Luận văn sư phạm Đa thức tâm trên đại số ma trận và ứng dụng

Đa thức tâm đại số ma trận ứng dụng đại số khác Nguyễn Thị Hồng ĐHSP Tp.HCM, 2004 MỞ ĐẦU Người ta đưa khái niệm "Một đa thức f(x1,… , xn) gọi đa thức tâm A f không đồng thức A giao hoán tử [f(x1,…, xn ),xn+1] đồng thức A" Dựa vào định nghóa từ cách xây dựng đồng thức Wagner f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 )2 đa thức tâm đại số ma trận M2(K) Trong thời gian dài toán đặt xây dựng đa thức tâm cho Mn(K), với n >2 để từ tìm đồng thức thỏa mãn cho đại số ma trận Mn(K) Vấn đề giải cách cặn kẻ Formanek Luận văn trình bày hệ thống lại phương pháp xây dựng đa thức tâm Mn(K) Formanek số ứng dụng – áp dụng đa thức tâm đại số khác Luận văn gồm 03 chương : *Chương I : Các vấn đề sở Trong phần chủ yếu trình bày số khái niệm,định lý, bổ đề ( có chứng minh ) làm sở cho chương II chương III : ma trận, đại số đơn tâm , đại số nguyên tố ,đồng thức , PI đại số , , định lý quan trọng Pi Đại số Định lý Kaplanski, Wederburn *Chương II : Đa thức tâm Đại số ma trận cấp n vành giao hoán có đơn vị Trong chương nêu lên định nghóa đa thức tâm, số khái niệm dùng làm sở cho việc xây dựng đa thức tâm Mn(K).Phần trọng tâm chương cách xây dựng đa thức Formanek , từ xây dựng đa thức tâm cho Mn(K) với n > qua định lý Formanek *Chương III : Một số áp dụng – ứng dụng đa thức tâm lý thuyết PI Đại số Trong phần nêu ứng dụng áp dụng đa thức tâm vào việc chứng minh số kết qủa đại số đơn tâm đại số nguyên tố Tôi xin trân trọng cám ơn tất Thầy, Cô Tổ Đại Số Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, Trường Đại học Khoa Tự nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường ĐHSP tất bạn học viên Cao học Đại số nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khoá học Tôi xin đặc biệt tri ân PGS TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn suốt qúa trình thực luận văn Do trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót, kính mong thông cảm góp ý xây dựng Trân trọng cám ơn Học viên NGUYỄN THỊ HỒNG Cao học Đại số Khoá 12 (2001-2004) Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1- Ma trận 1.1.1- Định nghóa : Một ma trận cấp mxn K hệ thống gồm mn số aij thuộc trøng K đánh số theo hai số i, j ( với i = 1, m j = 1, n ) thành bảng chữ nhật: ⎛ a 11a 12 a 1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21a 22 a n ⎟ A= ⎜ ⎟ gồm m dòng , n cột , ký hieäu A=( aij)mxn ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a m1a m a mn ⎠ Taäp hợp tất ma trận cấp mxn ký hiệu M m,n(K) Khi m = n ta có ma trận vuông cấp n , ký hiệu A = ( aij)n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n , ký hiệu Mn(K) Đối với ma trận vuông A = ( aij)n , phần tử có hai số a11,… , ann nằm đường chéo mà ta gọi đường chéo A Đường chéo lại hình vuông gọi đường chéo phụ A 1.1.2- Ma trận chéo cấp n Là ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm đường chéo ⎡ a 10 .0 ⎢ .0 A= ⎢⎢ a ⎢ ⎢ 0 a n ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1.1.3 – M a trận đơn vị cấp n (Ký hiệu I n ) Là ma trận chéo cấp n mà tất phần tử đường chéo ⎡1 .0 ⎢ .0 In = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 .1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1.1.4 – Giá trị riêng Cho ma trận a∈ Mn(K), số λ gọi giá trị riêng a tồn vectơ x = (x1,…, xn) ∈ Kn\ {0} cho a ⎡x1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x n⎦ =λ ⎡x1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x n⎦ Vectơ x gọi vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ Để thuận tiện viết ax =λx 1.1.5 – Vết ma trận vuông a cấp n Là tổng phần tử đường chéo , ký hiệu Tr(a) 1.1.6- Ma trận đặc trưng Cho a ma trận vuông cấp n K (n ≥ 1).Ma trận a-λI n ma trận đặc trưng a Tính toán trực tiếp định thức ma trận (a- λ I n ) đa thức bậc n biến λ với hệ số K gọi đa thức đặc trưng ma trận a, ký hiệu χa(λ) (hoặc χ(λ) hiểu lầm) χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1)nλn + (-1)n-1 tr(a) λn-1+….+det a Phương trình χa(λ)=0 phương trình đặc trưng a 1.1.7 – Định lý Hamilton – Caley Mọi ma trận vuông nghiệm đa thức đặc trưng ∀ a∈Mn(K) , χa(a)=0 ⇔ (-1)nan + (-1)n-1 tr(a) an-1+….+det aIn = 1.2 - Đa thức 1.2.1 - Đa thức đối xứng 1.2.1.1- Đa thức f ( x1,…, xn ) gọi đối xứng với hoán vị σ {1,…,n } ta coù f ( x1,…, xn ) = f (x σ (1) ,…, x σ (n) ) Các đa thức đối xứng : σ = x1 + x2+… + xn σ = x1 x2 + x1 x3+… + xn-1xn σ = x1 x2 x3 + x1x2 x4+… + xn-2 xn-1xn ……… σn = x1 x2 x3 ….xn-2 xn-1xn Mọi đa thức đối xứng f ( x1,…, xn ) thuộc A[x1,.,xn ] A miền nguyên biểu diễn dạng đa thức Q(σ 1,…, σ n) đa thức đối xứng với hệ tử A 1.2.2 - Đa thức tách Một đa thức P K[X] gọi đa thức phân rã K tồn λ ∈ K\ {0}, n ∈N* ; x1,….xn ∈ K cho P= λ n ∏(X − x ) i =1 i ( xi không thiết phải khác ) 1.2.3 – Đa thức tối tiểu Cho a∈Mn(K) Khi đo ùtập hợp J= { f(λ) ∈ K [λ] / f (a) = 0} ideal khác K [λ] Phần tử sinh J với hệ số cao gọi đa thức tối tiểu ma trận a, ký hiệu pa(λ) -Nhận xét : Đa thức tối tiểu pa(λ) ước K[λ] đa thức g(λ) ∈K[λ] nhận a nghiệm 1.2.4- Dạng song tuyến tính