –1 y' – +∞ + +∞ – y −∞ -2 Câu Ý1 (1,0đ) 0,25 đ Vậy: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1; +∞ ) và đồng biến trên ( −1;1) Hàm số đạt cực tiểu x = −1, y CT = −2 và đạt cực đại x = , yCĐ = Đồ thị: y -1 O 0,25 đ x -2 Phương trình đường thẳng d là : y = k ( x − ) − 0,25 đ Phương trình hoành độ giao điểm d và đồ thị (1) là − x + x = k ( x − ) − ( ) g ( x ) = x + x + + k = (*) ⇔ (x − 2) x + x + + k = ⇔ ( x − 2) = ( Câu Ý2 (1,0đ) ) 0,25 đ d cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt có hoành độ lớn – và g (2) ≠ ∆ ′ = − k > x > x > −2 ( x1 , x là nghiệm (*) ) 9 + k ≠ k ≠ −9 ⇔ k < ⇔ k < ⇔ −1 < k < k > −1 − − − k > −2 www.mathvn.com – www.dethithudaihoc.com 0,25 đ 0,25 đ (3) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình đã cho ⇔ (2 sin x − 1)(sin x + 2 cos x − 3) = Câu (1,0đ) (1) 2 sin x − = ⇔ sin x + 2 cos x − = (2 ) π 5π + k 2π (1) ⇔ sin x = ⇔ x = + k 2π , x = 6 2 π (2) ⇔ sin( x + α ) = ⇔ x = − α + k 2π sin α = , cos α = 3 π 5π π Kết luận PT có nghiệm: x = + k 2π , x = + k 2π và x = − α + k 2π 6 ĐK: x ≥ với ĐK này PT đã cho tương đương với PT Câu (1,0đ) x −1 ⇔ x + − +1− x = x −1 x −1 = x −1 x+3+2 x +1 1 ⇔ ( x − 1) − − 1 = x +1 x+3+2 1 ⇔ x = vì − − < ∀x ≥ Vậy nghiệm PT là x = x+3+2 x +1 I =∫ − 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ dx + ∫ x − x dx x 2013 Tính K = 0,25 đ 1 − 2013 −3 −x 2013 dx = dx = ∫0 2013 x ∫0 ln 2013 Tính J = Câu (1,0đ) 0,25 đ ∫ 0,25 đ − π −π x − x dx = ∫ − ( x − 3) dx , Đặt x − = sin t , t =∈ ; 9π − 2013 −3 9π ( ) cos + t dt = , Vậy I = + −∫π ln 2013 0,25 đ K= 0,25 đ S Câu (1,0đ) K A H B G D 0,25 đ O C Áp dụng định lí đường trung tuyến tam giác, ta có: OA2 = AB + AD BD a − = ⇒ AC = a ⇒ BC = AB + AC ⇒ AB ⊥ AC 4 Suy S ABCD = S ∆ABC = a 0,25 đ Vẽ GH // OA ( H ∈ AB ) , hạ GK ⊥ SH , ta có: AB ⊥ GH , AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ GK 0,25 đ www.mathvn.com – www.dethithudaihoc.com (4) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Suy ra: GK ⊥ ( SAB ) ⇒ GK = a a và GH = OA = 3 10 10 a3 Nên = − = ⇒ GS = a Kết luận: VS ABCD = GS a a a 0,25 đ Vì a + 4b + 4ab ≤ a + 2b + ⇔ ( a + 2b + 1) − ( a + 2b + 1) ≤ ⇔ ≤ a + 2b + ≤ 0,25 đ Ta có P = ( 2ab + 2b + a ) + ( a + 2b + 1) ≤ ( a + 2b + 1) + ( a + 2b + 1) 0,25 đ 2 Câu (1,0đ) Đặt t = a + 2b + , thì ≤ t ≤ Xét f ( t ) = t + t với ≤ t ≤ , ta có f ' ( t ) = 2t + = ⇔ t = −1 ∉[ : 3] 0,25 đ Ta có: f ( 0) = , f ( 3) = 12 suy GTLN f ( t ) = t + t trên [ : 3] là 12 nên P ≤ 12 a = KL: GTLN P là 12 b = (C) có tâm là O(0;0 ) bk R1 = , (C’) tâm là bk R2 = a (C ) cắt (C ′) hai điểm phân biệt A, B OI − R1 < R2 < OI + R1 ⇔ 27 − 18 < a < 27 + 18 Câu 7a (1,0đ) x + y = (1) Tọa độ điểm A và B là nghiệm HPT 2 − + − = x y a ) ( ) ( ) ( 0,25 đ 0,25 đ Lấy (1) trừ (2), suy ra: ∆ : x + y − 27 + a = là đường thẳng qua A và B ( H là trung điểm AB) 0,25 đ 3 ⇔ a − 27 = ⇔ a = 27 ± (tmdk) KL: a = 27 ± 2 0,25 đ Mà tam giác OAB cân, có OA = OB =3 nên OH = Hay d (O, ∆ ) = Câu 8.a (1,0đ) 0,25 đ Vì A, B, C là hình chiếu M trên mp(Oxy), (Oyz) và (Ozx) ⇒ A (1; −2; ) , B (0;−2;3) và C (1;0;3) 0,25 đ Gỉa sử pt mặt cầu (S ) qua bốn điểm O, A, B và C là: x + y + z + 2ax + 2bx + 2cx + d = Thay tọa độ các điểm O, A, B và C vào pt (S ) ta hpt: d = 2 a − 4b + = − b + c + 13 = a + c + 10 = www.mathvn.com – www.dethithudaihoc.com 0,25 đ (5) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com −1 a = b = c = − d = 0,25 đ 1 3 Tâm (S ) có tọa độ là ; −1; , bán kính có độ dài ( ) Lấy đạo hàm khai triển n x + x + Câu 9.a (1,0đ) n −1 14 0,25 đ ( x + 1) = a1 + 2a2 x + + 2na2n x 2n−1 0,25 đ Chọn x = ⇒ n.3n −1.3 = n.3n = a1 + 2a2 + + 2na2 n , ta được: n.3n = 81 0,25 đ Xét HS f ( x ) = x.3x ⇒ f ' ( x ) = 3x + x.3 x ln > ⇒ HS f ĐB trên ( 0; +∞ ) 0,25 đ Mà f ( 3) = 81 KL: n = là giá trị cần tìm 0,25 đ x2 y2 + = Suy MF1 = 2013 + e.x, MF2 = 2013 − e.x 2013 2012 MF1 MF2 + OM = 2013 + e.x 2013 − e.x + x + y = 2013 − e x + x + y Gọi M ( x; y ) ∈ (E ) : Câu 7.b (1,0đ) ( )( ) = 2013 + y + x (1 − e ) = 2013 + y + x (1 − ) = 2013 + 2012 = 4025 2013 x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC + 1 + ( −2 ) + ( −5) −3 Ta có G A ; ; ; ; = 3 3 2 nên G (1; −2; −1) Câu 8.b (1,0đ) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Mà M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) ⇒ MG = 12 + ( −2 ) + ( −1 − z ) 0,25đ Suy MG = + ( z + 1) ≥ KL: MG nhỏ ⇔ z = −1 hay M ( 0;0; −1) 0,25đ 2 ĐK: x > và y > (*) Ta có x − y + x − y + = ⇔ ( x + 2) + ( x + 2) = ( y + 1) + ( y + 1) Câu 9.b (1,0đ) (1) Từ hs f ( t ) = t + t đồng biến trên ( 0; + ∞ ) và (*) nên (1) ⇔ x + = y + ⇔ y = x + x = Do đó log12 ( x − 1) + log12 ( y − 3) = ⇔ ( x − 1)( x − 2) = 12 ⇔ x = −2 ( l ) ⇒ y = Kết luận: nghiệm hệ phương trình là x = 5, y = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ …HẾT… HƯỚNG DẪN CHẤM: • Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi có lập luận đúng dựa vào SGK hành và có kết chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ý đó ; cho điểm đến phần học sinh làm đúng từ trên xuống và phần làm bài sau không cho điểm Điểm toàn bài thi không làm tròn số www.mathvn.com – www.dethithudaihoc.com (6) • www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Điểm ý nhỏ cần thảo luận kỹ để chấm thống Tuy nhiên , điểm câu và ý không thay đổi www.mathvn.com – www.dethithudaihoc.com (7)