Các ứng dụng của tổ hợp trong xác suất

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA:TOÁN - - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: CÁC ỨNG DỤNG CỦA TỔ HỢP TRONG XÁC SUẤT Giảng viên hƣớng dẫn: TS CAO VĂN NUÔI Sinh viên thực : NGUYỄN THỊ THUÝ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Đà Nẵng – Tháng năm 2015 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Được phân cơng Khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng đồng ý Thầy giáo hướng dẫn TS.Cao Văn Nuôi, em thực đề tài “Các ứng dụng tổ hợp xác suất” Để hồn thành khố luận này, em xin chân thành thầy giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng Xin chân thành cảm ơn Thầy giáo hướng dẫn TS.Cao Văn Ni tận tình, chu đáo hướng dẫn em thực khố luận Nếu khơng có lời hướng dẫn dạy bảo thầy em nghĩ khố luận em khó hồn thiện Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn Thầy Mặc dù cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh Song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Em mong góp ý quý Thầy, Cô giáo bạn khố để khố luận hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực Nguyễn Thị Thúy SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:ii GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài: Mục tiêu nghiên cứu đề tài: Phƣơng pháp nghiên cứu: Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: 4.1 Đối tƣợng nghiên cứu: 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Đóng góp đề tài: Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: CHƢƠNG 1: TỔ HỢP 1.1 SƠ LƢỢC VỀ TOÁN TỔ HỢP 1.2 HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 1.2.1 Nguyên lý nhân 1.2.2 Nguyên lý cộng: 1.2.3 Nguyên tắc cộng mở rộng 1.3 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 1.3.1 Chỉnh hợp lặp 1.3.2 Chỉnh hợp không lặp 10 1.3.3 Hoán vị 11 1.3.4.Tổ hợp 12 1.4 CẤU HÌNH TỔ HỢP MỞ RỘNG 15 1.4.1 Hoán vị lặp 15 1.4.2 Tổ hợp lặp 17 1.5 CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 19 CHƢƠNG 2: XÁC SUẤT 21 2.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 21 2.1.1 Phép thử 21 2.1.2 Biến cố 21 2.1.3 Phép toán 22 SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:iii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Nuôi 2.2 XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ 24 2.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển 24 2.2.2 Định nghĩa xác suất hình học 25 2.2.3 Định nghĩa xác xuất tần suất 27 2.2.4 Định nghĩa xác suất tiên đề 27 2.3 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT 28 2.3.1 Xác suất có điều kiện 28 2.3.2 Công thức nhân xác xuất 29 2.3.3 Công thức cộng xác suất 30 2.4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES 31 2.5 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA BIẾN CỐ 34 2.6 DÃY N BIẾN CỐ ĐỘC LẬP 36 2.7 DÃY CÁC PHÉP THỬ ĐỘC LẬP 36 2.8 CÔNG THỨC XÁC SUẤT NHỊ THỨC 37 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TỔ HỢP TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 41 3.1 BÀI TOÁN 41 3.2 BÀI TOÁN 42 3.3 BÀI TOÁN 43 3.4 BÀI TOÁN 44 3.5 BÀI TOÁN 44 3.6 BÀI TOÁN 46 3.7 BÀI