Cơ sở lý thuyết xác suất hiện đại

1 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TON LUN VN TT NGHIP Đề tài: C S LÝ THUYẾT XÁC SUẤT HIỆN ĐẠI Giáo viên hướng dẫn : TS CAO VĂN NUÔI Sinh viên thực : TRẦN THỊ PHƯƠNG DUNG Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Nng, thỏng nm 2015 lời cảm ơn Lời cho em chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô ban LÃnh đạo nhà trờng Đại học S Phạm - Đại học Đà Nẵng, quý thầy cô khoa Toán đà tạo điều kiện cho em đợc thực luận văn với hành trang tri thức vững vàng, giúp em biết cách tự nghiên cứu tự tin để bớc vào đời sau trờng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo T.S Cao Văn Nuôi đà nhiệt tình hớng dẫn để luận văn đợc hoàn thành thời hạn Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Hội đồng Bảo vệ tốt nghiệp đà tạo điều kiện để luận văn đợc bảo vƯ tr−íc Héi ®ång Do thêi gian thùc hiƯn ln văn có eo hẹp nên tránh đợc sai sót nhầm lẫn, mong nhận đợc bảo quý thầy cô Cuối cho em đợc cảm ơn tất thầy cô khoa Toán đà dạy dỗ em trởng thành cảm ơn tất bè bạn đồng khóa đà động viên em hoàn thành luận văn Tác giả luận văn trần thị phơng dung mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Lời mở đầu C h ơn g Độ đo t r ê n vành 1.1 Đại số 1.1.1 Vành Boole (Boolean Rings); đại số Boole 1.1.2 vành; đại số 1.2 Độ đo (Measures) 1.2.1 Độ đo vành (Measures on rings) 1.2.2 Các tÝnh chÊt cđa ®é ®o (Properties of measures) C h ơn g độ đo xác suấ t 2.1 Các khái niệm mở đầu 13 13 2.1.1 Độ đo xác suất không gian xác suất 13 2.1.2 Các định nghĩa cổ điển xác suất 13 2.2 Các tính chất độ đo xác suất 15 2.3 Xác suất điều kiện công thức xác suất toàn phần (đầy đủ) 16 2.3.1 Xác suất điều kiện 16 2.3.2 Công thức xác suất toàn phần 18 2.3.3 Công thức Bayes 18 2.4 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 19 2.4.1 Biến ngẫu nhiên 19 2.4.2 Phân phối xác suất hàm phân phối xác suất 20 2.4.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối.21 C h ơn g l uậ t sè l í n 23 3.1 Kú väng vµ phơng sai biến ngẫu nhiên 23 3.1.1 Kỳ vọng (Expectation) 23 3.1.2 Ph−¬ng sai (Variance) 25 3.2 LuËt số lớn dạng yếu 28 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Luật số lớn dạng yếu Tài liệu tham khảo 28 28 34 lời mở đầu 1.1 L ý d o ch ọn đ ề t i Trong thời gian học đại học, em đà học qua đợc nhiều môn toán khác Các môn toán có mối liên quan chặt chẽ Em thích thú đợc học lý thuyết độ đo xác suất Sự liên quan xác suất lý thuyết độ đo điều thú vị Chính em chon đề tài Cơ sở lý thuyết xác suất đại làm đề tài tốt nghiệp bậc Đại học 1.2 M ụ c ® Ých cđ a ® Ị t µ i Mơc đích đề tài trình bày lại lý thuyết xác suất theo quan điểm độ đo sử dụng độ đo để chứng minh tất kết đà biết môn xác suất mà em đợc học bậc Đại học 1.3 P h m vi n gh iên u Đề tài nghiên cứu phạm vi kiến thức xác suất cấp Đại học Đề tài khảo sát từ độ đo đến tính chất sau nghiên cứu độ xác suất luật số lớn dạng yếu với chứng minh đầy đủ Ngoài đề tài đa vào số vÝ dơ minh häa cho mét sè tÝnh to¸n thể 1.4 P h ơn g p h p n gh iên u Phơng pháp nghiên cứu đề tài quán sử dụng lý thuyết độ đo để trình bày lại lý thuyết xác suất theo hớng toán học đại c hơng độ đo vành 1.1 -đại sè 1.1.1 Vµ n h B oole (B oolea n R in gs), Đạ i số B oole Địn h n gh ĩa 1.1.1 Cho R lớp không rỗng tập hợp Lớp R đợc gọi vành Boole nÕu A ∈ R, B ∈ R th× A ∪ B ∈ R vµ A \ B ∈ R VÝ d ụ Cho X tập hợp, ta ký hiệu P(X) lớp tất tập cđa X P(X) lµ mét vµnh Boole M Ưn h đ ề 1.1.1 Cho R vành Boole, R, phép hiệu đối xứng giao hai tập hợp đóng R C h ø n g m in h LÊy A lµ tËp bÊt kú R, ta cã: ∅ = A \ A ∈ R Víi mäi A ∈ R B R A B R A \ B R nên suy ra: A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ R A ∩ B = (A ∪ B) \ (A∆B) R Địn h n gh ĩa 1.1.2 Một lớp tập hợp A đợc gọi đại số Boole nÕu tháa m·n: a/ NÕu A ∈ R vµ B ∈ R th× A ∪ B ∈ R b/ Nếu A R Ac R, (Ac phần bù A) Rõ ràng, đại số Boole vành Boole A \ B = A ∩ B c = (Ac ∪ B)c M Ön h đ ề 1.1.2 Cho R vành Boole tập X Vành R đại số X R C h ø n g m in h */ Gi¶ sư X ∈ R vµ R lµ mét vµnh Boole Víi mäi A ∈ R, ta cã: Ac = X \ A ∈ R A ∪ B = (Ac \ B)c R Vậy R đại số */ Ngợc lại, giả sử R đại sè Ta cÇn chøng minh X ∈ R ThËt vËy, đại số R lớp khác trống nên tồn A R ta có Ac R nªn X = A ∪ Ac ∈ R 1.1.2 σ -v n h ( -r in gs), -đ i số ( -a lgeb r a s) Địn h n gh ĩa 1.1.3 Một lớp không rỗng S tập hợp đợc gọi vành nã tháa m·n: a/ NÕu E ∈ S vµ F ∈ S th× E \ F ∈ S b/ NÕu {En }n∈Z+ ⊂ S th× n∈Z+ En ∈ S Địn h n gh ĩa 1.1.4 Một lớp không rỗng F tập hợp đợc gọi -đại số nếu: a/ Nếu A F Ac ∈ F b/ NÕu d·y {An }n∈N ⊂ F nN An F M ện h đ ề 1.1.2 Nếu F đại số tập tập X giao hữu hạn hợp hữu hạn tập F thuộc F C h ø n g m in h */ Gi¶ sư {Ei }1 i n ⊂ F , n < Fi = Khi đó: Ta có: Đặt: Ei , nÕu i ∅, nÕu i > n Fi ∈ F, ∀i ∞ n Ei = i=1 i=1 Fi ∈ F n */ Ta còng cã: n n i=1 c Eic , Ei = (Do luËt De Morgan) i=1 n i=1 Mặt khác: Ei F nên Eic F , ∀i ®ã Suy ra: Eic ∈ F , n i=1 suy Eic c ∈ F n i=1 Ei F 1.2 Độ đo (M e asur e s) 1.2.1 Độ đ o t r ên cá c vµ n h (Measure on rings) Mét hµm tËp (a set function) ánh xạ từ lớp tập hợp vào tập số thực R Một hàm tập xác định lớp E tập hợp đợc gọi cộng tính (additive) E E , ∀F ∈ E vµ E ∩ F = ∅ à(E F ) = à(E) + à(F ) Hàm tập : E R đợc gọi hữu hạn cộng tính nếu: n Ei E, i = 1; n; n < ∞, Ei ∩ Ej = ∅, ∀i = j; i=1 n Ei ∈ E th× µ( n Ei ) = i=1 µ(Ei ) i=1 Hµm tập : E R đợc gọi cộng tính (cộng tính đếm đợc) nếu: Ei E, i ∈ N, Ei ∩ Ej = ∅, ∀i = j; i=0 Ei E à( Ei ) = i=0 à(Ei ) i=0 Địn h n gh ĩa 1.2.1 Hàm tập có giá trị thực mở rộng, xác định vành E đợc gọi độ đo vành E nếu: 1/ Với E E à(E) à() = 2/ Hàm tập cộng tính Địn h n gh ĩa 1.2.2 Cho độ đo xác định vành E Tập E E đợc gọi có độ đo hữu hạn à(E) < Tập E đợc gọi có độ đo hữu hạn tồn dÃy tập {En }nZ+ E cho E ⊂ ∞ n=1 En vµ à(En ) < , n Z+ Địn h n gh ĩa 1.2.3 Độ đo xác định vành E tập tập X đợc gọi là: - hữu hạn E với tập E E à(E) < ; - hữu hạn E tập E E có độ đo hữu hạn Địn h n gh ĩa 1.2.4 Độ đo xác định đại số E tập tập X đợc gọi là: - hữu hạn hoàn toàn (totally finite) à(X) < ; - hữu hạn hoàn toàn (totally finite) tập X có độ đo hữu hạn Địn h n gh ĩa 1.2.5 Độ đo xác định vành E đợc gọi đầy đủ ∀E ∈ E, F ⊂ E vµ µ(E) = th× F ∈ E C h ó ý Trong định nghĩa 1.2.5 yêu cầu E đại số để X ∈ E 1.2.2 C ¸ c t Ýn h ch Ê t cđ a ® é ® o (Properties of measures) Địn h lý 1.2.1 Cho độ đo vành E Khi ta cã: 1/ NÕu E ∈ E, F ∈ E vµ E F à(E) 2/ Nếu E E, F ∈ E vµ E ⊂ F, F \ E µ(F ) ∈ E, |µ(E)| < ∞ th× µ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) C h ø n g m in h 1/ Do E ∈ E, F ∈ E vµ E ⊂ F, F \E ∈ E, nên à(F ) = à(E)+à(F \E) à(E) (vì µ(F \ E) ≥ 0) 2/ Tõ chøng minh trªn có à(F ) = à(E) + à(F \ E), à(E) hữu hạn nên cộng hai vế với à(E) suy điều phải chứng minh Địn h lý 1.2.2 Cho độ đo vành E Khi ®ã ta cã: 1/ NÕu 2/ NÕu E ∈ E, {En }n∈Z+ ⊂ E vµ E⊂ En víi mäi ∞ n=1 C h ø n g m in h ∞ µ(E) µ(E) µ(En ) n=1 ∞ n∈Z+ E ∈ E, {En }n∈Z+ ⊂ E, Ei ∩ Ej = à(En ) i=j i=1 Ei E 10 1/ Đặt: Fi = E Ei , ∀i ∈ Z+ i−1 G1 = F1 ; Gi = Fi \ Suy ra: Gi ⊂ Fi , Gi ∩ Gj = ∅ j=1 Fj , ∀i ≥ 2; ∞ ∞ Gi ) = ∞ µ(Gi ) i=1 ∞ Gi = i=1 Từ điều có: à(E) = à( ∞ víi mäi i = j vµ ∞ µ(Fi ) i=1 Fi = E i=1 µ(Ei ) i=1 i=1 2/ Do độ đo nên cộng tính đếm đợc có: à(Ei ) = à( i=1 Ei ) µ(E), ∞ (do i=1 i=1 Ei ⊂ E) Địn h lý 1.2.3 Cho độ đo vành E Nếu dÃy tập {En } E dÃy tăng à( lim En ) = lim µ(En ) n→∞ n→∞ C h ø n g m in h lim En = XÐt d·y tập {En }nZ+ dÃy tăng Khi đó, n Đặt E0 = Ta có: à( lim En ) = µ( n→∞ n=1 n=1 En ∈ E ∞ En ) = µ( n=1 ∞ = ∞ (En \ En−1 )) n=1 n µ(En \ En−1 ) = lim n→∞ i=1 µ(Ei \ Ei−1 ) n = lim µ[ n→∞ i=1 (Ei \ Ei−1 )] = lim µ(En ) n Địn h lý 1.2.4 Cho độ đo vành E Nếu dÃy tập {En } E dÃy giảm tồn m Z+ cho à(Em ) < µ(n→∞ lim En ) = lim µ(En ) n→∞ 20 X )đo đợc, nghĩa với B X ta cã ξ −1 (B) ∈ F */ NÕu X = R X = B(R) đại số Borel R ta nói đại lợng ngẫu nhiên */ Nếu X = Rn , n > X = B(Rn ) đại số Borel Rn ta nói vectơ ngẫu nhiên 2.4.2 P h â n p h ối xá c su Ê t v µ h µ m p h â n p h ối xá c su ấ t Cho đại lợng ngẫu nhiên, với mäi B ∈ B(R) ta gäi: µξ (B) = µ(ξ (B)) độ đo ảnh qua ánh xạ độ đo xác suất B(R) đợc gọi phân phối xác st cđa ξ Hµm sè: Fξ (x) = µξ [(−∞; x)] = µ[ξ −1 (−∞; x)], x ∈ R đợc gọi hàm phân phối xác suất Địn h lý 2.4.1 Hàm phân phối xác suất F đại lợng ngẫu nhiên có tính chất: a/ Đơn điệu không giảm, nghĩa b/ x1 < x2 th× Fξ (x1 ) Fξ (x2 ) Fξ (+∞) = lim Fξ (x) = 1, Fξ (−∞) = lim Fξ (x) = x→∞ x→−∞ C h ø n g m in h a/ Ta cã: (; x1 ) (; x2 ) nên [(; x1 )] µξ [(−∞; x2 )] Suy ra: Fξ (x1 ) Fξ (x2 ) b/ Ta cã: Fξ (+∞) = lim Fξ (x) = lim µξ [(−∞; n)] x→∞ n→∞ = µξ [ lim (−∞; n)], n→∞ = µξ (R) = à() = (do Định lý 1.2.3.) 21 F (−∞) = lim Fξ (x) = lim µξ [(−∞; n)] x→−∞ n→−∞ = µξ [ lim (−∞; n)], n→−∞ (do Định lý 1.2.4.) = () = à() = 2.4.3 B iÕn n gÉ u n h iªn r êi r ¹ c, b iÕn n gÉ u n h iên liên t ụ c t u yệt đ ối Địn h n gh ĩa 2.4.1 Biến ngẫu nhiên đợc gọi biến ngẫu nhiên đơn giản (hay có phân phối đơn giản) hàm phân phối xác suất hàm đơn giản, nghĩa hàm phân phối xác suất có d¹ng: n Fξ (x) = αi χ (x), Ai i=1 ®ã Ai ∈ B(R), αi ∈ R, ∀i, n < ∞, 0, nÕu x ∈/ Ai nÕu x ∈ Ai χ (x) = Ai BiÕn ngÉu nhiªn đợc gọi biến ngẫu nhiên rời rạc hàm phân phối xác suất hàm rời rạc, nghĩa có dạng: Fξ (x) = αi χ (x) Ai i=1 VÝ d ụ Đại lợng ngẫu nhiên có Im() = N có hàm khối lợng (the k mass function) pk = P (ξ = k) = e−λ λk! , > đại lợng ngẫu nhiên rời rạc đợc gọi đại lợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số Địn h n gh ĩa 2.4.2 Biến ngẫu nhiên đợc gọi có phân phối tuyệt đối liên tục tồn hàm f (x) không âm cho hàm phân phối xác suất có dạng: x F (x) = f (t)dt Hàm f (t) đợc gọi hàm mật độ Địn h lý 2.4.2 Hàm mật độ đại lợng ngẫu nhiên ξ cã c¸c tÝnh chÊt: 22 a/ b/ c/ fξ (x) ≥ P (a ξ b b) = a ∞ fξ (t)dt = Fξ (b) − Fξ (a) fξ (t)dt = −∞ C h ø n g m in h a/ Khẳng định a/ từ định nghĩa b/ Ta cã: P (a ξ b) = P (ξ b = −∞ b) − P (ξ fξ (t)dt − a a) = Fξ (b) − Fξ (a) b fξ (t)dt = −∞ fξ (t)dt a (do tÝnh chÊt cña tích phân) c/ Dùng khẳng định b/ có: fξ (t)dt = P (ξ ∈ R) = P (Ω) = VÝ d BiÕn ngÉu nhiªn ξ có hàm mật độ đợc cho bởi: xà fξ (x) = √ e− ( σ ) , > 2. đợc gọi biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (phân phối Gauss) tham số (à; ) 23 c hơng Luật số lớn 3.1 K ỳ vọ ng p h ng sai c ña bi Õ n ng Éu nh i ª n 3.1.1 K ú v än g (Expectation) Cho (; F ; P ) không gian xác suất đại lợng ngẫu nhiên Nếu P (d) khả tích tuyệt đối ta nói có kỳ vọng kỳ vọng đợc xác định bởi: E() = P (d) = xP (dx), R ®ã, Pξ = P ◦ ξ −1 */ Nếu đại lợng ngẫu nhiên rời rạc có Im() = {xi |i N} pi = P ( = i) hàm khối lợng kú väng cđa nã lµ: ∞ E(ξ) = xi pi i=0 nÕu tỉng ®ã héi tơ tut ®èi */ NÕu đại lợng ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối có hàm mật độ f (t) kỳ vọng nã lµ: ∞ E(ξ) = fξ (t)dt −∞ nÕu tÝch phân hội tụ tuyệt đối Ví d ụ Cho đại lợng ngẫu nhiên có phân phối tập hữu hạn {xi |i = 1; n}, nghÜa lµ P (ξ = xi ) = n1 , ∀i TÝnh E(ξ) G i¶ i Ta cã: n E(ξ) = n xi Pi = i=1 i=1 n 1 xi = xi n n i=1 VÝ dơ nµy chứng tỏ kỳ vọng khái niệm mở rộng khái niệm trung bình cộng Ví d ụ Cho đại lợng ngẫu nhiên có phân phối đoạn hữu 24 hạn [a; b], nghĩa có hàm mật độ: f (t) = 0, t ∈/ [a; b] b−a , nÕu t ∈ [a; b] TÝnh E(ξ) G i¶ i Ta cã: b E(ξ) = b 1 x2 b xdx = b−a a b−a a (b − a)(b + a) a+b b2 − a = = = 2(b − a) 2.(b − a) x.fξ (x)dx = a VËy: E(ξ) = a+b */ C ¸ c t Ýn h ch Ê t cñ a k ú v än g M ện h đ ề 3.1.1 Giả sử đại lợng ngẫu nhiên có kỳ väng Khi ®ã, ta cã: a/ E(ξ + η) = E(ξ) + E(η) b/ Víi mäi k∈R ta lu«n cã E(k.) = k.E() c/ Nếu đại lợng ngẫu nhiên độc lập, nghĩa với A, B ∈ B(R) ta cã P [ξ −1 (A).η −1 (A)] = P [ξ −1 (A)].P [(η −1 (A)] th× E(ξ.η) = E(ξ).E(η) C h ø n g m in h a/ Do: E(ξ + η) = (ξ + η)P (dω) = Ω ξP (dω) + Ω ηP (d) = E() + E() Nên a/ đợc chứng minh b/ Ta cã: E(k.ξ) = (k.ξ)P (dω) = k ξP (dω) = k.E(ξ) Ω Ω c/ Ta cã: E(ξ.η) = x.P (ξ.η)−1 (dx) = (ξ.