Tính xấp xỉ tích phân bằng phương pháp monte carlo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TỐN ĐINH THỊ KIM HƯƠNG TÍNH XẤP XỈ TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đà nẵng-2012 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ĐINH THỊ KIM HƯƠNG TÍNH XẤP XỈ TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO Chuyên ngành: Xác suất thống kê LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP G.V hướng dẫn: TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng-2012 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học tôi, Th.S Lê Văn Dũng, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu tơi Tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ khoa tốn, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức năm học tập Với vốn kiến thức tiếp thu trình học khơng tảng cho q trình nghiên cứu khóa luận mà cịn hành trang q báu để bước vào đời cách vững tự tin Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè, xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, 2012 Sinh viên Đinh Thị Kim Hương MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Phép thử 1.1.2 Không gian mẫu 1.1.3 Độ đo xác suất 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối xác suất 1.2.3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập 1.2.4 Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 1.3 Vectơ ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Hàm phân phối xác suất đồng thời 1.3.3 Hàm mật độ xác suất đồng thời 1.4 Phân phối 1.5 Phân phối chuẩn 1.6 Các định lý quan trọng 1.6.1 Định lý Luật số lớn 1.6.2 Định lý giới hạn trung tâm 7 7 8 8 9 11 11 11 12 12 12 13 13 13 Chương Tính xấp xỉ tích phân phương pháp ngẫu nhiên Monte Carlo 15 2.1 Phương pháp Monte Carlo 15 2.2 2.3 2.4 Tích phân lớp Tích phân n lớp (n ≥ 2) Ví dụ áp dụng 2.4.1 Tích phân lớp 2.4.2 Tích phân lớp 2.4.3 Tích phân lớp 16 16 17 17 22 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp Monte Carlo phương pháp mô ngẫu nhiên phổ biến nhất, có tính hiệu cao phép tính gắn liền với đại lượng ngẫu nhiên(như tính độ tin cậy máy, độ bền máy) tính đại lượng khơng ngẫu nhiên(như tính giá trị số π, tính tích phân).Ví dụ ta cần tính tích phân n lớp dạng: f (x1 , x2 , , xn )dx1 , dx2 , , dxn , (1.1) D Nếu trường hợp hàm f đủ trơn, miền D có biên đơn giản, dễ phân tích theo biến (1.1)có thể tính cách áp dụng cơng thức tích phân chiều cho biến công thức cầu phương Gauss nhiều chiều Nếu trường hợp hàm f không liên tục có biểu thức khơng đơn giản, miền D có biên phức tạp phương pháp Monte Carlo lựa chọn để tính tích phân (1.1) Ý tưởng dẫn đến phương pháp Monte Carlo có từ lâu đơn giản dễ hiểu Tuy vậy, xuất máy tính điện tử với tốc độ xử lý nhanh phương pháp phát huy tính ứng dụng thực tế cao Ngày nay, phương pháp Monte Carlo gần công cụ đa công nghệ mơ số q trình hay tượng xảy khoa học kỹ thuật khoa học xã hội, trình hay tượng bị chi phối yếu tố ngẫu nhiên Không thế, nhiều toán khoa học cơng nghệ, khơng liên quan đến yếu tố ngẫu nhiên, chẳng hạn tính tích phân n lớp với hàm số dấu tích phân hoàn toàn xác định biểu thức giải tích trường hợp xét trên, phương pháp Monte Carlo cho phép giải cách tạo mơ hình xác suất tương ứng Do tính đa dạng phương pháp Monte Carlo việc tính tốn mơ tốn tính tích phân Xuất phát từ nhu cầu phát triển ứng dụng định chọn đề tài với tên: "Tính xấp xỉ tích phân phương pháp Monte Carlo" để tiến hành nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại khái niệm lý thuyết xác suất, tính chất chúng - Vận dụng phương pháp Monte Carlo cách chặt chẽ, chi tiết để tính gần tích phân Đồng thời đưa ví dụ áp dụng thực tế - Phát huy khả tư duy, say mê sáng tạo tự tin giải tốn liên quan đến việc tính gần tích phân phương pháp Monte Carlo Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu tính xấp xỉ tích phân phương pháp Monte Carlo - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu xác suất, phương pháp