Tài liệu Dãy số Trần Thanh Minh doc

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 2 2 Mục Lục CHƯƠNG 3. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG .3 - CẤP SỐ NHÂN 3 §1. Phưong pháp quy nạp toán học .3 A. Tóm Tắt Giáo Khoa 3 B. Giải Toán 3 C. Bài Tập Rèn Luyện 4 D.Hướng dẫn – Đáp số . .5 §2. Dãy số .8 A. Tóm Tắt Giáo Khoa 8 B. Giải Toán .8 C. Bài Tập Rèn Luyện 10 D.Hướng dẫn – Đáp số . .12 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 3 3 CHƯƠNG 3. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN §1. Phưong pháp quy nạp toán học A. Tóm Tắt Giáo Khoa . Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của n , ta thực hiện hai bước sau : • Bước 1 : Chứng minh A(1) đúng . • Bước 2 : Với x ∈ Z ∀ + , chứng minh nếu A(k) đúng thì A(k + 1) cũng đúng . B. Giải Toán . Ví dụ 1 : Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta luôn có : (1) 2 135 .(2n1) n+++ + − = Giải : Chú ý vế trái (VT) có n số hạng . n = 1 : VT = 1 , n = 2 : VT = 1 + 3 . . . • Với n = 1: (1) Ù 1 = 1 2 : mệnh đề này đúng . Vậy (1) đúng khi n = 1. • Giả sữ (1) đúng khi n = k Ù 1 + 3 + 5 + . . . + (2k – 1) = k 2 (2) , ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k + 1 Ù 1 + 3 + 5 + . . .+ (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = ( k + 1) 2 (3) Thật vậy : VT (3) = VT (2) + [2(k+1) – 1] = VP (2) + [ 2k + 1] = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 = VP (3) ( đpcm) Theo phưong pháp quy nạp , (1) đúng với mọi số nguyên dương n . Ví dụ 2 : Chứng minh rằng số n 11 1 a . 1.2 2.3 n(n 1) =+++ + = n n1 + (1) với mọi số nguyên dương n . Giải : • Với n = 1 : (1) Ù a 1 = 11 1.2 1 1 = + : đúng . Vậy (1) đúng khi n = 1 . • Giả sữ (1) đúng khi n = k Ù a k = 11 1 1.2 2.3 k(k 1) +++ + = k k1 + (2) , ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k + 1 Ù a k+1 = 11 1 1 1.2 2.3 k(k1) (k1)(k2) +++ + + ++ = k1 k2 + + . Thậy vậy : a k+1 = a k + 1 (k 1)(k 2)++ = k1 k 1 (k 1)(k 2) + +++ ( theo giả thiết quy nạp (2) ) = 22 2) 1 k 2k 1 (k 1) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) ++ + + + == ++ ++ ++ k(k = k1 k2 + + (đpcm) Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n . Ví dụ 3 : Chứng minh số u n = 13 n – 1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n (1) Giải : • Với n = 1 : u 1 = 13 1 – 1 = 12 chia hết cho 6 . Vậy (1) đúng khi n = 1 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 4 4 • Giả sữ (1) đúng khi n = k Ù u k = 13 k – 1 chia hết cho 6 , ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k + 1 Ù u k+1 = 13 k+1 – 1 chia hết cho 6 . Thật vậy : u k+1 = 13 k+1 – 1 = 13.13 k – 1 = 13(13 k – 1) + 12 = 13u k + 12 . Vì u k chia hết cho 6 và 12 chia hết 6 nên u k+1 chia hết cho 6 ( tổng hai số chia hết cho 6 là một số chia hết cho 6 ) . C. Bài Tập Rèn Luyện 3.1. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có : a) 1 + 2 + . . .+ n = n(n 1) 2 + b) 1 2 + 2 2 + . . .+ n 2 = n(n 1)(2n 1) 6 + + c) 1.4 + 2.7 + . . . + n(3n + 1) = n(n + 1) 2 3.2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có : a) 11 1 n . 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 2n 1 +++ = −+ + b) 1.n + 2(n – 1) + . . .+ (n – 1).2 + n. 1 = 1 n(n 1)(n 2) 6 + + c) nn 123 n n2 . 2 248 2 2 + ++++ =− 3.3. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có : a) (1 + x) n 1 + nx với x > - 1 . ≥ b) n n1 n1 n + ⎛⎞ ≤+ ⎜⎟ ⎝⎠ c) n nn ab a b 22 ++ ⎛⎞ ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ với a 0 , b 0 . ≥ ≥ c) 11 11 . n1 n2 2n 24 +++> ++ 3 3. 4. Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có : a) u n = 6 2n + 10.3 n chia hết cho 11 . b) tích của 4 số nguyên dương liên tiếp chia hết cho 24 . c) 6 n + 8 n chia hết cho 14 khi n lẻ d) u n = 5. 2 3n – 2 + 3 3n – 1 chia hết cho 19 . 3.5. Theo một truyện cổ , trong một hang động tại một nơi nào đó , có một vò thần đang thực hiện một công việc buồn tẻ như sau . Trước mặt ông ta là ba mâm vàng . Trên mâm thứ nhất có một tháp tạo bởi 64 dóa kim cương có lỗ ở giữ . Các dóa có kích thước khác nhau đặt chồng lên nhau xuyên qua một thanh ngọc sao cho dóa trên luôn nhỏ hơn dóa sát bên dưới . Mâm thứ hai và mâm thứ ba cũng có một thanh ngọc ở giũa .Công việc của vò thần là dời tháp dóa kim cương từ mâm thứ nhất sang mâm thứ ba theo quy tắc sau : • Mỗi lần chỉ được dời một dóa . • Lúc nào dóa ở trên cũng nhỏ hơn diã bên dưới • Có thể đặt dóa đang dời tạm trên mâm thứ hai , nhưng cũng theo luật là dóa trên nhỏ hơn dóa dưới . Thí dụ với tháp 2 dóa , gọi dóa 1 là dóa nhỏ , dóa 2 là dóa lớn , ta thực hiện các bươc sau : • Dời dóa 1 vào mâm 2 . • Dời dóa 2 vào mâm 3 . • Dời dóa 1 từ mâm 2 vào mâm 3 . Ta cần tất cả 3 động tác để hoàn tất . Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 5 5 Mâm 1 Mâm 2 Mâm 3 Chứng minh rằng vò thần cần 2 64 - 1 động tác để hoàn tất công việc . Giả sữ mỗi động tác kéo dài đúng 1 giây , hỏi cần bao nhiêu thời gian để chấm dứt công việc . Truyền thuyết kể rằng khi việc dời 64 dóa được hoàn tất thì đó cũng là ngày tận thế của lòai người . D.Hướng dẫn – Đáp số . 3.1. a) * Với n = 1 : VT = VP = 1 => mệnh đề đúng khi n = 1 . * Giả sữ : 1 + 2 + . . .+ k = k(k 1) 2 + , thế thì : 1 + 2 + . . .+ k + (k + 1) = k(k1) k(k1)2(k1) k1 22 ++++ ++= = (k 1)[(k 1) 1] 2 +++ => mệnh đề đúng khi n = k + 1 b) * Với n = 1 : VT = 1 2 = 1 , VP = 1( = 1 1 1)(2 1) 6 ++ * Giả sữ 1 2 + 2 2 + . . .+ k 2 = k(k 1)(2k 1) 6 ++ => 1 2 + 2 2 + . . .