Lời giải Lê Đình Mẫn: Đối với bài này, bước đầu tiên bạn nên làm đó là dùng công thức hạ bậc để chuyển phương trình về cùng một góc lượng giác.. Bạn hãy hi vọng rằng PT này sẽ đưa về đượ[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT http://www.k2pi.net Môn: TOÁN NGÀY 26-01-2013 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm trên (C ) hai điểm phân biệt M , N biết tiếp tuyến M , N song song p với nhau, đồng thời đường thẳng M N cắt các trục Ox,O y hai điểm phân biệt A, B (khác O ) cho AB = 37 Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: 4(sin x + cos x)(1 + cos x)2 = cos2 ( p p x −3 3+x = y −5− y p b) Giải hệ phương trình p x + 16(y − x) + y = x y Câu (1 điểm) Tính tích phân π Z I= x + sin x 2(x + sin x)sin2 x + sin 2x(1 + sin2 x) (1 + cos x)2 dx Câu (1 điểm) Cho lăng trụ ABC D.A B 0C D , có đáy ABC D là hình vuông Gọi M , N là trung điểm BC và C D Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (ABC D) trùng với tâm O hình vuông ABC D Biết p a 15 khoảng cách AB và D M và mặt phẳng (A A D D) hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách hai đường thẳng A D và AN theo a µ Câu (1 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa điều kiện :x − Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ¶ µ ¶ 1 + y 1− =4 y x p p P = x y + + x2 + + y PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) µ ¶2 25 và hai điểm A(2; 3), B (6; 6) Gọi M , N là hai điểm khác nằm trên đường tròn (C ) cho¡ các¢ đường thẳng AM và B N cắt H , AN và B M cắt C Tìm tọa độ điểm C , biết tọa độ điểm H 4; 52 a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y cho đường tròn (C ) : (x −4)2 + y − = b) Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm M (4; 4; 0) , N (−1; 1; −1) và hai đường thẳng x −2 y −5 z +3 x −3 y −2 z −1 = = , d2 : = = Gọi A, B là hai điểm thuộc d1 , d2 −3 Hãy lập phương trình mặt phẳng (P ) qua M , N cho (P ) là mặt phẳng trung trực AB d1 : Câu 7A (1 điểm) Giải bất phương trình sau ¯ trên¯tập số thực : £ ¡ đô log2 ¯x − 4¯ + logp2 x ≤ log4 |x| x − 10x + 16 B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho hình vuông ABC D có điểm M (3; 2) nằm trên đường chéo B D Từ M kẻ các đường thẳng M E , M F vuông góc với AB E (3; 4) và AD F (−1; 2) Hãy xác định tọa độ điểm C hình vuông ABC D b) Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm A(1; 2; 1), B (−3; 3; 3) và mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z − 