Với K trường có đặc số khác (tức 2.1K ≠ 0K), E K- không gian vectơ Ta gọi ánh xạ ϕ : E x E → K cho : (i) ∀α∈K , ∀ (x,x',y)∈ E3 , ϕ(αx+x',y)= αϕ(x,y) +ϕ(x',y) (ϕ tuyến tính vị trí thứ ) (ii) ∀β∈K , ∀ (x,y,y')∈ E3 , ϕ(x,βy+y')= βϕ (x,y) + ϕ(x,y') (ϕ tuyến tính vị trí thứ hai ) dạng song tuyến tính E x E 1.3 - Một số định nghóa kết qủa - M R -Mun trung thành Mr = (0) r = - M gọi R- mun bất khả quy MR ≠ (0) modun M (0) M - Nếu M R-mun bất khả quy C(M) thể(Bổ đề Schur) - Vành R gọi nửa đơn J(R) = (0) - Một vành R gọi nguyên thủy có modun bất khả quy trung thành - Một vành gọi vành Artin tập khác rỗng ideal A có phần tử tối tiểu 1.4- Đại số đơn tâm 1.4.1 – Định nghóa Một vành R g đơn R2 ≠(0) R ideal thật (0) 1.4.2 – Định nghóa A đại số vành K : -A K-modun -A vành - ∀ k∈K , ∀ a,b ∈ A : k(ab)=(ka)b=a(kb) 1.4.3– Định nghóa Một đại số A gọi đơn tâm trường K A đại số đơn có tâm đẳng cấu với K (Ta xem C=K.1) 1.4.4 –Định nghóa Nếu A đại số đơn tâm hữu hạn chiều K Khi F/K (với F trường chứa K hay F trường mở rộng K) gọi trường tách A : AF= F ⊗ K A ≅ Mn(K) 1.4.5 – Định lý - Bao đóng đại số K K trường tách - Nếu A ≅ Mr (Δ) với Δ thể F trường tối đại Δ, F trường tách Chứng minh : Với trường F / K AF đại số F Nếu A đơn tâm hữu hạn chiều F AF đơn tâm hữu hạn chiều với : [AF : F ] = [A: K ] Theo định lý Wedderburn :AF ≅ Mn (Δ) Δ đại số có phép chia F Nếu F = K đại số hữu hạn chiều có phép chia F K , : A K ≅ Mn( K ) K trường tách Trong phát biểu thứ hai ta cần đến định lý Kaplanski –Atmitsur Ta biết A đại số dày đặc phép biến đổi tuyến tính V/ Δ, với K đại số có phép chia F trường tối đại Δ : A’= FLA đại số dày đặc phép biến đổi V/ F Áp dụng vào trường hợp đặc biệt A đơn tâm hữu hạn chiều , ta lấy V hữu hạn chiều Δvà Δ hữu hạn chiều K Theo bổ đề : A’= FLA ≅ F ⊗ K A Cũng ta biết A đại số đầy đủ phép biến đổi tuyến tính V/F Vậy : [V : F ]= n ⇒ F ⊗ K A ≅ Mn(F) Suy F trường tách Từ kết qủa ta suy hệ qủa sau Hệ qủa : Số chiều đại số đơn tâm hữu hạn chiều số phương 1.5 – Định lý Wedderburn – Artin : Giả sử R vành đơn Artin, R đẳng cấu với Dn (là vành tất ma trận vuông nxn thể D) Hơn n Ngược lại, thể D, Dn vành Artin đơn 1.6 – Khái niệm dày đặc 1.6.1- Định nghóa AM = { a M / a ∈ A} đại số dày đặc phép biến đổi tuyến tính M ∆ nếu:cho trước tập hữu hạn vectơ x1, ,xn thuộc M độc lập tuyến tính ∆ vectơ tương ứng y1,…., yn tồn a ∈ A cho axi = yi với ≤ i ≤ n 1.6.2 – Định nghóa Một tập phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ gọi dày đặc có tính chất đề cập 1.6.1 :cho dãy hữu hạn vectơ độc lập tuyến tính {xi} {yi}với 1≤ i≤n tồn a thuộc A cho : axi = yi với ≤ i ≤ n 1.6.3- Định lý dày đặc Giả sử R vành nguyên thủy, M R-modun bất khả quy trung thành Nếu Δ = C(M ) R vành dày đặc phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ M thể Δ ( nói tắt : R dày đặc M ) (Ý nghóa : R dày đặc HomΔ(M,M) dimΔM hữu hạn R đẳng cấu với HomΔ(M,M)) Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét : để chứng minh tính dày đặc R M hay R dày đặc HomΔ(M,M) ta cần chứng minh V không gian hữu hạn chiều M Δ m ∈M, m ∉ V tồn r ∈ R cho Vr = (0) nhöng mr ≠ ( nghóa r linh hoá toàn V mà không linh hoá m) Thật vậy, điều kiện thỏa suy mrR ≠ (0)và mrR modun M R, M bất khả quy ⇒ mrR = M Do ta tìm s ∈ R cho mrs phần tử M ( mrs chạy khắp M ) Lưu ý : Vrs = (0) Giả sử v1, v2,…, ∈ M hệ độc lập tuyến tính Δ w1, w2,…, wn ∈ M tuỳ ý Gọi Vi không gian M Giả sử q(x1,…xm) đa thức tâm với số hạng tự định giá trị xi = yi X Mn-1(K) xem tập hợp K – tổ hợp tuyến tính eij với i,j = 1,…,n-1 Khi ta có phần tử Mn-1(K) Nói cách khác phần tử phần tử tâm Mn(K) có dạng k1,k ∈ Mn-1(K) Nó dẫn đến k=0 q đồng thức Mn-1(K) Tóm lại, để xây dựng đa thức tâm Mn(K) thực chất tìm hàm f ∈ Z[ η1,…, ηn+1 ] (là đại số vành số nguyên ) thỏa mãn tính chất sau : (i) f ( η1,…, η n+1 ) chia hết cho (ηi –ηj) với i≠j ngoại trừ (η1 –ηn+1) (ii) g ( η1,…, η n ) = f (η1,…, η n,η 1) đa thức đối xứng η1, ,η n (iii) ∃ a ∈ Mn(K) : G (a) ≠ Để cụ thể hoá qúa trình ta xét ví dụ sau 2.8- Ví dụ Xây dựng đa thức tâm M3(K) theo phương pháp Formanek Chọn f(η1,η 2,η 3,η 4)∈ Z [η1,η 2,η 3,η 4] nhö sau f(η1,η 2,η 3,η 4) = ∏ i =2 (η1- ηi) (η4- ηi) ∏ (ηi- ηj)2 i , j =2 i< j = (η1- η2)(η4- η2)(η1- η3)(η4- η3)(η2- η3)2 Rõ ràng f(η1,η 2,η 3,η 4) chia heát cho (ηi - ηj) với i ≠ j ngoại trừ (η1- η4) nghóa thỏa điều kiện (i) i,j =1,2,3 Lấy g(η1,η 2,η 3) = f(η1,η 2,η 3,η 1) ta có : g(η1,η 2,η 3) = ∏ i= = ∏ i= (η1- ηi) (η1- ηi) ∏ (ηi- ηj)2 i , j =2 i< j (η1- ηi)2 ∏ (ηi- ηj)2 i , j =2 i< j =(η1- η2)2(η1- η3)2(η2- η3)2 Ta có g(η1,η 2,η 3) đa thức đối xứng biến η1,η 2,η hay g(η1,η 2,η 3,) thỏa điều kiện (ii) Dùng g để định nghóa ánh xạ sau : G : M3(K) → K a → h (tra, , det a) với g (η1,η 2,η 3) = h ( p1,p2,p3) ∈Z [p1,p2,p3], p1 = η1 + η +η p2 = η1 η + η1η 3+η η3 p3 = η1 η η Nếu gọi ρ1, ρ2 , ρ nghiệm đặc trưng ma trận a p = ρ1 + ρ2 + ρ p2 = ρ1.ρ2 + ρ1.ρ 3+ρ2.ρ p3 = ρ1.ρ2 ρ G(a) = g (ρ1, ρ2 , ρ ) = (ρ1 - ρ2 )2 (ρ1 - ρ3)2(ρ2 - ρ3 )2 Rõ ràng G (a) ≠ a có nghiệm đặc trưng phân biệt Do ta chọn a ma trận chéo có phần tử đường chéo phân biệt Nghóa tồn a ∈ M3(K) cho G(a) ≠ ( thỏa (iii)) f xây dựng đa thức Formanek Xây dựng pf (x,y1,y2,y3) sau : Gọi { eij}là họ ma trận sở M3(K) i,j =1,2,3 Lập ánh xạ sau : x→ ρ1 e11 + ρ2 e22 +ρ3 e33 = ∑ ρi eii i=1 y1→ e i 1i y2→ e i 2i y3→ e i3 j3 Khi lấy pf nhö sau pf (x,y1,y2,y3) = pf ( ∑ ρi eii , e i=1 = f (ρ ,ρ ,ρ ,ρ i1 i2 i3 ,e i 1i i 2i )e j3 ,e i3 j3 ) i1 j Trong trường hợp đặc biệt , lấy j3 = i1 pf (x,y1,y2,y3) = pf ( ∑ ρi eii , e i=1 ,e i 1i = f (ρ ,ρ ,ρ ,ρ )e i1 i2 i3 i1 = g (ρ ,ρ ,ρ )e i1 i2 i3 = g(ρ1, ρ2, ρ3) e ,e i 3i ) i1i1 ( theo định nghóa g) i1i1 i1i1 i 2i ( g đối xứng) Theo định nghĩa qf ta có qf = ∑ pf (x,yi+1,yi+2,yi+3) (với số viết theo modun n) i= = pf (x,y1,y2,y3) + pf (x,y2,y3,y4) + pf (x,y3,y4,y5) = pf (x,y1,y2,y3) + pf (x,y2,y3,y1) + pf (x,y3,y1,y2) = g(ρ1, ρ2, ρ3) e11 + g(ρ1, ρ2, ρ3) e22 + g(ρ1, ρ2, ρ3) e33 = g(ρ1, ρ2, ρ3) [e11 + e22 + e33 ] = (ρ1 - ρ2 )2(ρ1 - ρ3 )2(ρ2 - ρ3 )2 I3 với I3 ma trận có dạng ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ qf đa thức tâm M3(K) (theo 2.5) CHƯƠNG III MỘT SỐ ÁP DỤNG – ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TÂM TRONG LÝ THUYẾT CỦA CÁC PI ĐẠI SỐ Đa thức tâm áp dụng – ứng dụng lý thuyết PI Đại số đại số đơn tâm hữu hạn chiều, đại số nguyên tố, đại số nguyên thủy… Trong luận văn xét 02 ứng dụng đa thức tâm việc mở rộng định lý Hamilton – Caley đại số đơn tâm hữu hạn chiều chứng minh kết qủa đại số nguyên tố 3.1- Sự mở rộng Định lý Hamilton Caley đại số đơn tâm hữu hạn chiều 3.1.1 - Trong đại số tuyến tính , Định lý Hamilton Caley phát biểu sau : “Mọi ma trận vuông nghiệm đa thức đặc trưng ∀ a∈Mn(K) , χa (a)=0 ” Ta xét mở rộng Định lý Hamilton –Caley cho đại số đơn tâm hữu hạn chiều trường K 3.1.2 - Nếu K trường hữu hạn có đại số tâm hữu hạn chiều có phép chia thân K Điều thu từ định lý Wedderburn vành chia (thể ) hữu hạn giao hoán Vì đại số đơn tâm hữu hạn chiều có dạng Mn(D) với D thể nên đại số đơn tâm hữu hạn chiều K Mn(K) n=1,2… Trong trường hợp , ta có đa thức đặc trưng phần tử Mn(K), định lý Hamilton – Caley kết qủa Chương II 3.1.3 - Nếu K vô hạn , ta có định lý sau Định lý Giả sử K trường vô hạn, A đại số đơn tâm có số chiều n2 K Khi : 1.Tồn đa thức bậc n χA(l) = ln –T ln-1 + …+(-1)n N (20) với T, ,N hàm đa thức A cho an –T(a) an-1 + …+(-1)n N(a)=0 ∀aXA (21) Ña thức χa(l) = ln –T(a)ln-1 + …+(-1)n N(a) gọi đa thức cảm sinh tối thiểu a T(a) N(a) gọi vết cảm sinh chuẩn cảm sinh a Vết cảm sinh T hàm tuyến tính A triệt tiêu với giao hoán tử [ab]=ab -ba Chuẩn cảm sinh hàm bậc n : N(α a)= αnN(a) hàm nhân tính Cũng có T(1)=n N(1)=1 3.Gọi phần tử aXA tách χa(l) có nghiệm phân biệt đại số đóng K K Khi tập hợp phần tử tập mở khác rỗng topo Zariski A 4.Giả sử q0 (x,y1,…, yn ) đa thức Formanek Mn(K) q0 đa thức tâm A với hệ số nguyên mà số hệ số E1 q tuyến tính yi Hơn nữa,khi tồn đa thức tâm q1(x,y1, ,yn ),… , qn (x,y1,…, yn ) có tính chất ban đầu q0 cho : q0 (a,b1,…, bn )ln – q1 (a,b1,…, bn ) ln-1 +…+ (-1)n qn (a,b1,…, bn ) = q0 (a,b1,…, bn )χa(l) (22) : q0 (x,y1,…, yn ) xn - q1 (x,y1,…, yn ) xn-1 +… + (-1)n qn (x,y1,…, yn ) (23) đồng thức A Sau a tách tồn bi XA cho q0 (a,b1,…, bn )≠0 Chứng minh Để chứng minh định lý trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường vô hạn K, F trường mở rộng K đặt V’=V F Đồng hóa V với tập phần tử dạng ⊗ v , vXV (i) Giả sử O’ tập mở không rỗng V’ O = O’∩ V tập không rỗng V (ii) Giả sử f hàm đa thức V’ cho f(v’)X K v’ tập mở V Khi f | V hàm đa thức V Chứng minh Giả sử (e1, , en)là sở V K, sở V’ F giả sử (εi) sở K/F Cho f hàm đa thức trên V’ Giả sử f(ξi,…, ξn) XF [ξi,…, ξn] Định nghóa f mối quan hệ với sở (e1, , en) nhö sau f : nα’i ei → f(α’1,…, α’n) Ta viết : f(ξ1,…, ξn) = n f i(ξ1,…, ξn)εi với fi(ξ1,…, ξn)XK [ξ1,…, ξn ] số hữu hạn fi(ξ1, ,ξn) ≠0 Nếu v XV v = Σ αiei , αi XK f(v)= nf i(α1,…, αn) εi Vì f i(α1,…, αn) X K nên f(v)=0 f i(α1,…, αn) = Do đặt O’f = {v '/ f (v ') ≠ 0} O’f ∩V= ∪ O f ι Một tập mở khác rỗng hợp tập Of , f≠0 Do giao với V hợp tập Of ι Như (i) rõ ràng Để chứng minh (ii ) ta giả sử εi , chẳng hạn ε o = Khi điều kiện f(v) XK fi (α1,…, αn) = với i≠0 Và điều tập mở V fi =0 với i≠0 f |V hàm đa thức xác định f0 (ξ1,…, ξn) X K [ξ1,…, ξn] Trở lại chứng minh định lý 1: Giả sử F trường chẻ A nên AF = Mn(F) ta có hàm đa thức tr ,… det AF cho : a’n = tr (a’) a’n + … + (-1) n det a’ = với a’ X AF Đặt T=tr ∗ A ,…., N= det ∗ A ta có (21) với a X A Ta biết ma trận với nghiệm đặc trưng tạo thành tập mở Mn(F) = AF Do theo bổ đề (i ) phần tử a XA cho χa( l)= ln –T(a) ln-1 +…+(-1) n N(a) có nghiệm phân biệt tạo thành tập mở O A Đối với a χa(l) đa thức tối tiểu a A’ (theo định lý ma trận) Vì A’= AF , χa( l) đa thức tối thiểu a A Nếu T’, , N’ hàm đa thức cho an –T’(a) an-1 +….+(-1) n N’(a) =0 với a XA đa thức ln –T’(a) ln-1 +….+(-1) n N’(a) chia hết cho đa thức tối thiểu a Nếu aXO đa thức ln –T(a) ln-1 +….+(-1) n N(a) suy T’(a) = T(a) ,…,N’(a)=N(a) Điều với a Do tính χa( l) chứng minh Tính chất T N nêu mệnh đề 2.