+ k 2 + (k + 1) 2 = 2 k(k1)(2k1) (k 1) 6 ++ + + = 2 k(k 1)(2k 1) 6(k 1) 6 ++++ = (k 1)[k(2k 1) 6(k 1)] 6 ++++ = 2 (k 1)(2k k 6k 6) 6 ++++ = 2 (k 1)(2k 7k 6) 6 +++ = (k 1)(k 2)(2k 3) 6 ++ + = (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6 +++ ++ => m ệ nh đề đúng khi n = k + 1 . c) * V ớ i n = 1 : VT = 11 VP 32.1 == + 1 * Giả sữ 1.4 + 2.7 + . . . + k(3k + 1) = k(k + 1) 2 => 1.4 + 2.7 + . . . + k(3k + 1) + (k + 1)[3{k+1) + 1] = k(k + 1) 2 +(k + 1) (3k + 4) = (k + 1)(k 2 + k + 3k + 4) = (k + 1)(k + 2) 2 => m ệ nh đề đúng khi n = k + 1 . Chương 3.D ãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 6 6 3.2. a) * V ớ i n = 1 : VT = 1 1.3 = VP = 1 21+ * Giả sữ 11 1 k . 1.3 3.5 (2k 1)(2k 1) 2k 1 +++ = −+ + => 11 1 k . 1.3 3.5 (2k 1)(2k 1) ( )( ) 2k 1 (2 )( ) +++ + = + −+ ++ + + 11 2k 1 2k 3 k 1 2k + 3 = k(2k 3) 1 (2k 1)(2k 3) + + + + = 2 2k 3k1 (k1)(2k1) (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) ++ + + = ++ ++ = k1 2(k 1) 1 + ++ => m ệ nh đề đúng khi n = k + 1 b) * V ớ i n = 1 : VT = 1.1 = 1 , VP = 1 .1.2.3 1 6 = * Giả sữ 1.k + 2(k – 1) + . . .+ (k – 1).2 + k. 1 = 1 k(k 1)(k 2) 6 + + (1) Ta phải chứng minh : 1.(k+1) + 2. k + 3.(k – 1) +. . . + k. 2 + (k + 1).1 = 1 .(k 1)(k 2)(k 3) 6 + ++ (2) Lấy (2) – (1) vế v ớ i vế : (k+1) + k + (k – 1) +. . . + 2 +1 = 1 .(k 1)(k 2)(k 3) 6 + ++ - 1 k.(k 1)(k 2) 6 (3) + + VT(3) = (k 1)(k 2) 2 ++ ( theo bài 3. 1 . a) VP(3) = 1 .(k 1)(k 2)(k 3 k) 6 ++ +− = (k 1)(k 2) 2 ++ V ậ y ta có đpcm . c) Giả sữ : kk 12 k k2 . 2 24 2 2 + +++ =− => kk1 k k1 12 k k1 k2 k1 . 2 24 2 2 2 2 ++ +++ ⎛⎞ +++ + = − + ⎜⎟ ⎝⎠ = 2 - k1 2(k 2) (k 1) 2 + +−+ = 2 - k1 k3 2 + + => m ệ nh đ ề đúng khi n = k + 1 3.3. a) * V ớ i n = 1 : VT = VP = 1 + x . V ậ y m ệ nh đ ề đúng khi n = 1 . * Giả sữ (1 + x) k ≥ 1 + kx (1) => (1 + x) k + 1 = (1 + x) (1 + x) k ≥ (1 + x)(1 + kx) ( nhân hai vế c ủ a (1) cho 1 + x > 0 ) Suy ra : (1 + x) k + 1 1 + kx + x + kx ≥ 2 1 + kx + x ( vì kx ≥ 2 0 ) ≥ Hay (1 + x) k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x => m ệ nh đ ề đúng khi n = k + 1 . b) * V ớ i n = 1 : VT = VP = 2 => m ệ nh đ ề đúng khi n = 1 * Giả sữ k k1 k1 k + ⎛⎞ ≤+ ⎜⎟ ⎝⎠ (1) => k1 k k2 k2 k2 k1 k1 k1 + +++ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ = ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ++ + ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ k k2 k1 k1 k ++ ⎛⎞⎛ ≤ ⎜⎟⎜ + ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Chương 3.D ãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 7 7 vì k2 k1 k1 k ++ ≤ <=> + k(k+2) ≤ (k + 1) 2 ( đúng ) => k1 k2 k2 (k 1 k1 k1 + ++ ⎛⎞⎛⎞ ≤ ⎜⎟⎜⎟ ++ ⎝⎠⎝⎠ + ) (do (1) ) k + 2 ≤ V ậ y m ệ nh đ ề đúng khi n = k + 1 . c) Giả sữ k kk ab a b 22 ++ ⎛⎞ ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ => k1 k kk ab abab aba b . 