HD de HSG Phu tho 2013

Câu 4 7,0 điểm 1 Cho đường tròn O đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn O thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H.. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H [r]

/tmp/jodconverter_c98438ae-3e56-49aa-9bf7f3642887de4f/tempfile_1353554.docx SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP ĐỀ CHÍNH Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề THỨC Câu1( 3,0 điểm) 1, Giải phương trình nghiệm nguyên x  3xy  y 25 n n 2,Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4  7 Câu 2( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: 10  30  2  10  2 A= : 3 x  yz y  zx z  xy   b c 2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn a 2 a  bc b  ca c  ab   x y z Chứng minh Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: x  6x  m 0 (Với m là tham số) Tìm m để phương trình 2 đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1  x2 12 8x y  27 18 y  2 2) Giải hệ phương trình: 4x y  6x  y Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường tròn (O) thay đổi luôn vuông góc và cắt BD H Gọi P,Q,R,S là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB 2 2 a) CMR: HA  HB  HC  HD không đổi b) CMR : PQRS là tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA hình vuông CMR: S ABCD ≤ Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương CMR: ab bc ca a b c    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b AC MN  NP  PQ  QM -Hêt-Hướng đẫn câu khó Câu 3.2)Giải hệ phương trình ¿ x y +27=18 y x y+ x= y ¿{ ¿ HD y =0 không là nghiệm hệ chia vế PT(1) cho y PT(2) cho y2 Ta có hệ ¿ 27 x 3+ =18 y x x +6 =1 y y ¿{ ¿ ¿ a3 +b3=18 ¿ x =a a2 b+ab 2=3 ⇔ =b ta có hệ Đặt y ¿ a+b=3 ¿{ ab=1 ¿ ¿{ ¿ Hệ có nghiệm ( x , y )∈ {( 3− √ 3+ √ ; ; ; 4 3+ √5 3− √5 )( )} BM+ BN ¿2 ¿ Câu 4.2) Ta có ¿ MN2=BN2 + BM2 ≥ ¿ CN+ NP DP +DQ AQ+ AM ; PQ ≥ ; MQ ≥ Tương Tự NP ≥ √2 √2 √2 Nên BM+ NB+NC+CP+PD +DQ +QA+ AM a MN+ NP+PQ +QM ≥ = =2 a √2 √2 √2 a √2 ( MN+NP+PQ +QM ) =a ⇔ dpcm Dấu “=” xảy MNPQ là hình chữ nhật Câu Cho a,b c>0 Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+ c + + ≤ a+3 b+2 c a+b+ c a+2 b+c Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b Tacó ab ab ab  1   ab ab a            (1) a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Tương tự bc bc bc  1   bc bc b           (2) 2a  b  3c (a  b)  (a  c)  2c  a  c b  c 2b   a  b b  c  ac ac ac  1   ac ac c           (2) 3a  2b  c (a  b)  (b  c)  2a  a  b b  c 2a   a  b b  c  Từ (1) (2) (3) P≤ ac+ bc ab+ ac bc+ ab a+b+ c a+b +c + + + = a+b b +c a+c ( ) GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