(của định lý ) rõ ràng từ tính chất vết hàm định thức ma trận Việc chứng minh mệnh đề suy từ Định lý Chương II(2.7) Trong trường hợp K hữu hạn ,A=Mn(K)thì đa thức tối thiểu,vết chuẩn đa thức đặc trưng, vết, định thức Bây giả sử A đại số đơn tâm hữu hạn chiều tuỳ ý,đặt T(a,b)=T(ab) Đây dạng song tuyến tính A có điều sau T(a,b)T(b,a)=T([ab]) nên đối xứng T(a,b) gọi dạng vết cảm sinh song tuyến tính A Và ta có định lý thứ hai 3.1.4.- Định lý thứ hai Dạng vết cảm sinh song tuyến tính đại số đơn tâm hữu hạn chiều không suy biến Chứng minh Nếu (e1,…,en)là sở không gian vectơ V f(x,y) dạng đối xứng song tuyến tính V f không suy biến det (f(ei, ej))≠0 Do f không suy biến V mở rộng không suy biến VF F trường mở rộng trường sở Do cần chứng minh dạng vết song tuyến tính tr(a,b) không suy biến đại số ma trận Mn(K) Nếu a=naij eij ta có tr(a, elk)= alk Do tr(a , elk )=0 với k,l dẫn đến a=0 Do tr(,) không suy biến 3.2- Trên đại số nguyên tố Trên đại số nguyên tố , ta có kết qủa sau “Giả sử A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực có bậc bị chặn tâm C trường A đại số đơn” Kết qủa thực chất hệ qủa định lý Rowen Và đa thức tâm sử dụng để chứng minh định lý Rowen Giả sử A đại số K Gọi C tâm A S nửa nhóm nửa nhóm nhân C Việc địa phương hoá As xác định phép nhân sau : ∀ k ∈ K, ∀ s ∈ A, ∀ a ∈ A k (s-1 a) = s -1 (ka) Suy As K đại số 3.2.1 – Bổ đề Nếu A đại số nguyên tố S chứa As nguyên tố Chứng minh Giả sử s-1x, t-1a, u -1y ∈ As cho (s-1x)( t-1a)( u -1y)=0 Suy (uts )-1(xay) = ⇒ xay = ⇒ x=0 hoaëc y = ⇒ s-1x =0 hoaëc u-1y=0 Do As nguyên tố Nếu S = C \ { } đại số tương ứng ký hiệu A0 (Ap với p = ) A0 gọi đại số tâm thương A Nếu F trường thương C A ≈ A F = F ⊗K A ( F = C ) Và F tâm A0 3.2.2 – Định lý Rower Mọi đồng thức f đại số A đồng thức đại số As ( As xem đại số K ) Đảo lại phần tử S phần tử quy A đồng thức f As đồng thức đại số A Vấn đề cần mô tả cấu trúc A0, A0 thỏa mãn đồng thức thật Để tiến tới mục tiêu ta cần bổ đề sau : 3.2.3 – Bổ đề Amitsur Nếu A đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thật bậc n A thoả mãn đồng thức chuẩn S 2{n/2] Chứng minh : Xem A đại số tâm C Thật k ∈ K k.1 ∈ C k.a = (k.1)a Do ta thay kệ số k f k.1 ta đồng thức khác thật f0 đại số A, xem đại số C Theo định lý Rower (3.2.2)thì f0 đồng thức A0=A F trường F Vậy A thỏa mãn đồng thức quy chặt suy radical sau trùng : ln(A0) = L (A0) = Un(A0) Vì A0 đại số nguyên tố nên A0 nil – ideal khác Vậy A0[ λ ] đại số nửa nguyên thủy (theo kết qủa định lý Amitsur) Vì ta giả sử f f0 đa tuyến tính nên A0 [λ] thỏa