Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN TRANG THÙY THU THẢO DÃY FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐÀ NẴNG – Năm 2015 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN TRANG THÙY THU THẢO DÃY FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: ThS.Phan Thị Quản ĐÀ NẴNG - Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin dành trang để bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến q thầy, khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, người hết lòng dạy dỗ truyền đạt kiến thức khoa học kinh nghiệm quý báu để em có ngày hơm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô Phan Thị Quản, người gợi ý hướng dẫn đề tài khóa luận “Dãy Fibonacci ứng dụng” Cơ nhiệt tình hết lịng giúp đỡ suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Cuối cùng, cho phép em cảm ơn thầy cô hội đồng bảo vệ, thầy (cô) phản biện bạn lớp dành thời gian quý báu để đọc góp ý cho em hồn thành tốt khóa luận Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2015 Sinh viên TRANG THÙY THU THẢO MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ 1.1 Các định nghĩa 1.2 Các định lý 1.3 Các dãy số đặc biệt 11 1.3.1 Cấp số cộng 11 1.3.2 Cấp số nhân 11 1.3.3 Dãy Fibonacci 11 1.4 Một số phương pháp giải toán dãy số 12 1.4.1 Phương pháp sai phân 12 1.4.2 Xây dựng công thức tổng quát từ hệ thức truy hồi tuyến tính nhất, bậc hai, hệ số 12 1.4.3 Phương pháp quy nạp toán học 13 Chương DÃY FIBONACCI 14 2.1 Thiết lập dãy Fibonacci 14 2.2 Định nghĩa dãy Fibonacci 16 2.3 Số Fibonacci với số âm 16 2.4 Công thức tổng quát dãy Fibonacci 17 2.5 Dãy Fibonacci mở rộng 18 2.5.1 Dãy Lucas 18 2.5.2 Dãy Tribonacci 18 2.6 Các tổng quát hóa khác 19 2.7 Tổng nghịch đảo 20 Chương CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI 21 3.1 Các hệ thức tổng hữu hạn 21 3.2 Các hệ thức khác 24 Chương DÃY FIBONACCI TRONG TỰ NHIÊN VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA DÃY FIBONACCI 29 4.1 Tỷ số vàng 29 4.2 Khái niệm hình chữ nhật vàng, xoắn ốc Fibonacci 31 4.3 Dãy Fibonacci “tỷ số vàng” tự nhiên 32 4.3.1 Sự xếp cánh hoa hoa 32 4.3.2 Số lượng đường xoắn ốc (hoặc đường chéo) 33 4.3.3 Sự mọc chồi 34 4.3.4 Cơ thể người 35 4.4 Dãy Fibonacci “tỷ số vàng” nghệ thuật 37 4.5 Dãy Fibonacci “tỷ số vàng” thiết kế 38 4.6 Dãy Fibonacci toán học 41 4.6.1 Dãy Fibonacci tam giác Pascal 41 4.6.2 Một số toán khác 47 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 – 1250), biết đến với tên Leonardo Pisa, hay phổ biến với tên Fibonacci, nhà tốn học người Ý ơng số người xem “nhà toán học tài ba thời Trung Cổ” Fibonacci tiếng