2222 + +++++ ⎛⎞ ⎛⎞ =≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 => k1 ab 2 + + ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ k1 k1 k k ababa 4 ++ +++ ≤ b (1) Ta chứng minh : ab k + a k b ≤ a k + 1 + b k + 1 Ù a k (a – b) + b k ( b – a) 0 ≥ Ù (a – b)(a k – b k ) ≥ 0 . Bất đẳng thức này đúng vì a ≥ b 0 => a ≥ k b ≥ k Và 0 a ≤ b => a ≤ k b ≤ k . V ậ y (1) thành : k1 ab 2 + + ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ≤ k1 k1 k1 k1 2(a b ) a b 42 ++ ++ ++ = ( đpcm ) 3. 4. a) * V ớ i n = 1 : u 1 = 6 2 + 10. 3 1 = 66 chia hết cho 11 . * Giả sữ u k = 6 2k + 10.3 k chia hết cho 11 , th ế thì : u k+1 = 6 2(k+1) + 10.3 k +1 = 36.6 2k + 30.3 k = 3(6 2k + 10.3 k ) + 33.6 2k = u k + 33.6 2k => u k + 1 chia hết cho 11 vì là tổng c ủ a hai số chia hết cho 11 . b) Ta chứng minh : u n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 24 . * u 1 = 1.2.3.4 = 24 chia hết cho 24 . * Giả sữ u k = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) chia hết cho 24 , th ế thì : u k+1 = (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) = u k + 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) Ta biết tích ba s ố nguyên liên tiếp (k + 1)(k + 2)(k + 3) luôn chí hết cho 6 vì có chứa m ộ t số chẵn và m ộ t số chia hềt cho 3 . Do đó u k+1 là tổng hai số cho chia hết cho 24 nên chia hết cho 24. c) * V ớ i n = 1 : u 1 = 6 1 + 8 1 = 14 chia hết cho 14. * Giả sữ u k = 6 k + 8 k chia hết cho 14 , số lẻ tiếp theo số k là k + 2 , ta có : u k+2 = 6 k+2 + 8 k + 2 = 36.6 k + 64.8 k = 36(6 k + 8 k ) + 28.8 k = 36.u k + 14.2.8 k => u k + 2 chia hết cho 14 ví là tổng hai số chia hết cho 14 . d) * V ớ i n = 1 :u 1 = 5. 2 1 + 3 2 = 19 chia hết cho 19 . * Giả sữ u k = 5. 2 3k – 2 + 3 3k – 1 chia hết cho 19 , th ế thì : u k+1 = 5. 2 3k + 1 + 3 3k + 2 = 5. 2 3 . 2 3k – 2 + 3 3 . 3 3k – 1 = 8.5.2 3k – 1 + 27.3 3k- 1 = 8(5.2 3k – 1 + 3 3k- 1 ) + 19.3 3k – 1 = 8.u k + 19.3 3k – 1 => u k+1 chia hết cho 19 vì là tổng c ủ a hai số chia hết cho 19. 3.5. * V ớ i n = 1 : vò thần chỉ cần 2 1 – 1 = 1 m ộ t động tác dời ( đúng ) * Giả sữ vò thần cần 2 k – 1 động tác để dời k dóa , th ế thì v ớ i k + 1 dóa , ta sẽ dời như sau : • Dời k dóa từ dóa trên cùng đ ế n dóa kế chót sang mâm thứ hai : cần 2 k - 1 động tác ( giả thiết c ủ a phép quy nạp). • Dời dóa cuối cùng lớn nhất từ mâm thứ nhất sang mâm thứ ba : 1 động tác • Dời k dóa từ mâm thứ hai sang mâm thứ ba , dùng mâm thứ nhất làm trung gian : cần 2 k – 1 động tác . V ậ y cần tất cả : 2 k – 1 + 1 + 2 k – 1 = 2 k + 1 – 1 động tác Suy ra đpcm . Chương 3.D ãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 8 8 V ớ i 64 dóa , vò thần cần thực hiện 2 64 – 1 . Máy tính bỏ túi không tính được số này , chỉ cho ta m ộ t giá tr ị gần đúng là . 