Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Cô giáo Nguyễn Thị Bích Hằng, giáo viên Toán của Trường THCS Giấy-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Thọ trước kia tên trường là THCS Phong Châu-[r]
(1)www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng Cựu học sinh trường THCS Giấy-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Thọ Sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội Blog: http://360.yahoo.com/khongtu19bk Tư Liệu Ôn Thi Vào Chuyên Toán 53 Đề thi & Đáp án vào Chuyên Toán và thi HSG cấp Tỉnh (Thành Phố) -Bất chép trên các diễn đàn phải xin phép và cho phép Ban Quản Trị Diễn Đàn Mathnfriend.org phép upload lên các diễn đàn khác trên các trang web khác -Bất chép cá nhân nào phải xin phép tác giả và cho phép tác giả, thể tôn trọng quyền tác giả Lop8.net (2) www.VNMATH.com Lời Nói Đầu Cho tới nay, tài liệu sát thực cho các em ôn thi vào Chuyên Toán chưa ban hành, đồng thời chưa có sách toán hệ thống và đầy đủ nội dung, phong phú tư liệu, đa dạng thể loại và phương pháp giải, dành cho các em luyện thi vào Chuyên Toán cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi Đáp ứng nhu cầu cấp bách nói trên theo yêu cầu đông đảo giáo viên và học sinh, chúng tôi đã biên soạn "Tư Liệu Ôn Thi Vào Chuyên Toán" nhằm cung cấp thêm tài liệu phục vụ cho việc dạy và học Cuốn sách lần đầu mắt bạn đọc vào năm 2002, tác giả còn học lớp 11-THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ Kể từ đó nay, sách còn mang tính thời nó Trong lần mắt này, sách đã chỉnh sửa và bổ sung, có ít nhiều khác biệt so với mắt năm 2002 Cuốn sách gồm 53 Đề Thi, đó gồm: 50 Đề Thi vào các trường Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ, Khối Phổ Thông Chuyên Toán Tin-ĐHSP HN ( sách này, tác giả viết tắt là Sư Phạm I ), Khối Phổ Thông Chuyên Toán Tin-ĐHKHTN-ĐHQG HN ( sách này, tác giả viết tắt là Tổng Hợp ) và Đề Thi HSG cấp tỉnh-Phú Thọ, Đề Thi HSG cấp Thành Phố-Hà Nội Những bài toán các Đề Thi này đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tốt, phát huy khả sáng tạo tư cho học sinh và quan trọng là gây lòng say mê học toán cho học sinh Qua đó còn giúp các em học sinh làm quen dần với các dạng Đề Thi vào Chuyên Toán trường: Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ, KPTCTT-ĐHSPHN, KPTCTT-ĐHKHTN-ĐHQGHN Mỗi đề thi có lời giải, chi tiết vắn tắt tùy theo mức độ khó dễ Hi vọng sách đáp ứng yêu cầu bạn đọc Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn Cô giáo Trần Thị Kim Diên-GV THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ đã đọc thảo và cho nhiều ý kiến xác đáng Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn Cô giáo Nguyễn Thị Bích Hằng, giáo viên Toán Trường THCS Giấy-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Thọ ( trước