b.Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm.. Tính số giao điểm của chúng Bài 5: 4điểm..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 4,5điểm) a) Viết tập hợp M các số nguyên x cho x 2 ( cách liệt kê ) b) Tìm ƯCLN (120, 168) c) Thực phép tính sau: 58 : 56 2013 2010 20120 Bài 2: : ( 4,5điểm) a) Tìm số tự nhiên x biết: 200 x 102 x b) 10 18 n+ 10 c) Tìm các chữ số x và y để số < n+1 < 21 chia hết cho 36 Bài : ( điểm) a) Số học sinh khối trường khoảng từ 500 đến 600 học sinh Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 vừa đủ không thừa Hỏi trường đó khối có bao nhiêu học sinh? b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số này cho 29 dư và chia cho 31 dư 28 Bài : ( 4điểm) a) Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b).Cho 101 đường thẳng đó hai đường thẳng nào cắt và không có ba đường thẳng nào cùng qua điểm Tính số giao điểm chúng Bài 5: ( điểm) a) Tính A ? Cho : A = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 Chứng minh A b) Chứng minh : ab cd eg 11 thì : abc deg11 - (2) PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bµi 1: (4,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 2 3 4 a) 3 4 : : b) 11 11 11 11 1 1 5.3 3.1 c) 99.97 97.95 95.93 Bµi 2: (4,5 ®iÓm) T×m x biÕt: a) x ; b) x x 3 288 ; Bµi 3: (3 ®iÓm) ) , T×m x, y, z biÕt: x y = c) 2009 , y z = x 2009 =x vµ x −3 y + z=6 Bµi 4: (5,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho: ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME 2 Bµi 5: (2,5 ®iÓm) : Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) (3) PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bµi 1: (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; Bµi 2: (4,5 điểm) Cho biểu thức : b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) 2x x2 2 x x2 3x A ( ):( ) 2 x x 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : | x - 7| = Bµi 3: (4,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – b)Xác định các hệ số a và b cho: x ax b chia hết cho x ; Bµi 4: (5,5 điểm) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD và AB < CD) có AH và BK là hai đường cao (H, K thuộc CD) a) Chứng minh tứ giác ABKH là hình chữ nhật b) Chứng minh DH = CK c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua H Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành Bµi 5: (3,0 điểm) a) Cho hai số thực x,y thỏa mãn x y xy x y 0 Tính B= x y 2010 x 2 2012 y 1 2014 a b c x y z x2 y z 0 1 1 b) Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c (4) PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bµi 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: x x 3 x x 1 x x Q= với x và x 1 a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q x = - √ c) Tìm x Q=1 Bµi 2: (4,0 điểm) ( 1,5 điểm) Cho hàm số y m 1 x 2m a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 5x y 0 b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y 8x 12 Bµi 3: (4,5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh a) x − y ¿ +3 (x − y)=4 ¿ x +3 y=12 ¿ ¿ ¿ b) x 13 x 2 2 c) x 3x x x x 2x Bài 4.(5,5) điểm)Cho AB là đờng kính đờng tròn (O;R) C là điểm thay đổi trên đờng tròn (C kh¸c A vµ B), kÎ CH vu«ng gãc víi AB t¹i H Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC, OI c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña đờng tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đờng tròn b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R) c) Chøng minh K lµ trung ®iÓm cña CH (5) d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó theo R x y y x xy Bµi ( điểm) Cho x 2; y 2 Chứng minh Dấu xảy nào? -Hết - PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 4điểm) a) Viết tập hợp M các số nguyên x cho x 2 ( cách liệt kê ) b) Tìm ƯCLN (120, 168) c) Thực phép tính sau: 58 : 56 2013 2010 20120 Bài 2: : ( 4điểm) Tìm số tự nhiên x biết: (6) a) 53 200 x 102 x b) 10 18 n+ 10 c) Tìm các chữ số x và y để số < n+1 < 21 chia hết cho 36 Bài : ( 4điểm) : a) Số học sinh khối trường khoảng từ 500 đến 600 học sinh Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 vừa đủ không thừa Hỏi trường đó khối có bao nhiêu học sinh? b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số này cho 29 dư và chia cho 31 dư 28 Bài : ( 4điểm) a.)Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b).Cho 101 đường thẳng đó hai đường thẳng nào cắt và không có ba đường thẳng nào cùng qua điểm Tính số giao điểm chúng Bài 5: ( 4điểm) Cho : A = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính A b) Chứng minh A Hết HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - LỚP Bài 1: 5; 4; 3; 2; 1;0;.1;.2 1) a) M = b) ƯCLN (120, 168) = 24 (0.75đ) (0.75đ) (0.75đ) b) 58 : 56 2013 2010 20120 = 52 33 25 27 51 3) a) 200 x 10 (0.75đ) (7) 125 200 x 100 200 x 125 100 200 x 25 x 200 25 175 (0.5đ) x c) 10 18 x 18 10 x 8 23 x=3 b) Để số 1x8 y 36 ( x, y , x, y xyzt N ) (0,5đ) xyzt y 24 y 1;3;5;7;9 (x+y+2) xyzt => x+y = x+y = 16 => x = xyztxyzt (0,25đ) Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) (0.5đ) Bài Gọi a là số học sinh cần tìm, 500 a 600, aN Theo đề bài ta có: a12 ; a15 ; a18 Do đó a BC(12, 15, 18) 12 22.3 15 3 5 18 2.32 2 BC(12, 15, 18)= 180 a BC(12, 15, 18)) = B(180) 0;.180;.360;.540;720 a Vì 500 a 600 a = 540 Vậy: Số học sinh cần tìm là 540 học sinh (1.25đ) 1 1 1 ( = 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S + 13 + 13 18 + + 33 38 = − 38 (0,25đ) ) (8) Bài (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) <=> 29(q - p) = 2p + 23 1 1 ( Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 10 + 10 17 + .+ 31 38 = − 38 ) (0,75đ) Vì a nhỏ hay q - p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) (0.25đ) Bài a.Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối tia BA A B C Hai tia BA, BC là hai tia đối B nằm A và C AC = AB + BC = 12 cm *TH : C thuộc tia BA C nằm A và B (Vì BA > BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = cm b - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm -Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : = 5050 giao điểm Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình không chấm điểm Bài (2đ): (9) a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) Suy ra: 8S = 32004 - => S = xyzt (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 ) 1 1 1 ( = 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S + 13 + 13 18 + + 33 38 = − 38 (0,25đ) PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH ) (10) TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bµi 1: (4,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 2 3 4 a) 3 4 : : 11 11 11 11 b) 1 1 5.3 3.1 c) 99.97 97.95 95.93 Bµi 2: (4,5 ®iÓm) T×m x biÕt: a) x ; b) x x 3 288 ; c) 2009 - x 2009 =x Bµi 3: (3 ®iÓm) 3a 2b 2c 5a 5b 3c T×m sè a; b; c biÕt: vµ a + b + c = -50 Bµi 4: (5 ®iÓm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho: ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hang H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME 2 Bµi 4: (3 ®iÓm) : Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) (11) §¸p ¸n §Ò thi HSG m«n To¸n Bµi 1: ®iÓm C©u a: ®iÓm (kÕt qu¶ = 0) C©u b: ®iÓm 1 1 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 99.97 99.97 99.97 99.97 4751 99.97 1 95.97 1.3 3.5 5.7 1 1 1 1 2 3 5 95 97 1 1 97 48 97 Bµi 2: 3,5 ®iÓm C©u a: ®iÓm - NÕu x 2009 2009 – x + 2009 = x 2.2009 = 2x x = 2009 - NÕu x < 2009 2009 – 2009 + x = x 0=0 Vậy với x < 2009 thoả mãn - KÕt luËn : víi x 2009 th× HoÆc c¸ch 2: 2009 x 2009 x (12) 2009 x 2009 x 2009 x x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 C©u b: 1,5 ®iÓm x y z 2; 5; 10 Bµi 3: 2,5 ®iÓm 3a 2b 2c 5a 5b 3c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 25 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cã: 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 0 25 38 a b 3 15a 10b 0 3a 2b a c 6c 15a 0 2c 5a 10b 6c 0 5b 3c 2 c b 3 VËy a b c ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng a 10 b 15 c 25 VËy a = ; b = đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng n¨m häc 2012 - 2013 m«n: To¸n (13) (Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề) Bµi 1: (6 điểm; mçi c©u ®iÓm ): a, Tõ gi¶ thiÕt: x y x y = ⇒ = 12 (1) y z y z = ⇒ = 12 20 (2) x y z = = 12 20 Tõ (1) vµ (2) suy ra: (*) Ta cã: x y z x y z x −3 y + z = = = = = = = =3 12 20 18 36 20 18− 36+20 Do đó: x =3 ⇒ x=27 y =3 ⇒ y =36 12 z =3⇒ z=60 20 x=27 , y=36 , z=60 VËy: b, Sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: HiÓn nhiªn: x Nh©n c¶ hai vÕ cña x y = + Víi x=4 + Víi x=− ta cã ta cã với x ta đợc: x 16 x 4 y 4.5 = ⇒ y= =10 −4 y − = ⇒ y= =−10 VËy: c, x xy 40 = = =8 5 x=4 , y=10 hoÆc x=− , y=− 10 |5 x − 4|=|x +2| TH 1: * 5x - = x + <=> 5x - x = + <=> 4x = <=> x = 1,5 TH 2: * 5x – = - x – <=> 5x + x = - + <=> 6x = <=> x = VËy x = 1,5; x = (14) Bài 4: (6 điểm): a/ (2 điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC EMB = (đối đỉnh ) BM = MC Nên : H×nh: 0,5 ®iÓm (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (2 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o (15) HBE = 90o - HBE = 90o - 50o = 40o HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o BME là góc ngoài đỉnh M HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) Bài 5: (1 điểm): Ta có 8(x - 2009)2 = 25 - y2 8(x - 2009)2 + y2 = 25 (*) Vì y2 nên (x - 2009)2 25 , suy (x-2009)2 = (x - 2009)2 = Với (x - 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x - 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 = 25 suy y = (do y ) Từ đó tìm (x = 2009; y = 5) (16) PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bµi 1: (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; Bµi 2: (4,5 điểm) Cho biểu thức : b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) 2x x2 2 x x2 3x A ( ):( ) 2 x x 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Bµi 3: (4,0 điểm) b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – b)Xác định các hệ số a và b cho: x ax b chia hết cho x ; (17) Bµi 4: (5,5 điểm) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD và AB < CD) có AH và BK là hai đường cao (H, K thuộc CD) Chứng minh tứ giác ABKH là hình chữ nhật Chứng minh DH = CK Gọi E là điểm đối xứng với D qua H Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành Bµi 5: (3,0 điểm) a) Cho hai số thực x,y thỏa mãn x y xy x y 0 Tính B= x y 2010 x 2 2012 y 1 2014 a b c x y z x2 y z 0 1 1 b) Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài Điểm (18) a 2,0 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1) 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1) 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 x 0 2 x 0 x x 0 2 x x3 0 A ( x 0 x 2 x 3 1,0 x 4x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x ) ):( ) x x x 2x x (2 x )(2 x ) x ( x 3) 1,0 x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x ( x 2) x (2 x ) 4x2 (2 x)(2 x)( x 3) x 0,25 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A 4x x 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A x2 0 x 0,25 x 30 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 (19) Vậy với x > thì A > c 0,25 1,0 x 4 x 4 x 0,5 x 11(TMDKXD ) x 3( KTMDKXD ) 0,25 121 Với x = 11 thì A = 0,25 Bài 5,0 a 2,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz Từ : ayz + bxz + cxy = Ta có : x y z x y z 1 ( ) 1 a b c a b c 0,25 0,5 x2 y2 z xy xz yz 2( ) 1 a b c ab ac bc 