giới địa có cơng lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập châu Âu, đặc biệt dãy số mang tên ông - dãy số Fibonacci sách Liber Abaci – Sách Toán đố năm 1202 Dãy số là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Dãy Fibonacci xuất nhiều tốn sơ cấp, cao cấp Ngồi ứng dụng Toán học, dãy Fibonacci xuất khắp nơi thiên nhiên Những nhành mọc cách khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci Các số Fibonacci xuất bơng hoa Có điều thần kỳ bao quanh dãy số Fibonacci Dãy Fibonacci có tính chất đặc biệt đáng ý Thật vô bất ngờ, tỉ số hai số tiếp dãy số tiến đến tỉ số vàng Trong tốn học nghệ thuật, hai đại lượng gọi có tỉ số vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ Như chuẩn mực đẹp, tỉ số vàng diện nhiều nơi Ở điện Parthenon thành Athens, kim tự tháp vĩ đại Giza xây dựng từ nhiều trăm năm trước có tỉ số chiều cao mặt với nửa cạnh đáy tỉ số vàng Một người phụ nữ có dáng đẹp lý tưởng người có tỉ lệ số đo vòng (vòng 1, 2, 3) tỉ số vàng hay gọi tỉ số thần thánh! Hàm ý bên dãy số Fibonacci thân số mà mối quan hệ số Dãy số Fibonacci tỉ số vàng có mối quan hệ chung bắt nguồn từ tự nhiên qua q trình biến đổi có quy luật Từ thiên nhiên ứng dụng lại với thiên nhiên, dãy số Fibonacci có nhiều ứng dụng độc đáo Vì vậy, đề tài khóa luận tơi tìm hiểu dãy số Fibonacci, tính chất dãy số Fibonacci, tìm hiểu dãy Fibonacci tự nhiên ứng dụng dãy Fibonacci toán học, nghệ thuật thiết kế Mục đích khóa luận Đề tài nghiên cứu vấn đề sau: - Nghiên cứu tổng quan dãy số - Nghiên cứu dãy Fibonacci, định lý, tính chất dãy Fibonacci - Nghiên cứu xuất dãy Fibonacci tự nhiên liên quan dãy Fibonacci Tỉ số vàng, ứng dụng dãy Fibonacci kiến trúc - Ứng dụng tính chất dãy Fibonacci vào việc giải số tốn chương trình toán THPT, toán thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán Quốc tế Đối tượng phạm vi khóa luận 3.1 Đối tượng Đề nghiên cứu làm rõ định lý tính chất dãy Fibonacci, từ nghiên cứu liên quan dãy Fibonacci tỉ số vàng, ứng dụng dãy Fibonacci toán học, nghệ thuật thiết kế 3.2 Phạm vi - Đề tài khơng nghiên cứu dãy số nói chung mà tập trung nghiên cứu dãy Fibonacci, định lý tính chất dãy Fibonacci - Trong đề tài nêu dụng dãy Fibonacci vào toán học xuất dãy Fibonacci tự nhiên, liên quan dãy Fibonacci Tỉ số vàng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu dãy Fibonacci, tài liệu dãy số - Nghiên cứu thực tế xuất dãy Fibonacci tự nhiên, ứng dụng dãy Fibonacci nghệ thuật thiết kế - Nghiên cứu tập toán để thấy rõ ứng dụng dãy Fibonacci vào toán học Ý nghĩa khoa học thực tiễn 5.1 Ý nghĩa khoa học Góp phần làm sáng tỏ định