Bµi to¸n 5b : Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ gi¸c låi kh«ng lín h¬n nöa tæng hai c¹nh cßn l¹i.. O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c.[r]
(1)Phòng giáo dục & đào tạo Tµi liÖu båi dìng m«n h×nh häc ( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái ) Để có thể sử dụng bồi dưỡng cấp trường, tài liệu không chia thành các chuyên đề mà phân bố theo chương trình sách giáo khoa Tuy vậy, để khỏi manh mún, các nội dung trình bày theo chủ đề kiến thức không theo bài Nội dung hình học tài liệu phân thành sáu chủ đề sau : I Tứ giác, hình thang II Hình bình hành III Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông IV Đối xứng trục, đối xứng tâm V Định lý Thalet và tam giác đồng dạng VI Hệ thức lượng tam giác - Định lý Pitago Với chủ đề kiến thức bài tập phân thành sáu loại : Bài tập vị trí tương đối điểm, đường thẳng - Chứng minh thẳng hàng - Chứng minh song song, vuông góc (2) - Chứng minh đồng quy Bài tập chứng minh - Chứng minh góc, đoạn thẳng - Chứng minh tam giác là cân, Một tứ giác là hình thang cân ,hình bình hành, hình thoi, hình vuông Bài tập tính toán - Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, các bài toán diện tích Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán cực trị hình học - Bài toán bất đẳng thức, Xác định hình hình học để đại lượng nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Các bài toán tổng hợp I Tø gi¸c, h×nh thang : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bµi to¸n 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) đó đáy CD tổng hai cạnh bên BC và AD Hai đờng phân giác hai góc A ,B cắt K Chứng minh C,D,K th¼ng hµng A B HD : D K C Gọi K là giao điểm phân giác góc A với DC Dễ dàng chứng minh đợc DAK c©n t¹i D Tõ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK lµ ph©n gi¸c cña gãc B §pcm TIP : Bµi nµy cã thÓ c/m theo híng : - Gäi K lµ giao ®iÓm cña hai ph©n gi¸c c¸c gãc A vµ B C/m KC + KD = DC => K thuéc DC => ®pcm (3) Bµi to¸n 1b : Cho tø gi¸c ABCD Gäi A’B’C’D’ theo thø tù lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh các đờng thẳng AA’, BB’, CC’,DD’ đồng quy B A E C I J F A’ HD : Gäi E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, BD ; I lµ trung ®iÓm cña EF ; J lµ trung ®iÓm cña A’C - Tam giác CAA’ có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA’ - Tam gi¸c FEJ cã AA’ qua trung ®iÓm A’ cña FJ vµ // víi EJ nªn AA’ qua trung ®iÓm I cña FE D - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB’, CC’,DD’ qua I - Các đờng thẳng trên đồng quy I Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng Bµi to¸n 2a : Cho tam giác ABC đó AB < AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A M,N,P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB,AC,BC Chøng minh r»ng tø gi¸c NMPH lµ h×nh thang c©n HD : - MNHP lµ h×nh thang - MP = AC/2 ( §êng TB ) - HN = AC/2 ( §êng TT ) ®pcm A N M Bµi to¸n 2b : B H P C Cho tứ giác ABCD có AD=BC M,N lần lợt là trung điểm AB và DC Đờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN E Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN F Chøng minh AEM = BFM E A HD : F M B - Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD I - Chøng minh tam gi¸c IMN c©n t¹i I ( IM = IN = AD/2=BC/2) - IM // DE vµ IN //CF N C D ®pcm Bµi tËp tÝnh to¸n Bµi to¸n 3a : (4) Cho tø gi¸c låi ABCD, hai c¹nh AD vµ BC kÐo dµi c¾t t¹i E Hai c¹nh AB vµ DC kÐo dµi c¾t t¹i M Hai ph©n gi¸c cña hai gãc CED vµ BMC c¾t t¹i K TÝnh gãc EKM theo c¸c gãc cña tø gi¸c M A HD : D = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM) Trong tam giác MKE đợc MKE DME+DEM = 180 - D K KMD = (1800 - C - B)/2 KED = (180 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D) B E = (360C0 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-360 )/2= (B+D)/2 Bµi to¸n 3b : Cho hình thang ABCD M,N lần lợt là trung điểm hai đáy AD và BC O là điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờng th¼ng nµy c¾t AB,CD lÇn lît t¹i E,F Chøng minh r»ng OE=OF B E N C H O F I M D A HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao ) Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao hai tam giác OE =OF Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh Bµi to¸n 4a : Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng A B I Ph©n tÝch : Giả sử AM là đờng xøng víi D qua M AE D th¼ng cÇn dùngM LÊy ®iÓm C E đối E c¾t BC t¹i I Cã : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI SABC = SEBC => BE// AC (5) C¸ch dùng : - Dựng đờng chéo AC - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC E - LÊy M lµ trung ®iÓm cña DE - AM là đờng thẳng cần dựng TIP : Thực chất phép dựng trên là biến đổi hình thang tam giác tơng đơng ( có diện tích diện tích hình thang ) Để chuyển bài toán bài tập dựng trung tuyến tam giác Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I là điểm AB Qua I hãy dựng đờng th¼ng chia tø gi¸c lµm hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng B I A Ph©n tÝch : Giả sử đã dựng đợc IJ Sử dụng phơng pháp biến đổi tam giác tơng đơng Ta có các bớc phân tích : F = SFIC Suy Xác định điểm F trên tia DC cho SIJCB = SIJF Lúc đó SBIC BF//IC C Xác định điểm E trên tia CD cho J S IJAD = SIJE Lúc đó SAID = SEID Suy AE//ID D cña ®o¹n th¼ng EF Râ rµng J lµ trung ®iÓm E C¸ch dùng : - Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC E Qua B dựng đờng th¼ng song song víi IC c¾t DC t¹i F - Dựng J là trung điểm EF IJ là đờng thẳng cần dựng Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc Bµi to¸n 5a : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác đó cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ Gi¶i : Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo M O thì MA +MB +MC+MD đạt gi¸ trÞ nhá nhÊt ThËt vËy, M O ta cã : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD Víi M bÊt kú tø gi¸c ta cã : MA +MC AC MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD MA +MB +MC +MD nhá nhÊt lóc M O D C¸ch : Víi ba ®iÓm M; A; C ta cã : MA +MC AC C DÊu “ =” x¶y lóc M[AC] M O Víi ba ®iÓm M; B; D cã MB + MD BD DÊu “=” x¶y lóc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B DÊu “=” x¶y lóc M[AC] vµ M[BD] M O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo ) (6) Bµi to¸n 5b : Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ gi¸c låi kh«ng lín h¬n nöa tæng hai c¹nh cßn l¹i Gi¶i : Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC ta cã : C MI = BC / B IN = AD / I MI + IN = ( BC +AD)/ M N L¹i cã víi ba ®iÓm M,I,N th× MI + IN MN MN (BC + AD) / =>®pcm A D II H×nh b×nh hµnh : Các bài toán vị trí tơng đối : Bµi to¸n 1a : Cho tam gi¸c ABC O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn cña tam gi¸c Gäi D,E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB,BC,CA vµ L,M,N lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña OA,OB,OC Chứng minh EL, FM, DN đồng quy Gi¶i : A Dựa vào tính chất đờng trung b×nh chøng minh c¸c tø gi¸c LFEM , NEDL lµ h×nh b×nh hµnh ®pcm L D O M F N B C E Bµi to¸n 1b : Chứng minh : tam giác ba đờng cao đồng quy M N A B H C P HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực tam giác đồng quy cách dựa vào tính chất đờng trung trực đoạn thẳng - Từ ba đỉnh tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đối diện Các đờng thẳng này đôi cắt MNP - Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trung trùc cña MN - Tam giác MNP nhận các đờng cao tam giác ABC làm các đờng trung trùc (7) - Các đờng trung trực tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao tam giác ABC đồng quy C¸c bµi to¸n chøng minh sù b»ng : Bµi to¸n 2a: Cho tø gi¸c ABCD E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD M,N,P,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AF, CE, BF, DE Chøng minh r»ng MN = PQ C HD : B N P E M A F Q D Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao trung điểm đờng ( Chính là trung điểm EF ) Bµi to¸n 2b : Cho tø gi¸c ABCD Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD, F lµ trung ®iÓm cña BC ; G là đỉnh thứ t hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t hình bình hành CABH a Chøng minh BD // GH G b Chøng minh HD = 2EF D I E C J H F A B HD : a BDGH lµ h×nh b×nh hµnh BH vµ DG cïng song song vµ b»ng AC =>®pcm b Gäi I,J lÇn lît lµ trung ®iÓm cña CD vµ CH Chøng minh EIJF lµ h×nh b×nh hµnh => ®pcm C¸c bµi tËp tÝnh to¸n : Bµi to¸n 3a : Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 và O là giao đIểm hai đờng chéo Tõ D h¹ DE vµ DF lÇn lît vu«ng gãc víi AB vµ BC (E thuéc AB, F thuéc BC ) TÝnh gãc EOF E B A D C F (8) O Cã O lµ trung ®iÓm cña DB Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ) EOD = 2EBO ( V× EOB c©n t¹i O ) DOF = 2FBO ( V× FOB c©n t¹i O ) Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF Do EBF = ADC nªn EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 Bµi to¸n 3b : Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt D và E Gọi G là trọng tâm tam giác ADE, I là trung điểm CD Tính sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c GIB A D G E K I B C HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE K - Tø gi¸c DBCK lµ h×nh b×nh hµnh nªn BK c¾t DC t¹i trung ®iÓm I cña DC - Chøng minh hai tam gi¸c DBG vµ EKG b»ng - Từ đó có đợc GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2 - Có DGE = 1200 ( Do ADE ) nên BGI = 600 và GBI = 300 C¸c bµi to¸n quü tÝch, dùng h×nh Bµi to¸n 4a : Cho tam gi¸c c©n ABC (AB=AC) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn c¹nh AC A D di động trên lÊy ®iÓm E cho DA=CE T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña DE c¹nh AB E I D C B Bµi to¸n 4b : Cho gãc nhän xAy vµ O lµ ®iÓm thuéc miÒn cña gãc Dùng trªn Ax điểm M và trên Ay điểm N để : a O lµ trung ®iÓm cña MN b OM =2ON x Gi¶i : O’ (9) M O A N y a C1 :( Dùa vµo kiÕn thøc vÒ h×nh b×nh hµnh ) Ph©n tÝch : Gọi O’ là điểm đối xứng A qua O Khi O là trung điểm MN thì tứ gi¸c AMO’N lµ h×nh b×nh hµnh C¸ch dùng : - Dựng O’ đối xứng với A qua O - Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ay cắt Ax M - Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ax cắt Ay N C2 :( Dựa vào kiến thức đờng trung bình ) Ph©n tÝch : Khi O là trung điểm MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax t¹i trung ®iÓm cña AN C¸ch dùng : - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax O1 Trên tia Ax dựng M cho O1 lµ trung ®iÓm cña AM - T¬ng tù c¸ch dùng N b (x) M D O A N N1 (y) HD : Xem O là trọng tâm tam giác => xác định đợc D là chân đờng trung tuyến xuất phát từ A => Quy bài toán 3a để giải C¸c bµi to¸n cùc trÞ : Bµi to¸n 5a : Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến Chứng minh : AB + AC 2AM Giải : Lấy A1 là điểm đối xứng A qua M ta có : A ABA1C lµ h×nh b×nh hµnh BA1 = AC vµ AA1 = 2AM AB +AC = AB + BA1 B C L¹i cã : AB + BA1 > AA1 M AB + AC > AA1 =2AM => ®pcm A1 Bµi to¸n 5b : Chøng minh r»ng, mét tam gi¸c trung tuyÕn øng víi c¹nh nhá h¬n th× lín h¬n A (10) M N B I H C D KÎ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC) Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND MN = BI =CD Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên ) HI + IB < HC + CD => HB < HD NB < ND => NB < MC Bµi to¸n 5c : Một kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng từ P đến Q nhỏ nhÊt Q N P’ M P HD : Dựng hình bình hành NMPP’ ta đợc : PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ Do PP’ = const §Ó PM + MN + NQ nhá nhÊt th× P’N +NQ nhá nhÊt P’,N,Q th¼ng hµng DÔ dµng suy c¸ch dùng II H×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bµi to¸n 1a : Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD KÎ BH vu«ng gãc víi AC Gäi M lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña CD Chøng minh BM vu«ng gãc víi MK B C I H A M K D HD : - KÎ MI // AB ( I thuéc BH ) - Chøng minh ICKM lµ h×nh b×nh hµnh => IC//MK - Chøng minh I lµ trùc t©m cña tam gi¸c CBM => CI vu«ng gãc víi BM (11) MK vu«ng gãc víi BM Bµi to¸n 1b : Cho tam giác ABC có AD là đờng cao I Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh AD,BG,CE đồng quy H F G A E C HD: Dùng h×nh b×nh hµnh FAHI Chøng B minh D hai tam gi¸c ABC vµ HIA b»ng để đợc : IAH = BCA IA = BC Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng Hay ID là đờng cao tam gi¸c IBC Tõ IA = BC cïng víi IAH = BCA chøng minh hai tam gi¸c IAC vµ BCG Đợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc với IC Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB đpcm ( Tính chất ba đờng cao tam giác ) Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng Bµi to¸n 2a : Cho h×nh vu«ng ABCD Gäi M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB,AD BN, CM c¾t t¹i P Chøng minh r»ng DP =AB M A B N P I D C HD : Gọi I là giao điểm hai đờng thẳng BN và CD Dễ dàng chứng minh đợc IC = 2AB Hai tam giác MCB và NBA đồng thời AB vuông góc với BC nên CM vu«ng gãc víi NB Tam gi¸c vu«ng PIC cã PD lµ trung tuyÕn nªn PD = IC/2 = AB ( ®pcm ) Bµi to¸n 2b: Cho h×nh vu«ng ABCD VÒ phÝa cña h×nh vu«ng dùng tam gi¸c c©n FAB (FA=FB) cho FAB = 150 Chứng minh tam giác FDC là tam giác C D HD : C1 : Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c I F (12) tam giác ABF’ Các tam giác FAF’ và FBF’ từ đó chứng minh đợc J tam giác FAF’ cân F’ (Hai góc đáy A B b»ng 750 ) => FF’ = F’A = AB Tø gi¸c ADFF’ cã DA song song vµ b»ng FF’ nªn nã lµ h×nh b×nh hµnh DF = F’A = AB T¬ng tù còng cã CF = F’B = AB F’ Tam giác FDC C2 : Dùng I phÝa tam gi¸c cho IBC =ICB =150 CI c¾t FB t¹i J Cã : BI = BF (Do c¸ch dùng ) vµ FBI = 90 -(150 +150 ) = 600 nªn tam gi¸c FBI IJB = 150 + 150 = 300 nªn CJ lµ trung trùc cña FB => CF = CB T¬ng tù ta còng cã DF = DA =>®pcm Bµi tËp tÝnh to¸n Bµi to¸n 3a : Cho h×nh vu«ng ABCD E lµ ®iÓm bÊt kú trªn AB Ph©n gi¸c cña gãc CDE c¾t BC t¹i K Chøng minh r»ng CK + EA = DE Gi¶i : B K C E’ E D A HD : Trên tia đối tia CB lấy điểm E’ cho CE’ = AE Chứng minh đợc hai tam giác ADE và CDE’ để đợc : - DE’ = DE (1) - EDA = E’DC (2) Có