0,5 x2 y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc 0,5 x2 y z 1(dfcm) a2 b2 c2 0,25 Bài 0,5 (20) a b b, Câu (3 điểm) Hình vẽ: b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A= 10x2 – 7x – và B = 2x – D (21) A 10x 7x 5x B 2x 2x b) (0,75đ) Xét Với x Z thì A B Mà Ư(7) = a x ax b 1;1; 7;7 2x Z ( 2x – 3) x = 5; - 2; ; thì A B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) chia heát cho x ; 2 Ta có: x ax b ( x 4)( x 4) ax b 16 Do đó, a 0; b 16 PHÒNG GD&ĐTTHUẬN THÀNH TRƯỜNG THCS MÃO ĐIỀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) (22) Bµi 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: x x 3 x x 1 x x Q= với x và x 1 a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q x = - √ c) Tìm x Q=1 Bµi 2: (4,0 điểm) ( 1,5 điểm) Cho hàm số y m 1 x 2m c) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 5x y 0 d) Với giá trị m vừa tìm được, tìm giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y 8x 12 Bµi 3: (4,5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh a) x − y ¿ +3 (x − y)=4 ¿ x +3 y=12 ¿ ¿ ¿ b) x 13 x 2 2 c) x 3x x x x 2x Bài 4.(5,5) điểm)Cho AB là đờng kính đờng tròn (O;R) C là điểm thay đổi trên đờng tròn (C kh¸c A vµ B), kÎ CH vu«ng gãc víi AB t¹i H Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC, OI c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña đờng tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đờng tròn b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R) c) Chøng minh K lµ trung ®iÓm cña CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó theo R x y y x xy Bµi ( điểm) Cho x 2; y 2 Chứng minh Dấu xảy nào? (23) PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI HỌC KỲ I HUYỆN TRỰC NINH MÔN : TOÁN Năm học : 2012 -2013 Phần trắc nghiệm Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm Câu Đáp án C B D B B D B C Phần tự luận (24) Đáp án Điểm x x x A : x 3 x x3 Bài ( 1,5 điểm).a) Rút gọn ( với x 0; x 9 ) x A x 3 x x3 0.25 x x x x 3 x x x x x 2x 2 x x x x 0.5 b) Với x 0; x 9 ta có A x x x 0.25 x 3 x 9 0.25 Kết hợp với điều kiện ta có với x > thì A Bài 2.( điểm) Giải phương trình ĐKXĐ x 13 (*) 1 x 13 x x 3 0.25 x 13 x 2 (1) x 3 13 x 20 0.25 0.25 x 16x 39 10 x 16x 39 100 0.25 4x 64x 156 100 0 x 16x 64 0 x 0 x 8 x = thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 Bài ( 1,5 điểm) Cho hàm số y m 1 x 2m 0.25 a) 5x y 0 y 5x Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 5x m 5 2m m 6 m 6 m 0.5 b) m = hàm số đã cho trở thành y = 5x + 0.25 Hoành độ giao điểm đồ thi hàm số y = 5x + và đường thẳng y 8x 12 là nghiệm phương trình 5x 8x 12 3x x 0.25 (25) Tung độ giao điểm y 5 1 4 1; Vậy đồ thi hàm số y = 5x + và đường thẳng y 8x 12 cắt điểm 0.25 Bài (3 điểm) D B E A O H C a) Vì BH AC H nên AC là tiếp tuyến đường tròn (B; BH) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt chứng minh 0.5 ABD ABH; CBE CBH ABD CBE ABH CBH ABC 900 0.25 ABD CBE ABH CBH 1800 BDE 1800 0.25 Vậy B, D, E thẳng hàng b) Tam giác ABC vuông B có BH là đường cao Áp dụng hệ thức lượng ta có 0.25 BH AH.CH (1) Ta lại có AH = AD; CH = CE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) BH là bán kính, DE là đường kính đường tròn (B; BH) nên BH 0.25 DE 0.25 DE AD.CE (đpcm) Thay vào (1) ta có 0.25 c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông B là trung điểm O AC 0.25 Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông, đáy là AD//CE 0.25 B là trung điểm DE, O là trung điểm AC nên BO là đường trung bình 0.25 (26) Suy BO // AD mà AD DE Suy OB DE B 0.25 Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đpcm) Bài ( điểm) Ta có 2 y 0 y 2 y 0 y xy y 2 x y 2 2 (1) Dấu xảy y y 4 Tương tự ta có y x 2 Từ (1) và (2) ta có xy (2) Dấu xảy x x 4 x y 2 y x 2 xy xy xy 2 (đpcm) 0.5 0.25 0.25 Dấu xảy x = y =4 Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức chương trình thì Hội đồng chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không làm thay đổi tổng điểm câu (hoặc ý) đã nêu hướng dẫn này -HẾT Câu 2.