lý, tính chất dãy Fibonacci Những ứng dụng dãy Fibonacci toán học, nghệ thuật thiết kế 5.2 Ý nghĩa thực tiễn Làm tài liệu tham khảo cho người yêu thích dãy Fibonacci Giúp cho học sinh, sinh viên, giáo viên nghiên cứu chuyên đề số học, dãy số Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu kết luận, khóa luận gồm chương: Chương TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ - Nêu kiến thức tổng quan dãy số, định nghĩa, định lý dãy số đặc biệt - Trình bày số phương pháp giải tốn dãy số Chương DÃY FIBONACCI - Nêu toán thiết lập dãy Fibonacci, định nghĩa dãy Fibonacci, tìm cơng thức tổng qt dãy Fibonacci - Giới thiệu dãy Fibonacci suy rộng Các mở rộng dãy Fibonacci Chương CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI - Nêu chứng minh định lý, tính chất dãy Fibonacci Chương DÃY FIBONACCI TRONG TỰ NHIÊN VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA DÃY FIBONACCI - Tìm hiểu số Fibonacci tự nhiên - Trình bày số ứng dụng dãy Fibonacci nghệ thuật thiết kế - Trình bày số ứng dụng dãy Fibonacci toán học Chương TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số từ ℕ vào tập hợp số (ℕ, ℚ, ℝ, ℂ) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số ký hiệu un , , xn , yn Dãy số ký hiệu xn Định nghĩa 1.1.2 Dãy số xn gọi dãy số tăng (giảm) với n ta có xn1 xn xn1 xn Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy đơn điệu Dãy số xn gọi bị chặn tồn số thực M cho với n ta có xn M Dãy số xn gọi bị chặn tồn số thực m cho với n ta có xn m Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Dãy số xn gọi tuần hoàn với chu kỳ k xnk xn , n Dãy số tuần hoàn với chu kỳ gọi dãy Định nghĩa 1.1.3 48 Thay vào (**) ta có: F3 n Fn 1 Fn 1Fn Fn Fn 1 Fn Fn 1F n 1 Fn Fn Fn 1 Fn 12 Fn Fn Fn 1Fn 1 Fn Fn 1Fn 1 Fn Fn Fn 1 Fn Fn 1 Fn 1 Fn Fn 12 Fn Fn Fn Fn 1 Fn Fn 1 Fn 1 Fn Fn 12 Fn Fn Fn 1.Fn Fn Fn Fn1Fn1 Fn1Fn ( Fn 1 Fn ) Fn 3Fn Fn 1 Fn 1 Vậy F3n 2Fn 3Fn Fn1Fn1 Bài 2: Cho a b hai số cho trước Dãy số {un} xác định sau: un1 a b un – abun1 , n a) Hãy biểu diễn un theo a, b, u0, u1 n b) Dựa vào số hạng trên, tính số hạng un theo n dãy Fibonacci u0 u1 u u u , n n n 1 n 1 Giải a) un 1 (a b)un abun 1 un 1 aun b un aun 1 vn1 bvn Trong đó, = un – aun-1, với n ≥ Từ đó, ta có dãy {vn} cấp số nhân với công bội b nên = bn-1 v1, n 49 ⇒ un – aun-1 = bn-1 v1, ∀n≥ (*) Trong (*) cho n = 1, 2, …, n + 1, ta u1 au0 v1 u1 au0 v1 (1) u2 au1 v1b (2) u3 au2 v1b un aun 1 v1b n 1 un 1 aun v1b n Nhân (1) với a cộng với (2), ta u2 a 2u0 (a b)v1 (3) Nhân (2) với a cộng với (3), ta u3 a3u0 (a ab b2 )v1 Giả sử uk a k u0 (a k 1 a k 2b abk 2 bk 1 )v1, k Khi đó, uk 1 auk