Nhận dạng và xác định tam giác theo các yếu tố cho trước

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Đề tài: NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC THEO CÁC YẾU TỐ CHO TRƯỚC Sinh viên thực Lớp Chuyên ngành Giáo viên hướng dẫn : Lê Thị Thêm : 10CTT1 : Cử nhân Toán - Tin : ThS Nguyễn Thị Sinh Đà Nẵng, tháng 5/2014 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu bảo, hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Sinh, đến khóa luận tốt nghiệp em hồn thành Em xin chân thành cảm ơn giáo Nguyễn Thị Sinh giúp đỡ em nhiều thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp SVTH:Lê Thị Thêm Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích – Yêu cầu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I Một số kí hiệu II Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) Bất đẳng thức Bunhiacopxki III Một số định lí tam giác Định lí hàm số sin Định lí hàm số cosin Định lí đường trung tuyến Định lí đường phân giác IV Các dấu hiệu nhận dạng tam giác Các dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông ABC Các dấu hiệu nhận dạng tam giác cân ABC Các dấu hiệu nhận dạng tam giác ABC CHƯƠNG II 10 NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC THEO CÁC YẾU TỐ CHO TRƯỚC 10 I BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC 10 Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ cạnh cạnh 10 Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ cạnh góc 18 SVTH:Lê Thị Thêm Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ góc góc 27 Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ yếu tố khác 38 II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TAM GIÁC 50 Xác định tam giác theo cạnh đường cao 50 Xác định tam giác theo cạnh đường trung tuyến 54 Xác định tam giác theo cạnh đường phân giác 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 SVTH:Lê Thị Thêm Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hệ thức lượng tam giác nội dung quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Mặt khác, cịn gắn liền với thực tế qua tốn tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản,…trong tam giác tốn khó địi hỏi nhiều tính tốn, suy luận Trong chương trình tốn học phổ thơng, hệ thức lượng tam giác giới thiệu chương trình tốn học lớp nâng cao toán học lớp 10 Một lớp toán quan trọng phần hệ thức lượng tam giác nói riêng chương trình mơn học lượng giác nhà trường phổ thơng nói chung “ Nhận dạng xác định tam giác “ Đây dạng tốn hay khó, thường gặp kỳ thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng kỳ thi có tính chất tuyển chọn học sinh Ngồi ra, nhận dạng xác định tam giác đưa vào bước trung gian nhiều tốn Trong việc đốn nhận xem tam giác đều, vng, cân hay dạng đặc biệt giúp ích nhiều cho việc tính diện tích, chu vi hay yếu tố khác tam giác Vì lí nên em chọn đề tài “ Nhận dạng xác định tam giác theo yếu tố cho trước “ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích – u cầu Tìm hiểu thêm kiến thức để giúp cho việc giảng dạy sau trường phổ thông Hệ thống hóa kiến thức liên quan, hỗ trợ cho việc nhận dạng xác định tam giác Đưa số dạng toán nhận dạng xác định tam giác Đề xuất số tập nhận dạng xác định tam giác SVTH:Lê Thị Thêm Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Lý thuyết