( điểm) Giải phương trình x 13 x 2 Bài (2đ): Trên cùng mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4) a) Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân M Bµi (1®): Cho c¸c sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 x3 + y4 Chøng minh: x + y x + y2 x + y (27) §¸p ¸n to¸n Bµi 1: a) §iÒu kiÖn x tháa m·n x 0 x 4( x 1) 0 x 4( x 1) 0 x 4( x 1) (0,25) x 1 x 1 x 1 x 2 (0,5) x > vµ x KL: A xác định < x < x > 2(0,25) b) Rót gän A A= A= ( x 1)2 ( x 1)2 x x ( x 2) x x 1 x x x (0,5) (0,25) Víi < x < 2 A = 1 x (0,25) Víi x > 2 A= x (0,25) KÕt luËn Víi < x < th× A = x Víi x > th× A = x (0,25) Bµi 2: a) A và B có hoành độ và tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (0,25) (28) A(5; 2) AB 5a + b = B(3; -4) AB 3a + b = -4 Gi¶i hÖ ta cã a = 3; b = -13 (0,5) Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13 (0,25) b) Gi¶ sö M (x, 0) xx’ ta cã MA = MB = ( x 5)2 (0 2)2 ( x 3)2 (0 4)2 MAB c©n MA = MB ( x 5)2 ( x 3)2 16 (0,5) (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 KÕt luËn: §iÓm cÇn t×m: M(1; 0) Bµi 3: (0,25) (0,25) (29) C©u (1®) 1 x y xy xy A= x y §Ó A nhá nhÊt xy lín nhÊt víi x > 0; y > ; x + y = ta lu«n cã ( x y ) x + y xy V©y xy sÏ lín nhÊt x = y =2,5 Khi đó Min A = C©u2.a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x − y ¿ +3 (x − y)=4 ¿ x +3 y=12 ¿ ¿ ¿ b C©u : (2®) a (1®) Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 x − y ¿ +3 (x − y)=4 ¿ Từ đó ta có x +3 y=12 <=> ¿ ¿ ¿ ¿ x − y=1 * x +3 y=12 (1) ¿{ ¿ (30) ¿ x − y=− * x +3 y=12 (2) ¿{ ¿ Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 (0,5®) Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 (0,5®) VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4 b (1®) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x (0,5®) (0,25®) Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 (0,25®) Bµi (3®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh x 3x x x x 2x a) x 1 x x 3 x (1.75 ®iÓm) x 1 x 3 1 x 1 x 0 x 0 x 2 x x 1 x 3 0 §iÒu kiÖn 1 x x 1 x 1 x x 3 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 1 x 2 x x x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phơng trình có nghiệm x = b Bµi (8 ®iÓm) (31) M C I K A O H B 1) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đờng tròn (2 điểm) Chøng minh OI AC Suy OIC vuông I suy I thuộc đờng tròn đờng kính OC CH AB (gt) CHO vuông H H thuộc đờng tròn đờng kính OC Suy I, H cùng thuộc đờng tròn đờng kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc đờng tròn 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến đờng tròn (O; R) (2 điểm) AOM COM - Chøng minh - Chøng minh AOM = COM - Chøng minh MC CO MC lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) 3) Chøng minh K lµ trung ®iÓm cña CH ( ®iÓm) KH HB AM.HB AM.HB KH AB 2R MAB cã KH//MA (cïng AB) AM AB (1) Chứng minh cho CB // MO AOM CBH (đồng vị) MA AO AM.HB AM.HB CH HB AO R C/m MAO đồng dạng với CHB CH (2) Tõ (1) vµ (2) suy CH = KH CK = KH K lµ trung ®iÓm cña CH 4) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó Chu vi tam gi¸c ACB lµ PACB AB AC CB 2R AC CB (32) AC CB Ta l¹i cã 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB AC CB AC CB AC CB AC CB AC CB 2AB (Pitago) AC CB 2.4R AC CB 2R §¼ng thøc x¶y AC = CB M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB Suy PACB 2R 2R 2R VËy max PACB 2R , dÊu "=" x¶y M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB đạt đợc M là điểm chính cung AB x x 3 x x 3 Q x 1 x 1 x 1 x a) = 1 x D M b) √ 3− 1¿ x=4 − √ 3=¿ O √ −1 ¿ ¿2 ¿ 1+ √ ¿ −3 ⇒ Q= ¿ c) Q 3 1 x (33)