mãn đồng thức khác bậc n Gọi P ideal nguyên thủy A0 [λ] A0 [λ] / P đại số nguyên thủy trường, thỏa mãn đồng khác bậc n Vậy S 2{n/2] đồng A0 [λ] / P (theo định lý Kaplansky – Atmisur – Levitsky ) Vậy : a1,a2,…, a 2{n/2 ∈ A0 [λ] : S 2{n/2] (a1,a2,…, a 2{n/2 ) ∈ P ( ∀ P, P ideal nguyên tố A ) Vì ∩ P = < 0> P Neân S 2{n/2] (a1,a2,…, a 2{n/2 ) = Vì A nhúng vàoA0[λ] nên S2{n/2] đồng thức đại số A 3.2.4 – Bổ đề Nếu A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực A không chứa nil – ideal khác < > Chứng minh Trong trường hợp ta cần chứng minh kết qủa cho A đại số nguyên tố đủ Thật vậy, A đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực , theo 3.2.3 A thỏa mãn đa thức chuẩn mà đa thức đa thức quy mạnh Giả sử ngược lại A chứa nil – ideal khác , theo định lý 1.11.4 phải chứa ideal lũy linh = Điều mâu thuẫn với tính chất nguyên thủy Ta chứng minh định lý Rowen phát biểu sau Định lý Rowen Giả sử A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực có bậc bị chặn ideal I ≠ A giao với tâm C khác Chứng minh : Từ giả thiết đầu định lý suy A nửa nguyên thủy thỏa mãn đồng chuẩn S2n Nếu P ideal nguyên tố A / P đơn tâm có số chiều # d2 tâm Mặt khác (I+P)/ P ideal A/P (I+P) / P = A I ⊂ P Do I ≠0 1P=0 nên tồn P cho I+P =A Trong số ideal ta chọn P0 cho bậc n0 A/ P0 lớn Giả sử q đa thức tâm có hạng tử tự M n0 (K) (ví dụ đa thức Formanek ) Khi q đồng thức đại số nguyên tố có bậc n với n ≤ n0 q đa thức tâm A/ P0 Như a1,…., am X A (q(a1,…., am )+P)/ P thuộc tâm A/ P Do q(a1,…., am )≠ Vì q đa thức tâm A/ P I+P0 =A nên ta chọn a1,…., am X I cho q(a1,…., am ) ∉ P0 q(a1,…., am ) XI q(a1,…., am )≠ Vậy C ∩ I ≠ Ta chứng minh kết qủa nêu ban đầu nhờ vào định lý Rowen Nếu I ≠ ideal A C ∩ I ≠ (theo định lý Rowen) Vì C ∩ I ≠ ideal C C trường nên C ∩ I = C Suy phần tử đơn vị ∈ I Suy I = A Vaäy A đại số đơn Kết qủa chứng minh ... Phần trọng tâm luận văn giới thiệu phương pháp xây dựng đa thức tâm Mn(K) với n >2 Formanek.Từ tìm đồng thức cho đại số ma trận ứng dụng, áp dụng đa thức tâm để chứng minh số vấn đề đại số khác... đa thức Formanek , từ xây dựng đa thức tâm cho Mn(K) với n > qua định lý Formanek *Chương III : Một số áp dụng – ứng dụng đa thức tâm lý thuyết PI Đại số Trong phần nêu ứng dụng áp dụng đa thức. .. I3 ma trận có dạng ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ qf đa thức tâm M3(K) (theo 2.5) CHƯƠNG III MỘT SỐ ÁP DỤNG – ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TÂM TRONG LÝ THUYẾT CỦA CÁC PI ĐẠI SỐ Đa thức tâm áp dụng – ứng dụng