18.446.744.070.000.000.000.000.000.000 ( 19 số 0 ) . Mời bạn đọc số này ! Nếu mỗi động tác dời dóa là m ộ t giây và luôn chính xác từ giờ này tới giờ kia , tù ngày này qua ngày khác, từ năm này qua năm tới … ( thần mà ! ) , thì phải cần 584.942.417.400 năm ! §2. Dãy số A. Tóm Tắt Giáo Khoa . 1. Đị nh ngh ĩ a : M ộ t hàm số u xác đònh trên tập hợp N * các s ố nguyên d ươ ng được gọi là m ộ t dãy số vô hạn . Kí hiệu : số hạng t ổ ng quát u(n) được kí hiệu là u n : số hạng thứ n . • Dãy số vô hạn u = u(n) được kí hiệu (u n ) hay u 1 , u 2 , . . ., u n . • Khi 1 ≤ n m , ta có dãy số hữu hạn : u ≤ 1 là số hạng đầu , u m là số hạng cuối . 2. Cách cho dãy số : • Cách 1 : Cho bởi công thức c ủ a số hạng t ổ ng quát . • Cách 2 : Cho bởi hệ thức truy hồi . 3. Dãy số tăng , giãm : • (u n ) dãy số tăng Ù n∀ , u n < u n+1 • (u n ) dãy số giãm Ù n∀ , u n > u n+1 Chú ý : 1) (u n ) tăng Ù n , u∀ n+1 – u n > 0 Ù n∀ , n1 n u 1 u + > n( nếu ∀ , u n > 0 ) 2) 1) (u n ) giãm Ù n∀ , u n+1 – u n < 0 Ù n∀ , n1 n u 1 u + ( nếu n∀ , u n > 0 ) < 4. Dãy số bò chận : • (u n ) bò chận trên Ù M∃ , , un∀ n ≤ M • (u n bò chận dưới Ù m∃ , ∀ , un ≥ n m • (u n ) bò chận Ù (u n ) bò chận trên và chân d ướ i . B. Giải Toán Dạng 1 : Xác đònh các số hạng của dãy số : Dùng công thức u n hoặc hệ thức truy hồi Ví dụ 1 : a) Cho dãy số (u n ) v ớ i u n = n n 2 . Tìm số hạng u 3 , u 4 . b) Cho dãy số các số d ươ ng chia cho 5 dư 3 sắp xếp theo thứ tự tăng dần . Tìm số hạng thứ 1000. Giải : a) u 3 = 3 33 28 = , u 4 = 4 441 2164 == b) Dãy số là 3, 8, 13 . . . Số hạng t ổ ng quát là u n = 5(n – 1) + 3 = 5n – 2 , n∀ * N∈ . V ậ y số hạng thứ 1000 là u 1000 = 5000 – 2 = 4998 . Ví dụ 2 : Cho dãy số (u n ) xác đònh bởi : 1 nn1 u5 u2u 3;n2 − = ⎧ ⎨ = −∀≥ ⎩ . Tìm số hạng u 4 . Giải : Ta có : u 2 = 2.u 1 – 3 = 10 – 3 = 7 , u 3 = 2u 2 – 3 = 14 – 3 = 11, u 4 = 2u 3 – 3 = 22 – 3 = 19 . * Dạng 2 : Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi . Chương 3.D ãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 9 9 • Tính thử các số hạng đầu , dự đóan m ộ t hệ thức u n = f(n) . • Chứng minh hệ thức đó đúng v ớ i n∀ bằng ph ư ong pháp quy nạp . Ví dụ 3 : Cho dãy số (u n ) xác đònh bởi : u 1 = 5 và n∀ 2 , u ≥ n = 2u n-1 – 3 Tìm số hạng t ổ ng quát u n . Giải : Từ các giá tr ị c ủ a u 1 , u 2 , u 3 , u 4 đã tính trong ví dụ 2 , ta dự đóan : n∀ , u n = 2 n + 3 (1) vì hệ thức đúng khi n = 1 , 2, 3, 4 , nên ta hi vọng nó cũng đúng v ớ i mọi n. • u 1 = 2 1 + 3 = 5 : đúng • Giả sữ (1) đúng khi n = k Ù u k = 2 k + 3 , th ế thì : u k+1 = 2u k – 3 ( hệ thức truy hồi ) = 2( 2 k + 3) – 