DK là phân giác góc EDC và (2) Chứng minh đợc KDE’ = KDA L¹i cã : KDA = E’KD Tam gi¸c E’DK c©n t¹i E’ E’D = E’K DE = E’K = AE + KC ®pcm ) Bµi to¸n 3b : Cho h×nh vu«ng ABCD LÊy c¸c ®iÓm E,F thø tù thuéc c¸c c¹nh AD,AB cho AE=AF Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn BEF TÝnhB gãc CHF A E D O H K C HD : Gäi K lµ giao ®iÓm cña AH víi DC O lµ giao ®iÓm cña BK vµ FC (13) - Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật - Tam gi¸c vu«ng BHK cã HO lµ trung tuyÕn nªn HO = BK/2 = FC/2 - Tam gi¸c FHC cã trung tuyÕn HO b»ng nöa FC nªn nã vu«ng t¹i H Hay gãc FHC = 900 Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh Bµi tËp 4a : Dùng h×nh vu«ng ABCD biÕt t©m O cña h×nh vu«ng, ®iÓm M thuéc c¹nh AD vµ ®iÓm N thuéc c¹nh BC E - A M N’ B N O M’ D C HD : F Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta -có : - Điểm đối xứng M qua O thuộc cạnh BC (M’) - Điểm đối xứng N qua O thuộc cạnh AD (N’) - §êng th¼ng qua O vu«ng gãc víi MM’ c¾t AB ë E vµ DC ë F DÔ dµng chứng minh đợc OE =OF =OM C¸ch dùng : - Dựng M’ đối xứng với M qua O - Dựng N’ đối xứng với N qua O - Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM’ Trên d lấy E,F cho OE=OF= OM - Dựng các đờng thẳng MN’, NM’ - Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ A và NM’ B - Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ D, và NM’ C - ABCD lµ h×nh vu«ng cÇn dùng TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này Bµi to¸n 4b : Cho đoạn thẳng AB và điểm C trên đoạn thẳng đó Trên cùng nửa mÆt ph¼ng bê AB dùng c¸c h×nh vu«ng ACDE vµ CBGH C¸c h×nh vu«ng nµy cã t©m lÇn lît lµ O1,O2 T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña O1O2 C ch¹y trªn AB E D HD : H¹ O1M,IJ,O2N vu«ng gãc víi AB G O1 I H O1MNO2 là hình thang có IJ là đờng O2 trung b×nh nªn IJ = (O1M +O2N)/2 = (AC + CB)/ =const J NB A M I di chuyển trên phần đờng C th¼ng song song víi AB c¸ch AB mét ®o¹n b»ng AB/4 Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc Bµi to¸n 5a : (14) Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh hình vuông) Tìm điều kiện tứ giác MNPQ để nó có chu vi nhá nhÊt Gi¶i : B N C Gäi E,F,G lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MN; NQ; PQ ta cã : MN = 2BE E F NP = 2GF G P QM = 2EF M (1) QP = 2GD A Q D MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD DÊu “ =” x¶y lóc E,F,G BD E BD => MN//AC => MBN vu«ng c©n t¹i B G BD => PQ//AC => PDQ vu«ng c©n t¹i D Tõ (1) vµ F BD => NM =PQ Tø gi¸c MNPQ tho¶ ba ®iÒu kiÖn trªn th× cã chu vi nhá nhÊt Bµi to¸n 5b : Cho tam gi¸c vu«ng t¹i A M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc BC D,E lÇn lît lµ h×nh chiếu vuông góc M lên AB, AC Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn A Gi¶i : Tø gi¸c ADME lµ h×nh ch÷ nhËt DE = AM D E B M C a §Ó DE nhá nhÊt th× AM vu«ng gãc víi BC b §Ó DE lín nhÊt NÕu AB >AC th× M B NÕu AC >AB th× M C NÕu AB =AC th× M B hoÆc M C Bµi to¸n 5c : Cho h×nh vu«ng ABCD ; M lµ ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh AB §êng vu«ng gãc với CM C cắt đờng thẳng AB K Tìm ví trí M để đoạn MK có giá trị nhỏ nhÊt Gi¶i : Gäi I lµ trung ®iÓm cña MK A M B I K MK = 2CI (quan hÖ trung tuyÕn c¹nh huyÒn ) D Để MK nhỏ => CI nhỏ => I B Lúc đóCCI vừa là trung tuyến vừa là đờng cao => MCK vuông cân MCB = 450 => M A Bµi to¸n 5d : Cho ®o¹n th¼ng AB = a C lµ ®iÓm bÊt kú trªn AB VÏ c¸c h×nh vu«ng ACDE; CBFG Xác định vị trí điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ G F Gi¶i : §Æt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2 E D (15) = 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2 DÊu “=” x¶y lóc x =a/2 A C lµ trung ®iÓm cña AB C B C¸c bµi to¸n tæng hîp Bµi to¸n 1b : Cho tam gi¸c ABC VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c dùng c¸c h×nh vu«ng ABGH , ACEF vµ BCIJ Gäi O1,O2, O3 lÇn lît lµ t©m c¸c h×nh vu«ng M lµ trung ®iÓm cña BC, D lµ trung ®iÓm cña HF a Chøng minh O1MO2 lµ tam gi¸c vu«ng c©n b Tø gi¸c DO1MO2 lµ h×nh vu«ng c Chøng minh HF = 2AM d Chøng minh AD vu«ng gãc víi BC vµ AM vu«ng gãc víi HF e Chøng minh O1O2 = AO3 P F D H Q A O1 G O2 K E B C HD : NM a Chứng minh hai tam giác HAC và BAC để đợc : - HC = BF -AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợcO3 HC vu«ng gãc víi BF O1M và O2M lần lợt là hai đờng trung bình hai tamA’giác BHC và BCF nên : - O1M song song vµ b»ng nöa HC; O2M songJ song vµ b»ng nöa BF I Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh b Tø gi¸c DO1MO2 lµ h×nh vu«ng Tơng tự ta chứng minh đợc O1DO2 là tam giác vuông cân D từ đó suy ®pcm c Gọi A’ là điểm đối xứng A qua M Ta chứng minh đợc BA’ song song và b»ng AC => BA’ vu«ng gãc vµ b»ng