η)P (dω) = Ω R2 R = R x.P ◦ ξ −1 (dx) = E(ξ).E(η) R x.yP ◦ ξ −1 P ◦ η −1 (dxdy) y.P (dy)(do Định lý Fubini) 25 Mệnh đề đợc chứng minh hoàn toàn C h ú ý Nếu = k số E(k) = k 3.1.2 P h − ¬n g sa i (Variance) Cho đại lợng ngẫu nhiên , tồn E( E)2 ta gọi đại lợng phơng sai đại lợng ngẫu nhiên đợc ký hiÖu Var(ξ) VËy: Var(ξ) = E(ξ − Eξ)2 */ C ¸ c t Ýn h ch Ê t cđ a p h − ¬n g sa i M Ưn h đ ề 3.1.2 Nếu đại lợng ngẫu nhiên có phơng sai thì: Var() = E( ) − [E(ξ)]2 C h ø n g m in h Ta cã: Var(ξ) = E(ξ − Eξ)2 = E[ξ − 2ξ.E(ξ) + [E(ξ)]2 ] = E(ξ ) − 2E(ξ).E(ξ) + [E(ξ)]2 = E(ξ ) − [E(ξ)]2 M Ưn h ® Ị 3.1.3 NÕu ξ = k (h»ng sè) th× Var(ξ) = C h ø n g m in h Ta cã: Var(ξ) = E(k − E(k))2 = E(0) = (Chó ý r»ng E(k) = k) M Ưn h ® Ị 3.1.4 Nếu k số đại lợng ngẫu nhiên có phơng sai Var(k) = k2 Var() C h ø n g m in h Ta cã: Var(kξ) = E(k2 ξ ) − [E(kξ)]2 = k2 E(ξ ) − k2 [E(ξ)]2 = k2 Var(ξ) Mệnh đề đợc chứng minh 26 M ện h đ ề 3.1.5 Nếu hai đại lợng ngẫu nhiên độc lập Var( + ) = Var(ξ) + Var(η) C h ø n g m in h Var(ξ + η) = E(ξ + η)2 − [E(ξ + η)]2 = E(ξ ) + 2E(ξ).E(η) + E(η ) − [E(ξ)]2 − 2E(ξ).E(η) − [E(η)]2 = Var(ξ) + Var(η) VÝ d Cho ξ lµ đại lợng ngẫu nhiên có phân phối [a; b] TÝnh Var(ξ) G i¶ i Ta cã: E(ξ) = a+b , (§· tÝnh mơc kú väng) Ta cã: b 1 x3 b dx = b−a b−a a a 3 b −a (b − a)(b2 − ab + a2 ) = = 3(b − a) 3(b − a) 2 b − ab + a = x2 E(ξ ) = Suy ra: (b2 − ab + a2 ) a+b − 2 2 2 4(a + ab + b ) − 3(a + 2ab + b ) a − 2ab + b2 = = 12 12 (a − b) = 12 Var(ξ) = E(ξ ) − [E(ξ)]2 = VÝ d ô Cho ξ cã ph©n phèi Poisson tham sè λ > TÝnh E() Var() G iả i Ta có: k.e E(ξ) = k=0 ∞ λk = k! e−λ = λ k=1 ∞ e−λ k=1 k−1 λk (k − 1)! λ = λ.e−λ (k − 1)! ∞ k=0 λk = λ.e−λ eλ = λ k! 27 ∞ λk ) k! (V× theo khai triĨn Mac Laurin cã e = λ k=0 VËy: E(ξ) = λ ∞ Tõ e = λ k=0 λk k! suy ra: ∞ λk+1 k! .e = k=0 Lấy đạo hàm hai vế cã: ∞ λ λ e + λ.e = (k + 1) k=0 k k! Tiếp tục lấy đạo hàm, cã: ∞ (k + k) 2.eλ + λ.eλ = k=0 ∞ = λ k2 k=0 λk−1 = k! k λ + k! λ ∞ k2 k=0 ∞ ∞ k k=0 λk−1 k! k k k=0 λk−1 + k! λ k! Tõ ®ã suy ra: −λ e (2 + λ.e ) = λ λ ∞ λ k −λ λ k e k=0 + k! λ ∞ k.e−λ k=0 λk ] k! = [E(ξ ) + E(ξ)] λ =⇒ + λ = [E(ξ ) + λ] λ (Ta chó ý r»ng E(ξ ) = ∞ n=0 k k e−λ λk! ) =⇒ 2.λ + λ2 = E(ξ ) + λ Nªn: E(ξ ) = λ + λ2 Do ®ã: Var(ξ) = E(ξ ) − [E(ξ)]2 = λ + λ2 − λ2 = λ Nªn: Var(ξ) = λ 28 3.2 L uË t sè l n dạng yế u 3.2.1 Địn h n gh ĩa Địn h n gh ĩa 3.2.1 Cho dÃy đại lợng ngẫu nhiên {n }nN đại lợng ngẫu nhiên n đợc xác định nh sau: n = fn (ξ1 ; ξ2 ; ; ξn ) fn hàm đối xứng Nếu tồn dÃy số thực {an }nN cho với > tïy ý cho tr−íc, ta cã: lim P {|ζn − an | < ε} = 1, n→∞ th× ta nãi d·y {ξn }n∈N tu©n theo lt sè lín dạng yếu với dÃy hàm {fn } C h ú ý Trong lý thuyết xác suất cổ điển, ngời ta th−êng lÊy: ξ1 + ξ2 + · · · + ξn ζn = ; an = n n n Ei i=1 Nên dÃy {n }nN tuân theo luật số lớn dạng yếu với ε > cho tr−íc bÊt kú, ta cã: lim P n→∞ n n ξi − n i=1 n Eξi < ε = i=1 3.2.2 L u ậ t số lớn d n g yếu Địn h lý 3.2.1 Víi mäi biÕn ngÉu nhiªn ξ cã phơng sai hữu hạn với >0 cho trớc tùy ý, ta lu«n cã: P (|ξ − Eξ| ≥ ε) Var() Bất đẳng thức đợc gọi bất đẳng thức Chebyshev C h ứ n g m in h Gọi F (x) hàm phân phối x¸c st cđa ξ 29 Ta cã: P (|ξ − Eξ| ≥ ε) = dF (x) |ξ−Eξ|≥ε ∞ −∞ |ξ−Eξ|≥ε (x − Eξ)2 dF (x) ε2 (x − Eξ) dF (x) ε2 = E(ξ − Eξ)2 = Var() Định lý đợc chứng minh hoàn toàn Địn h lý 3.2.2 (Định lý Chebyshev) Giả sử dÃy đại lợng ngẫu nhiên độc lập đôi có phơng sai đồng bị chặn, nghĩa tån t¹i < c < ∞ cho Var(ξn ) c, n Khi đó, dÃy {n }nN tuân theo luật số lớn dạng yếu, nghĩa với > cho tr−íc bÊt kú, ta cã: {ξn }n∈N lim P n→∞ n n ξi − n i=1 n Eξi < ε = i=1 C h ø n g m in h Do d·y {ξn }nN độc lập đôi nên có: Var Mặt kh¸c, Var(ξi ) c, ∀i n n ξi = i=1 n2 n Var(ξi ) i=1 nªn suy ra: Var n n c n ξi i=1 ¸p dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: 1P n n i=1 ξi − n n i=1 Eξi < ε = − P ≥1− Var n n i=1 ε2 Qua giíi h¹n n → ∞, ta thu đợc: lim P n n n i n i=1 Định lý đợc chứng minh hoàn toàn n Eξi < ε = i=1 n n i=1 ξi ) ( n1 c ≥1− n.ε2 ξi n i=1 Ei 30 Địn h lý 3.2.3 (Định lý Bernoulli) Giả sử số lần xảy biến cố n phép thử độc lập p xác suất xảy biến cố phép thử Khi đó, với > cho tr−íc ta lu«n cã: A A µ − p < ε = n lim P n→∞ C h ø n g m in h Đặt: àk = 0, A không xảy phÐp thư thø k, 1, nÕu A x¶y phÐp thư thø k Ta cã: n µ= µk k=1 E(µk ) = 0.(1 − p) + 1.p = p E(µ2k ) = 02 (1 − p) + 12 p = p , (do Var(µk ) = E(µ2k ) − [E(µk )]2 = p − p2 bÊt đẳng thức Cauchy) áp dụng định lý Chebyshev có: n lim P n→∞ n i=1 µi − n n Eµi < ε = i=1 Suy ra: lim P n→∞ µ − p < ε = n Định lý đà đợc chứng minh Địn h lý 3.2.4 (Định lý Poisson) Gọi số lần xảy biến cố A n phép thử độc lập pk xác suất xảy biến cố Khi với > cho trớc, ta có: lim P (| n→∞ µ − n n k=1 n pk A lÇn thư thø k | < ε) = C h ø n g m in h Đặt: àk = 0, A không xảy phÐp thư thø k, 1, nÕu A x¶y phÐp thư thø k 31 Ta cã: n µ= µk k=1 E(µk ) = 0.(1 − pk ) + 1.pk = pk E(µ2k ) = 02 (1 − pk ) + 12 pk = pk , (do Var(µk ) = E(µ2k ) − [E(µk )]2 = pk p2k bất đẳng thức Cauchy) áp dụng định lý Chebyshev có: lim P n n n i=1 µi − Suy ra: lim P n→∞ n n Eµi < ε = i=1 n k=1 n pk n < = Định lý đà đợc chứng minh Địn h lý 3.2.5 (Định lý Khinchine) Giả sử dÃy {n }nN độc lập phân phối với kỳ vọng hữu hạn ( < a = En < ) Khi đó, tuân theo luật số lớn dạng yếu, nghĩa với ε > cho tr−íc bÊt kú, ta cã: lim P n→∞ n n i=1 ξi − a < ε = C h ø n g m in h Chứng minh sau đợc Markov sử dụng lần đầu vào năm 1907 Phơng pháp đợc dùng thờng đợc gọi phơng pháp chặt khúc Với > cho trớc, ta định nghĩa: k |ξk | < δ.n nÕu |ξk | ≥ δ.n γk = nÕu |ξk | < δ.n ξk nÕu |k | .n k = Với k = 1; n, ta cã: ξk = γk + ζk 32 Ta cã: δ.n ak = E(γk ) = xdF (x) .n (F (x) hàm phân phối xác suất cña ξ ) δ.n Var(γk ) = δ.n −δ.n x2 dF (x) − a2k δ.n −δ.n δ.n (trong ®ã, b = δ.b.n, −δ.n |x|dF (x) |x|dF (x)) Ta cã: lim an = a n Nên với n đủ lớn ta có: (3.2.1) |an a| < Dùng bất đẳng thøc Chebyshev, cã: P n n k=1 γk − an ≥ ε bδ ε2 γk − a ≥ 2ε bδ ε2 KÕt hỵp víi (3.2.1.) ta cã: P (V× ω: n n k=1 n n k=1 γk − a ≥ 2ε ⊂ ω : n n k=1 γk − an ≥ ε ) Ta cã: P {ζn = 0} = Do ∞ −∞ |x|dF (x) dF (x) |x|≥δ.n δ.n |x|≥δ.n |x|dF (x) tån hữu hạn, nên với n đủ lớn ta có: |x|≥δ.n |x|dF (x) < δ =⇒ P (ζn = 0) < Suy ra: ∞ n P ζk = k=1 δ n P (ζk = 0) < k=1 nδ = δ n 33 V× vËy: P P n n n k=1 ξk − a ≥ 2ε n k=1 n γk − a ≥ 2ε + P ζk = k=1 bδ + δ ε2 (3.2.2) Do vÕ phải (3.2.2.) làm bé tùy ý nên suy điều phải chứng minh 34 tài liệu tham kh¶o Ngu n Du y T iÕn , Ngu yễn Viết P h ú (1983),Giáo trình lý thuyết xác suất, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hµ Néi F eller W (1971), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley and sons, New York - Chichester-Brisbane-Toronto, Singapore G n ed en k o V.B a n d K olm ogor ov A.N (1954), Limit distributions for sums independent random variables, Cambridge S t r oock D.W (1994), Probability theory an analytic view, Cambridge university press Các giáo trình vỊ x¸c st ë ViƯt Nam ... thú vị Chính em chon đề tài Cơ sở lý thuyết xác suất đại làm đề tài tốt nghiệp bậc Đại học 1.2 M c ® Ých cđ a ® Ị t i Mục đích đề tài trình bày lại lý thuyết xác suất theo quan điểm độ ®o vµ... ơn g độ đo xác suấ t 2.1 Các khái niệm mở đầu 13 13 2.1.1 Độ đo xác suất không gian xác suất 13 2.1.2 Các định nghĩa cổ điển xác suất 13 2.2 Các tính chất độ đo xác suất 15 2.3 Xác suất điều kiện... Xét tập khác rỗng, F đại số tập độ đo xác định F Nếu độ đo thỏa mÃn: à() = ta nói độ đo xác suất F Khi đó, ta gọi ba (, F, à) không gian xác suất Trong lý thuyết xác suất cổ điển, ngời ta