tên trường là THCS Phong Châu-Phù Ninh, Phú Thọ) Cô giáo Nguyễn Thị Bích Hằng đã dìu dắt tôi tôi còn là học sinh yếu kém, đã trang bị cho tôi tảng kiến thức Toán quan trọng Cuốn sách này, tác giả viết dành tặng Cô giáo Nguyễn Thị Bích Hằng Các bài giảng Cô giáo Nguyễn Thị Bích Hằng là tiền đề cho tôi viết nên sách này Tất lời giải các bài toán sách viết dựa trên các phương pháp mà Cô giáo Nguyễn Thị Bích Hằng đã dạy cho chúng tôi suốt năm cấp II Mọi ý kiến đóng góp cho sách, các bạn gửi về: GV Nguyễn Thị Bích Hằng- Trường THCS Giấy-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Thọ Tác giả: Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh THCS Giấy-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Thọ ( Khóa 1996-2000) (Cựu học sinh Chuyên Toán-THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Hiện là Sinh Viên Khoa Điện Tử Viễn Thông-Đại Học Bách Khoa HN Lop8.net (3) www.VNMATH.com Tác giả Phạm Minh Hoàng: Sinh ngày 19.03.1985 (Phú Thọ) Địa mail: khongtu19bk@yahoo.com Tham gia trên diễn đàn: http://mathnfriend.org với nick là khongtu19bk Chức vụ Mod-MS Một số thành tích: -Năm lớp 9,10,12: Đạt giải môn toán cấp Tỉnh -Năm lớp 11: Đạt giải nhì môn toán cấp tỉnh dành cho học sinh lớp 12- Thi vượt cấp toán QG và đạt giải khuyến khích -Đạt giải ba thi giải toán trên Tạp chí toán học và tuổi trẻ năm học 1999-2000 Mathnfriend.org Lop8.net (4) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 1:Thi Chuyên Hùng Vương(2000-2001) Vòng 1: Câu 1: a).CMR: n3 − n # với ∀ n ≥ b).Cho x = ( ) + + − : 20 Hãy tính giá trị biểu thức: ( ) P = x5 − x + 2000 Câu 2: Xác định các giá trị nguyên m để hệ phương trình sau có nghiệm ( x, y ) với x, y là các số nguyên: ⎧(m + 1).x + (3m + 1) y + m − = ⎨ ⎩2 x + (m + 2) y − = (1) (2) Câu 3: a).Cho x > y và x y = 1000 Hãy tính giá trị nhỏ biểu thức: P = b).Giải phương trình : ( x − 1) 2000 + ( x − 2) 2000 x2 + y x− y =1 Câu 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác: , hb , hc là độ dài ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nộI tiếp tam giác đó 1 1 a).CMR: + + = hb hc r b).CMR: ( a + b + c ) ≥ ( ha2 + hb2 + hc2 ) Hướng dẫn giải : Câu 1: ( ) a).Có: P = n3 − n = n n − = ( n − 1) n ( n + 1) Vì n, n + là hai số nguyên liên tiếp nên P # - Nếu n # ⇒ P # - Nếu n chia cho dư thì (n-1) # ⇒ P # - Nếu n chia cho dư thì (n+1) # ⇒ P # Vậy P # mà ( 2,3) = ⇒ P # b).Có : x = ( ) + + − : 20 = ( ) + + − : 20 = 1 Lop8.net (5) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Từ đó : P = (1 − + 1) 2000 = Câu 2: (1) ⎧(m + 1).x + (3m + 1) y + m − = Theo bài ta có: ⎨ (2) ⎩2 x + (m + 2) y − = ⎧2(m + 1) x + 2(3m + 1) y + 2m − = ⇒⎨ ⎩2(m + 1) x + (m + 1)(m + 2) y − 4(m + 1) = ( ) (3) (4) Lấy (4) trừ (3) theo vế ta có: m − 3m y − 6m = hay m ( m − 3) y = 6m (5) Để hệ có nghiệm thì (5) phải có nghiệm nhất.Khi đó m ≠ 0, m ≠ m + 12 15 Ta có : y = (*) ⇒ x = (6) = 1− m−3 3− m m−3 Từ (*) suy : Muốn y nguyên thì # ( m − ) và từ (6) muốn x nguyên thì 15# (m − 3) Suy # (m-3) ⇒ m = 2, 4, (theo (*)) Thử lại thấy thỏa mãn Nhận xét: Học sinh có thể dùng kiến thức định thức để giải bài toán này.Tuy nhiên theo tôi ,điều không cần thiết.Chúng ta không nên quá lạm dụng kiến thức ngoài chương trình,”giết gà cần gì phải dùng tới dao mổ trâu” Câu 3: ( x − y ) + xy 2000 2000 = x− y+ a).Có P = Vì x > y nên x − y > và >0.Áp dụng x− y x− y x− y 2000 bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x − y và được: P ≥ 2000 = 40 x− y 2000 Đẳng thức xảy ⇔ x − y = ⇔ x − y = 20 Kết hợp với x y = 1000 ta tìm x− y ⎡ x = 10 − 10 15 , y = −10 − 10 15 ⎢ ⎣⎢ x = 10 + 10 15 , y = −10 + 10 15 b).Có: (x − 1) 2000 + (x − 2) 2000 = x −1 2000 + x−2 2000 -Thử với x = 1, x = thấy thỏa mãn -Nếu x < thì x − >1.Do đó : x − 2000 + x−2 2000 >1 -Nếu x > thì x − >1.Do đó : x − 2000 + x−2 2000 >1 -Nếu < x < thì x − < ; x − < Do đó: x − ⎡x = Vậy nghiệm phương trình là ⎢ ⎣x = Câu 4: a).Có: a.ha = b.hb = c.hc = ( a + b + c ) r = S Lop8.net 2000 + x−2 2000 < ( x − 1) + (2 − x) = (6) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ (S là diện tích tam giác đã cho) Suy ra: a.ha a a =1⇒ = 2S a.ha S Hoàn toàn tương tự với b,c ta thu được: a b c a+b+c + + = = 2S a.ha b.hb c.hc r 1 1 ⇒ + + = (đpcm) hb hc r b) Xét tam giác ABC có: AB = c, BC = a, AC = b Từ A dựngđườngthẳng d // BC Lấy B ' đối xứng với B qua d Ta nhận thấy BB ' = 2.ha Ta có: (1) BB '2 + BC = B ' C ≤ ( B ' A + AC ) Suy ra: 4.ha2 ≤ (c + b) − a Hoàn toàn tương tự ta có: 4.hb2 ≤ (c + a) − b (2) 4.hc2 ≤ (a + b) − c (3) Từ (1), (2), (3) ta có : (c + b )2 − a + (c + a) − b + (b + a) − c ≥ 4(ha2 + hb2 + hc2 ) ⇒ (a + b + c ) ≥ 4(ha2 + hb2 + hc2 ) (đpcm) *Nhận xét: Ngoài cách giải trên chúng ta còn có thể giải bài toán theo phương pháp đại số sau: a+b+c Đặt p = Theo công thức HêRông ta có: S = ha2 a = p.( p − a).( p − b).( p − c) p−b+ p−c p( p − a)( ) p ( p − a )( p − b)( p − c) 2 ⇒ ha2 ≤ p( p − a ) ⇒ = ≤ 2 a a Tương tự: hb ≤ p ( p − b) hc2 ≤ p ( p − c) Suy ra: p.( p − a) + p.( p − b) + p.( p − c) ≥ ha2 + hb2 + hc2 ⇒ (a + b + c ) ≥ 4(ha2 + hb2 + hc2 ) Lop8.net (7) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 2:Thi Chuyên Hùng Vương(2000-2001) Vòng 2: Câu 1: CMR: a).Không thể có các số nguyên lẻ a1 , a , , a 2000 thỏa mãn đẳng thức: 2 a12 + a 22 + + a1999 = a 2000 b).Tích số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương Câu 2: Cho biểu thức: P = a2 b2 a b − − (a + b)(1 − b) (a + b)(1 + a ) (1 + a ).(1 − b) a).Rút gọn P b).Tìm các cặp số nguyên (a, b ) để P = Câu 3: Giả sử phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm thuộc đoạn [0;1] Xác định (a − b)(2a − c) a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ nhất,lớn Trong đó: P = a(a − b + c) Câu 4: a).Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn CD lấy điểm M và trên đoạn OD lấy điểm N cho MN bán kính R đường tròn Đường thẳng AN cắt đường tròn điểm P khác A.Hỏi tam giác AMP có vuông M không? b).Trong đường tròn lấy 2031 điểm tùy ý CMR:Có thể chia hình tròn này thành phần dây cung cho phần thứ có 20 điểm,phần thứ hai có 11 điểm, phần thứ có 2000 điểm Hướng dẫn giải: Câu 1: a) Nhận xét: Nếu a là số nguyên lẻ thì a2 chia cho dư 1.Thật vậy: Đặt a = 2k + thì: a = ( 2k + 1) = 4k + 4k + = 4m + (trong đó k,m ∈ Ζ ) Áp dụng nhận xét trên vào bài toán ta có: Nếu a1 , a , , a 2000 là các số nguyên lẻ thì: a12 + a 22 + + a1999 ≡ + + + ≡ 1999 ≡ 3(mod 4) (1) Mà a 2000 ≡ 1(mod 4) (2) Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh Lop8.net (8) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ b).Giả sử ta có số nguyên dương liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + Có: P = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) = ( n + 3n ) ( n + 3n + ) = ( n + 3n ) + ( n + 3n ) Từ đó dễ dàng nhận thấy: ( n + 3n ) < P < ( n + 3n + 1) 2 Suy P không thể là số chính phương Câu 2: Điều kiện a ≠ −1, a ≠ −b (do đó b ≠ ) a (1 + a) − b (1 − b) − a b (a + b) = a − b + ab a).Khi đó: P = ( a + b)(1 + a)(1 − b) Vậy P = a − b + ab b).Có: P = ⇔ a − b + ab = ⇔ (a − 1).(1 + b) = Ta xét các trường hợp: ⎧a − = ⎧a = ⎧ a − = −1 ⎧a = 1i) ⎨ ⇔⎨ 4i) ⎨ ⇔⎨ ⎩1 + b = ⎩b = ⎩1 + b = −4 ⎩b = −5 ⎧a − = ⎧a = ⎧a − = −2 ⎧a = −1 (loại) 2i) ⎨ ⇔⎨ (lọai) 5i) ⎨ ⇔⎨ ⎩1 + b = ⎩b = ⎩1 + b = −2 ⎩b = −3 ⎧a − = ⎧a = ⎧a = −3 ⎧ a − = −4 3i) ⎨ ⇔⎨ 6i) ⎨ ⇔⎨ ⎩1 + b = ⎩b = ⎩b = −2 ⎩1 + b = −1 Ta có các cặp (a, b ) cần tìm: ( 2;3) , ( 5;0 ) , ( 0; −5 ) , ( −3; −2 ) Câu 3: b c (1 − )(2 − ) (a − b)(2a − c) a a Có: P = = b c a (a − b + c) 1− + a a b ⎧ ⎪⎪ x1 + x = − a Áp dụng định lý Vi-et ta có: ⎨ ⎪ x x = c ⎪⎩ a Vậy P = − A ( x1 , x là nghiệm phương trình đã cho: x1 , x ∈ [0;1] ) x x (3 + x1 + x2 ) Với A = + x1 + x2 + x1.x2 ⎧c = ⎪ Dễ thấy A ≥ nên P = − A ≤ − = Đẳng thức xảy ⇔ x1 x = ⇔ ⎨ b ⎪⎩− a ∈ [0;1] Lop8.net (9) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Lại có: A= 3x1 x2 + x1 x2 ( x1 + x2 ) ≤ ( x1 + 1).( x2 + 1) (x + x ) (x + x ) + 2 ( x1 + 1).( x2 + 1) .( x1 + x2 ) = (x + x ) ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) ( x + x ) = ≤ ( x1 + 1).( x2 + 1) 1+1 ( x1 + 1).( x2 + 1) + ( x1 + 1).( x2 + 1) ≤4 = ( x + 1).