Đồng dư thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: ĐỒNG DƯ THỨC VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực : Huỳnh Thanh Thảo Chuyên ngành : Sư phạm Toán học Lớp : 11ST Người hướng dẫn : TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng, tháng năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Chia hết chia có dư vành số nguyên 1.1.1 Tính chia hết 1.1.2 Phép chia có dư 1.2 Ước chung lớn (ƯCLN) 1.2.1 Ước chung, ước chung lớn 1.2.2 Số nguyên tố 1.2.3 Tìm ước chung lớn hai số nguyên - Thuật toán Ơ-clit 1.3 Bội chung nhỏ (BCNN) 1.4 Biểu diễn số ngun 1.5 Phương trình Đi -ơ-phăng 10 1.5.1 Phương trình Đi -ơ-phăng bậc 10 1.5.2 Tập hợp nghiệm nguyên 11 1.5.3 Tìm nghiệm riêng phương trình Đi -ơ-phăng thuật tốn Ơ-clit mở rộng 13 1.6 Hàm số Ơle  (m) 17 Chương 2: 19 ĐỒNG DƯ THỨC VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Đồng dư thức 19 2.2 Tập lớp thặng dư - Hệ thặng dư đầy đủ - Hệ thặng dư thu gọn 21 2.2.1 Tập lớp thặng dư 22 2.2.2 Hệ thặng dư đầy đủ 23 2.2.3 Hệ thặng dư thu gọn 25 2.3 Phương trình đ ồng dư bậc ẩn 29 2.3.1 Một số khái niệm phương trình đồng dư 29 2.3.2 Nghiệm phương trìn h đồng dư 30 2.3.3 Phương trình đ ồng dư bậc ẩn 32 2.3.4 Mối liên hệ phương trình đ ồng dư bậc phương trình Đi-ơ-phăng bậc hai ẩn 2.4 Một số ứng dụng đồng dư thức 36 37 2.4.1 Tìm số dư phép chia 37 2.4.2 Chứng minh chia hết 38 2.4.3 Dấu hiệu chia hết cho 2k ; 5k với k  * 40 2.4.4 Tìm chữ số tận 41 2.4.5 Ứng dụng phương trình đ ồng dư để giải phương trình Đi -ơ phăng 44 2.5 Tính cyclic nhóm nhân phần tử khả nghịch vành số nguyên môđun m 47 2.5.1 Vành  m lớp thặng dư môđun m 47 2.5.2 Căn nguyên thủy 48 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng dư nội dung quan trọng lý thuyết số Phương pháp đồng dư nhà Toán học người Đức C.Gauss (1777-1855) đề xuất, phương pháp hữu ích cơng việc giải nhiều vấn đề liên quan đến số nguyên Phương pháp đồng dư cho phép chuyển việc nghiên cứu tập vô hạn nghiên cứu tập hữu hạn Bằng cơng cụ đồng dư, nhiều định lí toán học chứng minh gi ải nhiều toán phức tạp số học Trong chương trình tốn bậc phổ thơng, mơn số học đặc biệt lý thuyết số chưa dành nhiều thời gian, mà học sinh thường lúng túng giải toán số học, đặc biệt kì thi học sinh giỏi Nhằm tìm hiểu lý thuyết đồng dư nh ững ứng dụng nó, tơi chọn đề tài khóa luận là: “Đ ồng dư thức ứng dụng” Nội dung khóa luận chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày số kiến thức sở vành số nguyên với phương trình Đi -ơ-phăng bậc nhất, để làm tiền đề cho phần sau Chương 2: Đồng dư thức ứng dụng Chương trình bày sở lý thuyết đồng dư ứng dụng để giải số tốn số học thuộc chương trình phổ thông trung học Phần cuối chương dành cho việc xác định số nguyên dương m cho nhóm *m nhóm cyclic MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI  : tập hợp số tự nhiên  * : tập hợp số nguyên dương  : tập hợp số nguyên  : tập hợp số thực  m : tập hợp lớp thặng dư môđun m *m : tập hợp lớp thặng dư môđun m nguyên tố với m b│a : b chia hết a hay b ước a b  a : b chia hết cho a hay b bội a  (m) : số số tự nhiên không vượt m  nguyên tố với m   x  : tập hợp đa thức ẩn x với hệ số nguyên ƯC(a, b): tập hợp ước chung hai số nguyên a b BC(a, b) : tập hợp bội chung hai số nguyên a b ƯCLN : ước chung lớn BCNN : bội chung nhỏ ƯCLN  a1 , a2 , an  : ước chung lớn dương a1 , a2 , an BCNN  a1 , a2 , an  : bội chung nhỏ dương a1 , a2 , an a (mod m) : tập hợp số nguyên đồng dư với a theo môđun m a  b (mod m) : a đồng dư với b theo môđun m Hệ TDĐĐ : hệ thặng dư đầy đủ môđun m Hệ TDTG : hệ thặng dư thu gọn môđun m Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày số kiến thức sở vành số nguyên với phương trình Đi-ơ-phăng bậc nhất, để làm tiền đề cho phần sau Các chi tiết liên quan tìm xem 1 ,  2 , 3 , 5 , 8 1.1 Chia hết chia có dư vành số nguyên 1.1.1 Tính chia hết Định nghĩa 1.1  2 Giả sử a b hai số nguyên, với a  , ta nói, a chia hết b (hay a ước b) viết a│b tồn số nguyên c cho b  ac Khi ấy, ta cịn nói b chia hết cho a hay b bội a viết b  a Ví dụ 1.1 3 chia hết 12 hay 12 chia hết cho 3 , 12  (3).(4) Tính chất 1.1 8 a) 1│a với a   b) Nếu a│b b│c a│c c) Nếu a  a│b a  b n d) Nếu a│bi a│ bi xi với xi   i 1 e) Quan hệ chia hết  có tính phản xạ, bắc cầu, khơng có tính đối xứng tính phản đối xứng 1.1.2 Phép chia có dư Định lí 1.1 5 Với cặp số nguyên a, b cho trước, b  , tồn cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức a  bq  r  0  r  b Ta nói a chia cho b thương q dư r 1.2 Ước chung lớn (ƯCLN) 1.2.1 Ước chung, ước chung lớn Định nghĩa 1.2 8 Số nguyên d ước chung số nguyên a1 , a2 , , ak d ước đồng thời số nguyên đó, ta viết d ƯC( a1 , a2 , an ) Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , ak mà ước chung a1 , a2 , , ak ước d d gọi ước chung lớn (ƯCLN) số Chú ý 1.1 1 a) Tập hợp ước chung hữu hạn số cho trước trùng với tập hợp ước ước chung lớn số b) Nếu tất số a1 , a2 , , ak tập hợp ước chung chúng  0 Khi ấy, khái niệm ước chung lớn khơng có nghĩa Mặt khác, tập hợp ước chung số xét không thay đổi ta thêm hay bớt số Bởi vậy, giả thiết số a1 , a2 , , ak xét đồng thời khác c) Nếu d ƯCLN a1 , a2 , , ak –d m ột ƯCLN số Hơn nữa, d d ' ƯCLN a1 , a2 , , ak d '   d Do đó, ta