AF L¹i cã BA vu«ng gãc vµ b»ng AH nªn hai tam gi¸c HAF vµ ABA’ b»ng => HF = AA’ = 2AM d Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN tam giác ABC -Chøng minh hai tam gi¸c HQA vµ ANB b»ng => HQ=AN -Chøng minh hai tam gi¸c FPA vµ ANC b»ng => FP=AN HQ = FP Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D HF Víi tam gi¸c AHF ta cã ®iÒu ngîc l¹i AM vu«ng gãc víi HF e Gäi K lµ trung ®iÓm cña AC ta cã : (16) KA = O2K O1K = O3K O1KO2 = AKO3 Hai tam gi¸c O1KO3 , O3KA b»ng §pcm III Đối xứng trục và đối xứng tâm : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bµi to¸n 1a : Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao Gọi E,F lần lợt là điểm đối xøng cña H qua c¸c c¹nh AB,AC Gäi M,N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña EF víi AB,AC Chøng minh r»ng MC AB vµ NB AC Gi¶i : F A N Tam gi¸c MNH cã AM,AN lµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc M,N nªn AH lµ M ph©n gi¸c cña gãc MNH Do CH AH nªn CH lµ ph©n gi¸c E B ngoµi cña gãc MNH H C Tam gi¸c MNH cã CN,CH lµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc N,H nªn CM lµ ph©n gi¸c cña gãc HMN CM MB ( V× MB lµ ph©n gi¸c ngoµi cña HMN ) Hay CM AB Tơng tự chứng minh đợc NB AC Bµi to¸n 1b : Cho tam gi¸c ABC vµ P lµ ®iÓm bÊt kú Gäi M,N,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm AB,AC,BC Gọi A’,B’,C’ lần lợt là điểm đối xứng P qua Q,N,M Chứng minh AA’,BB’,CC’ đồng quy Gi¶i : A B’ C’ P C B b×nh hµnh : Chøng minh ABA’B’ lµ h×nh A’ C¸c ®o¹n th¼ng AB’ vµ BA’ cïng song song vµ b»ng PC Tơng tự chứng minh đợc C’ACA’ là hình bình hành ®pcm Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng Bµi to¸n 2a : Cho gãc nhän xOy cã Ot lµ tia ph©n gi¸c M lµ ®iÓm thuéc miÒn cña góc M1, M2 lần lợt là điểm đối xứng M qua Ox và Oy a Chứng minh O thuộc đờng trung trực M1M2 b Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M1,M2 Chứng minh MOx nhận Ot lµm ph©n gi¸c x M1 Gi¶i : M a M1O = MO t M2O =MO M1O = M2O z O thuộc đờng trung trực đoạn O (17) th¼ng M1M2 y b Cã zOM2 = zOM1 = xOy zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy zOy + zOy + xOM = xOy zOy = Mox M2 MOt = tOz ( Do xOt = tOy ) Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MOz Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh Bµi to¸n 4a : Một kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng từ P đến N đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) Q d M N P’ HD : P PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P’ là đỉnh thứ t hình bình hành PNMP’ Lúc đó PN = P’M => P’M=MQ => M thuéc trung trùc cña P’Q CD : -Dùng P’ cho PP’ vu«ng gãc víi bê kªnh vµ chiÒu dµi cña PP’ b»ng chiÒu réng cña bê kªnh - Dựng trung trực (d) P’Q d cắt bờ kênh phía Q M Từ đó dựng N Bµi to¸n 4b : Dùng tø gi¸c ABCD biÕt DA=AB=BC vµ biÕt ba trung ®iÓm E,F,G cña DA,AB, BC (d1) (d2) F A B G E D C A nằm trên đờng trung trực EF B nằm trên đờng trung trực FG Cần xác định AB lần lợt trên hai đờng này để AB nhận F làm trung điểm Bài toán đợc quy bài toán 3a Bµi to¸n 4c : Cho tam gi¸c ABC , P lµ ®iÓm n»m tam gi¸c Dùng M trªn AB, N trªn A AC để tam giác MPN cân P và MN // BC HD : HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc đó M đối xứng với N qua trục là đờng th¼ng (d) qua P vu«ng gãc víi MN Do MN//BC nªn (d) vu«ng gãc víi BC Đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) cắt đờng th¼ng AC t¹i N Nªn cã c¸ch dùng : - Dùng (d) qua P vµ vu«ng gãc víi BC M B N P C (18) - Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát đờng thẳng AC N - Dựng M đối xứng với N qua (d) - Tam gi¸c PMN lµ tam gi¸c cÇn dùng Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc Bµi to¸n 5a : ( Bµi to¸n chim ) Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng nửa mặt phẳng bờ Xác định trên d điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Gi¶i : a Trêng hîp A,B n»m ë mét nöa mÆt ph¼ng : B Gọi A1 là điểm đối xứng A qua trục (d) A MA +MB = MA1 + MB A1B DÊu “ =” x¶y lóc M[A1B] (d) M lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d M TIP : Thay đổi vị trí tơng đối A,B so với d A1 ta đợc số bài toán khác cần giải Bµi to¸n 5b : Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d Tìm trên d hai ®iÓm M,N cho : - MN = l cho tríc - Tø gi¸c BNMA cã chu vi nhá nhÊt B’ B A M N d Bµi to¸n 5c : A’ Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền góc Xác định trên Ox ®iÓm A vµ trªn Oy ®iÓm B cho tam gi¸c MAB cã chu vi nhá nhÊt Gi¶i : M1 Gäi M1, M2 lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M qua trôc Ox; Oy A M MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 M1M2 DÊu “=” x·y A,B M1M2 O A lµ giao ®iÓm cña M1M2 víi Ox