Đang tải... (xem toàn văn)
H×nh b×nh hµnh Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o Tµi liÖu båi dìng m«n h×nh häc 8 ( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái ) Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các chuyên đề mà được[.]
Phòng giáo dục & đào tạo Tài liệu bồi dỡng môn hình học ( Tài liệu bồi dỡng học sinh giái ) Để sử dụng bồi dưỡng cấp trường, tài liệu không chia thành chuyên đề mà phân bố theo chương trình sách giáo khoa Tuy vậy, để khỏi manh mún, nội dung trình bày theo chủ đề kiến thức khơng theo Nội dung hình học tài liệu phân thành sáu chủ đề sau : I Tứ giác, hình thang II Hình bình hành III Hình chữ nhật, hình thoi, hình vng IV Đối xứng trục, đối xứng tâm V Định lý Thalet tam giác đồng dạng VI Hệ thức lượng tam giác - Định lý Pitago Với chủ đề kiến thức tập phân thành sáu loại : Bài tập vị trí tương đối điểm, đường thẳng - Chứng minh thẳng hàng - Chứng minh song song, vng góc - Chứng minh đồng quy Bài tập chứng minh - Chứng minh góc, đoạn thẳng - Chứng minh tam giác cân, Một tứ giác hình thang cân ,hình bình hành, hình thoi, hình vng Bài tập tính tốn - Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tốn diện tích Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài tốn cực trị hình học - Bài tốn bất đẳng thức, Xác định hình hình học để đại lượng đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Các toán tổng hợp I Tứ giác, hình thang : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) đáy CD tổng hai cạnh bên BC AD Hai đờng phân giác hai góc A ,B cắt K Chứng A minh C,D,K thẳng hàng B D K C HD : Gäi K giao điểm phân giác góc A với DC Dễ dàng chứng minh đợc DAK cân D Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK lµ phân giác góc B Đpcm TIP : Bµi nµy cã thĨ c/m theo híng : - Gäi K giao điểm hai phân giác góc A vµ B C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm Bài toán 1b : Cho tø gi¸c ABCD Gäi A’B’C’D’ theo thø tù trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đờng thẳng AA, BB, CC’,DD’ ®ång quy B A I F E A’ C J D HD : Gọi E,F lần lợt trung điểm AC, BD ; I trung điểm EF ; J trung điểm AC - Tam giác CAA có EJ đờng trung bình nên EJ//AA - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A FJ // với EJ nên AA qua trung điểm I FE - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I - Các đờng thẳng đồng quy I Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho tam giác ABC AB < AC Gọi H chân đờng cao kẻ từ đỉnh A M,N,P lần lợt trung điểm cạnh AB,AC,BC Chứng minh tứ giác NMPH hình thang cân HD : - MNHP hình thang - MP = AC/2 ( §êng TB ) - HN = AC/2 ( Đờng TT ) đpcm A N M B H P C Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD có AD=BC M,N lần lợt trung điểm AB DC Đờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN E Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN t¹i F Chøng minh AEM = BFM E F A M B I N D C HD : - Gọi I trung điểm BD - Chứng minh tam giác IMN cân I ( IM = IN = AD/2=BC/2) - IM // DE vµ IN //CF đpcm Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài cắt E Hai cạnh AB DC kéo dài cắt M Hai phân giác hai góc CED BMC cắt K Tính góc EKM theo góc cđa tø gi¸c M A D K B C E HD : Trong tam giác MKE đợc MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 1800 - D KMD = (1800 - C - B)/2 KED = (1800 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D) = (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2 Bài toán 3b : Cho hình thang ABCD M,N lần lợt trung điểm hai đáy AD BC O điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờng thẳng cắt AB,CD lần lợt E,F Chøng minh r»ng OE=OF B E A N O C H F I M D HD : Chøng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy chiỊu cao b»ng ) Chøng minh SBEN=SNFC vµ SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN Từ có EH = FI ( với EH, FI lần lợt hai ®êng cao cđa hai tam gi¸c OE =OF Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài to¸n 4a : Cho tø gi¸c låi ABCD H·y dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phÇn cã diƯn tÝch b»ng A B I D M C E Phân tích : Giả sử AM đờng thẳng cần dựng Lấy điểm E đối xứng với D qua M AE cắt BC t¹i I Cã : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI SABC = SEBC => BE// AC Cách dựng : - Dựng đờng chéo AC - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC E - Lấy M trung điểm DE - AM đờng thẳng cần dựng TIP : Thực chất phép dựng biến đổi hình thang tam giác tơng đơng ( có diện tích diện tích hình thang ) Để chuyển toán tập dựng trung tuyến tam giác Sau tập áp dụng việc biến đổi Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I điểm AB Qua I hÃy dựng đờng thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích B A I F C J E D Ph©n tÝch : Giả sử đà dựng đợc IJ Sử dụng phơng pháp biến đổi tam giác tơng đơng Ta có bớc phân tích : Xác định điểm F tia DC cho S IJCB = SIJF Lóc SBIC = SFIC Suy BF//IC Xác định ®iĨm E trªn tia CD cho SIJAD = SIJE Lóc ®ã SAID = SEID Suy AE//ID Rõ ràng J trung điểm đoạn thẳng EF Cách dựng : - Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC E Qua B dựng đờng thẳng song song với IC cắt DC F - Dựng J trung điểm EF IJ đờng thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ Giải : Cách 1: Gọi O giao điểm hai đờng chéo M O MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhá nhÊt ThËt vËy, M O ta cã : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD Víi M bÊt kú tø gi¸c ta cã : MA +MC AC MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD MA +MB +MC +MD nhá nhÊt lóc M O D C¸ch : Víi ba ®iĨm M; A; C ta cã : MA +MC AC C DÊu “ =” x¶y lóc M[AC] M O Víi ba ®iĨm M; B; D cã MB + MD BD DÊu “=” x¶y lóc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B DÊu “=” xảy lúc M[AC] M[BD] M O ( Với O giao điểm hai đờng chéo ) Bài toán 5b : Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác lồi không lớn nửa tổng hai cạnh lại Giải : Gọi I trung điểm AC ta cã : C MI = BC / B IN = AD / I MI + IN = ( BC +AD)/ M N L¹i cã với ba điểm M,I,N MI + IN MN MN (BC + AD) / =>®pcm A II Hình bình hành : Các toán vị trí tơng đối : Bài toán 1a : D Cho tam giác ABC O ®iĨm thc miỊn cđa tam gi¸c Gäi D,E,F lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CA L,M,N lần lợc trung điểm OA,OB,OC Chứng minh EL, FM, DN đồng quy Giải : Dựa vào tính chất đờng trung bình chứng minh tứ giác LFEM , NEDL hình bình hành D ®pcm A L F O B N M E C Bài toán 1b : Chứng minh : tam giác ba đờng cao đồng quy A M B N C H P HD : - DÔ dàng chứng minh ba đờng trung trực tam giác đồng quy cách dựa vào tính chất đờng trung trực đoạn thẳng - Từ ba đỉnh tam giác ABC đựng đờng thẳng song song với cạnh đối diện Các đờng thẳng đôi cắt MNP - Các tứ giác BCNA BCAM hình bình hành nên HA đờng trung trực MN - Tam giác MNP nhận đờng cao tam giác ABC làm đờng trung trực - Các đờng trung trực tam giác MNP đồng quy hay đờng cao tam giác ABC đồng quy Các toán chứng minh : Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt trung điểm AB, CD M,N,P,Q lần lợt trung điểm cña AF, CE, BF, DE Chøng minh r»ng MN = PQ HD : C N P B M E F Q D A Chøng minh tø gi¸c MNPQ cã hai đờng chéo giao trung điểm ®êng ( ChÝnh lµ trung ®iĨm cđa EF ) Bµi toán 2b : Cho tứ giác ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC ; G đỉnh thứ t hình bình hành CADG ; H đỉnh thứ t hình bình hµnh CABH a Chøng minh BD // GH G b Chøng minh HD = 2EF D C I E J H F A B HD : a BDGH hình bình hành BH DG song song AC =>đpcm b Gọi I,J lần lợt trung điểm CD CH Chứng minh EIJF hình bình hành => đpcm Các tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 O giao đIểm hai đờng chéo Từ D hạ DE DF lần lợt vuông góc víi AB vµ BC (E thc AB, F thc BC ) TÝnh gãc EOF A E B O C D F Có O trung điểm DB Từ có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ) EOD = 2EBO ( Vì EOB cân O ) DOF = 2FBO ( Vì FOB cân O ) Cộng hai đẳng thức ®Ĩ ®ỵc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF Do EBF = ADC nªn EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 Bài toán 3b : Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Tính số đo gãc cđa tam gi¸c GIB A D G K E I C 10