Nghiên cứu công thức điện thế vô hướng để tính toán sự phân bố của điện thế và dòng điện trong vật dẫn bằng kỹ thuật phần tử hữu hạn

Nội dung bài viết này phát triển công thức điện thế vô hướng để phân tích, tính toán và mô phỏng sự phân bố của vectơ điện thế, vectơ dòng điện trong vật liệu dẫn từ và dẫn điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Sự phát triển của phương pháp được kiểm nghiệm và áp dụng vào bài toán thực tiễn. Mời các bạn cùng tham khảo!

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) NGHIÊN CỨU CƠNG THỨC ĐIỆN THẾ VƠ HƯỚNG ĐỂ TÍNH TỐN SỰ PHÂN BỐ CỦA ĐIỆN THẾ VÀ DÒNG ĐIỆN TRONG VẬT DẪN BẰNG KỸ THUẬT PHẦN TỬ HỮU HẠN STUDYING ELECTRIC SCALAR POTENTIAL FORMULATIONS FOR COMPUTING ELECTRIC POTENTIAL AND CURRENT DISTRIBUTION IN CONDUCTING MATERIALS BY A FINITE ELEMENT APPROACH Đặng Quốc Vương1, Nguyễn Đức Quang2 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 2Trường Đại học Điện lực Ngày nhận bài: 11/07/2020, Ngày chấp nhận đăng: 24/08/2020, Phản biện: TS Vũ Thị Thu Nga Tóm tắt: Tính tốn mơ tốn điện từ ngày có vai trị quan trọng nhà nghiên cứu, chế tạo vận hành thiết bị điện - điện tử Do đó, việc nghiên cứu, tính tốn phân tích tốn điện từ nói chung tốn điện động nói riêng ln chủ đề mang tính thời Nội dung báo phát triển công thức điện vơ hướng để phân tích, tính tốn mơ phân bố vectơ điện thế, vectơ dòng điện vật liệu dẫn từ dẫn điện phương pháp phần tử hữu hạn Sự phát triển phương pháp kiểm nghiệm áp dụng vào bốn thực tiễn Từ khóa: cơng thức điện động, điện vơ hướng, mật độ dịng điện, phương pháp phần tử hữu hạn Abstract: Computing and simulating electromagnetic prolems play an increasingly important role for researchers, manufacturers and operators of electrical-electronic equipments Hence, studying, computing and analyzing electromagnetic problems in general and electrokinetic problems in particular are always a matter of concern and topicality for researchers and designers in Viet Nam as well as all over the world This journal developes electrokinetic formulations to analyse, compute and simulate the distribution of elecctric scalar potentials and electric currents in conducting materials by a finite element approach The development of the method is illustrated and validated on a practical problem Keywords: electrokinetic formulations, electric scalar potential, electric current density, finite element approach ĐẶT VẤN ĐỀ Ngày nay, thiết kế, chế tạo thiết bị điện, việc tối ưu hoá chi phí ln vấn đề quan trọng thiếu nhà nghiên cứu, thiết kế chế tạo 70 nước Cùng với phát triển khoa học máy tính phương pháp nghiên cứu mới, việc áp dụng công cụ mô số để giải tốn điện từ nói chung tốn điện động nói riêng ln ưu tiên quan tâm với độ xác cao, Số 24 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) đặc