B B lµ giao ®iÓm cña M1M2 víi Oy M2 TIP: B»ng c¸ch rµng buéc thªm c¸c ®iÒu kiÖn cña ®iÓm M : M ch¹y trªn mét đoạn thẳng; chạy trên đờng tròn nằm góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị chúng ta đợc hµng lo¹t c¸c bµi to¸n kh¸c Bµi to¸n 5d : Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền góc đó Tìm các điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ nhÊt Gi¶i : Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B đối xứng với B qua Oy Do AB cố định nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ lúc AC + CD + DB nhỏ Cã AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 A1A2 DÊu ”=” x¶y lóc C,D [A1B1] (19) C lµ giao ®iÓm cña A1B1 víi Ox vµ D lµ giao ®iÓm cña A1B1 víi Oy B1 D O B A C A1 Bµi to¸n 5e : Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän M lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC I,J lÇn lît lµ hình chiếu M xuống hai cạnh AB, AC M 1, M2 lần lợt là điểm đối xứng M qua AB,AC E,F lần lợt là giao điểm M1M2 với AB,AC Xác định M a §Ó IJ nhá nhÊt; lín nhÊt b §Ó tam gi¸c MEF cã chu vi nhá nhÊt A M2 Gi¶i : E F M1 J I B M C a 2IJ = M1M2 AM1 =AM=AM2 M1AM2 =2BAC = CONST IJ (max) <=> M1M2 (max) <=> AM1 (max) <=> AM (max) AM nhá nhÊt AM BC AM lín nhÊt AM = Max(AB,AC ) b Chu vi tam gi¸c MEF = MF + ME +EF = M1M2 Để chu vi tam giác MEF nhỏ thì M là chân đờng cao từ A xuống BC theo bài toán 1a thì E,F là chân hai đờng cao còn lại V §Þnh lý Thalet Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bµi to¸n 1a : Cho tứ giác lồi ABCD Kẻ hai đờng thẳng song song với AC Đờng thẳng thø nhÊt c¾t c¸c c¹nh BA,BC lÇn lît t¹i G vµ H §êng th¼ng thø hai lÇn lît c¾t c¸c cạnh DA,DC lần lợt E và F Chứng minh GE,HF,BD đồng quy Gi¶i : Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD M,N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña GH vµ EF E víi BD FN EN Ta cã : = ( Do EF// AC ) A AO OC EN = OA G FN OC T¬ng tù ta còng cã : GM = OA GH OC GM HM I D N O F M B C H (20) EN = FN Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo Bµi to¸n 1b : ( Tæng qu¸t bµi to¸n 1a/ II) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đờng gãc tõ A xuèng BD BMvu«ng CN M,N theo thø tù lµ c¸c ®iÓm BH vµ CD cho : = BH CD Chøng minh r»ng AM vu«ng gãc víi MN A D HD : - Chøng minh hai tam gi¸c vu«ng M H ABH và ACD đồng dạng BM CN -Sö dông gt : BH = CD B để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc : AM = AN AC AB Vµ BAM = CAN => MAN = BAC Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng AMN = ABC = 900 ( ®pcm ) N C Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng Bµi to¸n 2a : Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đờng chéo AC và BD cắt I Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD E và cắt BC F a Chøng minh : 1 + IF = AB CD b Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña EF A Gi¶i : IF FC Cã : AB = BC IF = BF CD BC B E I F D C Cộng hai đẳng thức trên ta đợc : IF + IF = BF + FC =1 AB CD BC §pcm 1 b Hoµn toµn t¬ng tù ta còng cã : 1IE = AB + CD IF = EF §pcm Bµi to¸n 2b : Cho h×nh thang c©n ABCD (AD//BC ) Gäi M,N lµ trung ®iÓm cña BC vµ AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P PN cắt BD Q Chứng minh MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PMQ P HD : A I N K D (21) Q P B ®iÓm cña ADMvíi PM Gäi I,K,P lÇn lît lµ giao , AD víiCMQ, PQ víi BC - Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông góc với AD - Cã : IN/MP = IA/BM = AN/BP NK/MP = KD/BM = ND/BP Do AN =ND nên đợc : IN/MP = NK/MP => IN=NK Tam giác IMK có MN vừa là trung tuyến vừa là đờng cao nên nó là phân gi¸c ( ®pcm ) Bµi tËp tÝnh to¸n Bµi to¸n 3a : Cho h×nh thang ABCD (AB//CD ) I lµ giao ®iÓm cña AC víi BD Gäi S 1, S2 lÇn lît lµ diÖn tÝch c¸c tam gi¸c IAB vµ IAD TÝnh diÖn tÝch h×nh thang theo S 1, S2 Gi¶i : SIBC = S2 A B Gäi S3 lµ diÖn tÝch tam gi¸c S1 IDC Ta cã : S2 S3 = ID2 I S1 IB S3 S2 = ID C D IB SS1 S S31 = S212 S3 = S2 S1 SABCD = S1 + 2S2 + SS2 = (S1+S2) S1 Bµi to¸n 3b : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ = B Cho AB = c ,AC =b TÝnh BC2 theo b,c A I B Gäi AI lµ ph©n gi¸c cña tam gi¸c Ta cã : IC/IB = AC/AB IC = IB AC/AB (1) Lại có hai tam giác ABC và IAC đồng dạng nên : IC/AC = AC/BC IC = AC2/BC (2) Từ (1) và (2) ta đợc IB = AC.AB/BC Cã BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC BC2 = AC( AC + AB ) BC2 = b(b+c ) C (22) Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh Bµi to¸n 4b : Cho tam giác ABC I là điểm nằm tam giác M là điểm thay đổi trên cạnh BC Các đờng thẳng qua M song song với BI và CI theo thứ tự cắt AC và AB t¹i N vµ P Dùng h×nh b×nh hµnh MNQP T×m tËp hîp ®iÓm Q Gi¶i : Gäi K lµ giao ®iÓm CI víi AB ; H lµ giao ®iÓm cña BI vµ AC Qua N kẻ đờng thẳng song song víi KC c¾t KH t¹i Q Qua P kẻ đờng thẳng song song với HB c¾t KH t¹i Q’ A QH = NM MB Ta cã : I = QK NC MC H PB MB Q Q’H = PK = MC K N Q’K QH = Q’H QK Q’K P B M C Q Q’ Theo cách vẽ và kết trên ta đợc QMNP là hình bình hành Q KH Hay tËp hîp c¸c ®iÓm Q lµ ®o¹n KH §¶o : T¬ng tù phÇn thuËn víi ®iÓm xuÊt ph¸t lµ Q KH Chøng minh M thuéc BC Bµi to¸n 4b : Cho góc xOy và đờng thẳng d cắt hai cạnh góc Tìm đoạn th¼ng AB (A Oy; B Ox ) cho AB vu«ng gãc víi d vµ cã trung ®iÓm I n»m trªn d (d) A Gi¶i : Giả sử đã dựng đợc AB Gäi E lµ giao ®iÓm cña d víi Ox F M Từ E kẻ đờng thẳng song song M víi AB c¾t OI t¹i M, c¾t Oy t¹i F I Ta cã : EF vu«ng gãc víi d E ME = MF B C¸ch dùng : Qua E dùng d’ vu«ng gãc víi d c¾t Oy t¹i F Dùng trung ®iÓm M cña EF Dùng I lµ giao ®iÓm cña OM víi d Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox B và cắt Oy A AB lµ ®o¹n th¼ng cÇn dùng Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc Bµi to¸n 5a : Cho gãc nhän xOy vµ ®iÓm M thuéc miÒn cña gãc H·y dùng qua M mét c¸t tuyÕn c¾t hai c¹nh cña gãc xOy t¹i A vµ B cho 1 MA + MB (23) đạt giá trị lớn Gi¶i : A N VÏ : MN // Oy ON // AB MN c¾t Ox t¹i P KÎ PQ1//AB (Q OM) + O MA + ON = = MA1 MB1 PQ §Ó MA + MB lín nhÊt th× PQ nhá nhÊt P Q Do OM, P cố định nên PQ nhỏ PQ OM Lúc đó AB OM M B Bµi to¸n 5b : Cho gãc nhän xOy M lµ ®iÓm thuéc miÒn cña gãc §êng th¼ng d quay xung quanh M c¾t Ox, Oy theo thø tù t¹i A,B T×m vÞ trÝ cña d cho OA+OB đạt giá trị nhỏ X O A Y M HD : OA + OB = OX +OY + XA + YB Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhỏ XAB+ YB nhỏ Lại có : hai tam giác AXM và YMB đồng dạng nên : XA = XM YB YM XA.YB = YM XM = const XA + YB nhá nhÊt XA = YB hai tam gi¸c AXM vµ YMB b»ng M lµ trung ®iÓm cña AB Dùng A,B nh bµi 4b/II Bµi to¸n tæng hîp Bµi to¸n 6a : Cho tam gi¸c ABC cã G lµ träng t©m M lµ ®iÓm bÊt kú tam gi¸c Gäi A1, B1, C1 lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AM víi BC; BM víi AC; CM víi AB §êng th¼ng GM c¾t AB,AC,BC lÇn lît ë C2 , B2 , A2 a Chøng minh : MA1 + MB1 + MC1 =1 BB1 CC1 MA AA11 + MB1 + MC1 =3 b Chøng minh : GA1 GB1 GC1 1 + GB = c Chøng minh : GA2 GC2 Gi¶i : A (24) C2 M G B2 D M1 A1 A2 C a MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC B T¬ng tù cã MB1/BB1 = SMAC/SABC MC1/CC1 = SMAB/SABC Cộng các đẳng thức trên ta đợc : MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = (®pcm ) b Qua G kẻ đờng thẳng song song với AA1 cắt BC M2 Có GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 T¬ng tù ta còng cã MB2/GB2 = 3MB1/BB1 MC2/GC2 = 3MC1/CC1 Cộng các đẳng thức trên ta đợc : MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = ( Theo c©u a ) A c Qua G kẻ các đờng thẳng song song với BC,AC Các đờng thẳng G2 nµy c¾t AB lÇn lît ë G1,G2 DÔ dµng cã AG2 = G1B = AB/3 G C2 AG2 =G2G1 = G1B = AB/3 B2 G GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB A2 C GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB B Cộng hai đẳng thức trên ta đợc : GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = G1G2/AB = Chia hai vế cho GC2 ta đợc : 1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 ( ®pcm) Bµi to¸n 6b : Cho tam gi¸c ABC I lµ mét ®iÓm tam gi¸c IA, IB, IC theo thø tù c¾t BC, CA , AB t¹i M, N, P NP c¾t BC t¹i R NA PA a Chøng minh : IA = NC + PB IM b Chøng minh r»ng : MB NC PA =1 ( §Þnh lý Cª va ) M NA PB C RB NC PA c Chøng minh r»ng : ( §Þnh lý Mª nª lauyut ) RC NA PB =1 RB A d Chøng minh r»ng : MB = RC M F C E Gi¶i : P Q Qua A kẻ đởng thẳng song song víi BC c¾t BN t¹i E vµ c¾t CP t¹i F NA = AE Cã : NC BC B R N I M C (25) PA = AF PB BC EF IA = AE + AF = BC = IM NA PA BC BC NC + BC PA = AE PB BC MB = AE NC = BC b Cã : M AF ; NA AF ; C Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta đợc : MB NC PA = AE BC AF = AE BC M NA PB AF C c KÎ BQ//AC (Q thuéc RN ) RB = BQ PA = AN NC NA Cã : RC CN ; PB BQ ; NA = NA Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta đợc : RB PA NC = BQ AN NC = CN BQ NA RC PB NA d Tõ b vµ c dÔ dµng suy ®pcm VI hệ thức lợng tam giác - định lý pitago HÖ thøc lîng tam gi¸c thêng Bµi to¸n 1a : Chứng minh tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn b»ng tæng b×nh ph¬ng hai c¹nh trõ ®i hai lÇn tÝch cña mét hai c¹nh Êy víi h×nh chiÕu cña c¹nh cßn l¹i trªn nã Chøng minh : Gi¶ sö A lµ gãc nhän Gäi AH lµ h×nh chiÕu cña c¹nh AC trªn c¹nh AB CÇn chøng minh : BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam gi¸c vu«ng CHB cã : BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam gi¸c vu«ng CHA cã : CH2 = AC2 - HA2 (2) - Do gãc A nhän nªn H n»m gi÷a AB , cã : HB = AB-HA HB2 = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3) Thay (2) và (3) vào (1) đợc đpcm H B A C Bµi to¸n 1b : Chứng minh tam giác bình phơng cạnh đối diện góc tù tæng b×nh ph¬ng hai c¹nh céng ®i hai lÇn tÝch cña mét hai c¹nh Êy víi h×nh chiÕu cña c¹nh cßn l¹i trªn nã Chøng minh : Hoµn toµn gièng bµi to¸n 1a víi chó ý : H Do gãc A tï nªn A n»m gi÷a BH Cã A HB = AB + HA 2 HB = AB + HA + 2AB.HA B C (26) Bài toán 1c (Định lý đờng trung tuyến ) : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến , AH là đờng cao Chứng minh hệ A thøc : AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2 Chøng minh : Gi¶ sö : AMB < 900 => AMC > 900 Tam gi¸c MAB cã : AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH (1) Tam gi¸c MAC cã : H M AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2) B C Cộng (1) và (2) với chú ý MB =MC =BC/2 ta đợc đpcm Bài tập chứng minh đồng quy, vuông góc : Bµi to¸n 2a : a Chøng minh r»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt kú mặt phẳng đến hai đỉnh đối diện hình chữ nhật b Trªn c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC vÒ phÝa ngoµi ngêi ta dùng c¸c h×nh ch÷ nhËt ABB1A1 ; BCC1B2; CAA2C2 Chứng minh các đờng trung trực các đoạn A1A2; B1B2; C1C2 đồng quy Chøng minh : a CÇn chøng minh hÖ thøc : PA2 + PC2 = PB2 + PD2 A Gäi O lµ giao ®iÓm AC vµ BD ,cã : PO lµ trung tuyÕn cña c¸c tam gi¸c PAC, PDB - Tam gi¸c PDB cã : PD2 + PB2 = 2OP2 + BD2/2 - Tam gi¸c PAC cã : PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2 D 2 2 - Do AC = BD nªn PA + PC = PB + PD b Chøng minh : Gäi P lµ giao ®iÓm hai trung trùc cña c¸c ®o¹n B1B2 vµ A1A2 PB2= PB1 ; PA1 = PA2 P B O C B2 B1 B C1 P A1 C A - XÐt ®iÓm P vµ h×nh ch÷ nhËt BCC1B2 cã : 2 PC12 = PC2 + PB22 -PB2 = PC2 + PB12 A -PB - XÐt ®iÓm P vµ h×nh ch÷ nhËt ACC2A2 cã : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 Trừ (1) cho (2) đợc : (1) (2) C2 (27) PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = ( Do quan hÖ ®iÓm P víi HCN ABB1A1 ) PC1 = PC2 => P thuéc trung trùc cña C1C2 => ®pcm Bµi tËp tÝnh to¸n : Bµi to¸n 3a : Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông vẽ đờng thẳng (d) tuỳ ý Chứng minh tổng các bình phơng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đờng thẳng (d) không đổi B A C1 D1 A1 O B1 C D AA1O, CC1O, OB1B, OD1D b»ng Dễ dàng chứng minh đợc các tam giác nhau, tam giác OAD vuông cân O Từ đó có : DD12 + BB12 = 2OA12 AA12 + CC12 = 2AA12 DD12 + BB12 +AA12 + CC12 = 2(OA12 +AA12) = 2AO2 = AD2 = a2 =const Bµi tËp 3b : Chứng minh rằng: Trong hình thang ,tổng các bình phơng hai đờng chéo tổng các bình phơng hai cạnh bên cộng hai lần tích hai cạnh đáy B A E F D gãc víi DC (E,F thuéc DCC) H¹ AE, BF vu«ng áp dụng định lý Pitago cho - Tam gi¸c vu«ng EAC cã : AC2 = AE2 + EC2 =AE2 +EF2 +FC2 +2EF.FC - Tam gi¸c vu«ng AED cã AE2 = AD2 - DE2 §îc : AC2 = AD2 - DE2 + EF2 +FC2 -2EF.FC (1) - Tam gi¸c vu«ng BFD cã :BD2 = BF2 + FD2 =BF2 +EF2 +DE2 +2EF.DE - Tam gi¸c vu«ng AED cã BF2 = BC2 - FC2 §îc : BD2 = BC2 - FC2 + EF2 +DE2 -2EF.DE (2) Cộng (1) và ( 2) đợc : AC2 + BD2 = AD2 +BC2 +2EF2 + 2EF.FC+2EF.DE = AD2 +BC2 +2EF(EF +FC+DE ) =AD2 +BC2 +2EF.DC =AD2 +BC2 +2AB.DC ( ®pcm) Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc Bµi to¸n 2a : Cho hai đờng thẳng a,b song song với cách khoảng 2k cho trớc I là điểm cách hai đờng thẳng trên ; Hai cạnh góc vuông có đỉnh (28) I lần lợt cắt a A và cắt b B Xác định góc vuông ( vị trí các tia IA; IB) để tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch nhá nhÊt D x A Gi¶i : Cã : ID = IC = k §Æt: AD = x CB = y I Cã : C y B = SABCD -(SIAD+ SICB) = (x +y)k - (x+y)k/2 = (x + y)k/2 Xét hai tam giác đồng dạng : IAD và BIC đợc : AD/IC = ID/BC => AD.BC = ID.IC = k2 = const x.y = const §Ó SIAB nhá nhÊt => x + y nhá nhÊt => x = y => ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt TÝnh x,y : Cã x2 +k2 + y2 + k2 = 2x2 + 2k2 = IA2 +IB2 = AB2 = 4k2 x2 = k2 => x = k (do x>0) SIAB Bµi to¸n 2b : Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm M tam giác cho tổng các bình phơng các khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác đat giá trị A nhá nhÊt E F I M H G C B2 ME + MF +MG = AM + MG2 (AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt ) = AI2 +IM2 + MG2 (AIM vu«ng t¹i I ) AI2 + IH2 ( DÊu ‘=’ x¶y M thuéc AH ) (1) 2 L¹i cã : AI + IH = AH2 - 2AI.IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 +MG2 nhỏ AI.IH lớn Và cã AI +IH = AH =const nªn AI.IH lín nhÊt lóc AI=IH=AH/2 (2) Kết hợp (1) và (2) đợc M là trung điểm AH thì tổng các bình phơng các khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác nhỏ 2 (29)