sở, hệ thống hóa kiến thức liên quan hỗ trợ cho việc nhận dạng xác định tam giác Chương 2: Nhận dạng xác định tam giác theo yếu tố cho trước, trình bày số dạng tốn nhận dạng xác định tam giác Đồng thời đưa số tập cho dạng toán SVTH:Lê Thị Thêm Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I Một số kí hiệu ABC tam giác ABC có A, B, C ba đỉnh A, B, C ,  ABC ,  ACB ABC ba góc BAC a, b, c độ dài cạnh đối diện với góc A, B, C tương ứng , hb , hc độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C tương ứng ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C tương la , lb , lc độ dài đường phân giác xuất phát từ A, B, C ứng tương ứng , rb , rc độ dài bán kính đường trịn bàng tiếp A, B, C tương R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp ABC SABC diện tích tam giác ABC 10 p nửa chu vi tam giác ABC ứng II Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) Cho n số không âm x1 , x2 , x3 , , xn  n  N , n   , ta có x1  x2   xn n  x1 x2 xn n Dấu “ = “ xảy  x1  x2  x3   xn Bất đẳng thức Bunhiacopxki SVTH:Lê Thị Thêm Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Cho hai dãy số tùy ý: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn  n  N , n   , ta có a1b1  a2b2   anbn  Dấu xảy  a  a22   an2  b12  b22   bn2  a1 a2 a    n b1 b2 bn III Một số định lí tam giác A' A R Định lí hàm số sin 1.1 Phát biểu định lí O   C Trong tam giác ABC, ta có a b c    2R sin A sin B sin C B TH: A nhọn A  A' 1.2 Chứng minh định lí Gọi ( O;R ) đường tròn ngoại tiếp ABC Vẽ đường kính BA' A ' ' ' BCA vuông C  BC  BA sin A  a  R sin A' ( A  A' A  A'  180 ) R C  O Do a  R sin A A' a  2R sin A Vậy Chứng minh tương tự ta b c  2R ;  2R sin B sin C Nên B TH: A tù A  A'  180 a b c    2R sin A sin B sin C Vậy định lí chứng minh SVTH:Lê Thị Thêm Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Định lí hàm số cosin A 2.1 Phát biểu định lí Trong tam giác ABC, ta có: 2 2 2 K a  b  c  2bc cos A c b b  c  a  2ca cos B c  a  b  2ab cos C B 2.2 Chứng minh định lí C a BC  BK  KC Ta có  BC  ( AB  AK )  ( AC  AK )  BC  AB  AK  AC  AK  AC AK  BC  AB  AC  AC AK  BC  AB  AC  AC AB.cos A  a  b  c  2bc cos A Chứng minh tương tự ta được: b  a  c  2ac cos B c  a  b  2ab cos C Vậy định lí chứng minh Định lí đường trung tuyến A 3.1 Phát biểu định lí Trong tam giác ABC, ta có: ma2  2c  2b  a   mb2  2c  2a  b   mc2  2a  2b  c   SVTH:Lê Thị Thêm b c ma B M C a Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh 3.2 Chứng minh định lí Ta có    AB  AM  MB     AB  AM  MB        AB  AM  MB  AM MB ( )    AC  AM  MC     AC  AM  MC        AC  AM  MC  AM MC ( ) Cộng ( ) ( ) vế theo vế ta    AB  AC  AM  MB  MC  AM MB  MC 2 2      ( Vì MB  MC  )  a a 2m  b  c       2 2  1 a2  m  b  c   2 2  ma2  a 2 2 a 2b  2c  a   Chứng minh tương tự ta được: mb2  a  2c  b   mc2  2a  2b  c   Vậy định lí chứng minh Định lí đường phân giác 4.1 Phát biểu định lí Trong tam giác ABC ta có: SVTH:Lê Thị Thêm Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh  a b3 c   y x ax  by  cz         a  b  c4   ab  a  b2   y  x x y z  z y z  x  bc  b  c2   ca  c  a  z x  z  y Theo bất đẳng thức Côsi  a b c3  (ax  by  cz)     x y z  a  b  c4  ab2ab  bc2bc  ca2ca =  a  b  c2  Mặt khác ta ln có a  b  c2  ab  bc  ca Nên 3 a  b  c2  a  b2  c2 a b c     x y