Monte Carlo nước Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học, tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến việc tính xấp xỉ tích phân phương pháp Monte Carlo - Tham khảo tài liệu mạng Internet - Sử dụng phần mềm R ( http://cran.cs.pu.edu.tw/) phần mềm Mathcad Professional để tính toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn trình bày có hệ thống với mục rõ ràng chặt chẽ tính xấp xỉ tích phân phương pháp Monte Carlo Bên cạnh đó, luận văn cịn đưa ví dụ áp dụng thực tế việc tính xấp xỉ tích phân phương pháp Monte Carlo Nên luận văn này, góp phần tạo tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán Cấu trúc luận văn Bản luận văn gồm chương Chương Nhắc lại số kiến thức lý thuyết xác suất liên quan đến phương pháp mô Monte Carlo Chương Tính xấp xỉ tích phân phương pháp ngẫu nhiên Monte Carlo CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Không gian xác suất Phép thử Trong tốn học có khái niệm khơng có định nghĩa mà mơ tả chúng hình ảnh tư trực quan Chẳng hạn hình học khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng khái niệm khơng có định nghĩa Trong xác suất, khái niệm phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay khơng Phép thử gọi ngẫu nhiên ta dự báo trước xác kết xảy ta thực phép thử 1.1.2 Khơng gian mẫu Tập hợp tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên Ta thường kí hiệu Ω Cho khơng gian mẫu Ω có hữu hạn vô hạn biến cố sơ cấp Ta xét lớp F tập Ω thỏa mãn điều kiện: +∅∈F + Nếu A ∈ F Ac ∈ F + Nếu A1 , A2 , , An , ∈ F ∞ n=1 An ∈ F Lớp F gọi σ-đại số tập Ω 1.1.3 Độ đo xác suất Một hàm tập hợp P : F → R gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện sau: + Với A ∈ F, ≤ P(A) ≤ + P(Ω) = + Nếu A1 ,A2 , ,An , đôi không giao (Ai ∩ Ai = ∅ với ∞ i = j) P ( ∞ n=1 An ) P (An ) = n=1 Khi phần tử F gọi biến cố P(A) gọi xác suất xảy biến cố A Bộ ba (Ω, F, P ) 1.2 1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) Hàm số X : Ω → R gọi đại lượng ngẫu nhiên X hàm đo được, tức với a ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F 1.2.2 Hàm phân phối xác suất Cho đại lượng ngẫu nhiên X, hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R gọi hàm phân phối xác suất X Định nghĩa 1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hàm phân phối hàm bậc thang Đại lượng ngẫu nhiên X rời rạc X có miền giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm Khi đó, ta lập bảng sau gọi bảng phân phối xác suất X X x1 x2 xn P p1 p2 pn Hàm phân phối xác suất X lúc xác định F (x) = P (X = xi ) = xi I [1] 0.9788156 Suy phương sai trường hợp là: π D( Xsin(X)) ≈ 0.632 b) Nếu chọn đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ 24x2 π3 p(x) = x ∈ [0, π2 ] x ∈ / [0, π2 ] Khi đó: π x.sinxdx I= π x.sinx 24x2 = dx π3 24x /π π x.sinx = p(x)dx 24x /π π π sinx = p(x)dx 24 x π sin(X) = E[ ] 24 X Để tính gần E( sin(X) X ) ta lấy N giá trị đại lượng ngẫu nhiên sin(X) Y = X : y1 , y2 , , yn Khi đó, sin(X) E( ) ≈ y = (y1 + y2 + + yn ) X N Các giá trị ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên X tìm theo cơng thức xk p(x)dx = zk , (2.2) 20 đó, zk lấy ngẫu nhiên đoạn [0; 1] √ Từ (2.2) suy xk = 0, 5.π zk Ta sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I sau Bước Lấy ngẫu nhiên n giá trị Z đoạn [0; 1]: > a10){x[i] a0){x[i] g k for(i in 1:n){kI [1] 0.8613915 Suy phương sai là: D(e−X +X ) ≈ 0.196 2.4.2 Tích phân lớp Ví dụ 2.4.4 Tính tích phân I= x2 + y ≤ xydxdy; D = 0, 04 D Ta tính tích phân có giá trị xác :I = Bây sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính gần tích phân với hỗ trợ phần mềm R a) Nếu chọn g(x, y) = xy, vectơ ngẫu nhiên H = (X, Y ) có phân phối miền K = [−0, 2; 0, 2] × [−1; 1] có hàm mật độ xác suất là: p(x, y) = Ta có I= 5 (x, y) ∈ K (x, y) ∈ /K x.y.p(x, y)dxdy D 4 = E[g(X, Y )] = E(X.Y ) 5 Ta sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I sau Bước Lấy ngẫu nhiên n giá trị vectơ ngẫu nhiên H K: > a1