Tay ninh 2013

đường tròn C1 tâm O1 bàng tiếp góc C, tiếp xúc cạnh AB taïi C', tieáp xuùc phaàn keùo daøi cuûa caïnh BC taïi E, tieáp xuùc phaàn keùo daøi cuûa caïnh AC taïi G.. Đường tròn C2 tâm O2 bà[r]

SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NAÊM HOÏC 2012 - 2013 Khoùa thi ngaøy 06/11/2012 Môn: TOÁN Buổi thi thứ hai Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) -ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi) Baøi 1: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình x   x   3( x  3x  1) Baøi 2: (5 ñieåm)  a1 1  a (an )2  2an ( a ) Cho dãy số n xác định  n 1 (với n là số nguyên dương) n ak Sn  Tìm lim Sn ?  a ( S ) k  k  Xét dãy số n xác định Baøi 3: (5 ñieåm) 2013 Giả sử số A 2012 phân tích thành tổng n số nguyên dương a1 , a2 , , an Xét số B a13  a23   an3 Tìm dö pheùp chia B cho Baøi 4: (5 ñieåm) Cho tam giác ABC có góc nhọn đường tròn (C1) tâm O1 bàng tiếp góc C, tiếp xúc cạnh AB taïi C', tieáp xuùc phaàn keùo daøi cuûa caïnh BC taïi E, tieáp xuùc phaàn keùo daøi cuûa caïnh AC taïi G Đường tròn (C2) tâm O2 bàng tiếp góc B, tiếp xúc cạnh AC B', tiếp xúc phần kéo dài cạnh BC F, tiếp xúc phần kéo dài cạnh AB H Hai đường thẳng EG và FH cắt P Chứng minh PA vuông góc với BC - Heát - SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NAÊM HOÏC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN BUỔI THI THỨ HAI Baøi Baøi (5 ñieåm) Hướng dẫn chấm  x  0   13 Ñieàukieän :  x  0  x  x  3x  0  Phương trình đã cho tương đương với: Ñieåm 1 x   x   x  x  3( x  x  1)  ( x  1)( x  2)  x  x  ( x  3x  2)( x  1) ( x  x  2)  2( x  1) 1 a  x  3x  Ñaët  thì a  0; b  vaø b  x 1  a a a a ab a  2b      0  2 (còn  bị loại ) b b  b b Baøi (5 ñieåm) a 2  x  3x  2 x   x  x  0 b  57  57  x (coøn x  bị loại) 2 Từ giả thiết đã cho, ta có: a1  a2   an  an 1  suy (an ) là dãy tăng Giả sử (an ) là dãy bị chặn trên, đó tồn số L cho lim an L (L 1)  L 0 lim an 1 lim  (an )2  2an   L L2  L    L  Do đó Voâ lyù vì L 1 Vaäy (an ) khoâng bò chaën treân Suy lim an  Với k là số nguyên dương thì Suy : ak 1  ak (ak )2  ak (1  ak )ak  ak   ak 1 (ak )2  2ak ak 1  ak  ak ak ak 1  ak 1     ak 1 (1  ak )(1  ak 1 )  ak  ak 1 Cho k nhận các giá trị 1, 2, 3, , n và cộng lại theo vế thì được: n ak 1 1 Sn       a1  an 1  an 1 k 1  ak 1 1  Vaäy lim Sn lim       an 1  1 Baøi (5 ñieåm) n  A 20122013 a1  a2   an  B  A  (ak3  ak )   3 B a1  a2   an k 1 Từ giả thiết ta có:  Với k 1, n thì ak  ak ak (ak  1)(ak  1) là tích số nguyên liên tiếp neân chia heát cho Suy ra: B - A chia heát cho hay B  A(mod 3) Vì 2012 671.3  neân 2012  1(mod 3)  A 20122013 ( 1)2013 (mod 3) Vaäy A  1(mod 3)  B  1(mod 3) hay B chia cho thì dö laø Goïi D laø giao ñieåm cuûa PA vaø BC 1 1   ' AO neân O ; A; O thaúng haøng (*) GAO  GAC '  HAB ' B 2 2 Vì Baøi (5 ñieåm) AG AO1  (1) AH AO2 Từ hai tam giác đồng dạng AGO1 và AHO2 ta có:  DE dt(PDE ) PE sin DPE Maët khaùc :    DF dt(PDF ) PF.sin DPF    PE sin PFE sin BHF sin AHP       PF sin PEF sin CGE sin AGP   DE sin AHP sin DPE AP AG AG Do đó :    (2)   DF sin AGP AH AP AH sin DPF DE AO1 Từ (1) và (2) suy :  (**) DF AO2 Từ (*) và (**) suy AD / / O1E  PA  BC - Heát - 1 1