v1b k a k 1u0 (a k a k 1b ab k 1 b k )v1 Theo nguyên lý quy nạp, ta có un a nu0 (a n1 a n2b abn2 bn1 )v1, n Thay v1 u1 au0 , ta có un (a n1 a n2b ab n2 b n1 )u1 ab(a n2 a n3b ab n3 b n2 )u0 Vậy ∀n≥ a n1 b n1 a n bn u ab u0 , a b un a b a b na n1u (n 1)a nu , a b 50 b) a b Với nên a,b nghiệm phương trình x2 x ab 1 1 a 1 b Vì a ≠ b, nên công thức biểu diễn un un a n bn a n1 b n1 u1 ab u0 a b a b Thay a va b ta có a n bn a n 1 b n 1 un u1 ab u0 a b a b n n 1 1 2 1 1 2 n n , n F1 F2 Bài 3: Cho dãy Fibonacci xác định sau Fn1 Fn Fn1 , (n 2) 3F2 32 F3 3n Fn1 Tính S F1 n 5 Giải 3F2 32 F3 3n Fn1 S F1 n 5 51 3n Fn3 Fn2 3F2 F1 F2 F2 F3 F1 52 53 5n 32 F1 32 F2 33 F2 33 F3 5 5 S1 S2 Với 32 F1 33 F2 52 3 F2 33 F3 S2 5 S1 Ta thấy, S1 Vì 32 3F1 32 F2 3n Fn1 F S n 5 25 3F0 , nên ta có 5 32 F2 33 F3 S2 5 3 3F2 32 F3 3n Fn1 F1 n S 5 5 Từ ta có, S S1 S2 Vậy S = 25 24 S S S S 25 25 25 52 4.6.2.2 Bài toán hàm số F1 1; F2 1; Bài 1: Cho dãy Fibonacci {Fn} : Fn Fn1 Fn , n Và đa thức f(x) bậc n với hệ số nguyên thỏa f (k ) Fk , k 1005,2008 Tính f 2009 Giải Để giải toán ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 4.6.2.2.1 Nếu f (k ) Fk , k n 2,2n f (2n 3) F2 n3 (*) Chứng minh bổ đề: Với n = 1, f ( x) ax b f (3) F3 3x b a Do f (4) F4 x b b 1 Vậy f ( x) x Do f (5) F5 Giả sử, (*) với n – Xét đa thức, g ( x) f ( x 2) f ( x 1) (bậc g(x) không vượt n) Ta có: g (k ) f (k 2) f (k 1) Fk Fk 1 Fk , k n 1,2n Do đó, theo giả thiết quy nạp, f (2n 1) F2 n1 f (2n 1) f (2n 3) f (2n 2) f (2n 3) F2 n2 53 f (2n 3) F2 n3 Vậy f (2009) F2009 Bài 2: Cho hàm số f ( x) với x số thực dương n ∈ ℕ*, đặt x 1 gn ( x) x f ( x) f ( f ( x)) f ( f ( ( f ( x)))) (n lần vậy) Chứng minh: g n (1) F1 F2 F n1 với Fi số hạng thứ i dãy F2 F3 Fn Fibonacci Giải Ta có: gn (1) f (1) f ( f (1)) f ( f ( ( f (1)))) Ta thấy rằng: F1 1 F2 F Fi 1 F f i i 1 Fi 1 Fi Fi 1 Fi Fi Fi 1 Như vậy, g n (1) F1 F2 F n1 F2 F3 Fn Suy điều phải chưng minh 4.2.6.3 Bài toán số học Bài 1: Cho {Fn} dãy Fibonacci k, n số tự nhiên tùy ý khác Chứng minh phân số sau tối giản: kFn Fn kFn3 Fn1 54 Giải Giả thiết phản chứng tồn số tự nhiên n, k cho kFn Fn kFn3 Fn1 phân số chưa tối giản kFn Fn d Tức d , d 1: kF F d n 1 n 3 Suy kF n 3 Fn1 kFn Fn d k Fn3 Fn Fn1 Fn d kFn1 Fn1 d Áp dụng lập luận với kFn1 Fn1; kFn2 Fn Suy kFn Fn2 d Quá trình tiếp diễn ta đến kF4 F2 ; kF3 F1 Suy kF F2 kF3 F1 d kF2 F2 F1 d kF2 d k d Suy ra, d Mà d > (vô lý) 2k d Vậy giả thiết phản chứng sai Tức với số tự nhiên n, k ta có phân số kFn Fn phân số tối giản kFn3 Fn1 Bài 2: Cho {Fn} dãy Fibonacci Tìm UCLN hai số hạng F1000 F770 dãy số 55 Giải Theo định lý 3.2.3, ta có