TOÁN 47 3.8 BÀI TOÁN 48 3.9 BÀI TOÁN BỎ THƢ 49 3.10 BÀI TOÁN NGÀY SINH 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:iv GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Tổ hợp lĩnh vực toán rời rạc, xuất vào đầu kỉ 17 Thế nhưng, tổ hợp lĩnh vực mờ nhạt ý tới khoảng thời gian kỉ Tình bắt đầu đổi khác xuất máy tính với phát triển tốn hữu hạn Hiện nay, Lý thuyết tổ hợp áp dụng nhiều lĩnh vực khác toán học như: Đại số, Lý thuyết xác suất, Lý thuyết Ergod (Ergod theory) Hình học, ngành ứng dụng: Khoa học máy tính Vật lý thống kê Hướng nghiên cứu luận văn số ứng dụng Lý thuyết tổ hợp vào việc tính tốn giải toán xác suất Tiên đề xác suất tảng Lý thuyết xác suất Ảnh hưởng Lý thuyết xác suất sống ngày việc xác định rủi ro Chính phủ áp dụng phương pháp xác suất để điều tiết mơi trường hay cịn gọi phân tích đường lối Lý thuyết trò chơi dựa tảng xác suất Một ứng dụng khác xác định độ tin cậy Trong nhiều kì thi tốn xác suất đề cập thường thuộc loại khó nên học sinh cịn lúng túng giải tốn Chính lý trên, chọn đề tài: “Các ứng dụng tổ hợp xác suất” để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn yêu thích xác suất, tổ hợp Mục tiêu nghiên cứu đề tài: Tơi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác để nghiên cứu kĩ trình bày lại kiến thức luận văn theo thể khép kín hi vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh giáo viên trường trung học phổ thông, bạn quan tâm đến xác suất Luận văn gồm có chương, Chương trình bày kiến thức “Tổ Hợp” Chương nêu số khái niệm Lý thuyết Tổ hợp với số ví dụ minh hoạ Chương trình bày số nội dung “Xác Xuất” Các kiến thức chương khơng q khó đa phần học phổ thơng Tuy nhiên, có kiến thức mở rộng Chương cuối SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Ni Chương trình bày “Ứng Dụng Của Tổ Hợp Trong Một Số Bài Toán Xác Suất” Chương trình bày số tập thường gặp số toán tiêu biểu Xác Suất Do khn khổ luận văn có giới hạn nên số khái niệm quan trọng luận văn, như: phân hoạch có thứ tự, phân hoạch không thứ tự, phân bố xác suất, phân bố nhị thức, v.v…Hy vọng luận văn cung cấp tương đối đầy đủ kiến thức sở Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết Xác suất để bạn đọc hiểu tài liệu chuyên sâu Tổ hợp, Xác suất cần thiết Phƣơng pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng phương pháp quan sát, phương pháp nghiên cứu lý thuyết tham khảo số tài liệu nằm lĩnh vực như: Một số kiến thức lý thuyết xác suất thống kê toán học, Lý thuyết tổ hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: 4.1 Đối tƣợng nghiên cứu: - Các khái niệm, quy tắc tính tổ hợp, xác suất, toán xác suất - Nghiên cứu giải số toán xác suất tổ hợp 4.2 Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình lý thuyết tổ hợp giáo trình xác suất thống kê Đóng góp đề tài: Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên giáo viên giảng dạy mơn tốn khối trung học phổ thơng, bạn u thích tốn học xác suất Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng tổ hợp xác suất phù hợp với chuyên ngành Toán ứng dụng SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:2 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 1: TỔ HỢP 1.1 SƠ LƢỢC VỀ TỐN TỔ HỢP Định nghĩa 1.1: Trong tốn học, tổ hợp cách chọn phần tử từ nhóm lớn mà khơng phân biệt thứ tự  Trong số trường hợp ta đếm số tổ hợp Ví dụ1.1: Cho loại sách, loại Tiểu thuyết, loại Truyện ngắn loại lại Thường thức – Đời sống Ta có cách chọn thuộc thể loại khác loại sách để đọc Cách 1: Tiểu thuyết Truyện ngắn Cách 2: Tiểu thuyết Thường thức – Đời sống Cách 3: Truyện ngắn Thường thức – Đời sống  Trong trường hợp, tập xét tập lớn có nhiều phần tử ta cần sử dụng cơng thức tốn học phức tạp để tìm số tổ hợp Ta gọi tổ hợp chập 𝑘 tập 𝑆 tập phần tử riêng biệt 𝑘 ∈ 𝑆, tập có 𝑛 phần tử số tổ hợp chập 𝑘 với hệ số nhị thức: 𝑛 𝑛 − … (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑘 𝑘 − … Cơng thức viết dạng giai thừa: 𝑛! 𝐶𝑛𝑘 = 𝑘! 𝑘 − ! đó: 𝑘 ≤ 𝑛 𝐶𝑛𝑘 = Tập tất tổ hợp chập 𝑘 tập 𝑆 thường kí hiệu: 𝐶𝑛𝑘 Ví dụ 1.2: Trong có 52 lá, tính số tổ hợp lấy khác biệt thứ tự không quan trọng Giải: Lấy từ 52 gọi tổ hợp chập 52 (với 𝑘 = 6, 𝑛 = 52) Vậy ta có: 52! = 20358520 𝑐á𝑐𝑕 6! 52 − ! SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:3 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp Từ ta biết xác suất rút cách ngẫu nhiên 52 là: 20358520  Các tổ hợp tổ hợp chập gồm 𝑘 phần tử lấy từ 𝑛 phần tử có lặp lại khơng có lặp lại Như ví dụ 1.1 khơng có lặp lại Tuy nhiên, chọn thuộc thể loại để đọc, ta có thêm tổ hợp nữa: thuộc thể loại Tiểu thuyết, thể loại truyện ngắn thể loại Thường thức – Đời sống Số tổ hợp chập 𝑘 𝑛 phần tử lặp lại bằng: 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘 𝐶𝑛+𝑘−1 = 𝑛 − ! 𝑘! 1.2 HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 1.2.1 Nguyên lý nhân Ví dụ 1.3: Một người du lịch từ TP.HCM Đà Nẵng, sau Hà Nội Giả sử từ TP.HCM Đà Nẵng có cách đi: đường bộ, tàu thuỷ, tàu hoả đường không; từ Đà Nẵng Hà Nội có cách đi: đường bộ, tàu hoả đường khơng Hỏi người có cách từ TP.HCM Hà Nội? Giải: Vì từ TP.HCM Đà Nẵng có cách nên có cách chọn Với cách từ TP.HCM Đà Nẵng có cách tiếp từ Đà Nẵng Hà Nội Nên có: 4.3 = 12(𝑐á𝑐𝑕) du lịch từ TP.HCM Đà Nẵng sau Hà Nội Định nghĩa 1.2: Giả sử cơng việc 𝐸 phân tích thành 𝑟 cơng việc theo trình tự 𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑟 giả sử có: 𝑛1 cách để thực công việc 𝐸1 , 𝑛2 cách để thực công việc 𝐸2 , … 𝑛𝑟 cách để thực cơng việc 𝐸𝑟 Khi đó, số cách để thực công việc 𝐸 là: 𝑟 𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑟 = 𝑛𝑖 𝑖=1 SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Ni Ví dụ 1.4: Một qn ăn có thực đơn:  Món khai vị: - Gỏi - Súp - Salach  Món chính: - Bị - Cá - Tơm - Lẩu  Món tráng miệng: - Bánh - Kem - Trái  Các loại nước uống - Café - Nước đóng chai - Trà Có cách chọn bữa ăn gồm: khai vị, chính, tráng miệng loại nước uống? Giải: Món khai vị có cách chọn Ứng với cách chọn khai vị có cách chọn Ứng với cách chọn khai vị có cách chọn tráng miệng Ứng với cách chọn khai vị , tráng miệng có cách chọn nước uống Theo nguyên lý nhân, ta có : 3.4.3.3 = 108 𝑐á𝑐𝑕 𝑐𝑕ọ𝑛 𝑚ộ𝑡 𝑏ữ𝑎 ă𝑛 Ví dụ 1.5: Có kiểu mặt đồng hồ (vng, trịn, chữ nhật, elip) kiểu dây (kim loại, da, nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm: mặt dây? Giải: Ta có cách chọn mặt đồng hồ SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:5 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp Ứng với cách chọn mặt đồng hồ có cách chọn dây đồng hồ Theo nguyên lý nhân, ta có: 4.3 = 12 (𝑐á𝑐𝑕 𝑐𝑕ọ𝑛 𝑚𝑢𝑎 đồ𝑛𝑔 𝑕ồ) Ví dụ 1.6: i) Có chữ số có năm chữ số? ii) Có chữ số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 2? iii) Có chữ số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5? Giải: i) Số chữ số gồm năm chữ số là: Số thứ có cách chọn (trừ số 0) Số thứ hai có 10 cách chọn Số thứ ba có 10 cách chọn Số thứ tư có 10 cách chọn Số thứ năm có 10 cách chọn Theo nguyên lý nhân, có: 9.10.10.10.10 = 104 (𝑠ố 𝑡ự 𝑛𝑕𝑖ê𝑛 𝑐ó 𝑛ă𝑚 𝑐𝑕ữ 𝑠ố) ii) Số chữ số gồm năm chữ số chia hết cho là: Số thứ có cách chọn (trừ số 0) Số thứ hai, ba, bốn có 10 cách chọn Số thứ năm có cách chọn (gồm số: 0, 2, 4, 6, 8) Theo nguyên lý nhân, có: 9.10.10.10.5 = 45 103 (𝑠ố) iii) Số chữ số gồm năm chữ số chia hết cho là: Số thứ có cách chọn (trừ số 0) Số thứ hai, ba, bốn có 10 cách chọn Số thứ năm có cách chọn số Theo nguyên lý nhân, có: 9.10.10.10.1 = 103 𝑠ố Ví dụ 1.7: Cho tập 𝐴 = 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 Đếm số tập A? Giải: Mỗi tập 𝐴 xây dựng 𝑛 bước sau: chọn không chọn 𝑎1 , chọn không chọn 𝑎2 ,…,chọn không chọn 𝑎𝑛 Mỗi bước thực nhiều cách Như số tập 𝐴 là: SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:6 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp Trong đó: 𝐴1𝑖1 biến cố 𝑟 biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑟 tương ứng với phép thử 𝐺1 𝐴2𝑖2 biến cố 𝑟 biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑟 tương ứng với phép thử 𝐺2 … 𝐴𝑛𝑖𝑛 biến cố 𝑟 biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑟 tương ứng với phép thử 𝐺𝑛 Ví dụ 2.23: Gieo đồng xu (cân đối, đồng chất) 𝑛 lần Tính xác suất lần gieo mặt sấp, xem tiến hành phép thử Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với phép thử là: 𝛺 = {S (biến cố 𝐴), N (biến cố 𝐴)} 𝑛 lần gieo độc lập 𝑛 phép thử độc lập Ví dụ 2.24: Gieo 20 lần xúc xắc (cân đối, đồng chất) xem tiến hành 20 phép thử độc lập Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với phép thử là: 𝛺𝑖 = 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , 𝑀4 , 𝑀5 , 𝑀6 , 𝑖 = 1,20 2.8 CÔNG THỨC XÁC SUẤT NHỊ THỨC Dãy 𝑛 phép thử 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺𝑛 gọi dãy 𝑛 phép thử Bernoulli thoả mãn điều kiện sau: i) Dãy phép thử độc lập ii) Trong phép thử 𝐺𝑖 tương ứng với không gian biến cố sơ cấp 𝛺𝑖 = 𝐴, 𝐴 iii) Xác suất biến cố 𝐴 𝑃(𝐴) không thay đổi phép thử Đặt 𝑃 𝐴 = 𝑝  Công thức xác suất Bernoulli: Ta tiến hành 𝑛 phép thử độc lập Giả sử, phép thử xảy trường hợp Hoặc biến cố 𝐴 xảy với xác suất 𝑝 biến cố 𝐴 không xảy với xác suất 𝑞 = − 𝑝 Các toán thoả mãn điều kiện gọi tuân theo lược đồ Bernoulli Khi đó, xác suất để 𝑛 phép thử độc lập biến cố 𝐴 xuất 𝑘 lần kí hiệu: 𝑃𝑛 𝑘 tính: 𝑃𝑛 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 , 𝑘 = 0, 𝑛 (công thức gọi công thức Bernoulli) SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:37 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2.25: Tung 10 lần xúc xắc (cân đối, đồng chất).Tính xác suất: i) Có lần xuất mặt chấm ii) Có lần xuất mặt chấm iii) Có lần xuất mặt chấm Giải: i) Gọi 𝐴 biến cố xuất mặt chấm ⇒𝑃 𝐴 = , 𝑃 𝐴 = 6 Theo công thức xác suất Bernoulli, ta có: 𝑃𝑛 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 𝑛 = 10, 𝑘 = Vậy: 5 𝑃10 = = ∙ ∙ = 0,013 6 ii) Ta phải tính xác suất biến cố 𝑘 ≥ 9, 𝑘 số lần xuất biến cố 𝐴 5 10−5 𝐶10 𝑝 𝑞 𝐶10 dãy 𝑛 phép thử Bernoulli 𝑃10 𝑘 ≥ = 𝑃10 + 𝑃10 10 = ∙ ∙ 6 −7 = 8,4344 10 𝐶10 + 10 𝐶10 ∙ 10 ∙ iii) Ta phải tính xác suất biến cố 𝑘 ≥ 2, 𝑃10 𝑘 ≥ = − 𝑃10 𝑘 < = − 𝑃10 − 𝑃10 1 10 =1− ∙ ∙ + 𝐶10 ∙ ∙ 6 6 = 0,51548 Ví dụ 2.26: Các sọt cam lớn phân loại theo cách Lấy ngẫu nhiên 30 Nếu phát có khơng đạt tiêu chuẩn khơng xuất i) Tính xác suất sọt cam xuất ii) Chọn ngẫu nhiên 20 sọt cam loại Tính xác suất có 15 sọt cam xuất Biết tỷ lệ cam không đạt tiêu chuẩn vụ thu hoạch 4% 𝐶10 Giải: i) Gọi 𝐴 biến cố xuất cam không đạt chuẩn SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:38 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp Lấy ngẫu nhiên 30 cam tiến hành 30 dãy phép thử Bernoulli Xác suất xuất cam không đạt chuẩn luôn 𝑝 = 0,04 ⇒ 𝑞 = 0,96 (𝑞 xác suất xuất cam đạt chuẩn) Để sọt cam xuất 𝑘 < Theo cơng thức Bernoulli, ta có: 𝑃30 𝑘 < = 𝑃30 + 𝑃30 + 𝑃30 2 = 𝐶30 0,040 0,9630 + 𝐶30 0,041 0,9629 + 𝐶30 0,042 0,9628 = 0,8831 ii) Chọn ngẫu nhiên 20 sọt cam tiến hành 20 phép thử Bernoulli Xác suất để sọt cam xuất 𝑝 = 0,8831 ⇒ 𝑞 = 0,1169 (𝑞 xác suất sọt cam không xuất khẩu) Gọi 𝐵 biến cố sọt cam xuất Theo công thức xác suất Bernoulli, với 𝑛 = 20 𝑘 = 15, ta có: 15 𝑃20 15 = 𝐶20 0,883115 0,11695 = 0,0524 Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên 20 sọt cam mà có 15 sọt xuất 0,0524 Ví dụ 2.27: Một cơng nhân A lắp ráp loại máy, máy lắp độc lập Xác suất để máy công nhân A lắp ráp khơng đạt chuẩn 0,2 Tính xác suất: i) Khi chọn ngẫu nhiên 20 máy cơng nhân lắp ráp có máy không đạt tiêu chuẩn? ii) Khi chọn ngẫu nhiên 15 máy công nhân lắp ráp số máy không đạt tiêu chuẩn không Giải: i) Bài toán thoả lược đồ Bernoulli: 20 lần lắp ráp độc lập với nhau; lần ráp có kết đạt tiêu chuẩn (𝐴) không đạt tiêu chuẩn 𝐴; 𝑃 𝐴 = 0,2 Xác suất để 20 lần lắp ráp có lần không đạt chuẩn là: 𝑃20 = 𝐶20 0,24 0,816 = 0,2182 ii) Xác suất để 15 lần ráp, số máy không đạt chuẩn không là: 𝑃15 𝑘 ≤ = 𝑃15 + 𝑃15 + 𝑃15 + 𝑃15 SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:39 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp = 𝐶15 0,20 0,815 + 𝐶15 0,21 0,814 + 𝐶15 0,22 0,813 + 𝐶15 0,23 0,812 = 0,64816  Số lần khả lớn nhất: Tìm 𝑘 cho xác suất 𝑃𝑛 (𝑘) đạt giá trị lớn Đặt 𝑞 = − 𝑝, ta có: 𝑃𝑛 𝑘 + 𝑛 − 𝑘 𝑝 = ≥ ⇔ 𝑘 ≤ 𝑛𝑝 − 𝑞 𝑃𝑛 𝑘 𝑘 + 𝑞 Từ suy ra: - Nếu 𝑛𝑝 − 𝑞 ∈ ℤ 𝑃𝑛 (𝑘) đạt giá tị lớn tại: 𝑘1 = 𝑛𝑝 − 𝑞 𝑘2 = 𝑛𝑝 − 𝑞 + 1, - Nếu 𝑛𝑝 − 𝑞 ∉ ℤ 𝑃𝑛 (𝑘) đạt giá tị lớn tại: 𝑘 = 𝑛𝑝 − 𝑞 + Ví dụ 2.28: Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ 0,7 Cho xạ thủ bắn 10 phát độc lập vào mục tiêu Tìm số phát trúng đích có xác suất xảy lớn nhất? Giải: Bắn 10 phát độc lập vào mục tiêu thực 10 phép thử Bernoulli với xác suất trúng đích viên đạn (biến cố 𝐴) 𝑝 = 0,7 Ta có: 𝑛 = 10, 𝑝 = 0,7 𝑞 = 0,3 ⇒ 𝑛𝑝 − 𝑞 = 10.0,7 − 0,3 = 6,7 ∉ ℤ ⇒ 𝑘 = 𝑛𝑝 − 𝑞 + = + = Vậy số phát trúng đích có xác suất xảy lớn phát SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:40 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TỔ HỢP TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT 3.1 BÀI TỐN Một đồn tàu có 10 toa đỗ ga Có 10 hành khác từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn toa i) Tìm xác suất để toa có người lên? ii) Tìm xác suất để toa có người, toa có người, toa có người bảy toa khơng có người lên? Giải: Gọi 𝑥𝑖 số toa tàu mà người thứ 𝑖 lên tàu 𝑥𝑖 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} tức 𝑥𝑖 có 10 khả lựa chọn Vậy 𝛺 = 1010 i) Gọi 𝐴 biến cố “Mỗi toa có người lên tàu” Mỗi hành khách lên tàu cho toa có người tương ứng với cách xếp chỗ ngồi có thứ tự cho 10 hành khách hốn vị 10 phần tử, ta có: 𝐴 = 10! Vậyxác suất để toa có người lên: |𝐴| 10! 𝑃 𝐴 = = 10 = 3,6288 10−4 |𝛺| 10 ii) Gọi 𝐵 biến cố “Một toa có người lên, toa có người, toa có người bảy toa khơng có người lên” Ta có: - Chọn toa 10 toa để có hành khách lên tổ hợp chập 10 Số cách chọn: 𝑛1 = 𝐶10 = 10 - Chọn toa toa cịn lại để có hành khách lên tổ hợp chập Số cách chọn: 𝑛2 = 𝐶91 = - Chọn toa toa cịn lại để có hành khách lên tổ hợp chập Số cách chọn: 𝑛3 = 𝐶81 = SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:41 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp Với: - Toa có hành khách lên chọn khách 10 khách tổ hợp chập 10 Số cách chọn: 𝑛4 = 𝐶10 = 252 - Toa có hành khách lên chọn khách khách tổ hợp chập Số cách chọn: 𝑛5 = 𝐶53 = 10 - Hai hành khách cịn lại cho vào toa có hành khách Số cách chọn: 𝑛6 = 𝐶22 = Theo nguyên tắc nhân, ta có: 𝐵 = 𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5 𝑛6 = 10.9.8.252.10.1 = 1814400 Vậy xác suất cần tìm là: 𝐵 1814400 𝑃 𝐵 = = = 1,8144 10−4 10 𝛺 10 3.2 BÀI TỐN Có bốn hộp, hộp đựng bóng, hộp thứ 𝑖 có 𝑖 bóng màu xanh 𝑖 = 1,4 Lấy ngẫu nhiên từ hộp bóng i) Tính xác suất để lấy bóng xanh? ii) Nếu bóng lấy có bóng xanh Tìm xác suất để bóng xanh hộp thứ tư Giải: Gọi 𝐴𝑖 biến cố “Lấy bóng xanh từ hộp thứ 𝑖”, 𝑖 = 1,4 Ta có: 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , 𝐴4 hệ độc lập toàn phần i) Gọi 𝐴 biến cố “Lấy bốn bóng xanh” ⇒ 𝐴 = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 , 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴4 24 = ∙ ∙ ∙ = 7 7 2401 ii) Gọi 𝐵 biến cố “Trong bóng lấy có bóng xanh” Xác suất cần tìm: 𝑃 𝐴4 𝐵 = 𝑃 𝐴4 𝐵 𝑃 𝐵 với: 𝑃 𝐴4 𝐵 = 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴4 SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:42 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp 4 480 ∙ ∙ ∙ = 7 7 2401 + 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 + 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 + 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 = 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴4 + 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴4 + 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴4 + 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴4 6 4 954 = ∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = 7 7 7 7 7 7 7 7 2401 Vậy: 𝑃 𝐴4 𝑃 𝐴4 𝐵 𝐵 = = 𝑃 𝐵 480 2401 954 2401 = 80 159 3.3 BÀI TOÁN Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu, câu có phương án có phương án Một thí sinh nhận đề làm Giả sử thí sinh khơng biết phương án cho tất câu đề chọn ngẫu nhiên phương án cho câu Với câu trả lời 0,5 điểm, trả lời sai không co điểm i) Tính xác suất thí sinh thi điểm? ii) Tính xác suất thi sinh thi điểm? iii) Tính số điểm mà thí sinh có khả đạt cao nhất? Giải: Gọi 𝐴 biến cố “ Thí sinh chọn phương án đúng” Xem việc chọn 20 câu hỏi tiến hành 20 phép thử Bernoulli, xác suất để chọn phương án lần chọn ⇒ 𝑃 𝐴 = 𝑝 = 0,2 i) Để thi điểm thí sinh phải chọn 12 câu Theo cơng thức Bernoulli, ta có: 𝑃𝑛 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 − 𝑝 𝑛−𝑘 12 𝑃20 12 = 𝐶20 0,212 0,88 = 8,6566 10−5 Vậy xác suất để thí sinh thi điểm là: 8,6566 10−5 ii) Để thi điểm thí sinh cần chọn câu có phương án Xác suất cần tìm: 𝑃20 𝑘 ≥ = − 𝑃20 𝑘 < = − 𝑃20 − 𝑃20 − 𝑃20 − 𝑃20 − 𝑃20 − 𝑃20 SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:43 GVHD: TS.Cao Văn Ni Khóa luận tốt nghiệp = − 𝐶20 0,25 0,815 − 𝐶20 0,24 0,816 − 𝐶20 0,23 0,817 − 𝐶20 0,22 0,818 − 𝐶20 0,21 0,819 − 𝐶20 0,20 0,820 = 0,1958 Vậy xác suất để thí sinh thi điểm 0,1958 iii) Muốn biết số điểm mà thí sinh có khả đạt cao ta phải tính giá trị lớn 𝑃𝑛 𝑘 Trong tốn này, ta có: 𝑛 = 20; 𝑝 = 0,2; 𝑞 = − 𝑝 = 0,8 ⇒ 𝑛𝑝 − 𝑞 = 20.0,2 − 0,8 = 3,2 ∉ ℤ ⇒ Để 𝑃𝑛 𝑘 đạt giá trị lớn có giá trị 𝑘: 𝑘 = 𝑛𝑝 − 𝑞 + = + = Vậy số điểm mà thí sinh có khả đạt cao 0,5.4 = điểm 3.4 BÀI TOÁN Một Tivi gồm 𝑛 phận hoạt động độc lập Xác suất hỏng khoảng thời gian 𝑇 phận 𝑖 𝑝𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛) Giả sử Tivi không xem có bộn phận bị hỏng Tính xác suất để Tivi không em khoảng thời gian 𝑇? Giải: Gọi 𝐴𝑖 biến cố “Bộ phận thứ 𝑖 hỏng thời gian 𝑇” (𝑖 = 1, 𝑛) 𝐴 biến cố “Tivi không xem khoảng thời gian 𝑇” ⇒ 𝐴 biến cố “Tivi xem khoảng thời gian 𝑇” Ta có: 𝑃 𝐴𝑖 = 𝑝𝑖 𝑖 = 1, 𝑛 𝐴 = 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 , ⇒ Xác suất để Tivi không xem khoảng thời gian 𝑇 là: 𝑃 𝐴 = − 𝑃 𝐴 = − 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = − 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 … 𝑃(𝐴𝑛 ) = − − 𝑝1 − 𝑝2 … − 𝑝𝑛 3.5 BÀI TOÁN Có 𝑛 người chơi trị tung mũ hội: người cầm mũ tung vào phịng Sau người chọn lấy mũ tung SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:44 GVHD: TS.Cao Văn Nuôi Khóa luận tốt nghiệp cách ngẫu nhiên Chứng minh xác suất để khơng có người nhặt mũ là: 1 1 𝑛 − + − ⋯+ 2! 3! 4! 𝑛! −1 𝑛 tiến tới vơ số tiến tới 𝑒 , (xem [2]) Giải: Gọi 𝛺 không gian mẫu, 𝐴𝑖 biến cố “Người thứ 𝑖 nhặt mũ mình” Ta cần tính: 𝑃(𝛺 (𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 )) = − 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) Áp dụng công tức cộng xác suất, ta có: 𝑛 𝑛 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃 𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑃 𝐴𝑖 − 𝑖=1 𝑃 𝐴𝑖 𝐴𝑗 + 𝑖