z rR  a  b2  c2   r  R   Ta chứng minh r   a  b  c 3 r  R  R , theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 2 c2 papb  p  a  p  b        a2  p  b  p  c   b2  p  c  p  a   Suy a b 2c  p  a  p  b  p  c    64 Hay SVTH:Lê Thị Thêm Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp đại học  p  a  p  b  p  c   GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh abc Mặt khác 4p  p  a  p  b  p  c  4S2 r   R pabc pabc  Vậy r  4 abc   p  a  p  b  p  c   abc abc R Từ suy 9R R  3 r  R   3  R   2  Do 2a  b  c a b c3    x y z 9R Theo giả thiết toán, dấu “ = “ xảy ra, nghĩa  2y z y x z y , b  c , c2  a a  b x y z z x  x  a  b  c R  2r   Vậy ABC tam giác SVTH:Lê Thị Thêm Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TAM GIÁC Trong chương trình tốn phổ thơng, làm quen với toán xác định tam giác Đó là: Bài tốn Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với yếu tố a, b, c là: bc a bc Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với hai cạnh a, b góc xen C là:  C   ; a, b  Tam giác với yếu tố Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với hai góc B,C cạnh xen a là:  C  , B   0, C   0, a  0B Tam giác với yếu tố Ở phần luận văn đề cập đến số toán xác định tam giác có liên quan đến yếu tố khác Đó là:  Xác định tam giác theo cạnh đường cao  Xác định tam giác theo cạnh đường trung tuyến  Xác định tam giác theo cạnh đường phân giác Xác định tam giác theo cạnh đường cao 1.1 Xác định tam giác theo cạnh hai đường cao Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với yếu tố a, , hb là: a  hb  0,  (1.1) SVTH:Lê Thị Thêm Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Giải: Điều kiện cần Với ABC , đường cao AH, BK ta có: hb  a sin C  a hb  a  C    ABC vuông C Điều kiện đủ Giả sử a, , hb thỏa mãn (1.1) ta chứng tỏ tồn ABC thỏa mãn BC = a, đường cao AH  , BK  hb cách cách dựng tam giác ( Hình 1.1 ) Giả sử dựng ABC Khi BC = a dựng ngay, để xác định A trước hết ta xác định K Do BK vng góc với KC nên K thuộc đường trịn đường kính BC Mặt khác, BK  hb nên K thuộc đường trịn tâm B bán kính hb Do K giao điểm hai đường trịn nói Điểm A  CK cách BC khoảng Từ ta có cách dựng sau: - Trước hết đường thẳng lấy BC = a - Dựng đường tròn tâm B bán kính hb , sau lại dựng đường trịn đường kính BC - Dựng điểm K giao điểm hai đường trịn nói - Dựng đường thẳng  song song với BC cách BC khoảng Đường thẳng CK cắt  A Ta ABC cần dựng Thật vậy, a  hb nên K tồn tại, tồn A giao điểm  với CK Do ABC tồn thỏa mãn BC = a, đường cao AH  , BK  hb Biện luận: SVTH:Lê Thị Thêm Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh - Nếu hb  a đường trịn tâm B bán kính hb cắt đường trịn đường kính BC hai điểm K K ' Các đường thẳng CK, CK ' cắt  A, A' , có hai tam giác thỏa mãn đề - Nếu hb  a đường trịn tâm B bán kính hb cắt đường trịn đường kính BC điểm C Trường hợp tồn ABC với A giao điểm  với tiếp tuyến đường trịn đường kính BC C Vậy với yếu tố a, , hb thỏa mãn (1.1) điều kiện cần đủ để tồn tam giác K  A hb B C Hình 1.1 1.2 Xác định tam giác theo hai cạnh đường cao Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với yếu tố a, b, là: b   0, a  (1.2) Giải: Điều kiện cần Với ABC , đường cao AH  ta có: b  b sin C   b  C    ABC vuông C  H  C SVTH:Lê Thị Thêm Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Điều