16 = Tìm tọa độ điểm M trên (P ) cho M A + M B = µ Câu 7B (1 điểm) Hãy xác định hệ số số hạng chứa x y −3 khai triển P (x, y) = 7x + Biết n là số nguyên dương thỏa mãn : 8y 24n 24(n−1) 24(n−2) { + {n + { + + {nn = 1305 n +1 n n n −1 n ———————————————–Hết—————————————————- ¶3n (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm trên (C ) hai điểm phân biệt M , N biết tiếp tuyến M , N song song với nhau, đồng thời p đường thẳng M N cắt các trục Ox,O y hai điểm phân biệt A, B (khác O ) cho AB = 37 a) Lời giải (hungchng): Hàm số y = x − 3x + có tập xác định·: D = R; * Đạo hàm y = 3x (x − 2) , y = ⇐⇒ * Đồ thị x =0 x =2 Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) (2; +∞) ; Hàm số nghịch biến trên (0; 2) lim y = −∞; lim y = +∞; x→−∞ x→+∞ * Bảng biến thiên x −∞ y0 + +∞ − + +∞ y −∞ −2 Điểm cực đại (0; 2), Điểm cực tiểu (2; −2) b) Lời giải (dan_dhv): Gọi M (x M ; y M ); N (x N ; y N )(x M 6= x N ) Tiếp tuyến M , N song song với nên ta có: y (M ) = y (N ) ⇐⇒ 3(x M )2 − 6x M = 3(x N )2 − 6x N ⇐⇒ x M + x N = Gọi I là trung điểm M N thì ta có: x I = (x M + x N ) = ¢ 1¡ y I = (x M + x N )3 − 3(x M + x N )x M x N − 3(x M + x N )2 + 6x M x N + = Phương trình M N qua I có dạng: y = kx − k, (k 6= 0) p p A, B là giao M N với Ox;O y nên A(1; 0); B (0; −k) Ta có AB = k + = 37 ⇐⇒ · k =6 k = −6 * Với k = =⇒ (M N ) : y = 6x − Tọa độ N , M là nghiệm·của pt: x − 3x + = 6x·− ⇐⇒ x = 4; x = −2; x = x M = 4; x N = −2; M (4; 18); N (−2; −18) =⇒ x M = −2; x N = N (4; 18); M (−2; −18) Với k = −6 ⇒ (M N ) : y = −6x + *3 x − 3x + = −6x + ⇔ x = 1(Loại) Vậy M (4; 18); N (−2; −18)hoặcN (4; 18); M (−2; −18) Lại có x M + x N = =⇒ Câu 2.a Giải phương trình: 4(sin x + cos x)(1 + cos x)2 = cos2 x2 + sin x Lời giải (xuannambka): http://www.k2pi.net (3) ¡ ¢ ⇐⇒ (sin x + cos x) + 2cos x + cos2 x − 3cos x − sin x − = ⇐⇒ 3sin x + 8sin x cos x + 4sin xcos2 x + cos x + 8cos2 x + 4cos3 x − = ⇐⇒ 3sin x + 2sin x cos x + 4cos3 x + 6cos2 x + 2cos2 x + 3cos x + 4sin xcos2 x + 6sin x cos x − 2cos x − = ⇐⇒ (2cos x + 3) (sin x + cos x + cos 2x + sin 2x) = · 2cos x + = (VN) ⇐⇒ sin x + cos x + cos 2x + sin 2x = (1) · ³ ³ π´ π´ x = − π6 + k2π = sin −2x − ⇐⇒ (1) ⇐⇒ sin x + x = π + k2π 4 · x = − π6 + k2π Vậy phương trình có nghiệm: x = π + k2π Lời giải (Lê Đình Mẫn): Đối với bài này, bước đầu tiên bạn nên làm đó là dùng công thức hạ bậc để chuyển phương trình cùng góc lượng giác Khi đó, PT tương đương với 4(cos x + sin x)(cos x + 1)2 − 3(cos x + 1) − sin x = (1) Bạn hãy hi vọng PT này đưa nhân tử Câu hỏi đầu bạn là đặt nhân tử gì đây? Bước tiếp theo, bạn có thể đoán nghiệm(nếu có thể) để dự đoán nhân tử Còn bạn không đoán thì thôi, khỏi cần Khi đó bạn hãy làm tôi nhé! Tôi hay lẩm nhẩm đầu: "Nếu nhân thằng đó thì càng khó, không nhân thì phải làm nào?" Thì ta phải tách thằng khác Tách cái thằng ngoài ngoặc để nhóm với cái thằng ngoặc xem không? Với suy nghĩ đó chắn bạn phải tách cái thằng ngoài ngoặc cho để có hai biểu thức + cos x cos x + sin x Biết đâu có điều thần kỳ ! Giả sử, đầu tiên tôi nhóm sau: (1) ⇐⇒ (cos x + 1)[4(cos x + sin x)(cos x + 1) − 3] − sin x = ⇐⇒ (cos x + 1)[4 cos x + sin x + sin x cos x + cos2 x − 3] − sin x = Đến đây thì làm để có nhân tử sin x bây giờ? Không nên buồn, thử tách theo kiểu khác xem Tôi biến đổi này (1) ⇐⇒ 4(cos x + sin x)(cos x + 1)2 − (sin x + cosx) − cos x − = ⇐⇒ (cos x + sin x)[4(cos x + 1)2 − 1] − cos x − = ⇐⇒ (cos x + sin x)(4 cos2 x + cos x + 3) − cos x − = (2) Đến đây, hi vọng ta đúng đường Và còn chần chừ gì ta nhận thấy cos2 x + cos x + = (2 cos x + 1)(2 cos x + 3) Do đó (2) ⇐⇒ (2 cos x + 3)[(cos x + sin x)(2 cos x + 1) − 1] = ⇐⇒ (2 cos x + 3)(sin x + cos x + sin 2x + cos 2x) = · cos x + = (VN) ⇐⇒ sin x + cos x + cos 2x + sin 2x = (3) π k2π ³ ´ ³ ´ π π x =− + (3) ⇐⇒ sin x + = sin −2x − ⇐⇒ 4 x = π + k2π π k2π , x = π + k2π, k ∈ Z ( p p x −3 3+x = y −5− y p p x + 16(y − x) + y = x y Vậy phương trình có nghiệm: x = − + Câu 2.b Giải hệ phương trình http://www.k2pi.net (4) Lời giải (Nguyễn Giang Mạnh): x ≥ ĐK y ≥ ¡ ¢ x + 16 y − x ≥ p p Khi đó ta có : (1) ⇔ y − − y − + x + − x + + = (∗) Để (∗) có nghiệm thì p ³ ´ p p + 10 ∆ ≥ ⇔ − x + − x + + ≥ ⇒ (x + 3) − 12 x + − ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x < 16 Ta có (2) ⇔ q ¡ ¢ p ¡ ¢ p x + 16 y − x − x y − x y + y = x − y q ¡ ¢ ⇒ x − y q ¡ ¢ x − 16 y ¡ ¢ p − x − y px y + y = x + 16 y − x + x y x − 16 y − = ⇒ x = y x < 16 p ¡ ¢ p x y + y x + 16 y − x + x y Thay vào (1) ta có : ³p ´ p p x + + x − ⇒ 2x − 9x + = x − 2x − 15 ¡ ¢ ⇒ x − 9x + 9x + 324 = ⇔ (x − 6)2 x + 3x + = ⇒ x = ⇒ y = 2x = ¡ ¢ Vậy x; y = (6; 6) Câu Tính tích phân Z I= π 2(x + sin x)sin2 x + sin 2x(1 + sin2 x) (1 + cos x)2 dx Lời giải (xuannambka): Z π Z π sinxcosx sin3 x xsin2 x dx + dx = 2A + 2B + 2C I=2 dx + 2 + cosx (1 + cosx) (1 + cosx) µ ¶¯0 Z π Z π ¯ 2 sin3 x A= dx = − (1 − cosx) d (cosx) = t − t ¯¯ = 2 + cosx Z π Z π Z sinxcosx