( x + 1) ⎧b = 4ac Đẳng thức xảy ⇔ x1 = x = ⇔ ⎨ ⎩− b = a Suy ra: P = − A ≥ − = Dấu “=” xảy ⇔ 4 ⎧b = 4ac ⎨ ⎩− b = a ⎧ Pmax = ⎪ Vậy: ⎨ ⎪⎩ Pmin = Câu 4: a) - Nếu M ≡ C thì N ≡ O Do đó Δ AMP vuông M - Nếu M ≡ O thì N ≡ D Do đó Δ AMP vuông M - Nếu M nằm C và O thì N nằm O và D.Ta chứng minh trường hợp này Δ AMP không vuông Thật vậy,nếu Δ AMP vuông M thì đó ta hạ MH ⊥ AP H Có: n = DMH n ⇒ ΔMHN ΔPBC (g-g) BAP MH MN AP ⇒ = = ⇒ MN = (1) AP AB 2 Hạ OI ⊥ AP I thì IA=IP AP Trong Δ AMP vuông có: MI = AP Vậy MH = MI = ⇒ H ≡ I ⇒ M ≡ O (vô lý) b) +Vì số điểm đường tròn là hữu hạn nên số các đường thẳng qua hai số các điểm đã cho là hữu hạn.Do đó số giao điểm các đường thẳng với đường tròn là hữu hạn.Vì tồn A thuộc đường tròn không nằm trên đường thẳng nào số xét Lop8.net (10) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ +Vẽ các tia gốc A qua 2031 điểm đã cho, các tia này cắt đường tròn các điểm B1,B2, ,B2031(theo chiều kim đồng hồ kể từ A).Rõ ràng các tia này là phân biệt +Vẽ tia nằm hai tia AB20 và AB21 cắt đường tròn B,tia nằm hai tia AB31 và AB32 cắt đường tròn C +Rõ ràng các dây AB và AC chia hình tròn thành phần:phần thứ có 20 điểm,phần thứ hai có 11 điểm,phần thứ ba có 2000 điểm Lop8.net (11) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 3:Thi Sư Phạm I(2000-2001) Vòng 1: x3 3x + − = ( x − 1) x − ⎧x + y + z = Câu 2: Cho x,y,z ∈ R và thỏa mãn: ⎨ ⎩− ≤ x , y , z ≤ Câu 1: Giải phương trình: x + CMR: x + y + z ≤ Câu 3: Tìm tất các số nguyên tố có dạng: p = n n + Trong đó n ∈ N*,biết p có không nhiều 19 chữ số Câu 4: Giả sử P là điểm nằm mặt phẳng tam giác ABC cho trước.Trên các đường thẳng BC,CA,AB lấy các điểm A ', B ', C ' cho PA ', PB ', PC ' theo thứ tự song song với BA,BC,CA 1.Tìm mối quan hệ độ dài các cạnh tam giác A ' B ' C ' với các khoảng cách từ P tới các đỉnh tam giác ABC.CMR:Tồn điểm P cho tam giác A ' B ' C ' là tam giác 2.CMR:Với điểm P nằm tam giác ABC ta có: n n ' ' ' ' ' ' n -B n -C BPC A C = CPA BA =n APB - n A'C ' B ' ( = q );và giá trị chung q hiệu này không phụ thuộc vào vị trí P 3.Tìm quĩ tích các điểm P nằm tam giác ABC cho tam giác A ' B ' C ' vuông A ' , hãy rõ cách dựng quĩ tích này Hướng dẫn giải: Câu 1: Điều kiện: x ≠ 1, x ∈ R Ta có: x3 3x x + + −2=0 ( x − 1) x − x ⎞⎛ x2 x2 ⎛ ⇔ ⎜x + + ⎟⎜⎜ x − x − ⎠⎝ x − ( x − 1) ⎝ ⎞ 3x ⎟⎟ + − = ⎠ x −1 3x ⎛ ⎛ x ⎞ x ⎞⎞ ⎛ ⎜⎜1 − ⎜ x + ⇔ ⎜x + ⎟ + ⎟⎟ − = x −1⎠ x −1⎝ ⎝ x − ⎠ ⎟⎠ ⎝ x ⎞ x ⎞⎛ x ⎞ ⎛ ⎛ ⇔ ⎜x+ ⎟ + 3⎜ x + ⎟⎜1 − x − ⎟ − = x −1⎠ x − ⎠⎝ x −1⎠ ⎝ ⎝ Lop8.net (12) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ x ⎞ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ ⎛ ⇔ ⎜x + ⎟ −2 = ⎟ − 3⎜ x + ⎟ + 3⎜ x + x −1⎠ x −1⎠ ⎝ x −1⎠ ⎝ ⎝ x ⎞ ⎛ ⇔ ⎜x + − 1⎟ = x −1 ⎠ ⎝ x ⇔ x+ = ⇔ x − 2x + = x −1 ⇔ ( x − 1) + = (vô nghiệm) Vậy hệ đã cho vô nghiệm Câu 2: Trong ba số x,y,z luôn tồn hai số cho tích chúng là số không âm +) Nếu xz ≥ ta có: x + y + z ≤ ( x + z ) + y = y ≤ ⇒ x + y + z ≤ x + y + z ≤ 2 Đẳng thức xảy z = 0, x = −1, y = Các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự Câu 3: Thử với n = (thỏa mãn) Với n > ta có: +) Nếu n lẻ thì n n + # ( n + 1) và n n + > ( n + 1) ( ) ( ) α α +) Nếu n = 2α t với α > 0, t lẻ Khi đó: n n = n t ⇒ n n + 1# n + +) Nếu n = 2α Có: 1616 + = ( 210 ) 16 + > (103 ) 10 = 1019 ⇒ n < 16 6 Thử với n=2,4,8 thấy thỏa mãn Câu 4: Đây là bài không khó, đề nghị bạn đọc tự giải Lop8.net (13) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 4:Thi Sư Phạm I(2000-2001) Vòng 2: Câu 1: CMR: 2000 < ( ( ( ) ) ) ⎧x y + y + = y ⎪ Câu 2: Giải hệ: ⎨ y z + 3z + = z ⎪ z x + 3x + = 3x ⎩ Câu 3: Tìm tất các số tự nhiên lớn thỏa mãn: Tích hai số ba số cộng với 1chia hết cho số còn lại Câu 4: Tam giác XYZ có các đỉnh X,Y,Z nằm trên các cạnh BC,CA,AB tam giác ABC gọi là nội tiếp tam giác ABC 1.Gọi Y ', Z ' là hình chiếu vuông góc Y và Z lên cạnh BC BC CMR: Nếu có ΔXYZ ΔABC thì Y ' Z ' = 2.Trong số tam giác XYZ nội tiếp tam giác ABC theo định nghĩa trên và đồng dạng với tam giác ABC, hãy xác định tam giác có diện tích nhỏ Hướng dẫn giải: Câu1: Có: 1999 2000 < 1999.2001 = 1998 20002 − < < 1998.2000 = 1997 19992 − < < 2.4 < 3.(đpcm) Câu 2: ( ( ( ) ) ) ⎧x y + y + = y ≥ ⎪ Theo bài ta có: ⎨ y z + z + = z ≥ ⎪ +3 +3 =3 ≥ x x ⎩z x 3t Xét hàm số: f (t ) = trên [0;+∞ ) Lấy t1 < t ∈ [0;+∞ ) Xét: t + 3t + 3(t − t 22 ) + 3t1t (t1 − t ) < Vậy f (t ) đồng biến trên [0;+∞ ) f (t1 ) − f (t ) = (t1 + 3t1 + 3)(t 22 + 3t + 3) [ ] 3x ⇔ x ( x + 1) − = Từ đó suy x = y = z Khi đó: x = x + 3x + 3 10 Lop8.net (14) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ ⎡x = ⇔⎢ ⎣ x = −1 ⎡ x1 = y1 = z1 = Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ⎢ ⎣ x2 = y = z = − Câu 3: Gọi ba số cần tìm là a, b, c Ta giả sử < c ≤ b ≤ a Ta có: ⎧ab + 1# c ⎪ ⎨bc + 1# a Suy ra:c ≠ a ≠ b ≠ c ⇒ < c ≤ b ≤ a Có: ⎪ca + 1#b ⎩ ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1)# abc(1) ⇒ abc ≤ ab + bc + ca + ⇒ abc ≤ 3ab ⇒ < c ≤ + Nếu c = Khi đó: ( ab + 1)# c ⇒ a, b là số lẻ Từ (1) ⇒ 2a + 2b + 1# ab ⇒ 2a + 2b + ≥ ab ⇒ ( a − ) ( − b ) + ≥ ⇒ ( a − ) ( − b ) = −1, −3, −5 Từ đó ta tìm a=7,b=3 thỏa mãn ⎧3b + 1# a + Nếu c = Khi đó: ⎨ ⇒ 3b + = a; 2a ⎩3a + 1#b Xét: -Nếu 3b + = a ⇒ a : dư 1, a > 4,3a + 1# b ⇒ 9a + 3# a − ⇒ 12# a − ⇒ a = 7, b = < c = (loại) -Nếu 3b + = 2a Hoàn toàn tương tự trên, không có số nào thỏa mãn Vậy ba số tự nhiên cần tìm:7,3,2 Câu 4: Lấy C ' đối xứng với C qua Y ' n ' n C = n ACB = YZX Có: YC ⇒ Tứ giác ZYXC ' nội tiếp n ' n ⇒ ZC B = ZYX n ' ⇒ ZC B = n ABC ⇒ Z'B=Z'C ⇒ Y 'Z ' = BC 2 ' ' S ⎛ YZ ⎞ ⎛ Y Z ⎞ Có XYZ = ⎜ ≥ ⎟ = ⎟ ⎜ S ABC ⎝ Bc ⎠ ⎝ BC ⎠ Đẳng thức xảy XB = XC , YA = YC & ZA = ZB 11 Lop8.net (15) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 5:Thi Tổng Hợp (1999-2000) Vòng 1: ⎧a + b + c = Câu 1: Các số a,b,c thỏa mãn: ⎨ 2 ⎩a + b + c = 14 Tính P = + a + b + c Câu 2: 1.Giải phương trình: x + − − x = x − 1 ⎧ ⎪x + y + x + y = ⎪ 2.Giải hệ: ⎨ ⎪ xy + = xy ⎩⎪ Câu 3: Tìm tất các số nguyên dương n để: ( n + 9n − ) #( n + 11) Câu 4: Cho vòng tròn(O) và điểm I vòng tròn.Dựng qua I hai dây cung MIN, EIF Gọi M ', N ', E ', F ' là các trung điểm IM , IN , IE , IF 1.CMR: Tứ giác M ' E ' N ' F ' là tứ giác nội tiếp 2.Giả sử I thay đổi,các dây MIN, EIF thay đổi CMR:Vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M ' E ' N ' F ' có bán kính không đổi 3.Giả sử I cố định,các dây MIN, EIF thay đổi luôn vuông góc với nhau.Tìm vị trí các dây MIN và EIF cho tứ giác M ' E ' N ' F ' có diện tích lớn Câu 5: Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: ⎛ ⎞⎛ ⎞ P = ⎜⎜ x + ⎟⎟⎜ y + ⎟ y ⎠⎝ x ⎠ ⎝ Hướng dẫn giải: ⎧⎪a b + c a + b c = 49 ⎧a + b + c = ⎧ab + bc + ca = −7 Câu 1: Có: ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩a + b + c = 14 ⎩a + b + c = 14 ⎩a + b + c = 14 ⎧a + b + c = ⇔⎨ Vậy P=99 4 ⎩a + b + c = 98 Câu 2: 1.Đây là bài toán đơn giản,đề nghị bạn đọc tự giải 12 Lop8.net (16) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ 2.Điều kiện: xy ≠ ⎡ xy = ⎢ Từ giả thiết: xy + = ⇔ ( xy − 1) ( xy − ) = ⇔ ⎢ xy = xy ⎣ 1 3y + Nếu xy = ⇒ x = ⇒ x + y + + = + = y x y y 2 ⎡y = 1⇒ x = ⇒ y2 − 3y + = ⇒ ⎢ ⎣y = ⇒ x = 1 ⎡ y =1⇒ x = ⎢ 1 1 ⇒ x + y + + = ⇒ y2 − y +1 = ⇒ ⎢ + Nếu xy = ⇒ x = 2y x y ⎢y = ⇒ x = ⎢⎣ ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ Vậy nghiệm ( x; y ) hệ là: ( 2;1) , (1; ) , ⎜1; ⎟ , ⎜ ;1⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ Câu 3: Có: n + 9n − 2# n + 11 Mà n + 11n # n + 11 ⇒ ( 2n + )# ( n + 11) Mà ( 2n + 22 )# ( n + 11) ⇒ 20# ( n + 11) ⇒ n = Vậy n = là đáp số cần tìm Câu4: n n ' ' ' ' n= E Dễ thấy: E F M ' Vậy tứ giác M ' N ' E ' F ' nội tiếp N M ' = ENM Vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M ' E ' N ' F ' chính là đường tròn ngoại tiếp ΔM ' N ' F ' Giả sử nó có bán kính là R ' Do ΔM ' N ' F ' ΔMNF ( g − g ) Suy ra: R' M ' N ' = = R MN R ⇒ R ' = (đpcm) Hạ OT ⊥ MN; OQ ⊥ EF Có: 13 Lop8.net (17) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ 1 1 S MENF = MN EF = MT EQ = R − OQ )( R − OT ) ( 2 1 ≤ ( R − OQ + R − OT ) = ( R − OI ) 4 n = 450 Đẳng thức xảy và OQ = OT ⇔ OIF SM 'E'N 'F ' = Câu 5: Cách 1: 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x+ y⎞ ⎜⎜ x + ⎟⎟⎜ y + ⎟ = ⎜⎜ xy + ⎟⎟ Dễ thấy < xy ≤ ⎜ ⎟ = xy ⎠ y ⎠⎝ x ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ Xét hàm số: f (t ) = t + ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ trên ⎜ 0; ⎥ Lấy t1 < t2 ∈ ⎜ 0; ⎥ t ⎝ 4⎦ ⎝ 4⎦ ⎛ Xét : f (t1 ) - f (t1 ) = (t1 − t )⎜⎜1 − ⎝ t1t ⎞ ⎛ 1⎤ ⎟⎟ Vì t1 , t2 ∈ ⎜ 0; ⎥ ⇒ < t1 t ⎝ 4⎦ ⎠ ⎛ 1⎤ Từ đó dễ dàng nhận ra: f (t1 ) − f ( t2 ) > Vậy f (t ) nghịch biến trên ⎜ 0; ⎥ ⎝ 4⎦ 17 ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎛1⎞ ≤ f (t ) với ∀ t ∈ ⎜ 0; ⎥ Do đó mà: f ⎜ ⎟ ≤ f (t ) với ∀ t∈ ⎜ 0; ⎥ Hay ⎝ 4⎦ ⎝ 4⎦ ⎝4⎠ 