kiện đủ Giả sử a, b, thỏa mãn (1.2) ta chứng tỏ tồn ABC thỏa BC = a,AC = b, đường cao AH  , cách cách dựng tam giác ( Hình 1.2 ) Giả sử dựng ABC Do AH vng góc với BC nên H thuộc đường trịn đường kính AC Mặt khác, AH  nên H thuộc đường tròn tâm A bán kính Do H giao điểm hai đường trịn nói Điểm B  HC cho BC = a Từ ta có cách dựng sau: - Trước hết đường thẳng lấy AC = b - Dựng đường tròn tâm A bán kính , sau lại dựng đường trịn đường kính AC - Dựng điểm H giao điểm hai đường trịn nói - Dựng điểm B CH cho BC = a Ta ABC cần dựng Thật vậy, a  hb nên H tồn Do ABC tồn thỏa mãn BC = a, AC = b, đường cao AH  Biện luận: - Nếu b  đường trịn tâm A bán kính cắt đường trịn đường kính AC hai điểm H H ' đối xứng qua AC nên ta coi có ABC thỏa mãn AH  , AC = b Với điểm H đó, đường thẳng CH có hai điểm B B ' thỏa mãn CB  CB '  a nên có hai tam giác ABC AB 'C thỏa mãn giả thiết toán - Nếu b  H  C CH tiếp tuyến C đường trịn đường kính AC nên tồn tam giác ABC với AC  b  , BC = a Vậy với yếu tố a, b, thỏa mãn (1.2) điều kiện cần đủ để tồn tam giác SVTH:Lê Thị Thêm Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh H B a C A b Hình 1.2 Xác định tam giác theo cạnh đường trung tuyến 2.1 Xác định tam giác theo cạnh hai trung tuyến Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với yếu tố 3a  2ma  4mb   a, ma , mb là: 3a  2ma  4mb  (2.1) 3a  2m  4m  a b  Hơn tam giác với yếu tố thỏa mãn (2.1) Giải: Điều kiện cần Cho ABC với BC = a, hai trung tuyến AM  ma , BN  mb Gọi G trọng tâm ABC Trong BGM , ta có SVTH:Lê Thị Thêm Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh  a ma 2mb 2      a ma 2mb       3   a ma 2mb      Từ   ta suy (2.1) Điều kiện đủ Giả sử a, ma , mb  thỏa mãn (2.1) thỏa mãn   nên tồn tam giác nhận a ma 2mb độ dài ba cạnh , , 3 a m 2m Gọi tam giác BGM với BM  , GM  a , BG  b 3     Dựng điểm C A cho BC  BM , MA  3MG ( Hình 2.1 ) Khi ABC có BC = a, trung tuyến AM  ma , BN   trung tuyến ABC MA  3MG nên G trọng tâm Do BG cắt AC trung điểm N AC BN  BG  mb Vậy tồn tam giác với yếu tố a, ma , mb thỏa mãn (2.1) A ma mb B N G a M C Hình 2.1 SVTH:Lê Thị Thêm Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh 2.2 Xác định tam giác theo hai cạnh trung tuyến Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với yếu tố a  2b  2ma   a, b, ma là: a  2b  2ma  (2.2) a  2b  2m  a  Hơn tam giác với yếu tố thỏa mãn (2.2) Giải: Điều kiện cần Cho ABC với BC = a, AC = b, trung tuyến AM  ma Trong AMC ( Hình 2.2) ta có a   b  ma   a   b  ma    2  a   b  ma  Từ   ta suy (2.2) Điều kiện đủ Giả sử a, b, ma  thỏa mãn (2.2) thỏa mãn   nên tồn tam giác nhận a , b, ma độ dài ba cạnh a Gọi tam giác AMC với MC  , AM  ma , AC  b Gọi B điểm đối xứng C qua M, ta ABC với BC  a, AC  b, AM  ma Vậy tồn tam giác với yếu tố a, b, ma thỏa mãn (2.2) SVTH:Lê Thị Thêm Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh A b ma B a M C Hình 2.2 2.3 Xác định tam giác theo ba trung tuyến Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác với yếu tố ma , mb , mc : mb  mc  ma  mb  mc (2.3) Hơn tam giác với yếu tố thỏa mãn (2.3) Giải: Điều kiện cần Cho ABC với trung tuyến AM  ma , BN  mb , CP  mc Gọi G trọng tâm ABC , gọi Q trung điểm GC Trong GMQ ( Hình 2.3 ) ta có 1 1 mb  mc  ma  mb  mc 3 3   Từ   ta suy (2.3) Điều kiện đủ Giả sử ma , mb , mc  thỏa mãn (2.3), thỏa mãn   nên tồn tam giác nhận 1 ma , mb , mc độ dài ba cạnh 3 1 Gọi tam giác GMQ với GM  ma , MQ  mb , QG  mc 3 SVTH:Lê Thị Thêm Trang 57 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Gọi C điểm đối xứng G qua Q, B điểm đối xứng C qua M,   A điểm cho AM  3GM ta ABC với AM  ma , BN  mb , CP  mc Vậy tồn tam giác với yếu tố ma , mb , mc thỏa mãn (2.3) B mb M P ma A G mc Q C N Hình 2.3 Xác định tam giác theo cạnh đường phân giác 3.1 Xác định tam giác theo hai cạnh phân giác Bài toán Điều kiện cần đủ để tồn tam giác theo yếu tố b, c, la là:  la  2bc (3.1) bc Hơn tam giác với yếu tố thỏa mãn (3.1) Giải: Điều kiện cần A  2bc bc bc 2bc cos Theo hệ thức đường phân giác ta có  la  (  cos SVTH:Lê Thị Thêm A với ABC ) Trang 58 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Điều kiện đủ Giả sử b, c, la  thỏa mãn (3.1) Từ (3.1) ta suy  la  b  c   2bc l b  c    Suy tồn    0,  cho cos   a 2bc  2  Do tồn ABC với AB  c, AC  b, BAC  2 ( Hình 3.1) Vẽ phân giác AD ABC , ta có AD  2bc A 2bc 2bc la  b  c  cos  cos  bc bc b  c 2bc Suy AD  la Vậy tồn tam giác với yếu tố b, c, la thỏa mãn (3.1) B D c la A b C Hình 3.1 SVTH:Lê Thị Thêm Trang 59 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh KẾT LUẬN Đề tài “ Nhận dạng xác định tam giác theo yếu tố cho trước “ đạt kết sau:  Trình bày kiến thức liên quan, hỗ trợ cho việc nhận dạng xác định tam giác  Đưa số dạng toán nhận dạng tam giác:  Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ cạnh cạnh  Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ cạnh góc  Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ góc góc  Nhận dạng tam giác biết hệ thức liên hệ yếu tố khác  Đưa sáu toán xác định tam giác, bao gồm:  Hai toán xác định tam giác theo cạnh đường cao  Ba toán xác định tam giác theo cạnh đường trung tuyến  Một toán xác định tam giác theo cạnh đường phân giác  Đưa số tập áp dụng cụ thể cho dạng toán Hy vọng kết khóa luận cịn tiếp tục mở rộng nhiều để ứng dụng ngày có hiệu cao việc dạy học SVTH:Lê Thị Thêm Trang 60 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Văn Chương, 2007, Phương pháp giải toán lượng giác, NXB Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh [2] Võ Giang Giai, 2010, Phương pháp giải toán hệ thức lượng tam giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Trần Phương, 2010, Hệ thức lượng giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Thượng Võ, 1998, Tuyển tập 300 toán chọn lọc hệ thức lượng tam giác, NXB Trẻ SVTH:Lê Thị Thêm Trang 61 Khóa luận tốt nghiệp đại học SVTH:Lê Thị Thêm GVHD:Th.S Nguyễn Thị Sinh Trang 62 ... hỗ trợ cho việc nhận dạng xác định tam giác Chương 2: Nhận dạng xác định tam giác theo yếu tố cho trước, trình bày số dạng toán nhận dạng xác định tam giác Đồng thời đưa số tập cho dạng tốn SVTH:Lê... Các dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông ABC Các dấu hiệu nhận dạng tam giác cân ABC Các dấu hiệu nhận dạng tam giác ABC CHƯƠNG II 10 NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC... liên quan, hỗ trợ cho việc nhận dạng xác định tam giác Đưa số dạng toán nhận dạng xác định tam giác Đề xuất số tập nhận dạng xác định tam giác SVTH:Lê Thị Thêm Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học