cosx t B= dx = − d (cosx) = − dt 2 (1 + cosx) (1 + cosx) (t + 1) ¸ · ¸¯0 Z 0· ¯ 1 ¯ = ln − |t = − dt = − + ln + 1| ¯ t+1 t+1 (1 + t) 1 Z π Z π 2 x (1 − cosx) xsin x dx = dx C= + cosx (1 + cosx) ½ ½ u=x du = dx Đặt: ⇒ v = tan 2x − x dv = 1−cosx dx 1+cosx ³ ´¯¯ π2 Z π2 ³ ´ ³ ´¯¯ π2 Z π2 ³ ´ x x x x ¯ ¯ ⇒ C = 2x.tan − x ¯ − tan − x dx = 2x.tan − x ¯ − tan − x dx 2 2 0 0 p π ¸¯ · ¯ x x ¯¯ ¯ π2 ¯ = 2x.tan − x2 + ln ¯cos ¯ ¯¯ = π − + ln 2 Z π π2 ⇒ I = 2π − − ln 4 Câu Cho lăng trụ ABC D.A B 0C D , có đáy ABC D là hình vuông Gọi M , N là trung điểm BC và C D Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (ABC D) trùng với tâm O p a 15 hình vuông ABC D Biết khoảng cách AB và D M và mặt phẳng (A A D D) hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách hai đường thẳng A D và AN theo a http://www.k2pi.net (5) Lời giải (Ẩn Số): Đặt : OB = m,O A = n Chọn hệ trục Ox y z hình¡ vẽ, ta có: A (0; −m; 0) , B (m; 0; 0) , C (0; m; 0) , D (−m; 0; 0) , A (0; 0; n) ¢ ¡ m m ¢ m M là trung điểm BC , nên :M m ; ; , N là trung điểm C D nên : N − ; ; m = xb0 − − − → −→ 0 AB = A B ⇒ m = y b ⇒ B (m; m; n) = zb0 − n Lại có : ¯−−→ h−−→ −−→i¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ AD AB ; D M ¯ 4mn d AB ; D M = ¯h−−→ −−→i¯ = p ¯ ¯ 25m + 10n ¯ AB ; D M ¯ Nên : p p a 15 a 15 4mn d AB ; D M = ⇒ =p 5 25m + 10n ¡ ¢ (1) → = 0; 1) , Một véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC D) là : − n (0; − → 0 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (AD A D ) là : n = (n; n; −m) Góc hai mặt phẳng (A A DD ) và (ABC D) 60o nên : ¯− r →.− →¯¯ ¯n n m ¯⇒ =p m cos 60o = ¯− ⇒n= → →¯¯ ¯¯− ¯ ¯n 2 n2 m + 2n ½ Từ (1) và (2) suy : Do đó : m =pa n= a (2) ¡ ¢ V ABC D.A B 0C D = A O.S ABC D = n 2m = p ¡ 2¢ p a 2.a = 6a Khoảng cách hai đường thẳng A D và AN là : ¯−−→ h−−→ −−→i¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ A A A D; AN ¯ 2mn m a = = d A D; AN = ¯h−−→ −−→i¯ = p ¯ ¯ 2 10n + 9m ¯ A D; AN ¯ Câu µ ¶ µ ¶ 1 Cho các số thực dương x, y thỏa điều kiện :x − + y − = y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : p p P = x y + + x2 + + y Lời giảip(hthtb22):p p Xét bổ đề: a + b + c + d ≥ (a + c)2 + (b + d )2 Chứng minh: p p p p a + b + c + d ≥ (a + c)2 + (b + d )2 ⇔ a +b +c +d +2 (a + b )(c + d ) ≥ a +c +2ac+b +d +2bd http://www.k2pi.net (6) ⇔ p (a + b )(c + d ) ≥ ac + bd ⇔ a c + a d + b c + b d ≥ a c + b d + 2abcd ⇔ (ad − bc)2 ≥ Áp dụng bổ đề ta có: p + x2 + q + y2 ≥ q + (x + y)2 Từ giả thiết ta có: p p p x y 2+ ≥ 10 + ≥ ⇒ + x + y * y x (x + y)2 (x + y − 6)(x + y − 3) ≥9 * xy = x + y −2 = 9+ x + y − p Vậy P ≥ + 10 Dấu = xảy x = y = ⇒ x + y = 4+ Lời giải (Nguyễn Giang Mạnh): Ta có ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¶ µ ¶ x+y x+y x2 + y + y 1− = ⇔ x + y = 4+ = +2 ⇒ xy = x 1− x y xy xy x + y −2 µ Mặt khác ta có : x + y = + q¡ ⇒ p x y + ≥ Nên y x ¢ q¡ ¢ ¢¡ ¢¡ 12 + 32 12 + x + 12 + 32 12 + y ≥ 3x + + 3y + ¡ ¢2 q ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ x + y ¡ ¡ +p + x2 + + y ≥ p x + y +2 ⇒ P ≥ x + y +2 x + y −2 10 10 t2 + p (3t + 2) ; t ≥ t −2 10 t −4t Ta có f (t ) = (t −2)2 + p10 > với t ≥ ⇒ f (t ) đồng biến trên [6; + ∝) p ⇒ f (t ) ≥ f (6)p = + 10 Dấu " = " xảy ra⇔ t = ⇒ P ≥ + 10 Dấu " = " xảy ⇔ x = y = p Vậy P mi n = + 10 x = y = Đặt t = x + y ⇒ t ≥ Xét hàm số f (t ) = Lời giải (noaht): Ta có x + y = 4+ x y + ≥6 y x Lại có : x+y− Đặt ( S =x+y P = xy Vậy P = S2 S −2 (x + y)2 =2 xy S ≥6 Khảo sát hàm số f (S) ta thấy trên [6; +∞) thì f (S) đồng biến Nên f (S) ≥ f (6) = Như ta có P = x y ≥ P = xy + p + x2 + q + y2 ≥ xy +2 q + x2 + y + x2 y ≥ x y + p p + x y ≥ + 10 ¶ 25 Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y cho đường tròn (C ) : (x − 4) + y − = và hai điểm A(2; 3), B (6; 6) Gọi M , N là hai điểm khác nằm trên đường tròn (C ) cho các đường thẳng AM và B N cắt H , AN và B M cắt C Tìm tọa độ điểm C , biết tọa ¡ 5¢ độ điểm H 4; µ Lời giải (Ẩn Số): http://www.k2pi.net (7) Nhận thấy A, B ∈ (C ) và AB = R = 25 nên AB là đường kính đường tròn (C ), ½ từ đó suy : AH ⊥BC Kết hợp với hình vẽ suy H là trực tâm tam giác ABC B H ⊥AC Vậy bài toán này thực chất là bài toán : ¡ ¢ “Cho tam giác ABC , biết A(2; 3), B (6; 6) và trực tâm H 4; 25 Xác định tọa độ đỉnh C ?” −−→ ¡ ¢ Đường thẳng AC qua A và nhận H B 2; làm véc-tơ pháp tuyến, nên có phương trình: * ¢ 7¡ y − = ⇒ 4x + 7y − 29 = ¢ −−→ ¡ Đường thẳng BC qua B nhận H A −2; 12 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình: (x − 2) + * ¢ 1¡ y − = ⇒ −4x + y + 18 = ½ ½ ¡ 4x + 7y − 29 = x = 155 32 ⇒ C 155 ; Vậy tọa độ điểm C là nghiệm hệ : ⇒ 11 32 −4x + y + 18 = y= −2 (x − 6) + 11 ¢ Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm M (4; 4; 0) , N (−1; 1; −1) và hai x −3 y −2 z −1 x −2 y −5 z +3 = = , d2 : = = Gọi A, B là hai điểm −3 thuộc d1 , d2 Hãy lập phương trình mặt phẳng (P ) qua M , N cho (P ) là mặt phẳng trung trực AB đường thẳng d1 : Lời giải (Mai Tuấn Long): x −3 y −2 z −1 x −2 y −1 z +3 = = , d2 : = = ⇒ d1 và d chéo −3 x +1 y −1 z +1 −−→ M N = (−5; −3; −1) ⇒ Đường thẳng chứa M N có PT: = = − − → → − − u = (1; −3; 4) là véc tơ phương d M N → u = ⇒ M N ⊥ d1 M N ⊂ (P ) ⇒ M N ⊥ AB ⇒ M N ⊥ (Q), (Q) plà mặt phẳng chứa d và AB ⇒ (Q) có PT: 5x +3y +z −22 = T (Q) (d ) = B ⇒ B = (3; 3; −2) ; ⇒ M B = 6p A ∈ d ⇒ A = (3 + t ; − 3t ; + 4t ) ⇒ M A = (t − 1)2 ¡+ (2 + 3t )2 + ¢ (1 + 4t ) 30 53 23 M ∈ (P ) ⇒ M A = M B ⇒ A có tọa độ: (3; 2; 1) Hoặc 13 ; 13 ; − 13 Ta có: d1 : Gọi E là trung điểm AB ; (P ) là mặt phẳng trung trực AB −→ ⇒ (P ) qua E và nhận AB là véc tơ pháp tuyến ¡ ¢ −→ Với A = (3; 2; 1) ⇒ E = 3; ; − ; AB = (0; 1; −3) ⇒ (P ) có PT: y − 3z − = ¡ 30 53 23 ¢ ¡ 46 49 ¢ −→ ¡ ¢ 14 Với A = 13 ; 13 ; − 13 ⇒ E = 69 ; ; − 26 ; AB = 13 ; − 13 ; − 13 ⇒ (P ) có PT: 9x − 14y − 3z + 20 = 26 13 Vậy PT mặt phẳng (P) là: y − 3z − = Hoặc 9x − 14y − 3z + 20 = Câu 7A Giải bất phương trình ¯ sau ¯ trên tập số thực £ :¡ log2 ¯x − 4¯ + logp2 x ≤ log4 |x| x − 10x + 16 http://www.k2pi.net đô (8) Lời giải (xuannambka): p · Điều kiện: < xp < x >2 ¯ ¯ £ ¡ đô ⇔ log2 ¯¯x − 4¯¯ + 2log2 x ≤ log2¡ x x − 10x +¢ 16 ⇔ ¯log2 ¯x 2¯ − 4¯ + log2 x ≤ log2 x − 10x + 16 ⇔ ¯x − 4¯ x ≤ x − 10x + 16 (1) p + TH1: < x < ¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ ≤ x − 10x + 16 ⇔ x − x − x + 2x − ≤ (1) ⇔ − x¡2 x p ¢ x ≥ 12 p + 17 p p ¡ ¢ ⇔ 12 − 17 ≤ x ≤ − ⇒ < x ≤ − p x ≤ −1 − p + TH2: x > 2 ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ (1) ⇔ x − 4px ≤ x − 10x + 16 ⇔ x − 2x − x + x − ≤ x ≥ +p p p ¡ ¢ ⇔ 12 − 17 ≤ x ≤ − ⇒ x ≥ + p ¢ ¡ x ≤ 12 −1 − 17 ¡ p p ¤ £ ¢ Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S = 0; − ∪ + 5; +∞ Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho hình vuông ABC D có điểm M (3; 2) nằm trên đường chéo B D Từ M kẻ các đường thẳng M E , M F vuông góc với AB E (3; 4) và AD F (−1; 2) Hãy xác định tọa độ điểm C hình vuông ABC D Lời giải (hthtb22): (M E ) : x = 3; (M F ) : y = (M E )k(AF ); (AF ) qua F(-1;2) ⇒ (AF ) : x = −1 Tương tự (AE ) : y = A = AE X AF ⇒ A(−1; 4) Gọi phương trình đường thẳng B D qua M là : a(x − 3) + b(y − 2) = | − a| = p ⇒ 2b = a + b ⇒ a = b Có : cos(AD; B D) = p a2 + b2 Nếu a = b Chon a = b = ⇒ B D : x + y − = ⇒ B (1; 4), D(−1; 6),C (1; 6) M nằm ngoài đường chéo B D (Loại) Nếu a = −b Chon a = −b = ⇒ B D : x − y − = ⇒ B (5; 4), D(−1; −2),C (5; −2) M nằm trên đường chéo B D (Nhận) D0 C0 A B0 F