biệt gặp tốn có cấu trúc hình học lớn phức tạp Để giải tốn điện động nói trên, năm gần đây, nhiều nhà nghiên cứu áp dụng phương pháp số như: phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp lai tích phân Trong đó, phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp phổ biến để tính tốn, phân tích mơ tượng điện từ xảy thiết bị điện - điện tử [1, 2] Ưu điểm phương pháp giải tốn có cấu trúc hình học khác nhau, kích thước ma trận lớn với số bậc tự lên tới chục nghìn kết cho độ xác cao 𝜕Ω = Γ = Γe ∪ Γj Eculidean 3 (hình 2) khơng gian  h e Hình Miền nghiên cứu 𝛀 biên 𝛛𝛀 = 𝚪 = 𝚪e ∪ 𝚪j Hệ phương trình Maxwell với luật trạng thái điều kiện biên viết không gian ba chiều Eculidean 3 [3]-[9] là: curl 𝒆 = 0, div 𝒋 = 0, 𝒋 = 𝜎𝒆 (1a-b-c)  Các điều kiện biên: 𝒏 ∙ 𝒋|Γ𝑗 =0, 𝒏 × 𝒆|Γ𝑒 =0, Hình Mơ hình toán điện động Trong báo này, phương pháp phần tử hữu hạn phát triển với công thức điện vơ hướng để tính tốn phân bố vectơ điện vectơ dòng điện vật liệu dẫn từ dẫn điện (Ω𝑐 ) hình Sự phát triển phương pháp minh họa kiểm chứng thơng qua tốn thực tế BÀI TỐN ĐIỆN TỪ 2.1 Phương trình Maxwell Mơ hình toán điện động xác định miền nghiên cứu Ω, với biên Số 24 (2a-b) e cường độ điện trường (V/m), 𝜎 độ dẫn điện (S/m) ; j mật độ dòng điện xác định miền dẫn từ Ω𝑐 (Ω𝑐 ⊂ Ω) n vectơ pháp tuyến đơn vị có hướng từ ngồi miền Ω Hình Sơ đồ Tonti toán điện động [4] Nghiệm phương trình Maxwell tìm phương trình (1a) (1b) giải kết hợp trạng thái vật liệu (1c) hai điều kiện biên kể đến thành phần tiếp tuyến thành phần pháp tuyến cho 71 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) (2 a) (2 b) Đối với toán điện động, trường e, j xác định kiểm chứng ràng buộc thoả mãn sơ đồ Tonti [4] (hình 3) Điều có nghĩa 𝒆 ∈ 𝑭𝑒 (curl; Ω) (cạnh bên trái), 𝒋 ∈ 𝑭𝑗 (div; Ω ) (cạnh bên phải) Trong 𝑭𝑒 (curl; Ω) 𝑭𝑗 (div; Ω) không gian hàm chứa điều kiện biên trường tồn biên Γ𝑗 Γ𝑒 miền nghiên cứu Ω Do đó, phương trình rời rạc tốn điện động xác định theo sườn bên trái bên phải sơ đồ Tonti (hình 3) Từ phương trình (5), tiếp tục áp dụng công thức Green với grad-div, ta có: ∫ (div 𝒋 ∙ 𝑣 ′ )𝑑Ω = ∫(𝒏 ∙ 𝒋)v ′ 𝑑Γ = 0, 𝛺 Γ ′ ∀v ∈ 𝑭0𝑒 (Ω) (6) Phương trình (6) thoả mãn tất tất hàm thử thuộc không gian hàm 𝑭0𝑒 (Ω) Trường hợp kể đến điều kiện chuyển tiếp xuất bề mặt miền nghiên cứu Ω, miền Ω bao gồm hai miền nhỏ Ω1 Ω2 ngăn cách giao diện Σ (hình 4) 2.2 Phương trình rời rạc Từ hệ phương trình Maxwell (1a-b) luật trạng thái (1c) mục 2.1, phương trình rời rạc thiết lập dựa sở công thức Green [3] Thực vậy, áp dụng cơng thức Green với mơ hình graddiv miền nghiên cứu Ω cho trường j hàm thử vơ hướng v’, ta có [4]: ∫ (𝒋 ∙ grad v ′ )𝑑Ω + ∫ (div 𝒋 ∙ v ′ )𝑑Ω 𝛺 𝛺 = ∫(𝒏 ∙ 𝒋)v ′ 𝑑Γ , ∀ v ′ ∈ 𝑭0𝑒 (Ω), (4) Γ đó, 𝑭0𝑒 (Ω) không gian hàm hàm dạng hàm thử gian hàm v’ Thành phần pháp tuyến mật độ dòng điện 𝒏 ∙ 𝒋 (4) xác định theo điều kiện biên (2a) Thành phần tích phân thứ hai phương trình (4) cho (1b), đo phương trình (4) viết lại sau [4]: ∫ (𝒋 ∙ grad v ′ )𝑑Ω = 0, 𝛺 ∀ v ′ ∈ 𝑭0𝑒 (Ω) 72 (5) Hình Giao diện bề mặt hai miền nhỏ 𝜴𝟏 𝜴𝟐 Một cách tương tự, áp dụng công thức Green cho trường j v’ cho miền Ω1 Ω2 , ta có: ∫ Ω1 ∪Ω2 (𝒋 ∙ grad v ′ )𝑑Ω1 ∪ Ω2 = ∫𝒏 ∙ (𝒋1 − 𝒋2 )v ′ 𝑑Σ Σ +∫ (𝒏 ∙ 𝒋)v ′ 𝑑𝜕(Ω1 𝜕(Ω1 ∪Ω2 ) ∪ Ω2 ), ∀ v ′ ∈ 𝑭0𝑒 (Ω), (7) 𝒋1 and 𝒋2 mơ tả có mặt trường j hai biên giao diện Σ Hàm thử v’ lúc xác định miền Ω1 ∪ Ω2 không biên 𝜕(Ω1 ∪ Ω2 ) Thành phần pháp tuyến Số 24 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) trường 𝒋1 and 𝒋2 giao Σ xác định khơng, là: n∙ (𝒋1 − 𝒋2 )v ′ = trình (9) rời rạc hoá theo phần tử nút, với không gian hàm xác định lưới miền nghiên cứu Ω, là: Bằng cách kết hợp phương trình (5) luật trạng thái phương trình (1c), với đại lượng điện vơ hướng v ∈ 𝑭0𝑒 (Ω), phương trình (5) viết lại sau: 𝑣 = ∑ 𝑣𝑛 𝑠𝑛 , 𝑣 ∈ 𝑆𝑒0 (Ω), ∫ (𝜎grad v ∙ grad v ′ )𝑑Ω + ∫(𝒏 ∙ 𝒋)v ′ 𝑑Γ Thay phương trình (10) vào phương trình (9), phương trình (9) viết lại sau: 𝛺 = 0, ∀ v ′ ∈ Γ 𝑭0𝑒 (Ω) (8) Điện v phương trình (8) đại lượng chưa biết cần phải xác định với điều kiện biên, là: v|Γe = constant Thơng thường, điều kiện biên xuất thông qua đại lượng tích phân phương trình rời rạc (4), (7) có kể đến (2a) gọi điều kiện biên “Neuman condition”, điều kiện biên mơ tả xác định không gian hàm 𝑭0𝑒 (Ω) v|Γe = constant gọi điều kiện “Dirichlet condition” Đây xem điều kiện tốn đặt vào để giải phương trình (8) Do đó, đại lượng tích phân thứ hai phương trình (8) phân tích sau: 𝒏 ∙ 𝒋|Γ𝑗 = 𝒏 ∙ 𝒋𝒔 |Γ𝑗 , 𝒋𝒔 xem đại lượng đặt vào thơng qua biên miền nghiên cứu Ω Phương trình (8) viết lại sau [4]: (10) 𝑛∈𝑁 N tập hợp nút miền Ω, 𝑠𝑛 hàm nội suy nút kết hợp với nút n 𝑣𝑛 giá trị 𝑣 nút n ∫ (𝜎grad ∑ sn ∙ grad 𝑣 ′ ) 𝑑Ω 𝛺 𝑛∈𝑁 + ∫(𝒏 ∙ 𝒋𝒔 )v ′ 𝑑Γ = 0, Γ ∀ v ′ ∈ 𝑭0𝑒 (Ω) (11) BÀI TOÁN ÁP DỤNG Xét tốn điện động có cấu trúc hình học 2-D cho hình Mơ hình gồm kim loại làm vật liệu nhơm có độ dẫn điện 𝜎𝑎𝑙 = 2.54 × 107 S/m đĩa (disk 1, disk 2, disk 3) vật liệu sắt từ 𝜎𝑖𝑟𝑜𝑛 = × 106 S/m Điện đặt vào cạnh bên trái chắn vôn cạnh bên phải vôn ∫ (𝜎grad v ∙ grad 𝑣 ′ )𝑑Ω + ∫(𝒏 ∙ 𝒋𝒔 )v ′ 𝑑Γ = 0, 𝛺 Γ ∀ v ′ ∈ 𝑭0𝑒 (Ω) (9) 2.3 Rời rạc hoá trường h Điện vơ hướng phương phương Số 24 Hình Mơ hình hình học 2D với phẳng đĩa từ 73 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) Bài toán giải với hai kịch khác nhau:  Khi phẳng đĩa kim loại có đặc tính vật liệu nhơm;  Khi phẳng vật liệu nhôm đĩa kim loại vật liệu sắt từ Mơ hình chia lưới 2-D với phần tử lưới tam giác đươc mô tả hình b) Hình Sự phân bố điện vơ hướng (a) dịng điện (b) phẳng đĩa kim loại có đặc tính vật liệu 𝝈𝒂𝒍 = 𝟐 𝟓𝟒𝐱𝟏𝟎𝟕 𝐒/𝐦 Y Z X Hình Mơ hình chia lưới 2D Trường hợp thứ nhất: Khi đặc tính vật liệu, phân bố vectơ điện vơ hướng dịng điện tĩnh phẳng đĩa kim loại mô tả hình Nhận thấy đặc tính vật liệu giống nhau, phân bố điện vô hướng (hình 7a) dịng điện tĩnh (hình 7b) trường phân bố có giá trị giống điểm từ trái qua phải từ xuống a) b) Hình Sự phân bố điện vơ hướng (a) dịng điện (b) phẳng đĩa kim loại có đặc tính vật liệu khác nhau: 𝛔𝐚𝐥 = 𝟐 𝟓𝟒𝐱𝟏𝟎𝟕 𝐒/𝐦;𝛔𝐢𝐫𝐨𝐧 = 𝟏𝐱𝟏𝟎𝟔 𝐒/𝐦 a) 74 Trường hợp thứ 2: đặc tính vật liệu khác nhau, phân bố vectơ điện vơ hướng dịng điện tĩnh phẳng đĩa kim loại mô tả Số 24 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) hình Ở vùng có độ dẫn điện nhỏ (như đĩa kim loại), điện (hình 8a) tập trung so với với vùng thuộc phẳng (bên đĩa kim loại) Tương tự phân bố dịng điện tĩnh (hình 8b), dịng điện tập trung vùng có độ dẫn điện cao (tấm phẳng) phân bố thấp vùng đĩa kim loại Electric scalar potential (V) same materials different materials 0.8 0.6 KẾT LUẬN 0.2 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 x-direction (m) a) 300 250 Giá trị điện vơ hướng dịng điện tĩnh dọc theo phẳng đĩa kim loại từ trái qua phải với hai trường hợp khác đặc tính vật liệu biểu diễn hình Giá trị điện điện vơ hướng (hình 9a) giảm dần từ trái qua phải cho hai trường hợp khác đặc tính vật liệu Trong đó, phân bố dịng điện tĩnh khơng đổi trường hợp đặc tính vật liệu thay đổi đặc tính vật liệu khác 0.4 Static current density 10 (C/m ) giá trị mật độ dòng điện thấp so với mật độ dòng điện phẳng 200 150 100 same materials different materials 50 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 x-direction (m) b) Hình Sự phân bố điện vô hướng (a) dòng điện tĩnh (b) dọc theo chắn từ trái qua phải với hai trường hợp khác đặc tính vật liệu Đặc biệt gần khu vực xung quanh đĩa kim loại, giá trị dòng điện thay đổi mạnh có xu hướng tập trung vùng có độ dẫn điện cao, bên đĩa kim loại Bài báo phát triển thành công công thức từ vô hướng với phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích, mơ phỏng, tính tốn phân bố điện vơ hướng, dịng điện tĩnh vật liệu dẫn từ với hai trường hợp khác (cùng và khác đặc tính) Sự phát triển phương pháp áp dụng minh họa vào toán thực tế bao gồm phẳng đĩa từ mơ tả hình Các kết đạt từ mô lý thuyết sở để giúp cho nhà nghiên cứu chế tạo có tranh phân bố điện vơ hướng dịng điện tĩnh nghiên cứu tốn điện động với cấu trúc hình học có đặc tính vật liệu giống khác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Koruglu, P Sergeant, R.V Sabarieqo, Vuong Q Dang, M De Wulf “Influence of contact resistance on shielding efficiency of shielding gutters for high-voltage cables,” IET Electric Power Applications, Vol.5, No.9, (2011), pp 715-720 [2] G Meuier “The finite element method for electromagnetic modeling”, Willey, 2008 Số 24 75 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) [3] Dang Quoc Vuong and Nguyen