3 = 2 k + 1 + 3 , chứng tỏ (1) đúng khi n = k + 1 . V ậ y (1) đúng v ớ i mọi n . Dạng 3 : Chứng minh dãy số tăng giãm ( xét tính đơn điệu ) : • Nếu dãy số xác đònh bằng công thức thì sữ dụng đị nh ngh ĩ a hoặc phần chú ý trong lý thuyết . • Nếu dãy số xác đònh bằng hệ thức truy hồi , thì ta dùng đị nh ngh ĩ a + phép chứng minh quy nạp . Ví dụ 4 : Xét tính tăng giãm c ủ a các dãy số (un) sau : a) u n = n n 3 b) u n = 2n 3 n2 + + c) u n = 2 n15 n1 + + Giải : n1 n1 n n n1 u n1 3 1 n u3n 3 + + + + ==< na) Ta có : , un∀ n > 0 và , ∀ . V ậ y (u n ) là dãy số giãm . b) Ta có : u n = 2(n 2) 1 1 2 n2 n2 +− =− ++ ( đơn giản công thức dãy số ) Suy ra , , un∀ n+1 – u n = 11 22 (n 1) 2 n 2 ⎛⎞ ⎛⎞ −−− ⎜⎟⎜⎟ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠ = 11 n2 n3 − + + > 0 nên dãy số (u n ) là dãy số tăng . c) Ta có : 2 (n 1) 16 16 n1 n1 n1 −+ =−+ ++ => u n+1 – u n = 16 16 nn1 n2 n1 ⎛⎞⎛ ⎞ +−−+ ⎜⎟⎜ ⎟ ++ ⎝⎠⎝ ⎠ = 1 + 16 16 16 1 n 2 n 1 (n 1)(n 2) −=− + +++ Hiệu số này âm khi n = 2 và d ươ ng khi n = 3 , do đó dãy số (u n ) không tăng cũng không giãm . Thật ra nếu ta tính thử vài số hạng đầu tù công thức : u 1 = 8 , u 2 = 19 3 ; u 3 = 6 , u 4 = 31 5 thì có : u 1 > u 2 > u 3 < u 4 . V ậ y dãy số không tăng cũng không giãm . * Ví dụ 5 : Cho dãy số (u n ) đònh bởi hệ thức truy hồi 1 2 n1 n n u1 uu3u,n + = ⎧ ⎪ ⎨ 1 = +∀≥ ⎪ ⎩ Giải : Ta chứng minh u n+1 – u n > 0 (1) , . n∀ • u 2 – u 1 = (1 + 3) – 1 = 3 > 0 => (1) đúng khi n = 1 . • Giả sữ u k+1 – u k > 0 (2) , th ế thì : u k+2 – u k+1 = (u 2 k+1 + 3u k+1 ) - (u 2 k + 3u k ) = (u 2 k+1 - u 2 k ) + 3(u k+1 – u k ) = (u k+1 – u k )[ (u k+1 + u k ) + 3] Từ hệ thức truy hồi , có thể chứng minh u n > 0 , n∀ , do đó suy ra : Chương 3.D ãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 10 10 u k+1 + u k + 3 > 0 , cùng v ớ i (2) , ta được : u k+2 – u k+1 > 0 => (1) đúng khi n = k + 1 . V ậ y (1) đúng v ớ i mọi n và dãy số (u n ) tăng . Dạng 4 : Xét tính bò chận • Để chứng minh (u n ) bò chận , ta tìm hai số M và m sao cho : m ≤ u n ≤ M , . n∀ • Nếu (u n ) cho bởi hệ thức truy hồi thì ta dự đóan số M, m rồi chứng minh tính bò chận bằng ph ư ong pháp quy nạp. Ví dụ 6 : Chứng minh các dãy số sau bò chận a) u n = 3n 14 n2 + + b) u n = 1 cosn n + c) u 1 = 1 , u n+1 = n 1 u 2 + 2 , n∀ 1 ≥ Giải : a) Ta có : u n = 3(n 2) 8 8 3 n2 n2 ++ =+ + + Vì n 1 nên ≥ 8 0 n2 3 <≤ + 8 , suy ra : 3 ≤ u n ≤ 3 + 817 33 = . V ậ y (u n ) bò chận . Ghi chú : Lẻ dó nhiên , ta có thể viết “thóang ” hơn là : 0 ≤ u n ≤ 3 + 8 = 11 b) Vì 1 01và1cosn n <≤ −≤ ≤ 1 , do đó : 0 – 1 ≤ 1 cosn n + ≤ 1 + 1 tức : - 1 u ≤ n ≤ 2 . V ậ y (u n ) bò chận . c) Ta tính thử vài giá trị đầu tiên của dãy số : u 1 = 1 , u 2 = 15 2 22 + = , u 3 = 513 2 44 += , u 4 = 13 . Ta dữ đoán u 29 2 88 += n < 4 , ∀ và lẻ dó nhiên thì u n n > 0 , n∀ . 