lấy số dương d ƯCLN a1 , a2 , , ak làm ƯCLN chúng kí hiệu d  ƯCLN( a1 , a2 , , ak ) d) Với ý ta định nghĩa: Ư ớc chung lớn số nguyên a1 , a2 , , ak số lớn tập hợp ước chung chúng 1.2.2 Số nguyên tố Định nghĩa 1.3 3 a) Các số nguyên a1 , a2 , , ak gọi nguyên tố ƯCLN( a1 , a2 , , ak )  b) Các số nguyên a1 , a2 , , ak gọi đôi nguyên tố hay ngun tố sánh đơi hai số chúng nguyên tố Chú ý 1.2 Các số ngun đơi ngun tố ngun tố điều ngược lại khơng Ví dụ 1.2 a) 4, 7, 15 đôi nguyên tố ƯCLN(4, 7)  ƯCLN(7, 15)  ƯCLN(4, 15)  b) 6, 10, 15 nguyên tố ƯCLN(6, 10, 15)  1, khơng đơi ngun tố 1.2.3 Tìm ước chung lớn hai số nguyên - Thuật toán Ơ-clit Với hai số nguyên a, b mà a  0, b  , a  b , ta có Mệnh đề 1.1 1 Giả sử a, b, c, q số nguyên thỏa mãn a  bq  c Khi ta có ƯCLN(a, b)  ƯCLN(b, c) Thuật toán Ơ-clit 1 Cho trước hai số nguyên a b (a  b  0) , tìm số tự nhiên d cho d  ƯCLN(a, b), người ta tiến hành sau: Thực phép chia có dư a cho b ta a  bq  r ,  r  b Đặt r0  a, r1  b, q1  q, r2  r Vậy với hai số nguyên a  r0 , b  r1 cho trước (a  b  0) tồn hai số nguyên q1 , r2 cho r0  r1 q1  r2 ,  r2  r1 Bước 1: Nếu r2  nghĩa b(  r1 ) chia hết a (  r0 ) Khi d  ƯCLN(a, b)  ƯCLN( r0 , r1 )  r1  b Quá trình kết thúc Bước 2: Nếu r2  nghĩa r0  r1 q1  r2 ,  r2  r1 Khi theo mệnh đề ta có ƯCLN(a, b)  ƯCLN( r0 , r1 )  ƯCLN( r1 , r2 ) Thực phép chia có dư r1 cho r2 ta có r1  r2 q2  r3 ,  r3  r2 Nếu r3  ta có d  r2 Q trình kết thúc Cịn r3  ta quay lại Bước 2,… Thực liên tiếp trình ta dãy giảm nghiêm ngặt số tự nhiên r1  r2  r3   nên dãy phải dừng, nghĩa có số tự nhiên n ( n  b ) cho rn 1  rn qn Khi ấy, tồn q trình r0  r1 q1  r2 ,  r2  r1 ( a  r0 , b  r1 ) r1  r2 q2  r3 ,  r3  r2 ………… rn   rn 1 qn 1  rn ,  rn  rn 1 rn 1  rn qn Khi d  ƯCLN(a, b)  ƯCLN( r0 , r1 )  ƯCLN( r1 , r2 )  …  ƯCLN( rn 1 , rn )  rn Quá trình gọi thuật tốn Ơ-clit tìm ớc chung lớn thực hai số a b Như ƯCLN(a, b) số dư khác không cuối thuật tốn Ví dụ 1.3 Cho hai số ngun dương a  804, b  288 Hãy tìm ớc chung lớn d a b Trong thực hành sử dụng thuật toán Ơ-clit để tìm d  ƯCLN(804, 288) người ta thường đặt phép tính sau: 804 288 228 60 48 12 48 288 228 60 Ta ƯCLN(804, 288)  12 Nhận xét 1.1 Nếu hai số a, b có số ớc chung lớn chúng số lại 34  81   19 (mod 100) 38  192  61(mod 100) 310  61.9  49 (mod 100) 3100  4910  01(mod 100)  31000  01(mod 100) : nghĩa hai số tận 31000 01 Số 31000 bội nên chữ số hàng trăm chia cho phải dư (Chia tiếp số 201 chia hết cho 3, số dư hay số 001; 101 khơng chia hết cho 3) Vậy 3999 = 31000 : có hai chữ số tận 67 ( = 201 : 3) 2.4.5 Ứng dụng phương trình đồ ng dư để giải phương trình Đi