ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian phát đề Thí sinh không được sử dụng tài liệu.. Giám thị không giải thích gì thêm.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm -o0o Bài Giải phương trình: x x Bài Chứng minh rằng: là số vô tỉ Bài Giải phương trình: x x 5 đồ thị Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x + y – = k 1 x y 3 Bài Cho hệ phương trình: kx y k (k là tham số) Tìm k để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y > F 0; (d) : y (a 0) 4a Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 4a và đường thẳng Gọi M(x ; y) là điểm mặt phẳng, H là hình chiếu điểm M trên (d) Tính MF và MH2 theo x, y tìm quỹ tích điểm M cho MF = MH Bài Cho phương trình: x2 + (2m – 1)x – m = (1) (m là tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn hệ thức x1 x 1 Bài Chứng minh rằng: Trong các tam giác cân có cùng diện tích, tam giác có cạnh đáy nhò là tam giác có góc đỉnh nhỏ Bài Cho đoạn thẳng AB, điểm M tùy ý trên đoạn thẳng AB Dựng phía AB hai hình vuông AMCE và BMKQ Chứng minh rằng: AK, BC, QE đồng quy điểm I Bài 10 Cho hình chóp S.ABC cạnh a, M là trung điểm SC Tính diện tích tam giác AMB theo a -HