Bài 1: Xác định tọa độ các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, tâm sai và vẽ elip E có phương trình.. GV: Nguyễn Tiến Diệp..[r]
(1)Trường THPT C Duy Tiên HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗b + Một vectơ xác định còn kí hiệu là a, b, x, y , ⃗a B A ⃗ ⃗ (Chú ý: AB BA ) + Vectơ – không (có gạch nối từ): ⃗ Vectơ có điểm ⃗ ⃗đầu và điểm cuối cuối trùng gọi là vectơkhông, kí hiệu Ví dụ: MM , AA , ⃗ ⃗ ⃗ + Giá vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ , đường thẳng AB gọi là giá vectơ AB Còn vectơ không AA thì đường thẳng qua A là giá nó + Hướng vectơ: là hướng từ gốc đến vectơ + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song trùng Chú ý: ⃗ a + Độ dài⃗ vectơ: đó là khoảng cách điểm đầu và điểm cuối vectơ đó Độ dài kí ⃗ hiệu là | a |, | AB | AB BA Hai vectơ nhau: chúng cùng hướng và cùng độ dài ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Nếu a b thì ta viết a = b A D B o C ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AA BB = , | |= Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Tìm ⃗ a) Tất các vectơ khác ; b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ Các kí hiệu thường gặp ⃗ ⃗ CD CD AB kí hiệu:⃗ AB //⃗ ⃗ cùng phương⃗ CD AB AB CD ⃗ cùng hướng ⃗ kí hiệu: ⃗ ⃗ AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD GV: Nguyễn Tiến Diệp (2) Trường THPT C Duy Tiên GV: Nguyễn Tiến Diệp (3) Trường THPT C Duy Tiên CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng Xác vectơ, cùng phương cùng hướng ⃗ ⃗⃗ Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là AB, BA Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C, D, E Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó Giải Có 10 cặp điểm khác {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, ⃗ {D,E} Do đó có 20 vectơ khác ⃗ ⃗ a khác Tìm điểm M cho: Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ ⃗ ⃗ AM cùng phương a Giải m ⃗ ⃗ a Gọi ⃗là giá a ⃗ Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM// Do đó M thuộc đường thẳng m qua⃗ A và // ⃗ Ngược lại, điểm M thuôc m thì AM cùng phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Ta có thể dùng các cách sau: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | a ⃗|| b | ⃗ a b a, b cùng hướng + Sử dụng định nghĩa: A B o D bình hành thì C + Sử dụng tính chất các hình Nếu ABCD là hình AB DC , BC AD ,… ⃗(hoặc ⃗ ⃗viết⃗ngược ⃗ lại) ⃗ a b , b c a c + Nếu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F là trung điểm BC, CA, AB A Chứng minh: EF CD Giải Cách 1: EF là đường trung bình ABC nên EF//CD, E F ⃗ ⃗ EF CD BC=CD EF=CD EF= (1) ⃗ ⃗ CD EF cùng hướng ⃗ ⃗ (2) C B D Từ (1),(2) EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành ⃗ ⃗ EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD Điểm I là giao điểm AM và BN, K DM và CN ⃗ là⃗giao ⃗ điểm ⃗ M D C AM NC , DK NI Chứng minh: Giải I Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành K ⃗ ⃗ AM NC B N GV: Nguyễn Tiến Diệp A (4) Trường THPT C Duy Tiên Tương tự MCDN ⃗là hình bình hành nên K là trung điểm DK = KM Tứ giá IMKN là hình bình hành, MD ⃗ ⃗ ⃗ NI KM suy = DK NI Ví dụ 3: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu) Giải ⃗ ⃗ Giả sử AB AC Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC (trường hợp điểm cuối trùng⃗nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho⃗điểm ⃗A và vectơ a Dựng điểm M cho: a a) AM ⃗ = ; ⃗ ⃗ b) AM cùng phương a và có độ dài | a | Giải ⃗ Giả sử là giá a Vẽ đường thẳng d qua A và d// (nếu A thuộc thì d trùng ⃗ ) Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d cho: AM1=AM2=| a | d ⃗ Khi⃗ đó ta có: a A ⃗ AM a a) ⃗ = ⃗ AM AM a b) = cùng phương với Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ⃗ H⃗là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O Chứng minh: AH B ' C Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b Có hay không véctơ cùng phương với hai véctơ đó GV: Nguyễn Tiến Diệp (5) Trường THPT C Duy Tiên Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không Chứng minh co ít là hai véctơ chúng có cùng hướng ⃗ ⃗ AB Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng Trong trường hợp nào thì hai véctơ và AC cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi ⃗ P,⃗Q, R⃗ là trung điểm các cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ PQ , QR , RP Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi ⃗ M, N là trung điểm AD, BC a) Tìm các vectơ cùng phương với⃗ AB ; b)Tìm các vectơ cùng hướng với AB ⃗ ; AB ; c) Tìm các vectơ ngược hướng ⃗ với ⃗ d)Tìm các vectơ với MO , với OB Bài 7: Cho lục giác ABCDEF có tâm O ⃗ ⃗ OA ; a) Tìm các vectơ khác và cùng ⃗ phương b) Tìm các vectơ vectơ AB⃗; c) Hãy vẽ các vectơ vectơ AB và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD ⃗ có tâm là O Tìm các vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) vectơ AB ⃗; OB b) Có độ dài OB Bài 9: Cho tứ giác ABCD AB DC Chứng minh ABCD là hình bình hành và ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB DC thì AD BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA MN QP ; NP MQ Chứng minh : Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của⃗ điểm ⃗ phân biệt A, B và C các trường hợp sau: AC cùng hướng, | AB |>| AC |; AB và ⃗ a) ⃗ b) ⃗AB và ⃗AC ngược hướng; c) AB và AC cùng phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC Chứng minh AQ 0 HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: có, đó là vectơ-không Bài 3: a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng A không nằm B, C; ngược hướng A nằm B, C Bài 5: A P B R Q C GV: Nguyễn Tiến Diệp (6) Trường THPT C Duy Tiên Bài 6: A B M N O C D , AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF Bài 7: a) DA b) OC , ED , FO ⃗c)+ ⃗Trên tia AB, ta lấy điểm B’ cho BB’=AB đó BB ' AB * FO là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy ⃗ C’ ⃗ cho CC’=OC=AB Do CC’//AB CC ' AB +⃗tương ⃗ tự ⃗ ⃗ A B Bài 8: a) AB DC , OB DO O ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b) | OB || BO || DO || OD | D C Bài 9: Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành AB // CD AB DC AB CD * AB // CD AB CD Chứng minh chiều : * AB = DC AB , DC cùng hướng và * AB và DC cùng hướng AB // CD (1) AB DC AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ABCD là hình bình hành ⃗ ⃗ AB DC Bài 10: AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC * |⃗ AB|=|⃗ CD| Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng AC Và //AC Vậy MNPQ là hình bình hành đpcm Bài 12 : Xác định vị trí tương đối điểm ⃗ phân biệt A, B và C các trường hợp sau: AC AB a) và cùng hướng, | AB |>| AC |; GV: Nguyễn Tiến Diệp (7) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ b) ⃗AB và ⃗AC ngược hướng; AC cùng phương; c) AB và ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AC AB AB HD: cùng hướng, | |>| AC | C nằm A và B ⃗ a) ⃗ và b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm B và C c) Cùng phương thì có thể cùng ⃗ hay ngược hướng ⃗ ⃗ ⃗ hướng AC AB AB + cùng hướng: | |>| | thì theo a); | |< AC | thì B nằm A và C + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC Chứng minh AQ 0 AM BA; NP DC AB HD: Ta có AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP ⃗ là hình bính hành (2) ⃗ Từ (1)&(2) AQ AQ 0 GV: Nguyễn Tiến Diệp (8) Trường THPT C Duy Tiên BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ ⃗ Cho ABC Có thể xác định bao nhiêu vectơ khác Cho tứ giác ABCD ⃗ a/ Có bao nhiêu vectơ khác b/ Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA CMR : MQ = NP Cho ABC Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, CA a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN b/ Xác định các vectơ NP Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH và FG AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ CI = DA CMR : a/ I là trung điểm AB và DI = CB b/ AI = IB = DC Cho ABC Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AD Dựng MK = CP và KL = BN a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN ⃗ AL c/ CMR : = §2+3 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết Tổng các vectơ B a A b C c Định nghĩa: Cho véc tơ a và b Lấy điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b Khi đó a + b = AC Phép lấy tổng véctơ đ gọi là phép cộng véctơ ⃗ ⃗ Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC ⃗ ⃗ ⃗ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC Vectơ đối + Cho vectơ a Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a gọi là vectơ đối vectơ a , kí hiệu là - a ⃗ C B a a +()= A D GV: Nguyễn Tiến Diệp (9) Trường THPT C Duy Tiên + Mọi vectơ ⃗ có vectơ ⃗ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là AB = - BA ⃗ ⃗ 0 + vectơ đối là Hiệu các vectơ (phép trừ) Định nghĩa: a - b = a +(- b ) Quy tắc hiệu ⃗ ⃗ ta⃗có: vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước OB OA AB (hoặc OA OB BA )hay AB OB OA ⃗⃗⃗ Tính chất : với a, b⃗, c bất ⃗ kì⃗ta có: ⃗ a b b a + Giao hoán : = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b c a (b + c ) + Kết ⃗ hợp ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ) + = + ⃗a + 0⃗= +⃗a =⃗a ⃗ A + a⃗+( a )=⃗a + a = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b + |⃗a + b | ≤ | a |+| b |,⃗ dấu “=” ⃗ ⃗xảy ⃗ra ⃗ , cùng hướng ⃗ ⃗ + a⃗ b và⃗| b | ≥ | a | | a + b |=| b || a | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ G + a⃗ = b a + c⃗= b + c ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + a⃗ + c = b ⃗a = b c ,⃗c = b a ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ I B + a ( b + c )= a b c ; a ( b c )= a b + c Ghi chú: ⃗ ⃗ ⃗ D IB 0 + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⃗IA ⃗ ⃗ ⃗ + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD ; AM CD; AD NC a) Tìm tổng NC ⃗ MC ⃗ ⃗ ⃗ b) Chứng minh : AM AN AB AD Giải: a) + Vì ⃗MC⃗ AN nên ⃗ ta⃗có ⃗ ⃗ ⃗ NC MC = NC AN = AN NC = AC ⃗ ⃗ CD +Vì ⃗ ⃗BA nên ta có ⃗ ⃗ ⃗ AM CD = AM BA = BA AM = BM ⃗ ⃗ +Vì ⃗NC⃗ AM nên ⃗ ta ⃗ có ⃗ AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh hình bình hành AMED ⃗ ⃗ ⃗ AM AN AC b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ⃗ta có ⃗ ⃗ AB AD AC Vì tứ⃗giác ⃗ ABCD ⃗ ⃗ là hình bình hành nên Vậy AM AN AB AD Bài 2: Cho lục giác ABCDEF tâm O Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0 Giải GV: Nguyễn Tiến Diệp C (10) Trường THPT C Duy Tiên Vì O là tâm lục giác đều nên: OA OD 0; OB OE 0; OC OF 0 đpcm Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE tâm O.⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ OA OB ; OC OE OD a) Chứng minh vectơ cùng phương b) Chứng minh AB và EC cùng phương Giải a) Gọi d là đường⃗thẳng ⃗ chứa ⃗ OD d là trục đối xứng ngũ giác Ta có OA OB OM , đó M là đỉnh ON hình thoi AMBO và M thuộc⃗ d ⃗Tương tự OC OE ⃗ ⃗ ⃗ , N d Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD vì cùng giá d b) AB và ⃗ vuông góc d AB//EC ⃗ EC cùng AB // EC Bài 4: Cho tam⃗giác ⃗ ABC ⃗ ⃗ ⃗Các⃗điểm ⃗ ⃗M, N, P là trung điểm AB, AC, BC PN ; BP CP a) Tìm AM AN ; MN NC ; MN ⃗ ⃗ b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP Giải ⃗ AM AN a) ⃗ ⃗ =⃗NM ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MN NC = MN MP = PN (Vì NC MP ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MN PN = MN NP = MP ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ BP CP = BP PC = BC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b) AM NP MP MN Bài 5: Cho hình ⃗ thoi ⃗ ABCD ⃗ ⃗ có ⃗ BAD ⃗ =60 và cạnh là a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC | Giải B Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 nên AC= a và BD=a Khi đó ta có : ⃗AB ⃗ AD ⃗ AC ⃗ ⃗| AB AD | AC a BA BC CA | AB AD |CA a a OB DC DO DC CO | OB DC |CO A C D Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo | OA CB |; | AB DC |;| CD DA | Tính Giải a OA CB CO CB BO Ta có AC=BD= ; ⃗ ⃗ a | OA CB |BO Do đó ⃗ ⃗ | AB DC || AB | | DC |2a (vì AB DC ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 10 GV: Nguyễn Tiến Diệp (11) Trường THPT C Duy Tiên * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức đã biết là đúng 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì Chứng minh rằng: AB CD AD CB (theo cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái ⃗ ⃗ AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB Cách 2: ⃗(sử⃗dụng ⃗ hiệu) ⃗ ⃗ ⃗ AB AD CB CD DB DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: AB BE CF AE BF CD Giải AB BE ED BF FE CD DF VT = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗CF⃗ AE ⃗ BF CD ED DF FE = AE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm Bài 9: Cho điểm A, B, ⃗C, D, ⃗ E.⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ DC CD; CE EC nên Ta có ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ DC CE CB = AC DE CD EC CB VT = ⃗AC⃗ DE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = AC CD DE EC CB AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Chứng minh với điểm O⃗ bất⃗ kì⃗ta có: ⃗ ⃗ ⃗ OA OB OC OM ON OP Giải ⃗ ⃗ ⃗ OB OC VT = OA ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MA ON NB OP PC = OM ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ON OP MA NB PC = OM Mà NB ⃗NM⃗ ⃗NP ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MA NM NP PC NA NC 0 MA ⃗NB⃗ PC ⃗ = VT= OM ON OP =VP đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ Cho điểm A, B, C, D CMR : AC + BD = AD + BC Cho điểm A, B, C, D, E CMR : AB + CD + EA = CB + ED Cho điểm ⃗ ⃗A, B, ⃗ C,⃗D,⃗E, F ⃗ CMR : AE BF CD AF BD CE 11 GV: Nguyễn Tiến Diệp (12) Trường THPT C Duy Tiên Cho điểm A, B, C, D, E, F, G, H CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF Gọi O là tâm hình bình hành ABCD CMR : a/ DO + AO = AB ⃗ OA OB OC OD c/ + + + = b/ OD + OC = BC d/ MA + MC = MB + MD (với M là điểm tùy ý) Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB CMR : OD + OC = AD + BC 10 Cho ABC Từ A, B, C dựng vectơ tùy ý AA' , BB' , CC' CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' 11 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AD theo a 12 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a ⃗ ⃗ AB AD AB AC a/ Tính b/ Dựng u = Tính u 13 Cho ABC vuông A, biết AB = 6a, AC = 8a ⃗ ⃗ AB AC v a/ Dựng = b/ Tính v OA, OB, OC , OD có độ dài 14 Cho tứ giác ⃗ ⃗ ABCD, ⃗ ⃗ biết tồn điểm O cho các véc tơ và OA OB OC OD = Chứng minh ABCD là hình chữ nhật Cho điểm A, B, C, D CMR : AB CD = AC + DB 15 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : ⃗ CD BC FA BA ED FE a/ + + = b/ AD FC EB = CD EA FB c/ AB DC FE = CF DA + EB 16 Cho ABC Hãy xác định điểm M cho : ⃗ ⃗ MC MC BC MA MB MB a/ + = b/ + = ⃗ ⃗ MC MC MB MA MA MB c/ + = d/ = ⃗ e/ MC + MA MB + BC = 17 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a ⃗ ⃗ a/ Tính AD AB b/ Dựng u = CA AB Tính u 18 Cho ABC cạnh a Gọi I là trung điểm BC a/ Tính AB AC b/ Tính BA BI 19 Cho ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính AB AC BÀI TẬP THÊM Bài : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau: 12 GV: Nguyễn Tiến Diệp (13) v AB DC BD CA a) c) n BC CD AB DB Trường THPT C Duy Tiên AB CD BC DA b) m ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ CD DE d) p AB⃗ BC ⃗ AO a ; BO = b Bài 2: Cho hình bình ⃗ hành ⃗ ABCD ⃗ tâm O ⃗ Đặt ⃗ = Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và ⃗b ⃗ ⃗ ⃗ BC AC Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính + AB ; AB theo a Bài 4: Cho ⃗hình chữ ⃗ nhật ⃗ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) ⃗AO - ⃗AD = ⃗MO b) AC - AD = NB Bài 5: Cho điểm ⃗ A⃗; B ; C⃗; D ; E⃗ ; F ; G⃗ Chứng minh : CD EA CB ED a) AB ⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗ =⃗ +⃗ CF CD AD BE AE BF b) ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ⃗ CD GA CB GF AB EF ED c) ⃗ +⃗ + ⃗ +⃗ = ⃗ +⃗ +⃗ d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = OA OB OM , OA OB ON Bài : Cho tam giác OAB Giả sử Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài góc AOB ? Bài : Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh : OA OB OC OD OE O Bài : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có: OA OB OC OA' OB ' OC ' Bài 9: Cho lụ giác ⃗ ⃗có tâm ⃗ là O ⃗ ⃗ ⃗ đều⃗ ABCDEF ⃗ CMR : ⃗ OD + OE + OF = OA + OC + OE = a) OA + ⃗OB + OC + b) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội⃗tiếp ⃗ đường ⃗ tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh HB + HC = HD ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ HC HA HB HH ' b) Gọi H’ là đối xứng H qua O Chứng = ⃗ minh⃗rằng ⃗ + ⃗ + Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA + CB = CA - CB ⃗ ⃗ PHÉP NHÂN ⃗VECTƠ ⃗ VỚI MỘT SỐ 1) Định nghĩa: Cho a ≠ , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép số thực với vectơ) Khi đó: ⃗ ⃗ + c cùng phương a ⃗ ⃗ c a + cùng hướng ⃗ k>0 ⃗ + c ngược⃗ hướng⃗a k<0 ⃗ a c + | |=| k a |=|k|.| ⃗ ⃗ |⃗ ⃗ Quy ước: a ⃗ =0 ; k0 =0 ⃗ a b 2) Tính chất: Cho , bất kì và k,h , đó ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a + k( + )= k +k b 13 GV: Nguyễn Tiến Diệp (14) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ ⃗ a a b + (k+h) ⃗ = k ⃗+h + k(h⃗a )=⃗ (kh) a⃗ ⃗ + a = a ; (1) a = a * Tính chất trung điểm: I là trung điểm đoạn AB, vớii M ta có: Nếu MA MB 2MI * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với M ta có: MA MB MC 3MG 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b a b a a , ; cùng phương ≠ 0≠k : =k b ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b b a b ( , ; cùng phương ≠ 0≠k : =k a ) 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng ⃗ ⃗ AC AB k AC AB cùng phương 0≠k : 5) Phân tích (biểu diễn) ⃗ vectơ theo hai vectơ không cùng phương: ⃗ ⃗ ⃗ b a Cho hai , khác và không cùng phương Khi đó x tìm hai số m, ⃗ ⃗ ⃗ x b a n cho: = m +n A Nếu G là trọng tâm AG= AI; GI= AI AG=2GI G B C I CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN ⃗ Xác định vectơ k a ⃗ PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất ⃗ a 1) Cho AB và điểm hai điểm M và N cho : O Xác định OM 3a; ON 4a ⃗ Giải a N O M ⃗ ⃗ ⃗ a a a Vẽ d qua O và // với giá ⃗(nếu O giá⃗của thì d là giá của⃗ ) ⃗ OM ⃗3a Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, ⃗OM và a cùng hướng đó ⃗ ⃗ ⃗ Trên d lấy điểm N cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a 2) Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB cho AM= AB Tìm k các đẳng thức ⃗ sau: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a ) AM k AB; b) MA k MB; c ) MA k AB Giải A M 14 B GV: Nguyễn Tiến Diệp (15) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ | AM | AM 1 ⃗ ⃗ AM k AB | k | ⃗ AB | AB | a) , vì AM AB k= 1 b) k= c) k= ⃗ ⃗ a a 3) a) Chứng minh:vectơ đối là (5) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b a a b) Tìm vectơ đối các véctơ +3 , 2 b Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a )=((1)5) a = (5) a a) 5 a =(1)(5 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b) (2 a +3 b )= (1)( a +3 b )= (1) a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b c) Tương tự Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương 1) Cho ABC có trọng âtm G Cho các ⃗ ⃗ D,⃗E, F là trung điểm các ⃗ ⃗cạnh ⃗ ⃗ BC, CA, AB và ⃗ điểm I là giao điểm AD và EF Đặt u AE ; v AF Hãy phân tích các vectơ AI , AG , DE , DC theo ⃗⃗ u hai vectơ , v 1 1 1 AI AD ( AE AF ) u v) 2 2 Giải Ta có 2 AG AD u v 3 3 DE ⃗FA ⃗ ⃗0.u ( 1)v ⃗ ⃗ ⃗ AF A DC FE AE AF u v AM theo hai 2) Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ ⃗ C vectơ u AB, v AC Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AM AB BM AB BC Ta có ⃗ ⃗ ⃗ mà BC AC AB 2 AM AB ( AC AB) u v 3 Chứng minh điểm thẳng hàng ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AC AB k AC AB + A, B,⃗C thẳng cùng phương 0≠k : ⃗ hàng + Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC AK= AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Giải BI BA BM BA BC ⃗ ⃗ ⃗ Ta có BI 2 BA BC (1) Ta có 15 GV: Nguyễn Tiến Diệp (16) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ BK BA AK BA AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2⃗ BA ( BC BA) BA BC 3 ⃗ ⃗ ⃗3 3BK 2 BA BC (2) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3BK 4 BI BK BI B, I, K thẳng hàng Từ (1)&(2) 2) Cho tam giác ABC Hai điểm ⃗ hệ thức: ⃗ xác ⃗ định M, N⃗được BC MA 0 , AB NA AC 0 Chứng minh MN//AC Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ BC MA AB ⃗NA AC 0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ hay AC MN AC 0 MN 2 AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MN / / AC Theo giả thiết BC AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành M không thuộc AC MN//AC Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích vectơ với số 1) Gọi M, N ⃗lần ⃗lượt⃗ là trung điểm hai đoạn thẳng AB và CD Chứng minh: 2MN AC BD M Giải VP AC BD AM MN NC BM MN ND ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2MN AM BM ND NC ⃗ 2MN A C N B D 2) Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: AB AC AD 3 AC Giải ⃗ ⃗ ⃗ AB AD AC Áp dụng⃗qi tắc ⃗ hình ⃗ bình ⃗ hành ta có VT= AC AC 3 AC VP (đpcm) 3) Chứng minh ⃗ ⃗nếu⃗ G⃗ và G’ là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG ' AA ' BB ' CC ' Giải ⃗ ⃗ ⃗ VP AA ' BB ' CC ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AG GG ' G ' A ' BG GG ' G ' B ' CG GG ' G ' C ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3GG ' AG BG CG G ' A ' G ' B ' G ' C ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3GG ' (GA GB GC ) G ' A ' G ' B ' G ' C ' ⃗ 3GG ' Xác định ⃗ vị⃗ trí điểm nhờ đẳng thức véctơ + AB 0 A ⃗B ⃗ ⃗ a AM a + Cho ⃗ ⃗điểm A và ⃗Có⃗duy M cho : + AB AC B C ; AD BD A B ⃗ ⃗ 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG 2GD Giải 16 A GV: Nguyễn Tiến Diệp (17) G B I C D Trường THPT C Duy Tiên AG 2GD A,G,D thẳng hàng AG=2GD gà G nằm A và D Vậy G là trọng tâm tam giác ABC ⃗ ⃗ ⃗ 2) Cho hai điểm A và B Tìm điểm I cho: IA IB 0 HD A B I IA IB 0 IA IB IA IB ⃗ ⃗ hay IA=2IB , IA IB Vậy I là điểm thuộc AB ⃗ ⃗ cho ⃗ IB= ⃗ ⃗AB 3) Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA GB GC GD 0 Giải GA GB 2GI Ta có ⃗ ⃗ ⃗ , đó I là trung điểm AB GC GD 2GK , K là trung điểm CD Tương ⃗ ⃗ tự⃗ ⃗ ⃗ ⃗ I GA GB GC GD 2GI 2GK ⃗ ⃗ ⃗ hay GI GK 0 B C K A G là trung điểm IK D BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB và O là điểm tùy ý ⃗ a/ CMR : AM + BN + CP = b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G Gọi MBC cho BM = MC a/ CMR : AB + AC = AM b/ CMR : MA + MB + MC = MG Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F là trung điểm AB, CD và O là trung điểm EF a/ CMR : AD + BC = EF ⃗ b/ CMR : OA + OB + OC + OD = c/ CMR : MA + MB + MC + MD = MO (với M tùy ý) d/ Xác định vị trí điểm M cho MA + MB + MC + MD nhỏ Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là điểm tùy ý ⃗ a/ CMR : AF + BG + CH + DE = b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : AB AC + AD = AG (với G là trung điểm FH) Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm là G và H 17 GV: Nguyễn Tiến Diệp (18) Trường THPT C Duy Tiên CMR : AD + BE + CF = GH Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR : ⃗ OA OB OC OD a/ + + + = b/ EA + EB + EC = AB c/ EB + EA + ED = EC Bài 7: Cho ABC có M, D là trung điểm AB, BC và N là điểm trên cạnh AC cho AN = NC Gọi K là trung điểm MN 1 a/ CMR : AK = AB + AC 1 b/ CMR : KD = AB + AC Bài 8: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D và E cho AD = DB , CE = EA Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR : 1 a/ AM = AB + AC b/ MI = AB + AC Bài 9: Cho lục giác ABCDEF ⃗ tâm ⃗O cạnh a a) Phân tích AD theo AB và AF ⃗1 1⃗ AB BC b) Tinh theo a Bài 10: Cho tam giác AM (M là trung điểm BC) ⃗ ABC có⃗ trung tuyến Phân tích AM theo AB và AC Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi ⃗M là trung⃗ điểm AB, ⃗ N là điểm trên AC cho NA=2NC Gọi K là trung điểm MN Phân tích AK theo AB và AC Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài cho 5JB = 2JC a) Tính AI , AJ theo AB, AC ⃗ AG b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính theo AI và AJ Bài 16: Cho điểm A, B, C, D thỏa AB + AC = CMR : B, C, D thẳng hàng ⃗ ⃗ MC NA NC MB PA PB Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P cho =3 ; +3 = và + = a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ là điểm đối xứng M qua các trung điểm K, I, J các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC 18 GV: Nguyễn Tiến Diệp (19) Trường THPT C Duy Tiên Bài 20: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ C MA MB MC O MA MB a/ b/ c/ | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ C C d/ e/ | §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ ⃗ Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và vectơ i có độ dài ⃗ ⃗ Ký hiệu trục (O; i ) x’Ox i x x' O I ⃗ O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị trục tọa độ Tọa độ vectơ và điểm trên trục ⃗ i OM mi Số m gọi là + Cho điểm M nằm trên trục (O;⃗ ) Khi đó có số m cho tọa độ m trục (O;⃗ i ) (nó là tọa độ OM ) ⃗ ⃗ ⃗ i ) Khi đó có số x cho u xi Số x gọi là tọa độ + Cho vectơ u trên trục (O; ⃗ ⃗ u vectơ trục (O; i ) Độ dài đại số vectơ trên trục ⃗ ⃗ i AB Cho A,B nằm trên trục (O; ) Khi đó có số a cho = a i Ta gọi số a là độ dài đại số AB trục đã cho ⃗ Kí hiệu: a= AB Như AB = AB i *Nhận xét:⃗ ⃗ + Nếu ⃗AB ⃗ i thì AB = AB + Nếu AB i thì AB = AB ⃗ + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ là a và b thì AB = ba Tính ⃗ ⃗chất:⃗ ⃗ AB CD AB CD + + AB BC AC (hệ thức Salơ) Hệ trục tọa độ y j i O x Hệ trục tọa độ Hệ trục tọa độ vuông góc gồm trục tọa độ Ox và Oy⃗vuông góc Vectơ đơn vị trên Ox là ⃗ ⃗ ⃗ i , vectơ đơn vị trên Oy là j Ký hiệu Oxy (O; i ; j ) + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung + Khi mặt phẳng đã cho hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ j j i a i a Đối với hệ trục (O; ; ), =x +y thì cặp số (x;y) là toạ độ 19 GV: Nguyễn Tiến Diệp (20) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ Ký hiệu a = (x ; y) a (x ; y)⃗ ⃗ Nhận xét: (hai vectơ nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’) ⃗ ⃗ x x ' y y ' a =b ⃗ ⃗ Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’) Khi đó: ⃗ ⃗ a 1) ⃗ b = (x x’; y y’) 2) k a⃗=(kx⃗; ky) với k 3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’) x y x kx ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ xy ' yx ' 0 y ky ' x ' y ' 4) a // b có số k thỏa a =k b Tọa độ điểm hệ trục tọa độ y M2 O M(x;y) M1 x OM Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ⃗tọa độ vectơ gọi là tọa độ điểm M Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ M OM =(x ; y) Khi đó, ta viết M(x ; y) M(x ; y) + x gọi là hoành ⃗ độ điểm ⃗ là tung độ điểm M ⃗ M,⃗y gọi + M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y) x= OM1 ; y= OM + Gốc tọa độ là⃗O(0;0) Tọa độ vectơ MN biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có : MN = (xM – xN ; yM – yN) Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; y P ) là trung điểm đoạn thẳng MN thì: xM xN yM y N xP = 2 ; yP = Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) tính theo công thức: x A xB xC y A yB yC 3 xG = ; yG = 20 GV: Nguyễn Tiến Diệp (21) Trường THPT C Duy Tiên → 1) | u | = → với u = (x;y) BÀI TẬP CƠ BẢN ⃗ ⃗ ⃗ y − y ¿ a xi y j A dạng 1) Biểu −→ diễn vectơ aB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2) | ABa | = x B − x A ¿ +¿ với A(xA ; yA) , B(xB ; yaB) a a a) =(1;1) ¿ c) =(0;2) d) =(0;0) ⃗ b) =(5;0) √¿ u 2) Xác định tọa độ vectơ , biết: 3) Cho hai điểm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k thì 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ M(xM ; yM) có toạ độ là: j j u =2 iy+ −3 ky a) u =3xi A4 b) c) u = 3 i d) u = j − kx B A B ⃗ xM= yM = ; (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB) 1−của k vectơ c , biết: 1− k 3) Xác định tọa độ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 4) Ba điểm A(x A ;byA) , B(x B ; yB),bC(xC ; yC) thẳng hàng c a a c a) = +3 ; với (2;1), (3;4) Tính độ dài ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ xC x A yC y A xCb x A a yC ybA c a b) =2 5 ; với (1;2), (2;3) ⃗ x x ⃗y y ⃗ x x yB y A AC / / AB B A B A c B A Đáp án: a) không thẳng hàng c =(11;11), | |=11 ba điểm A,b)B,cC=(8;19) → → → 4) Cho a =(2;4); b =(-3;1); c =(5;-2) Tìm vectơ: → √ x2 +⃗y → → → → → → a) m=2 a +3 b − c b) n =24 a +14 c ⃗ m n Đáp án: a) = (30;21) b) =(upload.123doc.net;68) 5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3) , BA a) Xác định tọa độ các vectơ AB b) Tìm tọa độ điểm M cho ⃗BM (3;0) c) Tìm tọa độ điểm N cho NA (1;1) Đáp án: a) AB (2; 2), BA ( 2; 2) b) M(4;3) ⃗ ⃗ c) N(2;0)⃗ ⃗ 6) Cho vuông ABCD có cạnh là a=5 Chọn hệ trục tọa độ (A; i, j ), đó i và AD cùng hướng, ⃗ hình ⃗ j và AB cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông, giao điểm I hai đường chéo, trung điển N BC và trung điểm M CD Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0) 5 5 I ( ; ), N ( ;5), M (5; ) 2 2 BAD 60 Chọn 7) Cho hình bình hành ABCD có AD= và chiều cao ứng với cạnh AD 3, góc ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ i , j hệ trục tọa độ (A; ), đó i và AD cùng hướng Tìm tọa độ các véctơ AB, BC , CD, AC Đáp án: Kẻ BHAD, ta có BH=3 AB=2 (vì HAB vuông và BAD 60 ) 3 ;0), D=(4;0) ⃗ AH= ⃗Do đó;A(0;0), ⃗ B( ;3), C(4+ ⃗ AB ( 3;3), BC (4;0), CD ( 3; 3), AC (4 3;3) 8) Cho tam giác ABC Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) là trung điểm các cạnh BC, CA và AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1) 9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D Đáp án: D(3;0) 10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8) ⃗ a) Xác định tọa độ AB Tính AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm C biết A là trung điểm BC 21 GV: Nguyễn Tiến Diệp (22) Trường THPT C Duy Tiên d) A’ là điểm đối xứng A qua B Tìm tọa độ A’ Đáp án: a) AB =(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) a) Tìm tọa độ trọng tâm G b) Tính chu vi tam giác ABC Đáp án: a) b) 12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5) Tính tọa độ các véc tơ AG, GM , AM Tính chu vi tam giác ABC Đáp án: AG , GM , AM 13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng: b) AF BF 4CF 0 a) CE 3 AB AC Đáp án: −→ −− → 14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1) Xác định t để AB = CD Đáp án: t=1 15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương c) a = (-1;4) và b = (3;7) 16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương ⃗ ⃗ ⃗ b a) a =(2;3), ⃗=(4;x) d) a = (-1;-3) và b =(1;2) ⃗ b) u⃗ =(0;5), v =(x;7) ⃗ a b d) =( t+1;2) =(3;4-t) c) m =(2;3), n =(1;x) Đáp án: b) a =( = -1) và b = (-2; ) a) a = (1;2) và b = (3;6) a) x= c) x= b) x= d) t=1; t=2 17) Biểu diễn véctơ c theo hai véctơ a và b a) c = (4;7) ; a = (2;1) b) c = (1;3) ; a = (1;1) c) c = (0;5) ; a = (4;3) ; b = (-3;4) ; b = (2;3) ; b = (2;1) c1 ma1 nb1 c ma nb 2 HD: Tìm các số m, n cho c = m a + n b giải hệ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 4 ⃗ ⃗ Đáp án: a) c = a +2 b b) c = a b c) c = a 2 b AD 18) Cho bốn⃗điểm A(1;1), theo AB , AC ⃗ B(2;1), C(4;3) và D(16;3) Hãy biểu diễn Đáp án: AD =3 AB +4 AC 19) Cho ⃗ba điểm ⃗ A(1;1), B(1;3), C(2;0) Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng HD: AB AC 20) Cho A(3;4), B(2;5) Tìm x để điểm ⃗ ⃗C(7;x) thuộc đường thẳng AB Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC / / AB x=14 21) Cho bốn điểm⃗A(0;1), ⃗ B(1;3), C(2;7), D(0;3) Chứng minh đường thẳng AB//CD Đáp án: ta có CD AB AB và CD song song trùng ⃗ ⃗ AC (2;6), AB (1; 2) Ta 22 GV: Nguyễn Tiến Diệp (23) Trường THPT C Duy Tiên AC không cùng phương AB C không thuộc AB CD//AB 22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C Đáp án: C(0;4) 23) Cho A(2;1), B(4;5) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB và tọa độ diểm C cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ Đáp án: I(1;3), C(2;6) 24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ⃗ ⃗ ABC HD: a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC b) G(1;4) ⃗⃗ ⃗ ⃗ i , j 25) ⃗Cho tam ), đó O là trung điểm BC, i OC , ⃗ giác ABC cạnh a Chọn hệ tọa độ (O; j OA a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đáp án: a) A(0; a a a ), B ( ;0), C ( ;0) 2 a a E( ; ) 4 b) c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G ⃗⃗ ⃗ ⃗ i , j 26) ⃗ Cho lục ), đó O là tâm lục giác đều, i OD , ⃗ giác ABCDEF Chọn hệ tọa độ (O; j EC Tính tọa độ các đỉnh lục giác biết độ dài cạnh lục giác là Đáp án: A(6;0), D(6;0) 27) Cho A(-1; 2), B (3; ⃗-4), C(5; 0) Tìm ⃗ tọa độ điểm D biết: CD BD a) AD ⃗ – 2⃗ + 3⃗ = ⃗ b) AD – AB = BD + BC c) ABCD hình bình hành d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD 28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ A, B b) Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua B ⃗ c) Tìm tọa ⃗ độ C, D ⃗ biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) 29) Cho a =(2; 1) ; b =( ; 4) và ⃗c =(7;⃗ 2) ⃗ ⃗ a) Tìm tọa độ vectơ u = a - b ⃗+ c⃗ ⃗ ⃗ ⃗ x + a =b - c b) Tìm tọa độ vectơ x⃗thỏa ⃗ ⃗ c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a + n b 30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để điểm A, B, C thẳng hàng 31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5) Chứng minh A, B, C thẳng hàng BÀI TẬP THÊM 1/ Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ là 2 và a/ Tìm tọa độ AB b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB ⃗ MA MB c/ Tìm tọa độ điểm M cho +5 = 23 GV: Nguyễn Tiến Diệp (24) Trường THPT C Duy Tiên d/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = 1 2/ Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ là a, b, c a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB ⃗ MC MA MB b/ Tìm tọa độ điểm M cho + = c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA NB = NC 3/ Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ là 3 và a/ Tìm tọa độ điểm M cho MA MB = c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB 4/ Trên trục x'Ox cho điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 1 a/ CMR : AC + AD = AB b/ Gọi I là trung điểm AB CMR : IC ID IA c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC AD AB AJ TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 5/ Viết tọa độ các vectơ sau : a = i j , b = i + j ; ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c = i + j ; d = i ; e = 4 j ⃗ ⃗ ⃗ u i 6/ Viết dạng = x + y j , biết : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0) ⃗ ⃗ a 7/ Trong mp Oxy cho = (1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài các vectơ : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a/ u = a b b/ v = a + b c/ w = a b 8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ Tìm tọa độ các vectơ AB , AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB c/ Tìm tọa độ điểm M cho : CM = AB AC ⃗ d/ Tìm tọa độ điểm N cho : AN + BN CN = 9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC 10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC b/ Gọi D(3; 1) CMR : điểm B, C, D thẳng hàng c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành 11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4) a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó 12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M cho ABM vuông M 13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5) a/ Hãy tìm trên trục hoành điểm C cho ABC cân C 24 GV: Nguyễn Tiến Diệp (25) Trường THPT C Duy Tiên b/ Tính diện tích ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành 14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ CMR : ABC vuông cân d/ Tính diện tích ABC BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nó thỏa mãn các điều kiện sau ? a) AB AC AB AC AB AC AB CA b) Vectơ vuông góc với vectơ Bài :Tứ giác ABCD là hình gì nó thỏa mãn các điều kiện sau ? a) AC BC DC b) DB m DC DA Bài 3:Cho tam giác ABC , với số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ cho AA' k BC , BB' k CA Tìm quĩ tích trọng tâm G’ trung điểm A’B’C Bài 4: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,, N, P và Q là trung điểm AB, BC, CD và DA Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm Bài 5: :Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ thuộc vào vị trí điểm M Hãy dựng điểm D cho v MA MB MC không phụ CD v Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng A qua O a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành b) Chứng minh : HA HD 2 HO HA HB HC 2 HO OA OB OC OH c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH 3OG Từ đó kết luận gì điểm G, H, O Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh : a) BB ' C ' C DD' 0 b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM 1/ Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM 25 GV: Nguyễn Tiến Diệp (26) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ IC IA IB a/ CMR : + + = b/ Với điểm O CMR : OA + OB + OC = OI 2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC a/ CMR : AI = AO + AB b/ CMR : DG = DA + DB + DC 3/ Cho ABC Lấy trên cạnh BC điểm N cho BC = BN Tính AN theo AB và AC 4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm BC, CD AI AD AB a/ CMR : = ( +2 ) ⃗ b/ CMR : OA + OI + OJ = ⃗ c/ Tìm điểm M thỏa : MA MB + MC = 5/ Cho ABC và điểm M tùy ý a/ Hãy xác định các điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC và MF = MB + CA CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF 7/ Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện : a/ MA = MB ⃗ b/ MA + MB + MC = c/ MA + MB = MA MB d/ MA + MB = MA + MB e/ MA + MB = MA + MC 8/ Cho ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định AD = AB , AE = AC a/ Tính AG , DE , DG theo AB và AC b/ CMR : D, E, G thẳng hàng 9/ Cho ABC Gọi D là điểm xác định AD = AC và M là trung điểm đoạn BD a/ Tính AM theo AB và AC IB AM b/ AM cắt BC I Tính IC và AI 10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2) a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách điểm A và B b/ Tính chu vi và diện tích OAB c/ Tìm tọa độ tâm OAB d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy M và N Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ? 26 GV: Nguyễn Tiến Diệp (27) Trường THPT C Duy Tiên e/ Phân giác góc AOB cắt AB E Tìm tọa độ điểm E f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành 27 GV: Nguyễn Tiến Diệp (28) Trường THPT C Duy Tiên Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 00 đến 1800) 1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = và M(x0;y0) Khi đó ta định nghĩa: sin góc là y0; ký hiệu sin = y0 côsin góc là x0; ký hiệu cos = x0 y0 y0 tang góc là x0 ( x 0); ký hiệu tan = x0 x0 x0 côtang góc là y0 ( y0 0); ký hiệu cot = y0 * Dấu các tỉ số lượng giác: 00≤ ≤900 900< <1800 sin + + cos + tan + cot + * Chú ý: + tan xác định 900 + cot xác định 00 và 1800 Tính chất : Hai góc bù (tổng hai góc 1800) sin( 1800 ) = sin cos ( 1800) = cos tan (1800) = tan ( 900) cot ( 1800 ) = Cot ( < < 1800) Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác góc a.45 b.1200 c 1350 Giải: 2 a Sin 45 = , cos 45 = , tan 450=1, cot 450 = 3 0 0 b Sin 120 = , cos 120 = - , tan120 = - , cot120 = - c Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 Giải: A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) Góc hai vectơ =0 a b A O B ⃗ Cho hai véctơ a , b Từ điểm O tuỳ ý dựng OA = a , OB = b Góc 00≤ AOB ≤1800 gọi là góc hai véctơ a , b Kí hiệu là: ( a , b ) 28 GV: Nguyễn Tiến Diệp (29) Trường THPT C Duy Tiên Nếu ( a , b )= 900 thì ta nói a vuông góc b Kí hiệu: a b 29 GV: Nguyễn Tiến Diệp (30) Trường THPT C Duy Tiên * Chú ý: : + ( a , b )= ( b , a ) + ( a , b )= 00 a cùng hướng b + ( a , b )= 1800 a ngược hướng b * Quy ước: Nếu ít hai véc tơ a và b là véctơ thì ta có thể xem góc bao nhiêu Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông A và góc B= 500 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác góc Xem SGK.Tr39+40 Các hệ thức sin cos a) Nếu cos 0 thì cos cot sin b) Nếu sin 0 thì 2 c) sin + cos = d) tan cot = 1 2 e) + tan = cos f) + cot2 = sin * Góc phụ Sin(900- ) = Cos Cos(900- ) = Sin tan(900- ) = Cot cot(900- ) = tan * Góc đối sin(- ) = - sin cos(- ) = cos * Chú ý: sin2 = (sin)2 sin2 tan BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Cho = 1350 Tính sin, cos, tan và cot HD: sin1350 = sin(1800450)= sin450 2/ Cho tam giác cân ABC có B C =150 Hãy tính các giá trị lượng giác góc A HD: vì A 180 ( B C ) sinA= sin(1800300) 3/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= asin0o + bcos 0o + c sin 90o ; B= acos90o + bsin 90o + c sin180o; C= a2 sin90o + b2cos 90o + c.cos18Oo; 4/Tính giá trị biểu thức sau : A= sin2 90o + 2cos2 90o 3tan245o; B= a2 sin2 90o 3(a.tan245o )2+ 2a.cos45o 5/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= sinx + cosx x = 0o, 45o, 60o B= 2sinx+ cos2x x = 60o, 45o, 30o C= sin2 x + cos2x x = 30o, 45, 30o,60o,90o,145o 30 GV: Nguyễn Tiến Diệp (31) Trường THPT C Duy Tiên 6/ Biết cosx= , tính P = 3sin 2x + 4cos2x 7/ a) Cho góc nhọn mà sin= Tính cos và tan b) Cho góc mà cos= Tính sin, tan,và cot Kết quả: c) Cho tanx= 2 Tính cotx, sinx và cosx d) Cho cot = Tính tan, sin và cos 8/ Chứng minh các đẳng thức : a) ( sin + cos)2 = + 2sin.cos b) ( sin cos)2 = 2sin.cos c) sin4x cos4x = 2sin2x 1 c) sin4x + cos4x = - sin2x cos2x d) sinx.cosx( 1+ tanx )( + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx 9/ Đơn giản các biểu thức: A = cosy + siny tany; Đáp số: A=1/cosy B = cos b cos b Đáp số: B= sinb (vì sinb>0) sin a tan a | cos a | tan a C = sina tg a Đáp số: C= 0 0 D= sin100 +sin80 +cos16 +cos164 10/ Tính a) cos2120+cos278o+ cos210+cos278o Đáp số: a) 2; b= b) sin23o+sin215o+ sin275o+ sin287o 11/ Đơn giản các biểu thức: A = sin( 90o x ) cos( 180o x ) Đáp số: A=cos2x o o B = cos( 90 x ) sin ( 180 x ) Đáp số: B= sin2x Bài : Biết sin15o = Tính các tỉ số lượng giác góc 15o 00 a<900 900 <a 1800 BÀI TẬP Bài : Tính các hàm số lượng giác (sin ,cos ,tg ,cotg ) các góc sau a = -1500 b = 1350 c = -600 0 d = -45 e = -180 Bài : Tính giá trị biểu thức A = 2sin6 -cos4 + tg( +450)+2cos6 , với = 450 Kq2 A = B = 3sin600-2cos300+3tg600-4cotg900 C = 3-sin900 +2cos2600-3tg2450 Kq2 B = 2 Kq C = - ( sin 530 cos 530 ) cot g 34 sin 37 0 ( cot g 37 )tg 56 D= Kq2 D = (tg126 cot g 36 ) cos 54 cos144 E= Kq2 E = -2 Bài : Cho sin = với 00< <900 Tính cos ,tg ,cotg 31 2 Kq2 cos = GV: Nguyễn Tiến Diệp (32) Trường THPT C Duy Tiên 15 Bài : Cho cos = 17 với 900< <1800 Tính sin ,tg ,cotg Kq2 sin = 17 Kq2 cos = ( 1) Bài : Cho cotg = 2 với 00 < <900 tính sin ,cos ,tg Kq2 sin = 3 Bài : Cho sin = Tính cos ,tg ,cotg Kq2 cos = Bài : cho tg = Tính sin ,cos ,cotg ; 6 ( 1) Bài : Cho cos = Tính sin ,tg ,cotg Kq2 sin = 21 0 Bài : Cho sin = với 90 < <180 Tính cos ,tg ,cotg Kq cos = Bài 10 : Cho biết cot gα tgα a) sin = , tính A = cot gα tgα Kq2 A = cos sin b) tg = -2 , tính B = cos sin Kq2 B = sin cos 2 C = sin sin cos cos Kq C = c) tg =3 , tính tg cot g d) cos = , tính D = tg cot g Kq2 D = tg cot g 3 0 cos e) sin = và < <90 , tính E = Kq E = cos sin cos sin f) cotg = , tính F = Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau A =(1+cos )cotg2 (1-cos ) B = cos2a +cos2acotg2a Kq2 F = 20 Kq2 A = cos2 Kq2 B = cotg2a cos sin cos C = sin 4 Kq2 C = Kq D = 2 D = sin x + cos x + 2sin xcos x-1 tgx tgy E = cot gx cot gy F = (sin +cos ) -1-2sin cos G = cos100 + cos200+ cos300+…+ cos1700 + cos1800 Kq2 E = tgxtgy Kq2 F = Kq2 G = -1 cos(900 ) cot g ( 900 ) sin(1800 ) cot g (1800 ) cot g (90 ) H= Kq2 H = -1 I = cos200 + cos400 +…+ cos1600 + cos1800 Kq2 I = -1 J = sin(90 - ) + sin(180 - )-cos +sin Kq2 J = 2sin K = 2sin -3cos(900- )+tg900- )+2cotg(1800- )+2sin -3cotg Kq2 K = sin -4cotg L = sin2100+sin2200+sin2300+…+sin2700+sin2800+sin2900 Kq2 L = 32 GV: Nguyễn Tiến Diệp (33) Trường THPT C Duy Tiên M = cos2150+cos2250 + cos2450 + cos2650+cos2750 Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau a) sin6 + cos6 = - 3sin2 cos2 Kq2 M = sin cos sin b) cos c) tg2 - sin2 = tg2 sin2 d) tg 2 sin tg 6 2 cot g cos e) sin cos2 1 sin cos 1 tg 2 cot g 2 sin f) cos cos x cos x cos x cos x sin x g) (00 < x < 900) h) cos2 x sin x sin x cot g x 2 sin x cos x cos x l) sin x cos x cos x sin x sin x sin a 1 2tg 2a sin a cos a tga sin a cos a tga cot g 2a 1 tg 2a cot ga m) cos (1 cos )2 1 2 cot g 2 sin sin i) j) k) 1 n) sin cos2 sin cos cot g tg tgx sin x cos x(1 cos x) sin x o) sin x cos x cot g x cos x sin x cos x sin x cot g x p) sin x cos x cos3 x q) 1+ tgx + tg x + tg x = 33 GV: Nguyễn Tiến Diệp (34) Trường THPT C Duy Tiên 1 cos x cos x r) cos x sin x sin x sin x(1 cot gx) cos2 x(1 tgx) sin x cos x s) cos 1 cos cos = cotg 00< <900 t) cos cos 2 cot g cos cos u) 00< <900 sin sin 2tg sin sin v) 900< <1800 w) sin3x(1+cotgx)+cos3x(1+tgx) = sinx+cosx x) sin x cos2 x 1 sin x.cos x (sin x cos x) sin x cos2 x cos x tg x 2 cos x sin x sin x y) Bài 13 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x ) A = cos6x+2sin6x+sin4xcos2x+4sin2xcos2x-sin2x sin (1800 x) cos(900 x) sin x tg 2(900 x) B = tg x C = sin(900-x)+cos(1800-x)+sin2x+sin2xtg2x-tg2(1800-x) sin x sin 3x cos 3x sin 3x cos 3x sin x cos x D = sin x cos x BÀI TẬP Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a A=( 2sin 300 + cos 135 – tan 1500)( cos 1800 -cot 600) b B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2: Đơn gian các biểu thức: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) (Với 00< <900) Bài : a) Chứng minh sin2x +cos2x = ( 00 x 1800) b)Tính sinx cosx = c) Tính sinx.cosx sinx – cosx = d) Chứng minh + tan2 x = cos x ( Với x 900 ) e) Chứng minh + cot2 x = sin x ( Với 00 < x < 18000 ) Bài : Tính giá trị biểu thức: A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 34 GV: Nguyễn Tiến Diệp (35) Trường THPT C Duy Tiên Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B = c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm ⃗ góc ⃗ ⃗ G Tính a) AB ⃗ và AC ⃗ AB và BC b) ⃗ ⃗ ⃗ c) AG và BC c) GA và AC d) GB và GC 7/ Cho ABC Chứng minh : a/ sinA = sin(B + C) AB C c/ sin = cos b/ cosA = cos(B + C) A BC d/ sin = cos AB C e/ sin = cosC §2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÉCTƠ 1/ Định nghĩa: Tích vô hướng hai véctơ a và b là số, kí hiệu là a b , xác định bởi: a.b = a b cos(a, b) ⃗ ⃗ Bình phương vô hướng a = a 2 + a b = | a |.| b | a cùng hướng b * Chú ý: + a b = - | a |.| b | a ngược hướng b 2/ Các tính chất: Cho a b c ; k R + a b = b a ( Tính giao hoán) + a b = <=> a b + (k a ) b = k ( a b ) + a ( b c ) = a b a c (Tính chất phân phối phép cộng và trừ ) → → → → → → + ( a ± b )2= | a |2 ± a b + | b |2 → → → → → → + ( a + b )( a - b ) = | a |2 - | b |2 3/ Công thức hình chiếu Tích vô hướng hai véctơ a và b tích vố hướng véctơ a với hình chiếu b' véctơ b trên đường thẳng chứa véctơ a a b = a b' 4/ Biểu thức toạ độ tích vô hướng → → Cho a = (x, y) , b = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có → → a b = x.x' + y.y' → |a | = x2 + y2 35 GV: Nguyễn Tiến Diệp (36) Trường THPT C Duy Tiên xx'+ yy ' → → x + y x '2 + y '2 Cos ( a , b ) = → → a b xx' + yy' = → ( xM _ x N ) + ( y M _ y N ) MN = | MN | = 5/ Phương tích điểm đường tròn Cho đường tròn (O,R) và điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, luôn qua điểm M cắt đường tròn (O,R) A, B Phương tích điểm M, đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O) P M/(O) = MO – R = MA.MB 2 Nếu M ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì * Bất đẳng thức vectơ → → | a b | → → | P M/(O) = MT → a |.| b | → | a + b | | → → a |+| b | → → Ví dụ 1: Cho a = (1, 2), b = (-1, m) → → a) Tìm m để a , b vuông góc → → → → b) Tính độ dài a , b ; tìm m để | a | = | b | Giải a) a b -1 + 2m = 0 m = → → → b) | a | → = 1+ = |b | = 1+ m → → |a | = |b | = + m2 m = ± Ví dụ2: cho ABC cạnh a và trọng tâm G; tính AB AC ; AC CB ; AG AB ; GB GC ; BG G A ; GA BC Giải AB AC = a.a cos 60 = a2 AC CB = a.a cos 1200 = - a2 a a cos 30 = a AG AB = a 3a a2 cos 120 = GB GC = 3 a 3a a2 cos 60 = BG G A = 3 GA BC =0 vì GA BC Ví dụ 3: Trong Mp(Oxy) cho điểm M(-2;2),N(4,1) 36 GV: Nguyễn Tiến Diệp (37) Trường THPT C Duy Tiên a)Tìm trên trục ox điểm P cách điểm M,N b)Tính cos góc MON Giải a) p ox => P( xp,0) MP = NP <=> MP2 = NP2 <=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12 Vậy P ( ,0) b) OM = (-2,2), ON = (4,1) - 2.4 + 2.1 Cos MON = cos( OM , ON )= 17 = 34 BÀI TẬP 1/ Cho ABC vuông A có AB = 3a, AC = 4a Tính AB AC , CA AB , CB CA , AB BC 2/ Cho ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a/ Tính AB AC suy góc A b/ Tính CA CB c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA cho CD = Tính CD CB , AD AB 3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a a/ Tính AB AC b/ Tính AB BD c/ Tính ( AB + AD )( BD + BC ) d/ Tính ( AC AB )(2 AD AB ) 4/ Cho ABC có cạnh a và I là trung điểm BC Tính các tích : AB AI , AC BC , AI BC , AI CA 5/ Cho ABC biết AB = 2; AC = và  = 120o a/ Tính AB AC b/ Tính BC c/ Tính độ dài trung tuyến AM ⃗ IA IB d/ Gọi I, J là điểm xác định = 0; ⃗ JB JC = Tính IJ 6/ Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4) a/ CMR ABC vuông A b/ Tính BA BC c/ Tính cosB 7/ Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5) a/ CMR ABC vuông b/ Tính AB AC c/ Tính cosA 37 GV: Nguyễn Tiến Diệp (38) ⃗ ⃗ a 8/ Cho = (4; 3) , b = (1; 7) ⃗ ⃗ a/ Tính a b ⃗ ⃗ a b/ Tính góc vectơ và b Trường THPT C Duy Tiên 9/ Cho ABC có AB = ; BC= ; AC = a) Tính AB AC vâ suy cosA ? b) Gọi G là trọng tâm Tính AG BC ? ĐS: a) - ; - b) 10/ Cho ABC có AB = ; AC = ; A = 120o a) Tính AB AC và suy độ dài BC ? b) Tính độ dài trung tuyến AM ? ĐS: a) BC = 19 b) /2 11/ Cho ABC có AC ; BC= ; AB= ; có AD là phân giác a) Tính AD theo AB ; AC b) Tính AD ? 3 ĐS: a) AD = AB + AC ; - b) C BÀI TẬP: A Trắc nghiệm : Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại⃗ A, AB = a ; BC = 2a * Tính tích vô hướng CA CB a) a2 b) ⃗ 3a ⃗ c) a2 d) a2 * Tính tích vô hướng BA BC a) a2 b) a2 d) a2 c) - a2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a b Câu 2: Cho =(3; -1) và =(-1; 2) Khi đó góc và là a) 300 b) 450 c) 1350 d) 900 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Câu 3:Cho a =( ; 5) và b = (3 ; -7) Khi đó góc a và b là a) 450 b) 300 c) 1350 d) 1200 Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng a) m = b) m = c) m = -2 d) m = Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC là hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6) Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4) Tam giác ABC là tam giác gì a) Cân b)Vuông cân c) Vuông d)Đều 38 GV: Nguyễn Tiến Diệp (39) Trường THPT C Duy Tiên Câu 7: Cho AB =(2x - ; 2) ; AC =(3 – x; -2) Định x để A , B , C thẳng hàng a) x = b) x = -2 c) x = d) x = -1 Câu 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Phát biểu nào đúng a) AB = AC b) AG = AC c) AG AB = AG AC d) GA + GB + GC = Câu 9:Cho (O,5), điểm I ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16 a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15 C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4) Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC: a) I(2;5) b) I( ; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4) Câu 11:Đường tròn qua điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I là : a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) Câu 12: Phát biểu nào là sai a) Nếu AB = AC thì | AB | =| AC | d) I( 2; -0.5) b) Nếu a b = a c thì b = c d) AB - CD = DC - BA c) AB AC = BA CA Câu 13: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm là G Phát biểu nào là đúng a) AB = AC b) | AB + AC | = 2a c) AB AC = a2 d) AG BC = Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a Kết nào đúng a) AB AC = a2 b) AB AD = a2 c) AC BD = 2a2 d) AB CD = Câu 15:Cho (O,30), điểm I ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96 a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81 Câu 16:Chỉ công thức đúng a) a = a 2 b) a = | a | c) a = a d ) a = |a | Câu 17 : Cho tam giác ABC cạnh a.Tích vô hướng AB BC nhận kết nào a) a2 a b) - a c) d) a2 Câu 18:Cho AB CD = AB CD thì phát biểu nào sau đây là đúng: a) AB ngược hướng CD b) A, B, C, D thằng hàng c) AB cùng hướng CD d) AB = CD Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông C thì giá trị m là : a) m = hay m = b) m = hay m = c) m = hay m = -7 d) m = hay m = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a Câu 20: Cho =(m -2m+2 ; 3m-5), =(2;1) Tìm giá trị m để b 1 a) m = b)m = - c)m = m = - d) Cả a ; b ; c đúng 39 GV: Nguyễn Tiến Diệp (40) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a Câu 21: Cho =(4;3) và =(1;7) Khi đó góc vec tơ ( , b ) là : a) 300 b) 450 c) 600 d) Kết khác Câu 22: Cho tam giác ABC cạnh a có G là trọng tâm: * Phương tích G với đường tròn đường kính BC a2 a) - a2 b) a2 c) - a2 d) - * Phương tích A với đường tròn đường kính BC a2 a) a2 b) 3a d) c) a2 Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a: * Phương tích A với đường tròn đường kính CD a d) a) a b)a2 c)2a2 * Phương tích A với đường tròn tâm C có bán kính = a a2 a) B.Tư luận a2 b) c) a2 d) 2a2 Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1) a) Chứng minh tam giác vuông b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6) a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân M b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông N c) Xác định H,K để ABHK là⃗hình bình ⃗ ⃗ hành nhận J(1;4) làm tâm d) Xác định C thỏa AC - BC = AB e) Tìm G cho O là trọng⃗ tâm⃗ tam⃗giác ABG f) Xác định I x’Ox để | IA + IB + IN | đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5) a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vuông M b) Tìm C để OACB là hình bình hành ⃗ ⃗ Bài 4: Cho⃗ a =( ; -5) và ⃗b =( k ; -4) Tìm k để: b a) a⃗ cùng phương ⃗ b) a⃗ vuông⃗ góc b c) | a⃗| = | b | ⃗ Bài 5: Cho a =(-2; 3) ; b =( ; 1) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ j ; a + b và a - b a b a a a) Tính cosin góc hợp ⃗ và⃗ ; và i ; ⃗ và ⃗ a +n b vuông góc a + b b) Tìm số m và n cho m ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c) Tìm d biết a d = và b d = -2 Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2) a) Tam giác ABC là tam giác gì Tính diện tích tam giác b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 40 GV: Nguyễn Tiến Diệp (41) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ Tính G, H , I và CMR GH +2 GI = Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông B d) Tam giác ABC là tam giác gì ? e)Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Bài 8: Cho ABC có AB=7, AC=5,  = 1200 a) Tính AB AC , AB BC b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC) Bài 9: Cho điểm A,B,C.D: chứng minh rằng: DA BC + DB CA + DC AB =0 Từ đó suy cách chứng minh định lý “3 đường cao tam giác đồng quy” Bài 10: Cho ABC có trung tuyến AD, BE,CF; CMR: BC AD + CA BE + AB CF =0 Bài 11 : Cho ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = và AD là phân giác góc BAC ( D thuộc cạnh BC) a) Hãy biểu thị AD qua AB , AC b) Tính độ dài đoạn AD 5) Cho điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= R, AM ∩ BN =I a) Chứng minh: AM AI = AB AI BN BI = BA BI b) Tính AM AI + BN BI theo R Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA MB = k b) MA2 - MB2 = k2 Bài 12: Từ điển M ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; tiếp tuyến A,B đường tròn (0) cắt I, IO AB D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO H và cắt AB C; cắt đường tròn (0) E, F Chứng minh : a MA.MB = MC.MD b OF2 = OH.OM c IE.IF = IC.IH d PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH) Bài 13: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt M chứng minh điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn và MA.MB = MC.MD → 1→ → → → → u = i- 5j v = k i j Bài 14: Trong mặt phẳng toạ độ cho và Tìm các giá trị k để : → → a u ⊥v → → u= v → b → Bài 15: Cho a = (-2, 3), b = (4,1) a Tim côsin góc cặp vectơ sau : 41 GV: Nguyễn Tiến Diệp (42) Trường THPT C Duy Tiên → → → → → → → → * a và b , a và i , a + b và a - b → → → b Tìm các số k và l cho c = k a + l b ⃗⃗ a.d 4 ⃗ ⃗ b.d c Tìm vectơ d biết → → Vuông góc với a + b Bài 16: Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ a Điểm M ox cho MAB vuông M b Điểm N oy cho NA = NB c Điểm K oy cho3 điểm A,K,B thẳng hàng d Điểm C cho ABC vuông cân C Bài 17: Cho điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a Tính chu vi và diện tích ABC b Gọi A’ là hình chiếu vuông góc A trên BC; tìm toạ độ A’ c Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ đó chứng minh điểm I,H,G thẳng hàng Bài 18: Cho điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn Bài 19: Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến CT và CT’ Gọi D là giao điểm TT’ và AB H và I là trung điểm của TT’ và AB a) CMR : MA MB = MO MH = MI MD b) Cho AB = cm Gọi (C1) là đường tròn tâm A, bán kính = cm, (C2) là đường tròn tâm B, bán kính = 3cm Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + P N/(C2) = 15 Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11 Qua I vẽ cát tuyến IAB và ICD Cho IA = 12, tính IB Cho CD = 1; tính IC ; ID Bài 22: Điểm I nằm (O;R), qua I vẽ dây AB và CD Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32 IC b) IA =12 ; IB = 18 ; ID Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB Cho AB = a) Tính MT ; MA ; MB b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO E Tính OE Bài 24: Cho (O;30); I ngoài đường tròn , vẽ cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt đường tròn E và F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF Bài 25: Cho tam giác ABC có đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy H CMR : HA HA ' = HB HB ' = HC HC ' Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B M là điểm trên cạnh AB kéo dài Qua M vẽ tiếp tuyến MT, MT’, cát tuyến MCD, MC’D’ (O) và (O’) CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A và đường cao AH Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không trên đường BC kéo dài) CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) Bài 28: tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC điểm thứ là E và cắt (O) D AD cắt BC F.Chứng minh rằng: a) FB FC = FE FM b) EB EC = EF EM c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt M Vẽ MH vuông góc với OP 42 GV: Nguyễn Tiến Diệp (43) Trường THPT C Duy Tiên a) CMR : điểm O , A , B, M , H trên đường tròn b) Tìm tập hợp M PAB quay quanh P c)Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm PAB và MH CMR PA PB = PI PN Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Trên đường thẳng AB lấy điểm M ngoài (O) 3R cho MA = Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R b) Gọi TH là đường cao TMO Chứng minh : MH MO = MA.MB c) Tính H/(O) d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp e) AD và BC cắt N CMR : AN AD + BN BC = 4R2 Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3) Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M, N là điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B AM và AN cắt (O) M1 và N1 a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp b) Giả sử AB = BN = 10; BM = Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1 Bài 32: M là diểm trên nửa đường tròn đường kính AB H là hình chiếu M xuống AB Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB P,Q và cắt nửa đường tròn E a) CMR tứ giác APQB nội tiếp b) CMR đường AB ; PQ ; ME đồng quy Bài 33: Cho điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự AB = ; BC = Đường tròn di động qua A , B có tâm là O Vẽ tiếp tuyến CT ; CT’ Gọi D là giao điểm TT’ với AB Gọi H; I là trung điểm đọan TT’, AB a) Tìm tập hợp T; T’ b) CMR : CA.CB = CO.CH = CI CD c) CMR : Điểm D cố định Suy tập hợp H Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = ; AC = AC , AB cắt (O) D và E a) Tính AO , AE , AD b) Qua A vẽ AH BC và cắt (O) F ; K Lấy M (O) Gọi BMAH = I ; CMAH = J Chứng minh IF IK = IH IJ Bài 35: Cho đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ I và cắt tiếp tuyến chung qua A M a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’ b) CMR: IA2 = IB.IB’ Suy OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’ c) CMR : IM2 = IO.IO’ Suy BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’ 43 GV: Nguyễn Tiến Diệp (44) Trường THPT C Duy Tiên §3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A H3 H2 b c B a M 1H C Các kí hiệu tam giác BC = a; AC = b; AB = c = AH1; hb = BH2; hc = CH3 ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3 R : bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác a b c p= nửa chu vi * Các góc đỉnh A,B,C kí hiệu là A, B, C * ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A Định lý cosin tam giác Với tam giác ABC ta có: a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ; b2 = a2 + c2 - 2acCosB ; c2 = a2 + b2 - 2abCosC Ví dụ: Cho tam giác ABC có b= , c = và cosA= Tính cạnh còn lại Định lý sin tam giác Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC a b c 2 R hay SinA SinB SinC Ví dụ: Tìm R biết A = 600; b=8cm; c = cm Định lý trung tuyến b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 ma2 mb2 mc2 4 Các công thức tính diện tích Cho tam giác ABC thì diện tích S tính theo các công thức sau: 1 aha bhb chc SABC = =2 1 ab sin C ac sin B bc sin A SABC = = abc SABC = R SABC = pr p ( p a )( p b)( p c) SABC = VÍ DỤ : Cho ABC có a = 7, b = 8, c = 5; tính : Â, S, ha, R, r, ma Giải : a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos  Cos A = ½  = 600 A S 2S 20 abc = = 10 = = ; R = 4S ;r= p S = ½ 8.5 ; = a ; ma = * Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, đường cao AH 44 B GV: Nguyễn Tiến Diệp H 129 C (45) Trường THPT C Duy Tiên Ta có các hệ thức sau: BC AB AC ; AB BH BC ; AC CH CB AH HB.HC ; AH BC AB AC 1 AH AB AC doi ke sin ;cos huyen huyen BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH Tính AH; CH; BH; BC biết AB = 3; AC = Bài : Cho hình thang ABCD với đường cao AB Biết AD = 3a; BC = 4a; góc BDC = 900 Tính AB; CD; AC Bài : Cho tam giác ABC vuông C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16 Tính CD ; AC ; BC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (H BC) Gọi I là điểm thuộc AB cho AI = 2BI, CI cắt AH E Tính CE AB Bài : Cho tam giác ABC vuông A , AC Đường cao AH = Tính HB ; HC ; AB ; AC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao , BH = 1, AC = Tính AB ; BC ; AH Bài : Cho tam giác ABC Tính , R , r biết : a) AC = ; AB = ; góc A = 600 b) BC = 21 ; CA = 17 ; AB = c) BC = ; AC = ; AB = d) a = ; b = ; c = + e) a = ; b = ; c = f) a = ; b = 2 ; c = 6 g) a = 17 ; b= ; c = Bài : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB,BC lấy các điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK Bài : Cho tam giác ABC có cosA = ,D thuộc cạnh BC cho ABC = DAC, 16 DA = , BD = Tính chu vi tam giác ABC Bài 10 : Cho tam giác ABC biết a = 4, b = 3, c = , M là trung điểm AB Tính bán kính r đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM Bài 11 : Tính góc A tam giác ABC , biết rằng: b(b2-a2) = c(a2-c2) Bài 12 : Cho tam giác ABC có b = 4, c = , S= 3 Tính cạnh a Bài 13 : Cho tam giác ABC có b = 6, c = , C = 600 Tính cạnh a Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông B, kéo dài AC phía C đoạn CD=AB=1 góc CBD = 300 Tính AC Bài 15 : Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 900, AB = a, AD = 3a, BAD = 600 Tính AC 45 GV: Nguyễn Tiến Diệp (46) Trường THPT C Duy Tiên Bài 16 : Cho tam giác ABC có A = 600, hc= , R = Tính a, b, c Bài 17 : Cho tam giác ABC có B < 900, AQ và CP là hai đường cao và PQ= 2 dt (BPQ ) dt (ABC ) Tính cosB và R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông A, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM Bài 19 : Cho tam giác ABC có cạnh Một điểm M nằm trên cạnh BC cho BM = a) Tính độ dài đoạn thẳng AM và Cosin góc AMB b) Tính bk đường tròn ngoại ,nội tiếp tam giác ABM c) Tính độ dài trung tuyến vẽ từ C tam giác ACM Bài 20 : Cho tam giác ABC với A=600 bán kính đường tròn ngoại tiếp / và bán kính đường tròn nội tiếp Tính diện tích và chu vi tam giác Bài 21 : Cho tam giác ABC, biết sinA = ( 00 < A < 900 ), b = , c = Tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác Bài 22 : Cho tam giác ABC cân có AB =AC =5a;BC = 5a Gọi M là trung điểm BC, Gọi N AB và AN = a a) Tính MN b) Tính bán kính đường tròn nội ,ngoại tiếp tam giác AMN Bài 23 : Cho tam giác ABC có cạnh 4a ,lấy D BC ; E AC ; F AB cho BD = x ( < x <4a ) , AE = a ; AF = 3a a) Tính EF b) Xác định x để tam giác DEF vuông F Bài 24* : Cho tam giác ABC vuông C, AD là đường phân giác trong, BD = , CD = Tính AB ; BC ; AC Bài 25 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A Vẽ đường cao AH, BK Tính BK biết BC = ; AH = Bài 26 : Cho hình thang vuông ABCD ( đường cao AB ) ngoại tiếp đường tròn đường kính r , cho góc C = 600 Tính các cạnh hình thang Bài 27:Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD chia cạnh huyền 15 20 thành đoạn thẳng có độ dài và Tính các cạnh góc vuông và đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông Bài 28 : Cho hình vuông ABCD Đường thẳng qua A cắt BC M và đường thẳng cắt CD I Tính AB biết AM = 3, AI = Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân A, M là điểm trên cạnh BC Tính MA biết MB = 1, MC = Bài 30 :Cho tam giác ABC có góc A = 600,đường cao AH (H nằm khoảng BC) Tính AH biết BH = 2a, CH = a Trắc Nghiệm Câu1 : Cho tam giác ABC có a= * Khi đó số đó góc A là a) 600 * Khi đó số đó góc B là a) 600 cm ; b= 2cm ; c= ( + 1) cm ; b) 450 c) 1200 d) 300 b) 450 c) 900 d) 300 46 GV: Nguyễn Tiến Diệp (47) Trường THPT C Duy Tiên * Bán kính đường tròn ngoại tiếp R là : a) cm * Chiều cao là : (1 3) a) cm b) c) (1 3) b) cm d) cm (1 2) c) d) Câu2 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; góc A = 120 thì diện tích là a) S = 10 b) S = d)S = 20 c) S =5 Câu3 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; a = 19 thì giá trị góc A là : a) 450 b) 600 c) 900 d)1200 Câu 4: Cho tam giác ABC có a= ; c= ; góc B = 60 Độ dài cạnh b là bao nhiêu a) b = 49 b) b= 61 c) b = d)b= 97 Câu 5: Cho tam giác ABC có a= ; b= ; c= ; góc B bao nhiêu a) 600 b) 300 c) 450 d) 720 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A có a= 10 cm ; c= 6cm ; bán kính đường tròn nội tiếp r là a) cm b) cm c) cm d) cm Câu 7: Cho tam giác ABC có a= 10 cm ; b= 6cm ; c= cm ; đường trung tuyến AM có độ dài cm b) cm c) 6cm d) cm Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = a ; BC = a và góc BAC = 450 Diện tích hình bình hành là 2 a) 2a2 b) a2 c) a2 d) a2 Câu 9: Cho tam giác ABC có b= cm ; c= 5cm và góc A = 600 * Cạnh BC là a) 14cm b) 7cm c) 12cm * Diện tích tam giác : a) S = 10 b) S = * Bán kính đường tròn ngoại tiếp R là : a) R= b) R = d) 10cm c) S = 10 d) S = 10 c)R = d) R = * Chiều cao là : 20 a) ha= 20 3 b) ha= 10 c) = 10 d) = TỰ LUẬN Bài 1: Cho tam giác ABC 1) a=5 ; b = ; c = Tính S, ha, hb , hc R, r 2) a= ; b= 2 ; c= - Tính góc 3) b=8; c=5; góc A = 600 Tính S , R , r , , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , , ma 5) A = 600; hc = ; R = tính a , b, c 6) A=1200;B =450 ;R =2 tính cạnh 7) a = , b = , c = Tính SABC, suy SAIC ( I trung điểm AB) 47 GV: Nguyễn Tiến Diệp a) (48) Trường THPT C Duy Tiên 8) Cho góc A nhọn, b = 2m ,c = m , S = m2 Tính a la 9) C = , b = ; S = 3 Tính a 10) Nếu A = 900 CMR: bc sin A * la = (b c )sin (b c *.r = A 2 b c 1 1 * r h a h b h c ) bc * M BC; góc BAM = CMR: AM = b.cos c sin 1 11) Cho A=1200 CMR : l a b c 2 a b c R abc 12) CMR : * cotA + cotB + cotC = tanA a c b 2 * tanB b c a 13) b3 c3 a a b c a a 2b.cos C 14) S = p(p – c) Tam giác ABC là tam giác gì Tam giác ABC là tam giác gì 15) S = (a + b – c)(a + c - b) Tam giác ABC là tam giác gì 16) acosB = bcosA Tam giác ABC là tam giác gì 17) mb2 +mc2 = 5ma2 Tam giác ABC là tam giác gì sin A 2.cos C 18) sin B Tam giác ABC là tam giác gì 5k 19) Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 = 20) Gọi G là trọng tâm tam giác Chứng minh *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) * ma2 +mb2 +mc2 = (a2 +b2 +c2) * 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA 21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC S=Rr(sinA + sinB + sinC) a =b.cosC + c.cosB = 2RsinBsinC 48 GV: Nguyễn Tiến Diệp (49) Trường THPT C Duy Tiên sinB.cosC +sinC.cosB = sinA 22) Chứng minh 2 a b c 2 p b c a Nếu dấu “=” xảy thì ABC là tam giác gì ? hb h c h a 1 2 h a hb h c r 23) Cho b + c = 2a Chứng minh h a hb hc 24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 là cạnh tam giác Khi đó CMR tam giác có góc = 1200 25) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam gíac A1;B1;C1 CMR : pr SA1B1C1 = R 26) trung tuyến BM = 6, CN = và hợp với góc 1200 tính các cạnh ABC Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi là góc hợp đường chéo AC và BD a) CMR SABCD = AC.BD.sin b) Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh : SABCD = SACC’ Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J là trung điểm đường chéo AC và BD Chứng minh : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + IJ2 49 GV: Nguyễn Tiến Diệp (50) Trường THPT C Duy Tiên CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I Vectơ phương đường thẳng-Phương trình tham số đường thẳng 1/ Véctơ phương đường thẳng ⃗ ⃗ ⃗ ĐN:⃗Vectơ u gọi là vectô phương (vtcp) đường thẳng d u 0 và giá u song song trùng với d ⃗ u NX: + Vectơ k là vtcp đường thẳng d (k 0) Do đó d có vô số vtvp + Một đường thẳng xđ biết vtcp và moät điểm trên đường thẳng đó ⃗ u d 2/ Phương trình tham số đường thẳng ⃗ u Phương trình tham số đường thẳng d qua M 0(x0;y0) và có véctơ phương =(u1;u2) là: x x0 u1t y y0 u2 t ( t: là tham số) Ví dụ: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: ⃗ d qua M(2;1) và có vtcp u =(3;4) 3/ Hệ số góc đường thẳng u2 ⃗ + Đường thẳng d có véctơ phương u =(u1;u2), u10 Khi đó hệ số góc k là: k = u1 + Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: yy0 = k(xx0) Ví dụ: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A(3;5) và B(6;2) Tìm hệ số góc đường thẳng? Giải Ta có vtcp là AB (3; 3) x 3 3t ⃗ Vậy phương trình tham số d qua A, B có vtcp AB (3; 3) là: y 5 3t Hệ số góc k=3/3 k= 1 ⃗ u * Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có véctơ phương là =(1;k) 4/ Phương trình chính tắc đường thẳng (10NC) + Nếu u10, u20 thì phương trình chính tắc đường thẳng d là: x - x0 y - y = u1 u2 +Nếu u1=0 u2=0 thì đường thẳng không có phương trình chí tắc x x0 y y0 u , với quy ước xx =0 thì pt này gọi là pt chính tắc d) ( Nhưng II/Véctơ pháp tuyến đường thẳng, Phương trình tổng quát đường thẳng 1/ Véctơ pháp tuyến đường thẳng (pháp véctơ) 50 GV: Nguyễn Tiến Diệp (51) Trường THPT C Duy Tiên ⃗ ⃗ ⃗ n gọi là vectô pháp tuyến (vtpt) đường thẳng d n 0 và giá ĐN: Vectơ ⃗ ⃗ n nằm trên đường vuông góc với d ( n d) ⃗ NX: + Vectơ k n là vtpt đường thẳng d (k 0) Do đó d có vô số vtpt + Một đường thẳng xđ biết vtpt và moät điểm trên đường thẳng đó 2/ Phương trình tổng quát đường thẳng Phương trình tổng quát dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b20) ⃗ d có véctơ pháp tuyến là n =(a;b) ⃗ * Phương trình tổng quát đường thẳng qua M0(x0,y0) có vtpt n =(a;b) là: a(xx0)+b(yy0)= * Phương trình tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là: ⃗ ⃗ Ta tìm VTCP AB VT pháp tuyến n pttq đia qua A và có vtpt n * Nhận xét: Tọa độ hai véctơ phương và véctơ pháp tuyến đường thẳng là đổi chỗ cho và đổi dấu vị trí (hoành độ tung độ) ⃗ ⃗ ⃗ Nếu đường⃗thẳng d có ⃗vtpt là n =(a ; b)⃗ thì d có vtcp là u =(b ; a) u =(b ; a) Ví dụ: ⃗n =(5;1) thì ⃗u =(1; 5) ⃗ u =(1; 5) u =(4;6) thì n =(6;4) n =(6;4) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ u u n n (Vì là vtcp thì k là vtcp, vtpt thì k là vtpt) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát⃗ đường thẳng d biết a) d qua M(2;3) và có vtpt n =(5;1) b) d qua M(2;4) và có hệ số góc k=2 c) d qua hai điểm A(3;5), B(6;2) * Cách chuyển từ pt tổng quát sang pt tham số: Đặt x= t, từ pt tổng quát y theo t * Cách chuyển từ pt tham số sang pt tổng quát Từ pt x t= , t vào y pt tổng quát Đáp số: 5x+y+7= Đáp số: 2xy=0 Đáp số: x+y8=0 x 2 3t Ví dụ 1: Cho d có pt tham số là y 1 4t , tìm pt tổng quát d? Đáp số: 4x3y5= Ví dụ 2: Cho d có pt tổng quát là : x+y8=0 Tìm pt tham số đường thẳng? x t Đáp số: y 8 t * Các dạng đặc biệt: + Đường thẳng by+c=0 song song trùng trục Ox + Đường thẳng ax+c=0 song song trùng trục Oy + Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ x y 1 + Đường thẳng qua A(a;0), B(0;b) có phương trình a b (a0, b0) gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn 3/ Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát 1 : a1 x b1 y c1 0; : a x b2 y c2 0 a1 x b1 y c1 0 a x b2 y c2 0 Số điểm chung hai đường thẳng chính là số nghiệm hệ: 51 GV: Nguyễn Tiến Diệp (52) Trường THPT C Duy Tiên Nếu a20,b20, c20 thì a1 b1 a1 b1 c1 a b a b2 c2 ; 2 1 cắt 2 ; 1 // 2 Ví dụ: Xét vị trí tương đối a) d1: 4x10y+1=0 b) d3: 12x6y+10=0 c) d5: 8x+10y12=0 a1 b1 c1 a b2 c2 1 2 các cạp đường thẳng sau: và d2: x+y+2= cắt và d4: 2xy+5= song song và d6: 4x+5y6= trùng 4/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng có pt tổng quát là ax+by+c= và điểm M0(x0;y0) Khi đó khoảng cách từ M0 đến xác định: d ( M , ) ax0 by0 c a b2 * Nếu M0 thuộc thì d(M0,)=0 Ví dụ: Tính khoảng các từ điểm đến các đường thẳng sau a) A(3;5), 1: 4x+3y+1= Kết : 28/5 b) B(1;-2), 2: 3x-4y-26= Kết :3 c) I(3;-2), 3:3x+4y-11=0 Kết : 5/ Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng ⃗ quát 1 : a1 x b1 y c1 0 vtpt n1 (a1 ; b1 ) ⃗ : a x b2 y c2 0 vtpt n2 (a ; b2 ) Khi đó, góc hai đường thẳng (00 ≤ ≤ 900) tính: ⃗⃗ a1 a b1 b2 | n n | cos ⃗ ⃗2 cos | n1 | | n2 | a12 b12 a 22 b22 * Chú ý: +Khi hai đường thẳng song song trùng ta quy ước góc chúng là n n2 + 1 2k1.k2= -1 ( a1.a2+b1.b2= 0) Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 4x2y+6= 0; d2: x3y+1=0 Tìm số đo góc tạo hai đường thẳng d1, d2 Giải | 4.1 ( 2).( 3) | 2 2 2 cos(d1,d2)= ( 2) ( 3) Vậy góc hai đường thẳng là 450 6/ Phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng ⃗ quát 1 : a1 x b1 y c1 0 vtpt n1 (a1 ; b1 ) ⃗ : a x b2 y c2 0 vtpt n2 (a ; b2 ) Khi đó pt đường phân giác có dạng: a1 x b1 y c1 a12 b12 a x b2 y c2 a 22 b22 Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù t1 n1 n2 Đặt =a1.a2+b1.b2 a1 x b1 y c1 a12 b12 ; t2 = a x b2 y c2 a 22 b22 Pt đường phân giác 52 Pt đường phân giác GV: Nguyễn Tiến Diệp (53) Trường THPT C Duy Tiên góc nhọn t1=t2 t1= t2 + góc tù t1= t2 t1=t2 n1 n2 (phương trình đường phân giác góc tù lấy theo dấu ) Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác góc nhọn tạo hai đường thẳng: a) d1: 3x4y+12= d2: 12x+5y7= b) d1: xy+4= d2: x+7y12= Giải ⃗⃗ a) Ta có n⃗1⃗.n2 =16>0 t1= t2 99x27y+121= b) Ta có n1 n2 = 6<0 t1=t2 x3y+8= * Chú ý: + Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ pháp tuyến (cùng vectơ phương) + Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến đường thẳng này là vectơ phương đường thẳng và ngược lại BÀI TẬP 1/ Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) đường thẳng d trường hợp sau: ⃗ a) d qua M(1;4)và có vectơ phương u =(2;3); b) d qua góc tọa độ và vtcp a =(1;2); c) d qua I(0;3) và vuông góc với đường thẳng có pt tổng quát là: 2x5y+4=0; d) d qua hai điểm A(1;5) và B(2;9); ⃗ e) d qua M(5;2) và có vectơ pháp tuyến n =(4;3); f) d qua M(5;1) và có hệ số góc k=3 x 1 2t x t x y4 x y ptts : ; ptct: ptts : ; ptct: b) 2 y 3t y 2t Đáp số: a) x 2t x 1 3t x y x y ptts : ; ptct: ptts : ; ptct: 5 3 y 3 5t y 5 4t c) d) x 5 3t x 5 t x y2 x y ptts : ; ptct: ptts : ; ptct: y t y t e) f) 2/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng d các trường hợp sau ⃗ a) d qua M(3;4) và có vtpt n⃗=(2;1) b) d qua N(2;3) và có vtcp a =(4;6) c) d qua A(5;8) và có hệ số góc k= 3 d) d qua hai điểm A(2;1), B(4;5) ⃗ e) d qua M(3 ;4) và có vtpt ⃗n =(1;2) f) d qua B(3;2) và có vtcp a =(4;3) Đáp số: a) 2xy2= b) 3x2y12= c) 3x+y+23=0 d) 2x+3y7=0 e) x+2y-11=0 f) 3x-4y-17=0 3/ Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát đường thẳng d các trường hợp sau ⃗ a) d qua M(2;1) và có vtcp a⃗ =(3;4); b) d qua N(2;3) và có vtpt n =(5;1); c) d qua A(2;4) và có hệ số góc k=2; 53 GV: Nguyễn Tiến Diệp (54) Trường THPT C Duy Tiên d) d qua hai điểm A(3;5) và B(6;2) x 2 3t x t ptts : ; pttq : x y 0 ptts : ; pttq : x y 0 y t y t Đáp số: a) b) x 2 t x 3 3t ptts : ; pttq : x y 0 ptts : ; pttq : x y 0 y t y t c) d) 4/ Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;1), C(6,2) a) Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA b) Lập phương trình đường cao AH và phương trình đường trung tuyến AM Đáp số: a) AB: 5x+2y13= BC: xy4= CA: 2x+5y22= b) AH: x+y5= AM: x+y-5=0 5/ Cho tam giác ABC biết các cạnh AB: 4x+y12= 0, đường cao BH: 5x4y15=0, đường cao AH: 2x+2y9= Hãy viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại Đáp số: Tìm A(5/2;2) AC: 4x+5y20=0 Tìm B(3;0) BC: xy3=0 Tìm H(11/3;5/6) CH: 3x12y1= 6/ Cho đường thẳng d: x2y+4=0 và điểm A(4;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A xuống d b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d Đáp số: a) qua A và vuông góc d là, : 2x+y9=0 H(14/5;17/5) b) H là trung điểm AA' A'(8/5;29/5) 7) Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau a) d1: 2x5y+6=0 và d2: x+y-3=0 b) d1: 3x+2y-7=0 và d2: 6x4y7=0 c) d1: x+y3=0 và d2: 2x+ y3 =0 d) d1: (m1)x+my+1=0 và d2: 2x+y4=0 8/ Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau x 5t x 5t y 2 4t y 2 4t a) d : và d’ : x 1 4t y 2 2t b) d : c) d : x+y-2= và và d’ : 2x+4y-10= d’ : 2x+y-3= 9/ Với giá trị nào m thì hai đường thẳng sau vuông góc 1 : mx+y+q=0 và 2 : xy+m=0 Đáp số : m= 10/ Cho hai đường thẳng d1 : x2y+5=0 và d2 :3xy=0 a) Tìm giao điểm d1 và d2 b) Tìm góc d1 và d2 Đáp số: a) (1;3) b) 450 11/ Tìm góc hai đường thẳng d1: x+2y+4=0 và d2: 2x-y+6=0 Đáp số: 900 12/ Lập phương trình đường phân giác các góc hai đường thẳng 1: 2x+4y+7= và 2: x2y3=0 y 13 0 Đáp số: x 0 13/ Tính bán kính đường có tâm là điểm I(1;5) và tiếp xúc với đường thẳng : 4x3y+1=0 Đáp số: R=2 54 GV: Nguyễn Tiến Diệp (55) Trường THPT C Duy Tiên * Tìm điểm đối xứng M qua đường thẳng d:ax+by+c=0 B1: Tìm hình chiếu H vuống góc M xuống d: Viết phương trình qua M và vuông góc d d Giải hệ tọa độ H B2: H là trung MM' tọa độ M' * Tìm phương trình ' đối xứng với : ac+by+c=0 qua I + Do // ' ': ax+by+c'=0 + d(I, ) = d(I,') tìm hệ số c' 5*/ Cho điểm M(1;2) Lập phương trình đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài x y 1 Đáp số: phương trình đoạn chắn có dạng a b TH1: a=b0 a=3 d1: x+y3=0 TH2: a= b0 a= 1 d2: xy+1=0 TH3: a=b=0 d qua O có dạng y=kx k=2 d3: 2xy= Vậy có đường thẳng thỏa điền kiện bài toán 6/ Tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 5x3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A và B là: 4x3y+1= 0; 7x+2y22= Lập phương trình hai cạnh và đường cao còn lại 7/ Lập phương trình các cạnh tam giác ABC, biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có phương trình : 5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính cho trước: Đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 Ví dụ: Đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=2 có dạng : (x-1)2 + (y+2)2 = Đặc biệt : Ñường tròn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x2 + y2 = R2 *Nhận xét: Phương trình đường tròn còn viết dạng: x2 +y22ax2by+c=0 với c=a2+b2-R2 Ngược lại, phương trình x2 +y22ax2by+c=0 gọi là phương trình đtròn (C) và 2 a2+b2c>0 Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán kính R= a b c Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn đó a) x2 +y2+2x4y+9=0 b) x2 +y26x+4y13=0 c) 2x2 +2y28x4y6=0 Đáp số: a) Không phải b) Tâm I(3;2), R= 26 c) Tâm I(2;1), R=2 * Điều kiện để đường thẳng : ax+by+c=0 tiến xúc với đường tròn (C) là: d(I, )= R 2/ Phương trình tiếp tuyến đường tròn: a) Cho M(x0; y0) thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b) Pt tt (C) M(x0;y0) có dạng: + Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua M và có vtpt IM ( x0 a; y0 b) Đặt A=x0a ;B =y0b Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= 55 GV: Nguyễn Tiến Diệp (56) Trường THPT C Duy Tiên hay A(xx0)+B(yy0)= ⃗ B1: Xác định tâm I vecto pháp tuyến n IM ( x0 a; y0⃗ b) B2: Viết phương trình đường thẳng qua M và có vtpt n + Cách * Nếu (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 thì pttt có dạng: (x0a)(xx0) + (y0b)(yy0) = R2 * Nếu (C): x2 +y22ax2by+c=0 thì pttt có dạng: x0x+y0ya(x0+x)b(y0+y) + c= Ví dụ :Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) : (x-1)2 + (y-2)2 = M(-1;2) Giải Thế M vào (C) M (C) ⃗ Tâm I(1;2) vtpt n IM =(2;0) ⃗ ⃗ n Phương trình tiếp tuyến qua M và có vtpt IM =(2;0) có dạng: 2(x+1) + 0(y-2) = -2x – = hay x +1= b) Tiếp tuyến xuất phát từ A(xA;yA) cho sẵn ngoài đường tròn B1: Xác định tâm I và bán kính R B2: Lập phương trình đường thẳng qua A có hệ số góc k, có dạng: yyA= k(xx0) : kxy+yAmxA=0 B3: Để tiếp xúc d d(I, )= R giải tìm k vào + Nếu tìm giá trị k thì kết thúc + Nếu tìm giá trị k thì tiếp tuyến thứ là đường thẳng ' qua A và //Oy có dạng xxA =0 Ví dụ 2: Cho đường tròn có phương trình x2 +y24x+8y5=0 Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn qua A(3;11) Giải Ta có tâm I(2;4), bán kính R=5 2 Xét IA= (3 2) ( 11 4) 50 >R A nằm ngoài đường tròn Viết phương trình qua A và có hệ số góc k có dạng: y+11= k(x3) : kxy3k11= | k (2) ( 4) 3k 11| Để tiếp xúc d d(I, )= R k 12 5 2 |k7|= k |k+7|= k k2+14k+49= 25k2+25 k 3 k 24k214k24= 12k27k12=0 Vậy có hai tiếp tuyến là: k=4/3 1: 4x3y45= k=3/4 2: 3x+4y+35= Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): (x1)2+(y1)2=1 Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn qua điểm M(2;3) Giải Ta có tâm I(1;1), bán kính R=1 56 GV: Nguyễn Tiến Diệp (57) Trường THPT C Duy Tiên 2 Xét IM= (2 1) (3 1) >R=1 M nằm ngoài đường tròn Viết phương trình qua M và có hệ số góc k có dạng: y3= k(x2) : kxy2k+3= | k 2k | Để tiếp xúc d d(I, )= R k 12 1 |2k|= k 44k+k2 = k2+1 k= ¾ Vậy : phương trình tiếp tuyến thứ là 1: Pt Tiếp tuyến thứ hai: 2: xxM =0 x2= BÀI TẬP Vấn đề 1: Nhận diện phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Cách 1: Đưa phương trình dạng x2+y22ax2by+c= (1) + Xác định a, b, c sau: 2a= A, 2b=B, c= C + Xét dấu m = a2+b2c + Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m Nếu m< thì (C) không là đường tròn 2 Cách 2: Đưa phương trình dạng ( x a) ( y b) m (2) Nếu m>0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m VD1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính có: a) x2+y26x+8y+100= b) x2+y2+6x6y12= c) 2x2+2y24x+8y2= Đáp số: a) Không phài c) Tâm I(1;2), R= ( 6) b) Tâm I(2;3), R= VD2: Cho phương trình x2+y22mx+4my+6m1= (1) a) Với giá trị nào m thì (1) là phương trình đường tròn? b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m HD: a2+b2c>0 5m26m+1>0 m<1/5 m>1; tâm I(m;2m), R= Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn (C) 2 Cách 1: Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R (C) ( x a) ( y b) R Chú ý: + (C) qua A, B IA2=IB2=R2 + (C) qua A và tiếp xúc đường thẳng A IA= d(I,) + (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d(I,1)= d(I,2)= R Cách 2: Gọi phương trình đường tròn (C): x2+y22ax2by+c= + Từ điều kiện đề bài đưa đến hệ phương trình theo ẩn a, b, c + Giải hệ phương trình tìm a, b, c VD1: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng : x2y+7=0; b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5); c) (C ) có tâm I(2;3) và qua M(2;3) Đáp số: a) (x+1)2+(y2)2=4/5 b) (x4)2+(y3)2= 13 c) tìm c= 39 VD2: Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A(1;2), B(5;2), C(1;3) Đáp số: x2+y26x+y1= Vấn đề 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn + Nếu biết tiếp điểm M(x0;y0) thuộc (C), đó pt tiếp tuyến có dạng: 57 GV: Nguyễn Tiến Diệp (58) Trường THPT C Duy Tiên (x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= + Nếu chưa biết tiếp điểm thì dùng điều kiện tiếp xúc : d(I,) = R VD1: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): (x1)2+(y+2)2=25 M(4;2) thuộc (C) Đáp số: 3x+4y20= VD2: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x 2+y24x2y= Biết tiếp tuyến qua điểm A(3;2) Đáp số: 2xy8=0 x+2y+1= VD3: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2+y24x+6y+3= biết song song với d: 3xy+2006=0 Đáp số: 3xy+1= 3xy19= BÀI TẬP 2.15 Trong mpOxy, lập phương trình đường tròn (C) có tâm là (2;3) và thỏa các điều kiện sau: a) (C) có bán kính là 5; b) (C) qua góc tọa độ; c) (C) tiếp xúc trục Ox; d) (C) tiếp xúc trục Oy; e) (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x+3y12=0 2.16 Cho ba điểm A(1;4), B(7;4), C(2;5) a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC; b) TÌm tâm và bán kính (C) 2.17 Cho đường tròn (C) qua hai điểm A(1;2), B(2;3) và có tâm trên đường thẳng : 3xy+10=0 a) Tìm tọa độ tâm (C); b) Tính bán kính R (C); c) Viết phương trình (C) 2.18 Cho ba đường thẳng 1: 3x+4y1=0; 2: 4x+3y8=0; d: 2x+y1=0 a) Lập phương trình đường phân giác các góc hợp 1 và 2 b) Xác định tọa độ tâm I đường tròn (C) biết tâm I nằm trên d và (C) tiếp xúc với 1 và 2 c) Viết phương trình (C) 2.19 Lập phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x+y3=0 2.20 Lập phương trình đường tròn đường kính AB các trường hợp sau: a) A(1;1), B(5;3); b) A(1;2), B(2;1) 2.21 Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và qua điểm M(4;2) 2.22 Cho đường tròn (C): x2+y2x7y=0 và đường thẳng d: 3x+4y3=0 a) Tìm tọa độ giao điểm (C) và (d) b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) các giao điểm đó c) Tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến 2.23 Cho đường tròn (C): x2+y26x+2y+6=0 và điểm A(1;3) a) Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C) b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A 2.24 Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2+y26x+2y=0 Biết vuông góc với đường thẳng d: 3xy+4=0 2.25 Cho đường tròn (C): (x+1)2+(y2)2=9 và điểm M(2;1) a) Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến và Hãy viết phương trình và 58 GV: Nguyễn Tiến Diệp (59) Trường THPT C Duy Tiên b) Gọi M1 và M2 là hai tiếp điểm và với (C), hãy viết phương trình đường thẳng d qua M1 và M2 2.26 Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) có phương trình x2+y28x6y=0 biết tiếp tuyến đó qua gốc tọa độ 2.27 Cho hai đường tròn (C1): x2+y26x+5=0 và (C2): x2+y212x6y+44=0 a) Tìm tâm và bán kính (C1) và (C2) b) Lập phương trình tiếp tuyến chung (C1) và (C2) BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1/ Định nghĩa 2/ Phương trình chính tắc elip: Chọn hệ trục Oxy hình vẽ.Ta có: M (E) MF1+MF2=2a Phương trình chính tắc elip: x2 y2 1 a2 b2 (1) với a2=b2 + c2 c2 = a2b2 (a>b>0) 3/ Các thành phần elip: + Hai tiêu điểm F1(-c;0),F2(c;0) + Bốn đỉnh A1(a;0),A2(a;0), B1(0;-b),B2(0;b) + Độ dài trục lớn A1A2 = 2a + Độ dài trục nhỏ B1B2= 2b + Tiêu cự F1F2= 2c c + Tâm sai e= a (e < 1) • Chú ý: Hai tiêu điểm elip nằm trên trục lớn * Nếu trục lớn nằm trên Oy thì b>a>0 4/ Hình dạng elip: + (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ + Mọi điểm elip (E) nằm hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn các đường thẳng x= a, y= b Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật sở elip + a=b thì elip trở thành đường tròn x2 y2 1 Ví dụ : Cho (E): 25 59 GV: Nguyễn Tiến Diệp (60) Trường THPT C Duy Tiên a) b) c) d) Xác định tọa độ các đỉnh elip Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ elip Xác định tọa độ tiêu điểm và tiêu cự Vẽ hình elip trên Giải a=5, b=3 A1(-5;0),A2(5;0),B1(0;-3),B2(0;3) A1A2=2a=10 B1B2=2b = c2 = a2-b2= 25-9=16 c=4 Caùc tieâu ñieåm F1(-4;0), F2(4;0) F1F2 = 2c = BÀI TẬP ÁP DỤNG Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc biết các thành phần đủ để xác định elip đó Để lập phương trình chính tắc ta cần biết yếu tố a, b, c, e đó ta tính hai yếu tố còn lại Bài tập: Lập phương trình chính tắc elip (E) trường hợp sau a) Độ dài trục lớn 10 và tiêu cự 6; b) Một tiêu điểm ( 3;0) và điểm (1; ); c) Độ dài trục lớn 6, tiêu cự 4; d) Một tiêu điểm F1(2;0) và độ dài trục lớn 10; e) Đi qua hai điểm M(1;0) và N( ;1); f) Độ dài trục lớn 8, tâm sai ; g) Tiêu điểm F1(4;0), F2(4;0), tâm sai e= ; h) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3;0) và tiêu điểm là điểm (2;0) k) (E) qua hai điểm M(0;1) và N(1; ) Đáp số: a) a=5; c=3;b2 = 16 b) c= ; a2=4; b2 =1 d) c=2; a= 5; b2 = 21 f) a=4; c= ; b2=9 h) a= 3; c=2; b2= HD: b) c= c) a= 3; c= 2; b2 = e) a2=1; b2 =2 a< b nên không tồn pt chính tắc (E) g) c=4; a=6; b2 = 20 k) a2=4; b2 =1 M (E ) 2 giải hệ a =b +c Vấn đề 2: Xác định các thành phần elip biết phương trình chính tắc Ta cần xác định: a; b; c; Trục lớn, trục nhỏ; Hai tiêu điểm; Tiêu cự; Bốn đỉnh; Tâm sai; Hình chữ nhật sở Bài 1: Xác định tọa độ các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, tâm sai và vẽ elip (E) có phương trình 60 GV: Nguyễn Tiến Diệp (61) Trường THPT C Duy Tiên 2 x y 1 a) 25 c) x2+4y2= b) 4x2+9y2= 36 d) 4x2+4y2= 16 Đáp số: a) a=5; b=3; c=4 b) a=3; b=2; c= c) a= 2; b= 1; c= d) Là đường tòn tâm O, R=2 elip có a=b=2, F1 F2 O , e=0 x2 y 1 Bài 2: Cho elip (E) có phương trình 100 36 Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính F1F2 đó F1, F2 là hai tiêu điểm (E) Đáp số: Tâm là gốc tọa độ O, bán kính R=c=8 BÀI TẬP 3.28 Viết phương trình chính tắc elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục nhỏ 12 và có tiêu cự 16; b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13;0) nằm trên elip 3.29 Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục elip có phương trình sau: a) 4x2+9y2= 36 b) x2+4y2= 3.30 3.31 3.32 Viết phương trình chính tắc elip các trường hợp sau: c a) Độ dài trục lớn 26 và tỉ số a 13 ; c b) Tiêu điểm F1(6;0) và tỉ số a 3.33 Viết phương trình chính tắc elip(E) có hai tiêu điểm F1, F2 biết: a) (E) qua hai điểm M(4;9/5) và N(3;12/5); ; 5 và tam giác MF1F2 vuông M b) (E) qua M 3.34 Cho elip (E): 9x2+25y2= 225 a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1, F2 và các đỉnh (E); b) TÌm điểm M thuộc (E) cho M nhìm F1F2 góc vuông c x y2 1 b 3.35 Cho elip (E): a (0<b<a) Tính tỉ số a các trường hợp sau: a) Trục lớn ba lần trục nhỏ; b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vuông; c) Khoảng cách đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn tiêu cự 3.36 Cho elip (E): 4x2+9y2= 36 và điểm M(1;1) Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (E) hai điểm A và B cho M là trung điểm AB BÀI TẬP ELIP DẠNG 1: BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : x2 + 4y2 = a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai elip b/ Đường thẳng qua tiêu điểm F2 elip và song song với trục 0y cắt elip điểm M,N Tính độ dài đoạn thẳng MN 61 GV: Nguyễn Tiến Diệp (62) Trường THPT C Duy Tiên x2 y2 + =1 25 a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai elip b/ Tìm các giá trị b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với elip trên x2 y2 BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 49 24 a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) cho : MF1 = 12 b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) cho : NF2 = 2NF1 x2 y2 BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 a/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự b/ Tìm điểm M thuộc (E) cho nó nhìn hai tiêu điểm (E) dướ góc vuông x2 y2 BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 14 a/ Tìm độ dài tiêu cự và tính tâm sai (E) b/ Khi M chạy trên (E) Khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ và Gía trị lớn bao nhiêu ? BÀI 6: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x 2+ y 2=36 a/ Viết phương trình hai đường chuẩn (E) b/ Tìm điểm M thuộc (E) cho: MF1 = 3MF2 x2 y BÀI 7: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 , tiêu điểm F1,F2 25 16 a/ Cho điểm M (3; m) thuộc (E) , Hãy viết phương trình tiếp tuyến (E) M m>0 b/ Cho A,B là hai điểm thuộc (E) cho AF1 + BF2 = Tính AF1 + BF2 BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : DẠNG 2,3 BÀI 8: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) có khoảng cách các đường chuẩn là 36 và bán kính qua tiêu điểm điểm M thuộc (E) là và 15 a/ Viết phương trình chính tắc (E) b/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) M BÀI 9: Trong mp tọa độ 0xy cho (E) qua điểm M (2; ) và tiêu điểm F1 ( -2; 0) a/ Lập phương trình chính tắc (E) b/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) qua M (4; 0) BÀI 10:Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho M ( 2; - √ ) và N ( - √ ; 1) a/ Lập phương trình chính tắc elip qua M và N b/ Tính khoảng cách hai đường chuẩn elip trên BÀI 11: Trong mp tọa độ 0xy Lập phương trình chính tắc elip có độ dài trục lớn √ và tiêu cự Viết phương trình đường chuẩn elip nói trên BÀI 12: Trong mặt phẳng 0xy cho M (- √ ; 2) a/ Lập phương trình chính tắc elip có trục lớn nằm trên 0x qua M và khoảng cách đường chuẩn là 10 b/ Viết phương trình các tiếp tuyến elip trên biết tiếp tuyến song song đường thẳng (d): x + y + 2008 = x2 y2 BÀI 13: Trong mp tọa độ 0xy cho (E): + =1 2x a/ Viết phương trình tiếp tuyến elip (E) các giao điểm elip với đường thẳng y = b/ Viết phương trình tiếp tuyến elip qua M (3; 5) BÀI 14: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): x2 y2 + =1 a/ Tìm tọa độ đỉnh và tiêu điểm 62 GV: Nguyễn Tiến Diệp (63) Trường THPT C Duy Tiên b/ Viết phương trình tiếp tuyến elip biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d: 3x – y + = BÀI 15: Trong mp tọa độ 0xy Lập phương trình chính tắc elip có tiêu cự √ 15 và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – = BÀI 16 : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho họ đường thẳng (dt ) : 3xcost – 4ysint + √ 5+cos t , t : tham số Khi t thay đổi (dt) luôn tiếp xúc với elip (E) cố định Tìm pt ct elip đó , tính tâm sai elip BÀI 17: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 18x2 + 32y2 = 576 a/ Viết phương trình tiếp tuyến elip điểm M(4;3) b/ Tiếp tuyến đó cắt 0x,0y A,B Tính diện tích tam giác 0AB (0là gốc tọa độ ) DẠNG 4: BÀI 18: Cho A, B,C cố định theo thứ tự này trên đường thẳng d cố định Đường tròn (O) lưu động tiếp xúc với d A Từ B và C kẻ tiếp tuyến với (O) Hai tiếp tuyến này cắt M Tìm tập hợp điểm M BÀI 19: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 A1 , A2 là đỉnh trên trục kớn.Điểm Mdi động trên(E) Tìm tập hợp các trực tâm H tam giác MA1A2 BÀI 20: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): x2 + 4y2 = M(-2;m ) , N(2;n) , m khác n a/ A1 ,A2 là các đỉnh trên trục lớn (E) Viết phương trình các đường thẳng A1N , A2M Xác định tọa độ giao điểm I chúng b/ Đường thẳng MN thay đổi luôn luôn tiếp xúc với (E) Tìm tập hợp các điểm I ĐÁP ÁN BÀI 1: x2 y2 + =1 Đỉnh A1 ( -2; ) và A2 ( 2; 0) , B1(0; 1) , B2 (0; 1) Tiêu điểm F1 (- √ ; ) , F2 ( √ ; 0) √3 Tâm sai e = b/ (0,75) MN = 2MF2 M, N có hoành độ x = √ √3 √ = MF2 = 2 MN = BÀI 2: 25 ⇒ c= a/ (1 đ) a2 = , b2 = ⇒ c2 = a2 – b2 = 4 −3 c ; ) , F2 ( = F1 ( ;0), e= 2 a b/ (1 đ ) Phương trình hoành độ giao điểm : 41x2 + 50bx + 25b2 – 100= Đường thẳng có điểm chung với elip và 41 − 41 41 25 b ¿2 −41(25b − 100)≥ ⇔b2 ≤ ⇔ √ ≤ b ≤ √ 2 Δ=¿ BÀI 3: ⇒ c=5 a/ ( điểm ) : a = , b = √ MF1 = + xM.MF2 = 12 ⇔ xM = 7 √6 √6 49− 72 = và yM = yM = √ √ 49− 72 = ⇒ M ( 7; ) trùngA1(0;5 ) 7 a/ 63 GV: Nguyễn Tiến Diệp (64) Trường THPT C Duy Tiên b/ (1 đ ) M (x0 ; y0) MF1 = + 5 x ,MF 2=7 − x , 7 5 NF2 = 2NF1 ⇔ 7+ x0 =2(7 − x ) 7 − 49 √ 66 √ 66 ⇒ y 0= giải : x0 = và y0 = 15 15 15 − 49 √ 66 − 49 − √66 ; ; : M1 ( ) M2 ( ) 15 15 15 15 BÀI : a/ 2a = √ ; 2b = √ ; 2c = b/ M(x; y) (E) : 2x2 + 6y2 = 12 M nhìn F1F2 góc vuông nên M thuộc đường tròn Tâm O bán kính R= (C) : x2+ y2 = ¿ ¿ x 2+ y 2=4 x=± √3 tọa độ điểm M thỏa mãn hệ pt : x +6 y 2=12 giải y =±1 ¿{ ¿{ ¿ ¿ kl : điểm M √5 BÀI 5: a/ 2c = √5 tâm sai e = √ 14 c x , M( x;y ) thuộc elip nên : -a b/ MF1 = a + x a a suy : a - c MF1 a+ c : √ 14 − √ ≤ MF1 ≤ √ 14+ √ KL : BÀI 6: 9 Δ : x=− , Δ : x= a/ (0,5) √5 √5 √5 x , MF =3− √ x b/ M(x;y) thuộc elip MF1 =3+ 3 MF1 = 3MF2 giải : x = √5 √ 109 suy : y = ± KL: có điểm M1, M2 √5 BÀI 7: a/ Tính m = 16/5 ( m > ) dùng công thức viết pttt điểm thuộc elip viết : 3x + 5y - 25 = b/ có : AF1 + AF2 = 10 Và BF1 + BF2 = 10 giải : AF2 + BF1 = 12 BÀI : x2 y2 + =1 , a > b > a/ giả sử x > ptct có dạng : a2 b2 c c x x MF1 = a + và MF2 = a a a MF1 = 15 và MF2 = suy : a = 12 khoảng cách đường chuẩn 36 suy : c = b2 = 144 – 64 = 80 KL : x =9 giải tìm x sau đó tìm y , suy điểm M1 , M2 b/ dùng 12 12 Viết pttt M1 ,M2 BÀI 9: 64 GV: Nguyễn Tiến Diệp (65) Trường THPT C Duy Tiên ¿ 25 + =1 a2 b2 a/ Dạng ptct elip theo đề : giải : a2 = , b2 = KL : 2 a − b =4 ¿{ ¿ → 2 b/ gọi d qua M nhận n =( A ; B) làm véc tơ pháp tuyến , A + B 2 ⇔ 9A + 5B ⇔ 7A2 d: Ax + By - 4A = d tiếp xúc elip = 16A Lí luận giải A = √ suy : B = ± √7 KL : PTTT BÀI 10: a/ (1 đ) dạng ptct M,N thuộc elip nên : ¿ + =1 a2 b giải : a2 = và b2 = KL ptct + =1 a2 b ¿{ ¿ b/ Tính c = khoảng cách đường chuẩn : BÀI 11: Tính a = √ , c = suy : b2 = ptct : pt đường chuẩn : x = ±5 BÀI 12 : a/ (1 đ ) dạng ptct Theo đề ta có : ¿ 2a =10 c (0,5) giải : a2 = 15 , b2 = KL ptct + =1 a2 b2 ¿{ ¿ b/ ( đ) d’ song song với d có pt : x + y + C = ⇔ 15 + = C2 suy C = ± √21 d’ tx với elip KL : x + y ± √ 21 =0 BÀI 13: a/ (1 đ ) Tìm x = ± √2 x y + √ −1=0 pttt M1 : √2 x y + √ +1=0 pttt M2 : √2 b/ (1 đ) d : Ax + By -3A -5B = ⇔ 9A2 + 4B2 = ( 3A + 5B )2 d tiếp xúc ( E) 10 ⇔ B = ;B =A giải có tt : x – = ; 7x – 10y +15 = BÀI 14: a/ đỉnh , tiêu điểm đúng b/ d’: x + 3y + C = ⇔ +36 = C2 d’ tiếp xúc (E) 65 GV: Nguyễn Tiến Diệp -5B2 = (66) Trường THPT C Duy Tiên giải có tt : x + 3y ±3 √ = BÀI 15: Dạng ptct c = √ 15 a2 b2 = 15 (1) 2 ⇔ d tiếp xúc (E) a + b =25 (2) (1) và (2) suy : a2 = 20 b2 = KL: BÀI 16: Dạng ptct : (dt) tiếp xúc (E) ⇔ 9cos2t.a2 +16sin2t.b2 = + cos2t ⇔ 3cos2t(a2 – ) + 4sin2t(4b2 - ) = với t ⇔ a2 = và b2 = ¼ KL: ⇒ c= √ c2 = - ¼ kl : F1,, F2 BÀI 17: a/ Chứng tỏ M thuộc (E) PTTT M : 6x + 8y - 48 = b/ (1 đ) tìm A(8;0) B(0;6) S = ½ 0A.0B = 24 (đvdt ) BÀI 18: Gọi T,T’ tiếp điểm elip kẻ từ B,C ( Vẽ hình ) MB = MT + TB = MT + AB MC = CT’ - T’M = CA - MT’ suy : MB + MC = AB + AC ( số ) KL: Tập hợp điểm M là elip có tiêu điểm B,C và đỉnh A BÀI 19: M(x;y) thuộc (E) và MP vuông góc A1A2 PH A P = Tam giác A1PH đồng dạng với tam giác MPA2: PA MP PH2.PM2 = PA12.PA22 ⇔ yH2.y2 = ( – x2 )2 mà y2 = ( – x2) x 2H y 2H + =1 yH2 (9 – xH2 ) = (9 – xH2)2 ⇔ (1) 81 Vậy tập hợp điểm H là đường elip có pt (1) BÀI 20: a/ A1N : nx -4y + 2n = A2M: mx + 4y -2m = 2( m− n) mn ; Tìm giao điểm I( ) m+n m+n b/ (1 đ ) MN: (n- m )x – 4y + 2(m + n ) = MN tiếp xúc (E) ⇔ mn = ¿ 2(m− n) x= m+n Tọa độ điểm I: khử m,n x,y ta có: mn y= m+n ¿{ ¿ 66 x2 y2 + =1 GV: Nguyễn Tiến Diệp (67) Trường THPT C Duy Tiên ĐƯỜNG HYPEBOL B2 B1 2/ Phương trình chính tắc x y2 1 a b2 với c2 = a2+ b2 3/ Các thành phần Hyperpol (H) + Trục thực A1A2 (nằm trên Ox); Trục ảo B1B2 (nằm trên Oy); Độ dài trục thực: A1A2 = 2a Độ dài trục ảo: B1B2 = 2b + Hai tiêu điểm F1 (c;0), F2(c;0) nằm trên Ox + Tiêu cự: F1F2 = 2c c + Tâm sai: e= a (e>1) a 2a + Đường chuẩn: x= e ; Khoảng cách hai đường chuẩn là: c + Hình chữ nhật sở: là hình chữ nhật giới hạn đường x= a, y=b b x + Đường tiệm cận: y= a (là hai đường chéo HCNCS) Nếu a= b thì hai đường tiệm cận vuông góc + Bán kính qua các tiêu điểm: Muốn bỏ dấu | | ta xét M thuộc nhánh phải (x>0) trái (x<0) (Không học) 67 GV: Nguyễn Tiến Diệp (68) Trường THPT C Duy Tiên x2 y2 1 a * Chú ý: Nếu tiêu điểm nằm trên Oy thì (H'): b c Khi đó trực thực là B1B2 , trục ảo A1A2 ; Tâm sai e= b với c2 = a2+ b2 b x Đường tiệm cận: y= a VÍ DỤ 68 GV: Nguyễn Tiến Diệp (69) Trường THPT C Duy Tiên 69 GV: Nguyễn Tiến Diệp (70) Trường THPT C Duy Tiên Ví dụ 6: 70 GV: Nguyễn Tiến Diệp (71) Trường THPT C Duy Tiên 71 GV: Nguyễn Tiến Diệp (72) Trường THPT C Duy Tiên BÀI TẬP HYPEPOL Bài 1/ Xác định tọa tiêu điểm, tọa độ các đỉnh; tìm tiêu cự, tâm sai, độ dài các trục, phương trình đường tiệm cận các (H) sau: x2 y 1 a) b) g) h) x2 y2 − =1 16 k) 4x2y2=4 i) j) x − x2 − y =1 y2 =1 Bài 2: Lập phương trình chính tắc Hyperbol (H) (tiêu điểm trên Ox), biết: a) Nửa trục thực là 4, tiêu cự 10; 13 b) Tiêu cự , tiệm cận y= x; c) Tâm sai e= , (H) qua điểm M( 10 ;6); d) Độ dài trục thực là 8, tâm sai e= ; e) Độ dài trục ảo là 12, tâm sai e= ; f) (H) qua điểm M(2;5), đường tiệm cận có phương trình x+y= 0; g) Độ dài trục thực và trục ảo là 10 và 8; h) Độ dài trục thực là 8, tâm sai e= ; i) Độ dài tiêu cự là 20 và đường tiệm cận có phương trình 4y+3y= 0; Đáp số: a) a=4; c= 5; b= 3; b) c= 13 ;a2= 9; b2= 4; d) a= 4; c= 5; b=3; e) a=8; b= g) a=5; b= h) a=4; b= Bài 3: Lập phương trình chính tắc Hyperbol (H) a có tâm sai e = √ và (H) qua M ( √ 10 ;5) b qua điểmM ( √ 15 ;-1) v à N(4; c) a2= 1; b2= f) a= ; b=1 i) a= 6; b= ) √3 c qua hai điểm A( 4; ), B( 6; ) d có tiêu cự √ ,và tiệm cận có pt là: x-y √ =0 e Biết (H) qua điểm A( ;3) và có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm Elíp (E): x y2 1 35 10 f qua điểm M(24;5) và có hai đường tiệm cận là 5x + 12y = và 5x –12y = 34 ; g chứa điểm M( 5 ) Biết M nhìn hai tiêu điểm F và F2 dươi góc vuông 72 GV: Nguyễn Tiến Diệp (73) Trường THPT C Duy Tiên Bài 4: Cho hypebol có phương trình : 4x29y2= 36 a) Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và tâm sai; b) Viết phương trình chính tắc elip (E) qua M( ;3) và có chung các tiêu điểm với (H) Đáp số: a) a= 3; b= 2; c= 13 ; b) a= 7; b= Bài 5: Trong mpOxy cho (H) qua M(5; ) và nậhn điểm F1(5;0) là tiêu điểm nó a) Viết phương trình chính tắc (H); b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x+4y1= Đáp số: a) c= 5; a= 4; b= 3; b) 5x+4y 16= Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (H) : x2 y2 − =1 12 a Tìm toạ độ các tiêu điểm và các đỉnh (H) Tìm Điểm M nằm trên (H) cho MF2 =2 MF1 Bài 7: Cho (H) 2 x y − =1 Đường thẳng (d): 2x+15y -10 = cắt (H) hai điểm phân biệt 25 A,B (với điểm A có hoành độ dương ).Tìm tọa độ điểm C thuộc (H) cho tam giác ABC cân A Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (H): 2 x y − =1 a Tìm tâm sai (H) b Tìm toạ độ Điểm M thuộc (H) nhìn hai tiêu điểm góc vuông 73 GV: Nguyễn Tiến Diệp (74) Trường THPT C Duy Tiên ĐƯỜNG PARABOL (P) 74 GV: Nguyễn Tiến Diệp (75) Trường THPT C Duy Tiên BÀI TẬP Bài 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn các parabol (P) sau: a) y2 = 8x b) y= x2 c) y2 + 6x = d) 3x2+ 12y=0 e) y2 = 4x f) 5y2 = 12x g) 2y2 x=0 h) y2 = ax (a>0) Đáp số: a) p= b) p= ½ c) p= d) p= Bài 2: Lập phương trình chính tắc (P) biết: a) (P) có tiêu điểm F(3;0); b) (P) qua M(1;1); c) (P) có tham số tiêu p= 2 c) y = x 2 Đáp số: a) y = 12x ; b) y = x Bài 3: Lập phương trình chính tắc (P) biết: a) (P) có tiêu điểm F(1;0); b) (P) có tham số tiêu p=5; c) (P) nhận đường thẳng d: x= 2 làm đường chuẩn; d) Một dây cung (P) vuông góc trục Ox có độ dài và khoảng cách từ đỉnh O (P) đến dây cung này Đáp số: a) y2 = 4x b) y2 = 10x c) y2 = 8x d) y2 = 16x Bài 3: Lập phương trình chính tắc (P), biết (P) có: a) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4;0); b) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(2;0); c) Tiêu điểm F(2;0); d) Đường chuẩn có phương trình x= 3; e) Tiêu điểm là F(0;1) và đường chuẩn là y= 1; f) Trục (P) là trục OY và khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là Đáp số: a) p=8 y2= 16x b) p= 4 y2= 8x c) p= 4 y2= 8x d) p= 6 y2= 12x e) x2= 4y f) x2= 2y 75 GV: Nguyễn Tiến Diệp (76)