ơ-phăng 1 Ví dụ 2.26 Tìm nghiệm ngun phương trình 2013x  1009 y  456 Giải: Theo 2.3.4, phương trình tương đương phương trình đồng dư 2013x  456 (mod 1009) Ta có 2013 x  456 (mod 1009)   x  456 (mod 1009)   x  1465 (mod 1009)  x   293 (mod 1009)  x   293  1009t , t   Khi ta y  2013 x  456 2013 (293  1009t )  456    285  2013t 1009 1009 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho 44  x   293  1009t   y   585  2013t (t  0,  1,  ) Ví dụ 2.27 Giải phương trình Đi -ơ-phăng (ví dụ 1.6) 17 x  47 y  Giải: Ta có 17 x  47 y   17 x  (mod 47) Áp dụng thuật tốn chia Ơ-clit ta có 47  17.2  13 17  13.1  13  4.3    13  4.3  13  (17  13).3  4.13  3.17   3.17  4(47  17.2)   11.17  4.47 Suy x  (11).5 (mod 47)  x   55 (mod 47) Vậy phương trình cho có nghiệm  x   55  47t   y   20  17t , t  0,  1,  2, Ví dụ 2.28 Tìm nghiệm nguyên phương trình 270 x  138 y  15m  27 , với m số nguyên cho trước Giải: Ta có ƯCLN(270, 138)  nên điều kiện để phương trình cho có nghiệm ngun 15m  27  (mod 6)  3m   (mod 2)  m  (mod 2) nghĩa m  2k  1, k   Khi ấy, phương trình cho tương đương v ới phương trình 45 x  23 y  5k  45 Suy 45 x  5k  (mod 23) Mà   45 (mod 23) nên 45 x  5k  (mod 23)  45 x   45 (5k  7) (mod 23)  x   5k  (mod 23)  x   5k   23t , t  Từ đây, ta y  45 x  5k  45(5k   23t )  5k   23 23   10k  14  45t Vậy  x   5k   23t   y   10k  14  45t , t   Tóm lại:  Nếu m  2k  1, k  phương trình cho có nghiệm tổng quát  x   5k   23t   y   10k  14  45t , t    Nếu m  2k , k  phương trình cho khơng có nghi ệm nguyên Nhận xét 2.6 Qua ví dụ trên, ta thấy thơng qua phương trình đ ồng dư ta biết thêm nhiều cách giải phương trình Đi -ơ-phăng, bên cạnh áp dụng phương trình đ ồng dư để giải phương trìn h Đi-ơ-phăng làm cho giải trở nên đơn giản dễ dàng so với việc giải phương trình Đi -ơphăng theo cách thơng thường 46 2.5 Tính cyclic nhóm nhân phần tử khả nghịch vành số nguyên môđun m 2.5.1 Vành  m lớp thặng dư môđun m 8 Trên tập  m  a ; a   lớp thặng dư môđun m, ta định nghĩa hai quy t ắc cộng nhân lớp thặng dư thu gọn sau: a  b  a  b a b  ab với a, b   Khi dễ kiểm tra quy tắc phép tốn hai ngơi, gọi phép tốn cộng nhân lớp thặng dư môđun m Cũng dễ kiểm tra rằng, tập  m với hai phép tốn lập thành vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 2.12 8 Cho số nguyên dương m Ta gọi vành  m xác định vành lớp thặng dư mơđun m, hay cịn gọi vành số nguyên môđun m Lớp a   m gọi lớp khả nghịch, tồn b   m để a b  Định lí 2.5 8 Lớp a phần tử khả nghịch vành m ƯCLN (a, m)  Chứng minh: Lớp a  m khả nghịch tồn b  m để a b  hay ab  Điều tương đương với tồn b   để ab  (mod m) , hay tồn b   x   