Fmn Fn1Fm Fn Fm1 , m, n Áp dụng định lý 3.3 với m = 770, n = 230, ta có: F100 F770 F229 F230 F771 (1) Đặt 1 a F 1000 F1000 a , F770 F770 F230 a F a 770 (2) Ta có, hai số liên tiếp dãy Fibonacci hai số nguyên tố nên F770 , F771 Mà F770 a , theo định lý 3.2.4, F1000 F10 , F770 F10 suy a F10 Do suy a, F771 Vậy từ (2) ta có Ta có, hai số liên tiếp dãy Fibonacci hai số nguyên tố nên F770 , F771 Mà F770 a , theo định lý 3.4, F1000 F10 , F770 F10 suy a F10 (*) Do suy a, F771 Vậy từ (2) ta có F230 a (3) Áp dụng định lý 3.2.3 với m = 690, n = 80, ta có: F770 F690 F79 F691F80 Theo định lý 3.2.4, ta có F690 F230 , mà theo (3) F230 a , F690 a Kết hợp với F770 a (4), ta có F691F80 a Lập luận tương tự ta có (4) 56 F80 a (5) Áp dụng định lý 3.2.3 với m = 230, n = 10, ta có: F240 F230 F9 F231F10 (6) Theo định lý 3.2.4 ta có F240 F80 , theo (5) suy F240 a (7) Theo (3) F230 a F231.F10 a Do F231 , a , nên Suy ra: F10 a (8) F10 a (9) Kết hợp với (*) ta có a F10 55 Vậy, UCLN hai số hạng F1000 F770 55 Bài 4: Chứng minh khơng có số Fibonacci liên tiếp có tổng số Fibonacci Giải Đặt: n Sn Fi i 1 Xét tổng: Sk Fk 1 Fk 2 Fk 3 Fk 4 Fk 5 Fk 6 Fk 7 Fk 8 số Fibonacci liên tiếp Chú ý, với dãy Fibonacci ta có: F1 F2 F3 F4 Fn Vì dãy Fibonacci dãy tăng nghiêm ngặt kể từ F2, nên ta chứng minh với k tự nhiên mà Fk 9 Sk Fk 10 (1) 57 Thì rõ ràng S’n số Fibonacci Thật vậy, ta có: Fk 9 Fk 8 Fk 7 Fk 1 Fk 2 Fk 3 Fk 4 Fk 5 Fk 6 Fk 7 Fk 8 Sk (vì số hạng dãy Fibonacci dương) Sk Fk 10 Bây giờ, ta chứng minh: n Theo tính chất 3.1.1, ta có Sn Fi Fn i 1 Ta có: Sk Fk 1 Fk Fk 3 Fk Fk 5 Fk 6 Fk 7 Fk 8 S k 8 S k Fk 10 Fk Fk 10 Fk Fk 10 (do Fk 0) Vậy (1) Suy điều phải chứng minh Bài 5: Giả sử Fk số hạng thứ k dãy Fibonacci F1 F2 Fn1 Fn Fn1 , (n 2) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 3, An 4Fn2 Fn Fn2 Fn4 số phương Giải Ta có bổ đề sau: Bổ đề 4.6.2.1 Với số tự nhiên n ≥ 3, Fn4 Fn2 Fn2 Fn (1) 58 Chứng minh bổ đề Ta có: Fn Fn 2 Fn Fn Fn Fn 3 Fn Fn Fn Fn 3 Fn 2 Fn Fn 2 Fn Fn 3 Fn 2 Fn Fn 1 Fn 3 Fn 1 Fn 3 Fn Fn 1 Fn 3 Fn 3 Fn 1 Fn Fn 3 Fn 3 Fn 3 Fn 1 Fn 1 F n 41 F n 21 F n 21 Fn 1 1 Suy ra, vn1 vn2 v4 v3 Ta v3 , (n 3) Mà v3 F7 F1 F5 F3 Vậy Fn4 Fn2 Fn2 Fn 3, (n 3) Từ bổ đề ta có, Fn Fn2 Fn Fn 3, (n 3) Fn Fn 2 Fn Fn 3 Fn Fn 2 Fn Fn Suy ra, An Fn 2 Fn Fn Fn Fn Fn Fn Fn 3 Fn Fn 12 Fn Fn Fn Fn 3 59 Do Fn nguyên n * ⇒ An số phương với số nguyên n ≥ Suy điều phải chứng minh Bài 6: Tìm tất số nguyên a, b cho a b2 1 ab Giải Bài tốn khơng đổi a, b thay – a, – b Vì khơng tính tổng quát, ta giả sử a ≥ b > Ta chứng minh rằng, cặp số (a, b) tốn cặp a, b F n 1 , F2 n1 F1 F2 Với Fn số hạng thứ n dãy