Khi hai hiÖp sÜ cã mµu tãc kh¸c nhau gÆp nhau th× tãc cña họ lập tức chuyển sang màu tóc thứ ba ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì tóc của cả hai đổi sang màu xanh.. Hỏi c[r]
(1)phòng giáo dục - đào tạo vÜnh têng §Ò thi chän häc sinh giái líp n¨m häc 2010-2011 M«n: to¸n §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi 150 phót C©u1: a) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n b c; a b c vµ c 2(ac bc ab) Chøng minh r»ng: a (a c) a c b c b2 b c A 48 10 b) Rót gän: C©u 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) x x x 0 b) x x x 16 x 66 C©u 3: a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: E 2 x xy y x 22 y 2011 b) Cho đẳng thức: a(b c) x b c a xy c a b y d x y đúng với x, y 1 b a c vµ cho a, b, c kh¸c Chøng minh r»ng: C©u 4: a) Chøng minh r»ng nÕu b lµ sè nguyªn tè lín h¬n th× An3219b lµ hîp sè víi mäi sè tù nhiªn n 2 b) Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n x y z 2 Chøng minh r»ng: x y z xyz Câu 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung EF hai đờng tròn cho A và E cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là ' đờng thẳng OO ’ A, E (O); B, D (O ) ' a) Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF Chøng minh r»ng AOM BMO b) Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BF c) Gäi N lµ giao ®iÓm cña AE vµ BF Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, N, O’ th¼ng hµng 2 y x lµ c¸c sè x y C©u 6: a) H·y t×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x, y cho vµ chÝnh ph¬ng b) vơng quốc ”Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ đó có 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sÜ tãc vµng vµ 17 hiÖp sÜ tãc xanh Khi hai hiÖp sÜ cã mµu tãc kh¸c gÆp th× tãc cña họ chuyển sang màu tóc thứ ba (ví dụ hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì tóc hai đổi sang màu xanh) Hỏi có thể xảy trờng hợp sau số hữu hạn lần gặp nh thì vơng quốc ”Sắc màu kỳ ảo” tất các hiệp sĩ có cùng màu tóc đợc không ? t¹i ? Ghi chó: Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh .sè b¸o danh phòng giáo dục - đào tạo vÜnh têng híng dÉn chÊm thi chän hSG líp n¨m häc 2010-2011 M«n: to¸n (2) Chú ý: Nếu thí sinh làm đúng theo cách khác đáp án cho điểm tối đa C©u (2®) Néi dung tr×nh bµy §iÓm a) (1®) Ta cã: a (a c ) a c c a c a c 2(ac bc ab) a c 2 (a c 2ac) 2b(a c) a c a c 2b(a c ) a c 2 0,5® 2 a c 2b(a c) 2 a c a c b 2 Chøng minh t¬ng tù ta cã: b b c 2 b c b c a 2 2 a ( a c) VËy b b c 0,5® 2( a c)(a c b) a c 2(b c)(a c b) b c b) (1®) Ta cã: 74 2 10 10 20 10 48 10 48 20 10 28 10 48 10 5 25 0,5® 0,5® A 48 10 25 3 (1,5®) a) (0,5®) x 2 x x x 0 x x 1 x 1 0 x 1 x 0,25® 0,25® VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ: S 1; 2; 1 b) (1®) §KX§: x 9 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ( x x ) 2 x x 2 x x 0,5® x x 2(1) MÆt kh¸c: x 16 x 66 x 2(2) Tõ (1),(2) suy ra: x x x 16 x 66(3) Dấu (3) xảy đồng thời xảy dấu (1) và (2) tức là khi: x 9 x x 8 x 0 (tho¶ m·n §KX§) VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ: S 8 0,5® (3) (1®) a) (0,5®) E 2011 2 x xy y x 22 y 2( E 2011) 4 x xy 10 y 16 x 44 y 4 x xy 16 x 10 y 44 y 4 x x ( y 4) y 9( y y 4) 52 0,25® x y y 52 52 E 2011 26 E 2011 26 1985 DÊu b»ng x¶y khi: 2 x y 0 y 0 x 1 y 2 0,25® x 1 VËy Min E = 1985 y 2 b) (0,5®) Do đẳng thức đã cho xảy với x, y nên: a b c d (1) +Víi x = 1, y = th× ta cã: 0,25® +Víi x = 0, y = th× ta cã: c a b d (2) 0,25® 1 a b c c(a b) 2ac b a c b a c Tõ (1),(2) suy (1,5) a) (0,5®) Do b lµ sè nguyªn tè lín h¬n suy b 13 0,5® A 3n 1993b 3 n 664b b 13 Do đó Mµ A > suy A lµ hîp sè víi mäi sè tù nhiªn n b) (1®) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: x x y z xyz x(1 yz ) ( y z ).1 y z yz 12 MÆt kh¸c: x 2 (1) yz x y z yz yz yz yz yz yz 4 yz y z yz y z y z y z 2 2 2 2 3 4 y z y z (2) 3 0,5® 0,25® 2 2 2 3 3 2 Ta l¹i cã y z 2 yz y z 2 y z y z y z 0(3) Tõ (1);(2);(3) suy x y z xyz 2 x y z xyz 0,25® (4) (3®) A M I B E K O N O ‘ F a)(1®) Theo tính chất hai tiếp tuyến đờng tròn cắt ta có: Hai tia MO vµ MO’ theo thø tù lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AME vµ BMF ' Suy MO MO AOM BMO ' ' Suy AOM BMO ( g.g ) 0,5® 0,5® b)(1®) ' Ta cã MO AE ; MO BF ; MO MO Suy AE vu«ng gãc víi BF ' c) (1®) Gäi I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AE Gäi K lµ giao ®iÓm cña MO’ vµ BF ' Ta có AOM BMO và hai tam giác này có hai đờng cao tơng ứng là AI vµ BK OI MK OM MO' 1® 0,5® Ta l¹i cã MK = IN (v× tø gi¸c MINK lµ h×nh ch÷ nhËt) OI IN OM MO' OIN OMO ' ( g g ) ION MOO ' Hai tia ON vµ OO’ trïng VËy ba ®iÓm O, N, O’ th»ng hµng (1®) a) (0,5®) Ta chứng minh có ít hai bất đẳng thức sau là đúng: x y x ; y 3x y 0,5® (5) Thật giả sử hai bất đẳng thức trên sai thì: 2 x y x ; y 3x y x y (v« lý v× x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng) Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö: x y x Suy 2 x x y x x y x 1 y 2 x 0,25® x 3k 1; y 2k 1( k N ) y x 4k 13k 2 2k 3 4k 13k 2k + NÕu k > th×: suy y x kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng + NÕu k 1; 2;3; 4 th× y 3x kh«ng lµ sè chÝmh ph¬ng 0,25® + NÕu k = th× y 3x = 22 suy x = y = + NÕu k = th× y 3x = 132 suy x = 16; y = 11 Thử lại thấy đúng VËy c¸c cÆp sè (x,y) ph¶i t×m lµ (1,2) ;(16,11),(11,16) b) (0,5®) Sau méi lÇn hai hiÖp sÜ cã mµu tãc kh¸c gÆp th× mµu tãc mçi lo¹i t¨ng them hoÆc gi¶m ®i Nh vËy, hiÖu sè hiÖp sÜ cã hai mµu tãc kh¸c tríc vµ sau mçi lÇn nh vËy cã cïng sè d chia cho 0,25® Giả sử xảy trờng hợp tất 45 hiệp sĩ đó có cùng màu tóc và sè hiÖp sÜ cã hai mµu tãc lµ Ta cã: 45 03; 45 03; 03 Mặt khác lúc đầu 15 13 2;17 15 2;17 13 4 không chia hết cho 0,25® Do đó điều giả sử là sai Vậy không thể xảy trờng hợp tất các hiệp sĩ có cùng màu tãc - (6)