Duc Quang, “Coupling of Local and Global Quantities by A Subproblem Finite Element Method – Application to Thin Region Models,” ISSN 1859-2171 – Advances in Science, Technology and Engineering Systems Journal (ASTESJ), Vol 4, no.2, 40-44 (2019) [4] R.V Sabariego, “The Fast Multipole Method for Electromagnetic Field Computation in Numerical and Physical Hybrid System,” Ph D thesis, 2006, University of Liege, Belgium [5] Vuong Q Dang, R.V Sabariego, L Krähenbühl, C Geuzaine, “Subproblem Approach for Modelding Multiply Connected Thin Regions with an h-Conformal Magnetodynamic Finite Element Formulation,” in EPJ AP (Vol 63, No.1 (2013)) [6] P Dular, R.V Sabariego, M.V Ferreira de Luz, P Kuo-Peng and L Krahenbuhl “ Perturbation Finite Element Method for Magnetic Circuits”, IET Sci Meas Technol., 2008, Vol 2, No.6, pp.440-446 [7] P Dular, Vuong Q Dang, R.V Sabariego, L Krähenbühl and C Geuzaine, “Correction of thin shell finite element magnetic models via a subproblem method,” IEEE Trans Magn., Vol 47, No 5, pp 158 –1161, 2011 [8] Patrick Dular, Ruth V Sabariego, Mauricio V Ferreira de Luz, Patrick Kuo-Peng and Laurent Krahenbuhl “Perturbation Finite Element Method for Magnetic Model Refinement of – Air Gaps and Leakage Fluxes, Vol 45, No.3, 1400-1404, 2009 [9] Vuong Dang Quoc and Christophe Geuzaine “Using edge elements for modeling of 3-D Magnetodynamic Problem via a Subproblem Method”, Sci Tech Dev J ; 23(1) :439-445 Giới thiệu tác giả: Tác giả Đặng Quốc Vương nhận Tiến sĩ chuyên ngành kỹ thuật điện năm 2013 Đại học Liege, vương quốc Bỉ Hiện tác giả Giám đốc Trung tâm TCEE, giảng viên Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Lĩnh vực nghiên cứu: mơ hình hóa hệ thống điện từ sử dụng mơ hình tốn nhỏ - ứng dụng tới thiết bị điện từ có cấu trúc mỏng (vỏ máy biết áp, tủ điện cao trung thế, chắn điện từ, thép kỹ thuật điện ); ứng dụng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử biên) tính tốn ảnh hưởng điện từ trường đến thiết bị điều khiển hệ thống điện; ứng dụng “subproblem method” tính tốn thiết kế tối ưu hóa vật liệu thiết bị điện Tác giả Nguyễn Đức Quang nhận Tiến sĩ chuyên ngành kỹ thuật điện 2013 Đại học Ecole Nationale Superieure d’Arts et Metiers Paristech, Pháp Hiện tác giả giảng viên Khoa Kỹ thuật điện, Trường Đại học Điện lực Lĩnh vực nghiên cứu: mơ hình hóa hệ thống điện từ, ứng dụng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp tích phân hữu hạn) nghiên cứu máy điện hệ thống điện, tác động điện từ trường tương hỗ tiết kiệm lượng thiết bị điện 76 Số 24 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) Số 24 77 ... hình tốn điện động Trong báo này, phương pháp phần tử hữu hạn phát triển với cơng thức điện vơ hướng để tính tốn phân bố vectơ điện vectơ dòng điện vật liệu dẫn từ dẫn điện (Ω