Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD.. a Chứng minh AH vuông góc với BH.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 -2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) Bài a) Tính giá trị biểu thức: 3 M =( x − y ) +3 ( x − y ) ( xy +1 ) x=√ 3+2 √ − √ −2 √ , , biết y=√ 17+12 √ 2− √17 − 12 √ b) Giải phương trình: 2x x − = x − x+ x + x +1 Bài a) Giải hệ phương trình: ¿ x2 + y +3=4 x x 3+12 x + y 3=6 x 2+ ¿{ ¿ b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên P= ( ab −1 ) ( bc −1 ) ( ca −1 ) abc Bài Tam giác ABC có chu vi 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c + + = − a −b 1− c Chứng minh tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi D là trung điểm cạnh BC Lấy điểm M trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc N xuống đường thẳng PD a) Chứng minh AH vuông góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng Bài Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+ z=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x4 y4 z4 F= 2 + + ( x + y ) ( x+ y ) ( y 2+ z 2) ( y + z ) ( z + x ) ( z + x ) Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (2) SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Bài Bài 5,0 điểm Đáp án a) 2.5 điểm Ta có M = (x – y)(x2 + xy + y2 + 3) = x3+ 3x – (y3 + 3y) Áp dụng ( a −b )3=a − b3 − ab ( a −b ) ta có: ( √3 3+2 √2 − √3 −2 √ ) =4 √ 2− x ⇒ x +3 x=4 √2 y 3=¿ ( √3 17+12 √2 − √3 17 −12 √ ) =24 √2 −3 y ⇒ y +3 y=24 √2 Bài 5,0 điểm x =¿ Điểm 0.5 0,75 Vậy M = −20 √ b) 2,5 điểm Ta thấy x=0 không thoả mãn phương trình − = 1 (1) Với x ≠ , ta có pt đã cho ⇔ x + −1 x + +1 x x t +3 − = ⇔ = Đặt x+ =t thì |t|≥ Pt (1) trở thành t −1 t +1 t −1 x ⇔5 t −3 t − 14=0 ⇔ (t −2) ( 5t +7 ) =0 ⇔ t=2 ¿ t=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Chỉ có t=2 thoả mãn, đó x+ =2 ⇔ x=1 (t/m) Vậy pt có nghiệm là x = x a) 2.5 điểm ( x −2 )2 + y 2=1 ¿ a + y 2=1 x − 2¿ + y =1 ¿ Hệ pt ⇔ Đặt a=x −2 , hệ trở thành a3 + y =1 ¿ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ⇒ −1 ≤ a , y ≤1 a 2+ y2 =a3 + y ⇔ ¿− 1≤ a , y ≤1 ( ) a2 (1 − a)+ y (1 − y )=0 ( ) ¿{ Từ (1), suy (2) có vế trái , dấu xảy ⇔ a2(1-a) = y2(1- y) = ¿ ¿ ¿ a=0 a=1 x=2 Kết hợp a2 + y 2=1 ta có y=1 y=0 Thay vào ta có nghiệm y=1 ; ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ 0,75 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 1.0 1.0 (3) ¿ x =3 y=0 ¿{ ¿ b) 2,5 điểm Điều kiện có nghĩa là a, b, c 1 1 1 1 + + − Ta có P = abc − a −b − c+ + + − , nên P nguyên ⇔ S = a b c abc a b c abc nguyên 1 1 + + − Không tính tổng quát, giả sử a< b<c ⇒ < hay S < a b c abc 1 1 + + > > ⇒ S > Do đó S = S = Hơn ta có a b c a abc +) S = Ta có = 1 1 + + − < a b c abc 1 + + a b c < a ⇒ Bài 1 1 1 ⇒ Với a = ⇒ = + + + = không xảy b c bc b c bc 1 1 1 1 ⇔ Với a = ⇒ = + + + = Suy b c bc b c bc 2 ⇒ b < > b ⇒ b = Thay vào c = Vậy a = 2, b = , c = Từ đó 2<b< 1 1 1 3 + + − + + a< ⇒ ⇒ a =1 +) S = Ta có = < < a b c abc a b c a 1 Thay vào + =1 ⇒ >1 ⇒ b =1 loại vì không thỏa mãn b b c bc b > a Kết hợp các trường hợp và vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là: (2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3) ¿ b+c=x y+z − x x+z− y x+ y− z c +a= y , b= , c= Đặt thì x, y, z dương và a= a+b=z 2 ¿{{ ¿ a b c a b c y + z − x x+ z − y x + y − z + + = + + = + + Ta có: − a −b 1− c b+ c c +a a+b 2x 2y 2z y x z x z y 3 + + + + + − ≥1+1+1 − = z y x z y z 2 ⇔ x= y =z Dấu “=” xảy Với x = y = z thì a = b = c hay tam giác ABC a) 2.5 điểm ¿ Bài ( ) ( ) ( 0,5 >1 ⇒ a =1 a a = 2,5 điểm 0.5 ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 5,0điểm Vẽ tia Bx // AC, cắt tia PD E Ta có BE = PC = BN 0,5 Do ∠ NBE =∠NHE=90 nên B, H cùng thuộc đường tròn đường kính NE Suy ∠NHB=∠ NEB=45 (1) 1,0 (4) C x H P A D E Tương tự hai điểm A, H cùng thuộc đường tròn đường kính PN, suy ∠AHN =∠ APN=450 (2) Từ (1) và (2) suy ∠ AHB=900 hay ta có AH ⊥ BH M 1,0 N B I Bài 2,5 điểm b) 2.5 điểm Từ giả thiết suy ∠ AIB=900 nên I là điểm chính cung AIB đường tròn đường kính AB Mặt khác, theo kết câu a thì tia HN là tia phân giác ∠ AHB và ∠AHB là góc nội tiếp chắn cung AIB đường tròn đường kính AB, nên tia HN phải qua I Do đó điểm H, N, I thẳng hàng 4 x + y +( x − y ) 2x x +y = = +x− y Ta có ( x2 + y ) ( x+ y ) ( x + y ) ( x+ y ) ( x + y ) ( x+ y ) 2 (x + y ) + x − y ≥ ( x + y ) + x − y= x − y x+ y 4 4 2y 2z ≥ y− z , ≥ z− x Tương tự 2 2 4 ( y +z ) ( y + z ) ( z + x ) ( z+ x ) x+ y + z 1 ( x+ y + z ) − ( x + y + z )= = ⇒ F ≥ Dấu xảy 4 2 1 x=y=z= Vậy giá trị nhỏ F là _ Hết _ Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn cho điểm tối đa tương ứng 1,0 1,5 1,0 1,0 Vậy 2F 0,5 (5)