để ab  mx  Như a   m khả nghịch ƯCLN (a, m)  47 Nhận xét 2.7 Tập *m lớp  m ngun tố với mơđun tập phần tử khả nghịch vành  m Định lí 2.6 8 *m nhóm nhân giáo hốn có cấp (m) Chứng minh: Trước tiên ta a , b  *m Vì *m đóng phép nhân Giả sử lớp ƯCLN (a, m)  ƯCLN (b, m)  , nên (ab, m)  Điều chứng tỏ a b  *m hay *m đóng phép nhân Hơn nữa, phép nhân lớp thặng dư thỏa mãn luật kết hợp  *m Do đó, *m vị nhóm Lại có, a  *m nên tồn b   m để a b  Do đó, b khả nghịch hay b  *m Vậy *m nhóm giao hốn với phép nhân nói Vì phần tử *m phần tử  m nguyên tố với môđun, nên *m  (m) Nhận xét 2.8 Khi m  p số nguyên tố, phần tử khác  p khả nghịch Do đó,  p trường *p có ( p )  p  phần tử 2.5.2 Căn nguyên thủy Định nghĩa 2.13   Cho số nguyên m  số nguyên a nguyên tố với m Khi đó, số nguyên dương d nhỏ cho a d  (mod m) gọi số mũ a mơđun m, hay cịn gọi a thuộc số mũ d mơđun m 48 Ví dụ 2.26 Số mũ c môđun 2, môđun 4, số mũ môđun Mệnh đề 2.2 10 Cho số ngun m  Khi đó, ta ln có: a) Nếu a thuộc số mũ d mơđun m số nguyên k thỏa mãn a k  (mod m) k bội d b) Nếu a  b (mod m) a b thuộc số mũ môđun m c) Nếu a thuộc số mũ d mơđun m, a , a1 , , a d 1 đôi không đồng dư với môđun m d) Nếu a thuộc số mũ d môđun m, s số nguyên dương cho ƯCLN ( s, d )  , a s thuộc số mũ d e) Nếu a b thuộc số mũ d1 d tương ứng môđun m với ƯCLN (d1 , d )  ab thuộc số mũ d1d Chứng minh: a) Giả sử a k  (mod m) với k  qd  r ,  r  d Khi đó,  a k  a qd  r  (a d ) q a r  1q a r  a r (mod m) Do  r  d d số mũ a môđun m nên d phải là số nguyên dương nhỏ thỏa mãn a d  (mod m) , từ suy r  , tức k bội d Ngược lại, a có số mũ d môđun m k bội số d, k  qd a k  a qd  (a d ) q  1q  (mod m) b) Khi a  b (mod m) a i  bi (mod m) nên a b thuộc số mũ môđun m 49 c) Vì ƯCLN (a, m)  1, nên có a i  a j (mod m) với  i  j  d ta suy a j i  (mod m) với  j  i  d , mâu thuẫn với giả thiết a thuộc số mũ d môđun m Vậy a , a1 , , a d 1 đôi không đồng dư với mơđun m d) Ta có, (a s ) d  (a d ) s  (mod m) Vậy số mũ h a s phải ước d Mà a sh  (a s ) h  (mod m) nên sh chia hết cho d Do ( s, d )  nên h chia hết cho d Vậy h  d e) Giả sử ab thuộc số mũ d, (ab) d1d2  (a d1 ) d2 ( b d2 ) d1  (mod m) nên từ a) suy d│ d1d (*) Lại có b dd1  (a d1 ) d b dd1  (ab) dd1  (mod m) nên từ a) lại suy d │ dd1 Vì (d1 , d )  nên d │d Hoàn toàn tương tự ta c ó d1 │d Suy d1d │d (**) Vậy từ (*) (**) ta có d  d1d Bằng quy nạp theo n cách hình thức ta suy được: “Nếu a1 , a2 , an thuộc số mũ tương ứng đôi nguyên tố d1 , d , d n a1 a2 an thuộc số mũ d1 d d n Theo định lí Euler, ƯCLN (a, m)  a ( m )  (mod m) nên từ Mệnh đề 2.2 ta có hệ sau: Hệ 2.3 10 a) Nếu ƯCLN (a, m)  số mũ a môđun m ước số  (m) b) Nếu p số nguyên tố, ƯCLN (a, p )  số mũ a môđun p ước số p  50 c) Nếu p số nguyên tố, a, m  số nguyên dương thỏa mãn ƯCLN (a, m)  , a  (mod m) a p  (mod m) số mũ a mơđun m p Định nghĩa 2.14   Cho số nguyên m  Số nguyên g nguyên tố với m gọi nguyên thủy môđun m g thuộc số mũ  (m) Trong trường hợp tồn ngun thủy mơđun m m gọi có ngun thủy Ví dụ 2.27 Vì 3 (14)  36  (mod 14) 3k  (mod 14) với k  1, 2, 3, 4, nên nguyên thủy môđun 14 Mệnh đề 2.3 8 Cho số nguyên m  số nguyên g Khi ta có: a) g ngun thủy mơđun m *m nhóm cyclic sinh g b) g nguyên thủy môđun m g , g , , g  ( m )1 lập thành hệ thặng dư thu gọn môđun m c) Nếu g ngun thủy mơđun m, g s ngun thủy môđun m ƯCLN ( s,  (m))  Chứng minh: a) Do *m nhóm hữu hạn cấp  (m) g nguyên thủy môđun m cấp g *m  (m) hay *m nhóm cyclic sinh g 51 b) Từ a) , g nguyên thủy môđun m *m   g , g , , g  ( m )1 Điều tương đương với g , g , , g  ( m )1 lập thành hệ thặng dư thu gọn m c) Nếu ƯCLN ( s,  (m))  g s nguyên thủy môđun m Nếu ( s,  (m))  d  ta đặt s  id với  i  s ,  (m)  jd với  j   (m) Khi đó, ( g s ) j  ( g jd )i  (mod m) Vậy g s không nguyên thủy môđun m (mâu thuẫn) Từ đây, suy điều phải chứng minh Định lí 2.6 8 Nếu p số ngun tố có  ( p  1) nguyên thủy môđun p Chứng minh: Trước hết, ta chứng minh tồn ngun thủy mơđun p Giả sử có phân tích tắc p   q1 q2 q3 qk k Xét phương trình x trình có khơng q p 1 qi  (mod p ) trường  p , ta thấy phương p 1 p 1 nghiệm Vì  p  nên tồn  , qi qi ƯCLN (ai , p )  để p 1 qi p 1  (mod p ) Đặt bi  i qii Ta có biqi  aip 1  (mod p ) nên số mũ bi phải có dạng qi ,    i qi số nguyên tố Nếu    i , p 1 qi i 1 b nên suy p 1 qi p 1  (ai qi    i  (ai    i 1 ) qi qii p 1 ) qi  qii   (mod p ) ,  (mod p ) 52 Điều mâu thuẫn với thuộc số mũ qi Đặt p 1 qi  (mod p ) Vậy    i tức bi g  b1 b2 bk suy g có số mũ q11 q2 qk k   ( p ) tức g nguyên thủy môđun p Tiếp theo, ta chứng minh có  ( p  1) nguyên thủy môđun p Xét nguyên thủy g , g trên, tập hợp g , g , g , , g p 1 lập thành hệ thặng dư thu gọn môđun p Do đó, g k nguyên thủy ƯCLN (k , p  1)  Từ định nghĩa hàm Euler suy có  ( p  1) nguyên thủy môđun p Nhận xét 2.9 8 a) Nếu p số ngun tố ln tồn ngun thủy, đó, nhóm nhân *p nhóm cyclic Định lí 2.7 10 Nếu p số nguyên tố lẻ g nguyên thủy môđun p g ngun thủy mơđun p n với n  Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n Nếu n  , kết luận hiển nhiên Bây giờ, ta rằng, g nguyên thủy mơđun p n g ngun th ủy môđun p n1 Thật vậy, gọi j số mũ g mơđun p n1 Khi j│  ( p n1 ) Lại có, g j  (mod p n1 )  ( g j  1)  (k p n p )  g j  (mod p n ) , theo giả thiết quy nạp ta lại có  ( p n ) │ j Mà  ( p p 1 )  p  ( p n ) nên 53 j   ( p n ) j   ( p n1 ) Vì g nguyên thủy môđun p n , nên g  ( p n 1 )  (mod p n ) Mặt khác, ta ln có g  ( p nên g  ( p g ( p n nên g  ( p n 1  ) )  (mod p n1 )   k p n1; ƯCLN (k , p )  Vì  g ( p ) n ) n 1 n 1 )  p  (1  k p n1 ) p   k p n     (k p p i 2 p i n 1 i ) ,   k p n (mod p n1 ) Bởi ƯCLN (k , p )  , nên g  ( p Từ đó, suy n ) j  g  ( p ) Vậy n  (mod p n1 ) j   ( p n1 ) hay g có ngun thủy mơđun p n1 Định lí chứng minh Nhận xét 2.10 10 Nếu p số ngun tố lẻ ln tồn ngun thủy mơđun pn Định lí sau cho biết số ngun dương có ngun thủy? Định lí 2.8 8 Cho m số nguyên, m  Khi đó, m có nguyên thủy m có dạng sau 2; 4; p ; p p số nguyên tố lẻ Chứng minh: Trước hết, ta chứng minh rằng, m có dạng m có ngun thủy Ta có 1 (2)  (mod 2), 3 (4)  32  (mod 4) m  m có nguyên thủy 54 nên m  Lại có, p số ngun tố nên ln tồn nguyên thủy môđun p n Vậy nên, ta cần chứng minh m  p m có nguyên thủy Ta có  (2 p )   (2)  ( p )   ( p ) Giả sử g ngun thủy mơđun p , 1, g , g , g , , g   1, g , g , g , , g  ( p ) 1  (2 p ) 1  lập thành hệ thặng dư thu gọn mơđun p Ta giả sử g lẻ trái lại, thay xét g, ta xét g  p số lẻ   nguyên thủy mơđun p Vì g lẻ nên tập hợp 1, g , g , g , , g  (2 p  ) 1 chứa  (2 p ) phần tử phân biệt môđun p phần tử nguyên tố   với p Do đó, 1, g , g , g , , g  (2 p  ) 1 đồng thời hệ thặng dư thu gọn môđun p , tức g nguyên thủy p Vậy phần đảo định lí chứng minh Ngược lại, ta chứng minh m khơng có dạng khơng có ngun thủy Nếu m khơng có dạng có ba dạng: m  2 với   , m có hai ước nguyên tố lẻ m  2 p  , (   2,   , p số nguyên tố lẻ) Trước hết, ta chứng minh m  2 với   m khơng có ngun thủy Giả sử trái lại rằng, m có nguyên thủy g Nhận xét g số nguyên lẻ g  (mod 23 ) Mặt khác,   nên  2 g2  3  ( g )2  (mod 2 ) Mà  (2 )  2 1 , nên ta suy khơng có ngun thủy môđun 2 với   55 Tiếp theo, ta chứng minh m có hai ước ngun tố lẻ khơng có nguyê n thủy môđun m Thật vậy, giả sử m  2n p11 p2 pk k với n   i  ; k  p1 , p2 , , pk ước nguyên tố lẻ đôi khác m Giả sử a nguyên tố với m Khi đó, a nguyên tố với pii Chú ý i 1  ( pii )  pii 1 ( pi  1) , nên a pi Lại có a  i 1 i p n 1 ( pi 1)  (mod pii )  (mod 2n ) Từ công thức  (m) , ta dễ suy 2n1  (m) ( pi  1) ước  (m) , nên a  (mod pii ) với i  1, 2, 3, , k a Do đó, a  (m)  (m)  (mod 2n )  (mod m) , khơng có nguyên thủy môđun m Cuối cùng, ta chứng minh m  2 p  , (   2,   , p số nguyên tố lẻ) khơng có ngun thủy mơđun m Trong trường hợp này, ta có 2 1 p  1 ( p  1) ước  (m)  (m) Do đó, suy với a nguyên tố với m a  (mod m) Dẫn đến khơng có ngun thủy mơđun m Định lí chứng minh Một hệ trực