1) Chứng minh : u n > 0 , n∀ • u 1 =1 > 0 • Giả sữ u k > 0 , th ế thì : u k+1 = k 1 u2 2 > 0 . + V ậ y u n > 0 , ∀ (1) n 2) Chứng minh u n < 4 , ∀ . n • u 1 = 1 < 4 • Giả sữ u k < 4 , th ế thì : u k+1 = k 11 u2 .424 22 + <+= n . V ậ y u n < 4 , ∀ (2) Từ (1) và (2) , ta có (u n ) bò chận . C. Bài Tập Rèn Luyện 3.6. Chọn câu đúng : Số hạng thứ 9 c ủ a dãy số u n = 2n 1 n1 + + là : a) 1, 9 b) 2, 0 c) 2, 1 d) 3, 0 3.7 . Chọn câu đúng : Cho dãy số 1 nn1 u15 uu − =− ⎧ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ n Số hạng d ươ ng đầu tiên c ủ a dãy số là số hạng thứ mấy ? a) 15 b) 4 c) 5 d) 6 3.8. Chọn câu đúng : Cho ba dãy số (I) u n = 2n 5 n1 + + (II) u n = (-1) n n 2 (III) u n = n 2 n1 + [...]...Chương 3 .Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 11 Dãy số nào là dãy số tăng ? a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Chỉ (III) d) Có 2 dãy số tăng trong ba dãy số 3.9 Chọn câu đúng : Cho ba dãy số n−5 4n + 2n (II) un = n2 - 6n (III) un = n (I) un = 2n + 1 4 − 2n Dãy số nào là dãy số giãm ? a) Chỉ (I) và (II) b) Chỉ (II) và (III) c) Chỉ (I) và (III) d) cả (I) , (II) và (III) 3.10 Chọn câu đúng : Cho ba dãy số 3n +... của các dãy số sau : www.saosangsong.com.vn 11 Chương 3 .Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 3n − 6 2n 2 + 3 b) un = n(n + 1) 2n + 1 * d) un = - 1 + 2 - 3 - + (-1)nn a) un = 12 * d) un = n +1 − n 1 u n + 1 , ∀n ≥ 1 3 b) Chứng minh (un) bò chận * 3.17 Cho dãy số (un) đònh bởi : u1 = 1 , un+1 = a) Chứng minh (un) giãm * 3.18 Cho dãy số (un) đònh bởi : u1 = 1 , un+1 = 2un + 1 , ∀n ≥ 1 a) Chứng minh (un)... = (-1)n n2 n +1 Dãy số nào bò chận trên ? a) Chỉ (I) và (II) b) Chỉ (II) và (III) c) Chỉ (I) và (III) d) Cả (I) , (II) và (III) 3.11 Tìm 3 số hạng đầu tiên của dãy số sau : n(n + 1) 1 1 1 + + 2 a) un = b) un = 2 + 2 n 2 2 −1 3 −1 n −1 nπ c) un = (-1)n cos d) un = (-1)1 1 + (-1)2 2 + + (-1)nn 4 3 12 Tìm các số hạng đầu tiên của dãy số sau rồi suy ra công thức un = f(n) của các dãy số cho bởi hệ thức... cos π −1 2 k +1 π 2tg k +1 2 Vậy (1) đúng khi n = k + 1 www.saosangsong.com.vn 15 Chương 3 .Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Vậy un = tg 2 n +1 , ∀n π và hàm số tg x đồng biến trên (0 ; π /4) nên dãy số (un) giãm và bò chận dưới bởi số 2 4 π tg0 = 0 và bò chận trên bởi số tg = 1 4 n(n + 1) 3.20 a) Chứng minh un = (1) , ∀n 2n 1(1 + 1) * u1 = 1 = => (1) đúng khi n = 1 21 k(k + 1) (k + 2) k(k + 1)... Chứng minh (un) là dãy số tăng b) Tìm công thức un theo n * 3.19 Cho dãy số (un) đònh bởi : u1 = 1 , un+1 = a) Chứng minh ; un = tg 1 + u2 n − 1 , ∀n ≥ 1 un −1 π , ∀n 2 n +1 b) Suy ra tính đơn điệu và bò chận của (un) * 3.20 Cho dãy số (un) đònh bởi : u1 = 1 , u n +1 = n(n + 1) , ∀n 2n b) Xét tính đơn điệu và bò chận của (un) (n + 2)un , ∀n ≥ 1 2n a) Chứng minh un = D.Hướng dẫn – Đáp số 19 = 1,9 10... un+1 = un + 4 , ∀n ≥ 1 1 + un −1 * 3.13 Cho dãy số (un ) đònh bởi : u1 = - 1 , un = , ∀n ≥ 2 2 a) Tính 3số hạng đầu tiên của dãy số b) Tìm công thức un theo n 3.14 Xét tính đơn điệu của các dãy số (un ) sau : 3n + 7 n2 2n − 1 c) un = a) un = b) un = n +1 n+2 2n 3n e) un = - n – sin2 n f) un = n3 – 3n2 + 5n d) un = (n + 1)2 3.15 Xét tính đơn điệu của các dãy số (un ) sau : a) un = *c) un = 1 1 1 + +... chứng minh = cos 3.14 a) Ta có : un = 3(n + 1) + 4 4 =3+ n +1 n +1 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ −4 ⎛ Suy ra : un+1 – un = ⎜ 3 + < 0 , ∀n Vậy (un) là dãy số giãm ⎟ − ⎜3 + ⎟= n+2⎠ ⎝ n + 1 ⎠ (n + 2)(n + 1) ⎝ b) Ta có : un = (n 2 − 4) + 4 4 =n−2+ n+2 n+2 Suy ra : un+1 – un = [(n + 1) − 2 + 4 4 −4 ] − [n − 2 + ] =1+ > 0 vì (n+3)(n+2) > 4 , ∀n ≥ 1 n+3 n+2 (n + 3)(n + 2) www.saosangsong.com.vn 13 Chương 3 .Dãy số - Cấp số cộng... +1 * Xét (II) : Vì – n ≤ - 1 và 2sin n ≤ 2 nên un ≤ 1=> (un) bò chận trên * Xét (III) : Khi n là số chẵn vô cùng lớn thì un là số vô cùng lớn , do đó (un) không bò chận trên 3 3 3.11 a) u1 = 1 , u2 = , u3 = 2 2 3.10 (a) * Xét (I) : un = 3 + www.saosangsong.com.vn 12 Chương 3 .Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 13 1 1 1 11 1 21 = , u2 = u1 + 2 = = , u3 = u2 + 2 2 −1 3 3 − 1 24 4 − 1 40 Π π 2 3π 2 c)... Chương 3 .Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 15 => - 6 < un < 2 b) Ta có : 0 < 2n2 + 3 < 3n(n + 1) => 0 < un < 3 => (un) bò chận Ghi chú : Ta chia tử cho mẫu và làm như câu (a) c) Ta có un = n + 1 − n > 0 , ∀n => (un) bò chận dưới 1 Mặt khác : un = < 1 vì n + 1 + n > 1 => (un) bò chận trên n +1 + n Suy ra (un) bò chận d) Nếu n = 2k : un = ( - 1 + 2) + (- 3 + 4) + + (- 2k + 1 + 2k) = k ( tổng k số. .. u1 = 7 , u2 = 11, u3 = 15 ( Nhận xét : Các số có tính chất chung là chia cho 4 dư số là 3 : u1 = 4.1 + 3 , u2 = 4.2 + 3 , u3 = 4.3 + 3 ) Ta chứng minh : un = 4n + 3 (1) • u1 = 4.1 + 3 : (1) đúng khi n = 1 • Giả sữ uk = 4.k + 3 , thế thì : uk+1 = uk + 4 ( giả thiết của quy nạp ) = (4k + 3) + 4 = 4(k + 1) + 3 : (1) đúng khi n = k + 1 Vậy (1) được chứng minh b) u1 = 4 , u2 = 3.4 - 2 = 10 , u3 = 3.10 . 3.D ãy số - Cấp số cộng . - Cấp số nhân www.saosangsong.com.vn 11 11 Dãy số nào là dãy số tăng ? a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Chỉ (III) d) Có 2 dãy số tăng. các số hạng của dãy số : Dùng công thức u n hoặc hệ thức truy hồi Ví dụ 1 : a) Cho dãy số (u n ) v ớ i u n = n n 2 . Tìm số hạng u 3 , u 4 . b) Cho dãy số