E B M D C Lời giải (Mai Tuấn Long): −−→ −−→ Ta có: M E = (0; 2) ⇒ M E = ; M F = (−4; 0) ⇒ M F = M E ∩C D = E ; M F ∩ BC = F ⇒ B E M F và DF M E là các hình vuông ( ⇒ ME0 = MF = ( (−−−→ −−→ M E = −2M E ⇒ −−−→ −−→ 2M F = −M F ( E = (3; −2) ⇒ 2M F = M F F = (5; 2) −−→ Đường thẳng BC chứa F và nhận M E là véc tơ phương, có PT: x = −−→ Đường thẳng C D chứa E và nhận M F là véc tơ phương, có PT: y = −2 MF0 = ME = ⇒ M E = 2M E http://www.k2pi.net (9) C = BC ∩C D ⇒ C = (5; −2) A F D E M B F0 E0 C Lời giải (Ẩn Số): ½ CK = F M = MK = ME = ½ ¡ ¢ ¡ ¢ −−→ M K −−→ −−→ xk − = F M = F M ⇒ ⇒ K (5; 2) Giả sử : K x k ; y k , C x c ; y c Ta có : M K = yk − = M F ½ −−→ K C −−→ −−→ xc − = Lại có : K C = E M = E M ⇒ ⇒ C (5; −2) y c − = −4 ME Kết luận : C (5; −2) Gọi K = F M ∩ BC Ta có : M E = 2; F M = và ∆F M E = ∆C K M ⇒ Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm A(1; 2; 1), B (−3; 3; 3) và mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z − 16 = Tìm tọa độ điểm M trên (P ) cho M A + M B = Lời giải (hoanghai1195): Ta thấy: (1 + 2.2 + 2.1 − 16)(−3 + 2.3 + 2.3 − 16) > =⇒ A và B nằm cùng phía với (P ) Lấy A đối xứng vớiA qua (P ) =⇒ A (3; 6; 5) Gọi I là giao điểm A B và (P ) x = + 6t ¡ ¢ 69 31 Phương trình A B : y = + 3t =⇒ I − 83 ; 16 ; z = + 2t 63 49 Từ đó ta có: AI = A I = ; B I = =⇒ AI + B I = 16 16 Mà ta có: = AI + B I ≥ AM + B M = Vậy M phải trùng với I trên µ Câu 7B Hãy xác định hệ số số hạng chứa x y −3 khai triển P (x, y) = 7x + Biết n là số nguyên dương thỏa mãn : 8y ¶3n 24n 24(n−1) 24(n−2) { + {n + { + + {nn = 1305 n +1 n n n −1 n Lời giải (Mai Tuấn Long): Sử dụng kết quả: http://www.k2pi.net k k+1 {n = { Với ≤ k ≤ n; k, n ∈ N k +1 n + n+1 (10) Ta có: 24n 24(n−1) 24(n−2) 24n n 24(n−1) n−1 24(n−2) n−2 {n + {n + {n + + {nn = { + {n + { + + {0n n +1 n n −1 n +1 n n n −1 n ¢ ¡ 4(n−2) 4n = {n+1 + {2n+1 24 + + {n−1 + {nn+1 24(n−1) + {n+1 n+1 n+1 n +1 £¡ ¢ ¤ 4(n−1) 4(n+1) {n+1 + {1n+1 24 + {2n+1 24.2 + + {n−1 + {nn+1 24n + {n+1 −1 = n+1 n+1 2 (n + 1) £ ¤ 1 = (1 + 24 )n+1 − = (17n+1 − 1) (n + 1) 16(n + 1) Từ giả thiết ta có: (17n+1 − 1) = 1305 ⇐⇒ n = 16(n + 1) Vậy ta có khai triển: µ ¶9 ¶ µ ¶m µ 9 m 9−m = {9 (7x) + {9 (7x) + + {9 (7x) + + {9 7x + 8y 8y 8y 8y Ta có số hạng tổng quát thứ m + là: 9−m Tm+1 = {m (7x) Tm+1 chứa x y −3 và khi: µ 8y ¶m = ( 9−m = −m = −3 76 Vậy hệ số số hạng chứa x y −3 là: {39 10 79−m m 9−m −m { x y , 8m (0 ≤ m ≤ 9, m ∈ N ) ⇐⇒ m = http://www.k2pi.net (11)