17 289 ⎛ ⎞ ⇒ ≤ xy + ⇒ ≤ ⎜⎜ xy + ⎟⎟ = P xy xy ⎠ 16 ⎝ Đẳng thức xảy x = y = ⇒ Pmin = 289 16 Cách 2: Có : P = + x y + Mà: x y + (1) x y2 x2 y ≥ = (2) 2 2 256 x y 256 x y 14 Lop8.net (18) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Vì 255 ≥ x y nên: ≥ 16 256 x y 255 255 (3) = 16 256 16 ⎧ 2 ⎪ x y = 256 x y ⎪ 289 1 ⎪ Đẳng thức xảy ra: ⇔ ⎨ x y = Từ (1),(2),(3) suy P ≥ ⇔x=y= 16 16 ⎪ ⎪x + y = ⎪ ⎩ 15 Lop8.net (19) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 6:Thi Tổng Hợp (1999-2000) Vòng 2: Câu 1: Giải phương trình: x+7 + = 2x + 2x − x +1 Câu 2: Các số a1 , a2 , , a9 xác định công thức: ak = 3k + 3k + (k i =9 với ∀k ≥ Hãy tính P = + ∑ i =1 + k) Câu 3: CMR: Tồn số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số số đó 1999 Câu 4:Cho vòng tròn (O,R).Giả sử A,B là hai điểm cố định trên vòng tròn và AB = R 1.Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn AB đường tròn.Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA E và tiếp xúc với MB F CMR:Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định M thay đổi 2.Tìm tập hợp các điểm P cho đường thẳng (d) vuông góc với OP P cắt đoạn thẳng AB Câu 5: Cho hình tròn (O) bán kính Giả sử A1,A2, ,A8 là tám điểm nằm hình tròn (kể trên biên) CMR: Trong các điểm đã cho luôn tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ Hướng dẫn giải: ⎧2 x − ≥ ⎪x + ⎪ Câu 1: Điều kiện: ⎨ ≥0⇔ x≥ ⎪ x +1 ⎪⎩ x ≠ −1 -Với x+7 ≤ x < thì: + = 1+ +8 >8+ x +1 x +1 Mà: x + x − < + ⇒ x + x − ≠ -Với x > thì: x+7 +8 x +1 x+7 + = 1+ + < + Và đó: x + x − > + x +1 x +1 ⇒ 2x + 2x − ≠ x+7 +8 x +1 16 Lop8.net (20) www.VNMATH.com Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ -Thử với x = thấy thỏa mãn Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = Câu 2: Với k ≥ ta có: 3k + 3k + (k + 1) − k 1 ak = = = 3− 3 k (k + 1)3 k (k + 1) k2 + k 1 1 1 999 Thay k = 1, 2, ,9 ta được: P = + − + − + + − = − = 1000 2 10 10 ( ) Câu 3: Có 3998 = 2.1999 Ta thấy số:A = 19991999 1999 39983998 3998 luôn chia hết cho 1999 (số A có x số 1999, y số 3998) Tổng các chữ số A là: (1 + + + ) x + ( + + + ) y = 28 x + 29 y Ta cần tìm hai số nguyên dương x,y để: 28 x + 29 y = 1999 Khi đó có: 11 − y 1999 − 29 y 11 − y ∈ Ν ⇒ y = 11 ⇒ x = 60 = 71 − y + Vì x ∈ Ν nên 28 28 28 Ta có số A = 19991999 1999 39983998 3998 thỏa mãn bài (số A có 60 số 1999,11 số 3998) x= Câu 4: 1.Gọi I là trung điểm AB.Có: AI AB AOI = AOI = 600 ⇒ n AMB = 600 sin n = = ⇒ n AO 2AO Hạ IH ⊥ EF,AT ⊥ EF,BQ ⊥ EF.Có: n = BFQ n = 600.Có: ME = MF ⇒ ΔMEF ⇒ TEA AT BQ 3 ⇒ AT + BQ = ( AE + BF ) = AB = = cos 30 o = AE BF 2 3 ⇒ IH = AT + BQ = AB ⇒ IH = AB AB cố định Vậy EF luôn tiếp xúc với đường tròn (I) bán kính 2.Ta tìm các điểm P để đường thẳng (d) cắt đoạn AI n = OTI n ≥ OAI n = 30o Khi có: OPI Như P phải nằm miền mặt 17 Lop8.net (21)