Fibonacci Fn1 Fn Fn1 , (n 2) Ta quy ước, F-1 = 1, F0 = Từ định lý 3.2.1, ta có Fn1Fn1 Fn 1 Từ ta có F2 n1F2 n1 F2 n 1 2n n hay F2 n1F2 n1 F2 n Ta có, F2 n12 F2 n12 F2 n1F2 n1 F2 n1 F2 n1 F2 n F2 n1F2 n1 Vậy, F2 n12 F2 n12 3F2 n1F2 n1 Do đó, cặp F2 n1 , F2 n1 thỏa mãn yêu cầu toán Điều ngược lại chứng minh quy nạp theo a Nếu (a, b) thỏa mãn u cầu tốn mà a = b 2a 1 a 60 Suy a = b = 1, nghiệm xét với n = Giả sửa, a > b a b2 1 ab , tức a b2 k ab u b Đặt b2 v kb a a Khi đó, u v k b(kb a) kuv Như vậy, (u, v) thỏa mãn yêu câu toán Mặt khác, b2 b2 v b 1 a b Do v nguyên, nên v b u Vậy u v a Để sử dụng quy nạp, giả thiết với cặp (u, v), u v a u F2 n 1 thỏa mãn u cầu tốn, ta có v F2 n1 Với u = = F3 nên v = F1 = Ta có, u v2 22 3.2 3uv Giả thiết với u = Với n ≥ đó, theo phần chứng minh u v 3uv , ta có u F2 n1 b v F2 n1 3b a Ta có, a 3F2 n1 F2 n1 2F2 n1 F2 n F2 n1 F2 n2 F2 n3 Tức a, b F2 n3 , F2 n1 Giả thiết quy nạp với n +1 Suy điều phải chứng minh 61 KẾT LUẬN Đề tài khóa luận trình bày đạt số kết sau: - Đề tài trình bày số định lý tính chất tổng quan dãy số cung cấp số phương pháp giải toán dãy số - Đề tài trình bày định nghĩa nguồn gốc xuất dãy Fibonacci số dãy số khác liên quan đến dãy Fibonacci - Đề tài trình bày định lý, tính chất dãy Fibonacci ứng dụng rộng rãi dãy Fibonacci tốn học thơng qua hệ thống tập phong phú - Đề tài giới thiệu tỷ số vàng – tỷ số liên quan mật thiết đến dãy Fibonacci Từ kỳ bí tỷ số này, người ta ứng dụng vào nghệ thuật, thiết kế tìm hiểu liên quan tự nhiên tỷ số vàng 62 TÀI LIỆU THAM KHÁO Tiếng Việt: [1] Trần Quốc Chiến (2004), Giáo trình tốn rời rạc, Tài liệu lưu hành nội bộ, Đà Nẵng [2] Phan Huy Khải (1997), 10000 toán sơ cấp dãy số giới hạn, NXB Hà Nội [3] Phan Huy Khải (2006), Chuyên đề 2: Số học dãy số, NXB Giáo dục [4] Hà Huy Khoái (2006), Số học, NXB Giáo dục Tiếng Anh: [1] Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, A Wiley-Interscience publication ... quan dãy số - Nghiên cứu dãy Fibonacci, định lý, tính chất dãy Fibonacci - Nghiên cứu xuất dãy Fibonacci tự nhiên liên quan dãy Fibonacci Tỉ số vàng, ứng dụng dãy Fibonacci kiến trúc - Ứng dụng. .. CỦA DÃY FIBONACCI - Nêu chứng minh định lý, tính chất dãy Fibonacci Chương DÃY FIBONACCI TRONG TỰ NHIÊN VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA DÃY FIBONACCI - Tìm hiểu số Fibonacci tự nhiên - Trình bày số ứng dụng. .. liệu dãy Fibonacci, tài liệu dãy số - Nghiên cứu thực tế xuất dãy Fibonacci tự nhiên, ứng dụng dãy Fibonacci nghệ thuật thiết kế - Nghiên cứu tập toán để thấy rõ ứng dụng dãy Fibonacci vào toán
Ngày đăng: 26/06/2021, 13:28
Xem thêm:
