Kiểm định về các đặc trưng của hai mẫu dữ liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN KIỂM ĐỊNH VỀ CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HAI MẪU DỮ LIỆU LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SVTH: NGUYỄN THỊ LINH LỚP 11CTUD2 CHUYÊN NGÀNH: CỬ NHÂN TỐN ỨNG DỤNG GVHD: TH.S TƠN THẤT TÚ ĐÀ NẴNG, 2015 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TH.S Tơn Thất Tú, ngƣời tận tình giúp đỡ đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tổ toán ứng dụng tập thể sƣ phạm nhà trƣờng day giúp đỡ em suốt năm học Đồng thời, xin gởi lời cảm ơn đến tất bạn lớp 11CTUD2 - khoa Toán giúp đỡ tơi suốt q trình học trƣờng Đà Nẵng, ngày 10 tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Linh MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm đại lƣợng ngẫu nhiên 1.1.1 Đại lƣợng ngẫu nhiên 1.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 1.1.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.1.4 Kỳ vọng toán 1.1.5 Phƣơng sai 1.1.6 Độ lệch chuẩn 1.2 Các phân phối thƣờng gặp 1.2.1 Phân phối Bernoulli 1.2.2 Phân phối nhị thức 1.2.3 Phân phối Poisson 1.2.4 Phân phối chuẩn 1.2.5 Phân phối chuẩn tắc 1.2.6 Phân phối Student 1.2.7 Phân phối bình phƣơng 1.3 Khái niệm mẫu 1.3.1 Tổng thể mẫu ngẫu nhiên 1.3.2 Các số đặc trƣng mẫu số liệu 10 1.4 Bài toán kiểm định giả thuyết 12 1.4.1 Giả thuyết thống kê 12 1.4.2 Tiêu chuẩn kiểm định 13 1.4.3 Miền bác bỏ giả thuyết 13 1.4.4 Quy tắc kiểm định 13 1.5 Các định lý giới hạn 14 1.5.1 Luật số lớn 14 1.5.2 Định lý giới hạn trung tâm 14 CHƢƠNG 2: 16 KIỂM ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HAI MẪU DỮ LIỆU 16 2.1 So Sánh Hai Giá Trị Trung Bình 16 2.1.1 Trƣờng hợp phƣơng sai biết 16 2.1.2 Trƣờng hợp phƣơng sai chƣa biết cỡ mẫu lớn (n, m > 30).20 2.1.3 Trƣờng hợp cỡ mẫu nhỏ ( n < 30 m < 30) nhƣng phƣơng sai (chƣa biết) 23 2.1.4 Trƣờng hợp cỡ mẫu nhỏ hai phƣơng sai không 28 2.1.5 Phƣơng pháp so sánh cặp 30 2.2 Tiêu Chuẩn Phi Tham Số 34 2.2.1 Tiêu chuẩn hạng (Tiêu chuẩn Mann-whitney) 34 2.2.2 Tiêu chuẩn dấu tiêu chuẩn hạng có dấu Wilcoxon 40 2.3 So Sánh Hai Tỉ Lệ 50 PHỤ LỤC 55 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán LỜI MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Thống kê đƣợc định nghĩa cách khái quát nhƣ ngành khoa học nghiên cứu phƣơng pháp rút thông tin từ liệu quan sát, nhằm giải toán thực tế sống Nhiều vấn đề thực tế dẫn đến việc so sánh đặc trƣng hai hay nhiều mẫu liệu, chẳng hạn ngƣời ta muốn đánh giá suất làm việc nhóm lao động, đánh giá hiệu phƣơng pháp đƣợc áp dụng lên nhóm đối tƣợng khác nhau, kiểm tra xem mẫu liệu độc lập hay có mối quan hệ phụ thuộc, … Thống kê nói chung hay tốn so sánh nói riêng có ứng dụng rộng rãi thực tế sống Nó khơng giúp giải tốn thực tế mà cịn giải tốn nghiên cứu khoa học Đó lý em chọn đề tài “Kiểm định đặc trƣng hai mẫu liệu” làm đề tài luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa lại kiến thức liên quan đến toán so sánh đặc trƣng hai mẫu liệu, đồng thời đƣa tập áp dụng đƣợc xử lý Excel phần mềm toán học Maple ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tƣợng nghiên cứu đề tài toán kiểm định giả thuyết đặc trƣng hai mẫu liệu, có tiêu chuẩn có tham số phi tham số SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán - Phạm vi nghiên cứu đề tài toán so sánh giá trị trung bình hai mẫu liệu, so sánh tỉ lệ dấu hiệu hai mẫu, kiểm định luật phân phối nhƣ mối quan hệ phụ thuộc chúng PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tài liệu tham khảo, đồng thời nghiên cứu Excel phần mềm toán Maple để giải toán áp dụng Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN - Đề tài hệ thống hóa lại kiến thức liên quan đến toán so sánh đặc trƣng hai mẫu liệu, ví dụ vừa đƣợc giải theo lối giải truyền thống vừa đƣợc minh họa qua việc sử dụng phần mềm tính tốn - Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn sinh viên quan tâm học học phần “Lý thuyết Xác suất Thống kê toán” BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chƣơng: + Chƣơng 1: Trình bày số kiến thức liên quan đến nội dung luận văn, bao gồm định nghĩa đại lƣợng ngẫu nhiên, phân phối thƣờng gặp, khái niệm mẫu, toán kiểm định vài kết liên quan đến định lý giới hạn + Chƣơng 2: Đây nội dung luận văn Chƣơng II vào nghiên cứu toán kiểm định tham số phi tham số hai mẫu liệu, bao gồm : so sánh hai giá trị trung bình, tiêu chuẩn phi tham số so sánh hai tỉ lệ SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán Trong suốt q trình làm khóa luận đƣợc bảo ân cần, chu đáo song có hạn chế, sai sót Vì vậy, em mong thầy đóng góp ý kiến, giúp đỡ thơng cảm cho em Em xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm đại lƣợng ngẫu nhiên 1.1.1 Đại lƣợng ngẫu nhiên Định nghĩa: Là đại lƣợng mà kết phép thử nhận giá trị có với xác suất tƣơng ứng định xác định Đại lƣợng ngẫu nhiên kí hiệu X, Y, Z X1,X2,…,Xn ; Y1,Y2,….,Ym cịn giá trị có chúng đƣợc kí hiệu x1,x2,…,xn ; y1,y2,…,ym 1.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị có lấp đầy khoảng trục số Đối với biến ngẫu nhiên liên tục ta liệt kê đƣợc tất giá trị có (số phần tử tập giá trị vô hạn không đếm đƣợc theo lý thuyết số) 1.1.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị gồm hữu hạn vô hạn đếm đƣợc điểm 1.1.4 Kỳ vọng toán Định nghĩa: Kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(X), số đƣợc xác định nhƣ sau: SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán - Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất P(X = x k) = pk, k=1,2… E(X) = - Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) E(X) đƣợc xác định biểu thức: E(X) = Tính chất: - E(c) = c (với c số) - E(c.X) = c.E(X) - E(X+Y) = E(X) + E(Y) - Nếu X, Y độc lập E(X.Y) = E(X).E(Y) 1.1.5 Phƣơng sai Định nghĩa: Giả sử biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X) Nếu tồn kỳ vọng E[(X – E(X))2] ta gọi giá trị phƣơng sai X, kí hiệu V(X), tức V(X) = E[(X – E(X))2] Tính chất: - V(X) = E(X2) – (E(X))2 - V(c) = (với c số) - V(c.X) = c2.V(X) - V(X Y) = V(X) + V(Y) X, Y độc lập Trong thực hành, ta hay sử dụng công thức sau: SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán 83 82 1.5 1.5 75 71 12 12 78 75 8 80 85 -5 15 15 82 86 -4 12 12 88 85 8 85 82 8 80 87 -7 18 18 78 78 81 84 -3 8 70 85 -15 20 20 80 81 -1 1.5 1.5 = 83.5 = 126.5 Tính hạng: Ta xếp theo thứ tự tăng dần 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 15 Số có hạng SVTH: Nguyễn Thị Linh = 1.5; Trang 48 Luận Văn Tốt Nghiệp Số có hạng Số có hạng Khoa Tốn = 4; = 8; Số có hạng = 12; Số có hạng =15; Số có hạng 17; Số có hạng 18; Số 10 có hạng 19; Số 15 có hạng 20; Ta có R = = = 83.5; = 20 Ta có tốn kiểm định giả thuyết H0: Năng suất lao động công nhân trƣớc sau nghỉ phép không thay đổi Với đối thuyết H1: Năng suất lao động công nhân trƣớc sau nghỉ phép thay đổi SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 49 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán Tiêu chuẩn kiểm định: T = Miền bác bỏ H0: W = (- ; = [ ;+ = (- ; = (- ; Vì T = 2.33; [ [ ;+ ;+ W nên bác bỏ H0 Kết luận: Vậy suất lao động công nhân trƣớc sau nghỉ tết thay đổi với mức ý nghĩa 5% 2.3 So Sánh Hai Tỉ Lệ Xét dấu hiệu A tổng thể X Y có tỉ lệ lần lƣợt p p2 chƣa biết Giả sử ta tiến hành điều tra mẫu tổng thể X Y với kích thƣớc m n phát có k l cá thể mang dấu hiệu A Xét toán so sánh giá trị tỉ lệ p1 p2 Bài toán 1: Bài toán kiểm định giả thuyết: SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 50 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán Tiêu chuẩn kiểm định T = với f1 = , f2 = , f = giả thuyết H0 với điều kiện h.f ≥ 10, h.(1-f) ≥ 10, h = m + n T có phân phối xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc N(0,1) Miền bác bỏ H0 W = [ ;+ với mức ý nghĩa cho trƣớc Bài toán 2: Bài toán kiểm định giả thuyết : Tiêu chuẩn kiểm định T = với f1 = , f2 = , f = giả thuyết H0 với điều kiện h.f ≥ 10, h.(1-f) ≥ 10, h = m+ n T có phân phối xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc N(0,1) Miền bác bỏ H0 W =(- ; với mức ý nghĩa cho trƣớc Bài toán 3: Bài toán kiểm định giả thuyết : Tiêu chuẩn kiểm định T = với f1 = , f2 = , f = giả thuyết H0 với điều kiện h.f ≥ 10, h.(1-f) ≥ 10, h = m + n T có phân phối xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc N(0,1) SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 51 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán Miền bác bỏ H0 W = (- ; [ với mức ý nghĩa ;+ cho trƣớc Từ ta có kết sau: Giả thuyết thống kê H0: p1 = p2 Tiêu chuẩn kiểm định là: T = Đối thuyết Miền bác bỏ H0 H1: p1 > p2 W=[ H1: p1 < p2 W = (- H1: p1 Trong với f1 = p2 W = (- , f2 = , f = ;+ ; ; [ ;+ tra bảng I Ví dụ 1: Hai giáo sƣ A B dạy môn hai trƣờng đại học Trong số 400 sinh viên theo học giáo sƣ A có 80 sinh viên thi trƣợt Trong số 500 sinh viên theo học giáo sƣ B có 125 sinh viên thi trƣợt Với mức ý nghĩa = 0.05 kiểm định xem có khác hay khơng tỉ lệ trƣợt sinh viên giáo sƣ A sinh viên giáo sƣ B? SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 52 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán Giải: Theo đề ta có m = 400, n = 500, k = 80, l = 125 Gọi p1, p2 tƣơng ứng tỉ lệ trƣợt sinh viên theo học giáo sƣ A giáo sƣ B Bài toán kiểm định giả thuyết: Theo giả thiết ta có m = 400, k=80, f1= = = 0.2; n = 500, l=125, f2 = = Tần suất chung f = = 0.25; = = 0.23; Ta có: h.f = 900*0.23= 207 > 10, h.(1-f) = 900*(1-0.23)= 693 > 10; Tiêu chuẩn kiểm định: T = Miền bác bỏ H0: W = (- ; = [ ;+ = (- ; = (- ; SVTH: Nguyễn Thị Linh = -1.77; [ [ ;+ ;+ Trang 53 Luận Văn Tốt Nghiệp Vì T Khoa Tốn W nên chƣa có sở bác bỏ H0 Kết luận: Vậy với mức ý nghĩa 5% tỉ lệ trƣợt sinh viên giáo sƣ A sinh viên giáo sƣ B nhƣ SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 54 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán PHỤ LỤC 1, Chương trình MAPLE tốn so sánh hai tỉ lệ: > RatioTest:=proc(n1,n2,k1,k2,alpha) local f1,f2,f,pvc,T; f1:=k1/n1; f2:=k2/n2; f:=(k1+k2)/(n1+n2); T:=evalf[3]((f1-f2)/sqrt(f*(1-f)*(1/n1+1/n2))); pvc[0]:=evalf[3](Statistics[Quantile](Normal(0,1),1-alpha/2)); pvc[1]:=evalf[3](Statistics[Quantile](Normal(0,1),1-alpha)); # Bai toan 1: print(`Bai toan 1:`); print(`H0: p1=p2, H1:=p1p2`); print(`- Gia tri thuc nghiem:`); print('T'=T); print(`- Mien bac bo:`); print(W[alpha]={'abs(T)'>pvc[0]}); print(`- Ket luan:`); if is(abs(T)>pvc[0]) then print(`Bac bo H0, chap nhan H1.`) else print(`Chua co co so bac bo H0.`); fi; # Bai toan 2: print(`Bai toan 2:`); SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 55 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán print(`H0: p1=p2, H1:=p1pvc[1]) then print(`Bac bo H0, chap nhan H1.`) else print(`Chua co co so bac bo H0.`); fi; end proc: SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 56 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán 2, Bảng giá trị tới hạn phân phối chuẩn phân phối Student Bảng I: PHÂN VỊ MỨC CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC N(0, 1) = Tính Excel = NORMSINV(1- ) 0.50 0.0000 0.250 0.6745 0.050 1.6449 0.025 1.9600 0.49 0.0251 0.240 0.7063 0.049 1.6546 0.024 1.9774 0.48 0.0502 0.230 0.7388 0.048 1.6646 0.023 1.9954 0.47 0.0753 0.220 0.7722 0.047 1.6747 0.022 2.0141 0.46 0.1004 0.210 0.8064 0.046 1.6849 0.021 2.0335 0.45 0.1257 0.200 0.8416 0.045 1.6954 0.020 2.0537 0.44 0.1510 0.190 0.8779 0.044 1.7060 0.019 2.0749 0.43 0.1764 0.180 0.9154 0.043 1.7169 0.018 2.0969 0.42 0.2019 0.170 0.9542 0.042 1.7279 0.017 2.1201 0.41 0.2275 0.160 0.9945 0.041 1.7392 0.016 2.1444 0.40 0.2533 0.150 1.0364 0.040 1.7570 0.015 2.1701 0.39 0.2793 0.140 1.0803 0.039 1.7624 0.014 2.1973 SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 57 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán 0.38 0.3055 0.130 1.1264 0.038 1.7744 0.013 2.2262 0.37 0.3319 0.120 1.1750 0.037 1.7866 0.012 2.2571 0.36 0.3585 0.110 1.2265 0.036 1.7991 0.011 2.2904 0.35 0.3853 0.100 1.2816 0.035 1.8119 0.010 2.3263 0.34 0.4125 0.095 1.3106 0.034 1.8250 0.009 2.3656 0.33 0.4399 0.090 1.3408 0.033 1.8384 0.008 2.4089 0.32 0.4677 0.085 1.3722 0.032 1.8522 0.007 2.4573 0.31 0.4959 0.080 1.4051 0.031 1.8663 0.006 2.5121 0.30 0.5244 0.075 1.4395 0.030 1.8808 0.005 2.5758 0.29 0.5534 0.070 1.4758 0.029 1.8957 0.004 2.6521 0.28 0.5828 0.065 1.5141 0.028 1.9110 0.003 2.7478 0.27 0.6128 0.060 1.5548 0.027 1.9268 0.002 2.8782 0.26 0.6433 0.055 1.5982 0.026 1.9431 0.001 3.0902 Bảng II: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN PHỐI STUDENT Hàm tìm ) Excel )=TINV(2 ,n) n SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 58 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán 0.250 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 0.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 0.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 14 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 15 0.6912 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025 2.9467 16 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 17 0.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 18 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 59 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán 19 0.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 20 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 21 0.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 22 0.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 23 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 24 0.6848 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 25 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 26 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 27 0.6837 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 28 0.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 29 0.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 30 0.6828 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 31 0.6825 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.7440 32 0.6822 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 33 0.6820 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 34 0.6818 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 35 0.6816 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 36 0.6814 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 37 0.6812 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 60 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán 38 0.6810 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 39 0.6808 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 40 0.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 KẾT LUẬN Trong luận văn em hệ thống hóa lại kiến thức tốn kiểm định giả thuyết đặc trƣng hai mẫu liệu hai tiêu chuẩn phi tham số thông dụng nhất: tiêu chuẩn hạng tiêu chuẩn hạng có dấu Wilcoxon Ngồi ra, em cịn cung cấp thêm ví dụ đƣợc giải minh họa phần mềm Excel xây dựng thủ tục giải toán so sánh hai tỉ lệ phần mềm Maple Mặc dù có nhiều cố gắng nhƣng hiểu biết cịn hạn chế, nên khơng tránh khỏi sai sót Em mong đƣợc góp ý quý thầy cơ, bạn sinh viên để luận văn đƣợc hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 61 Luận Văn Tốt Nghiệp Khoa Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng (2009) , Thống Kê Và Các Ứng Dụng, nhà xuất Giáo Dục [2] Nguyễn Ngọc Xuyên (2006), Xác Suất Và Thống Kê Tốn, nhà xuất Đà Nẵng [3] Tống Đình Quỳ (2003), Xác Suất Thống Kê, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội SVTH: Nguyễn Thị Linh Trang 62 ... 16 KIỂM ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HAI MẪU DỮ LIỆU 16 2.1 So Sánh Hai Giá Trị Trung Bình 16 2.1.1 Trƣờng hợp phƣơng sai biết 16 2.1.2 Trƣờng hợp phƣơng sai chƣa biết cỡ mẫu lớn... lý em chọn đề tài ? ?Kiểm định đặc trƣng hai mẫu liệu? ?? làm đề tài luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa lại kiến thức liên quan đến toán so sánh đặc trƣng hai mẫu liệu, đồng thời đƣa... niệm mẫu, toán kiểm định vài kết liên quan đến định lý giới hạn + Chƣơng 2: Đây nội dung luận văn Chƣơng II vào nghiên cứu toán kiểm định tham số phi tham số hai mẫu liệu, bao gồm : so sánh hai