tiếp Định lí 2.8 Mệnh đề 2.3 Định lí sau: Định lí 2.9 8 Cho số nguyên m  Khi đó, *m nhóm cyclic m  2, m  số có dạng p n , p n , với p số nguyên tố lẻ n số nguyên dương 56 KẾT LUẬN Sau q trình thu thập tài liệu, phân tích, nghiên cứu, khóa luận “Đồng dư thức ứng dụng” đạt mục đích đề Cụ thể thực vấn đề sau: Tổng quan kiến thức đồng dư thức ứng dụng chúng để giải số lớp toán số học phổ thơng, chẳng hạn: Tìm số dư phép chia, chứng minh chia hết, tìm dấu hiệu chia hết vành số nguyên tìm chữ số tận a n Tìm hiểu liên hệ phương trình đồng dư phương trình Đi-ơphăng Từ ứng dụng phương trình đồng dư để giải số lớp phương trình Đi-ơ-phăng Xác định điều kiện số nguyên dương m cho nhóm nhân phần tử khả nghịch vành số ngun mơđun m nhóm cyclic Hy vọng nội dung khóa luận cịn tiếp tục hoàn thiện mở rộng nhiều nữa, nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu lý thuyết đồng dư toán học 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Hoan (2010), Lý thuyết số, Nhà suất Đại học Sư Phạm [2] Hà Huy Khoái (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT số học, Nhà suất Giáo Dục [3] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) (2006), Các giảng số học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Hà Duy Nghĩa (2012), Ứng dụng lí thuyết đồng dư toán chia hết, Nhà suất giáo dục [5] Nguyễn Tiến Quang (2002), Bài tập số học, Nhà suất Giáo Dục [6] Đặng Huy Ruận (2005), Phương pháp giải toán chia hết, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [7] W Sierpinski (1988), Elementary theory of number (Lý thuyết sơ cấp số), dịch tiếng Việt Khánh Nguyễn [8] Dương Quốc Việt (chủ biên) (2008), Cơ sở lý thuyết số đa thức, Nhà suất Đại Học Sư Phạm [9] Titu Andreescu, Dorin Andrica (2006), Number theory (Lý thuyết số), From the Training of the USA IMO Team , Birkhauser [10] Các trang web : http://diendantoanhoc.net http://violet.vn http://doko.vn http://vnmath.com 58 ... 2: 19 ĐỒNG DƯ THỨC VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Đồng dư thức 19 2.2 Tập lớp thặng dư - Hệ thặng dư đầy đủ - Hệ thặng dư thu gọn 21 2.2.1 Tập lớp thặng dư 22 2.2.2 Hệ thặng dư đầy đủ 23 2.2.3 Hệ thặng dư thu... thuyết đồng dư nh ững ứng dụng nó, tơi chọn đề tài khóa luận là: “Đ ồng dư thức ứng dụng? ?? Nội dung khóa luận chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày số kiến thức sở vành số... Chương 2: ĐỒNG DƯ THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chương trình bày sở lý thuyết đồng dư ứng dụng để giải số tốn số học thuộc chương trình phổ thơng trung học Phần cuối chương dành cho việc xác định số nguyên dư? ?ng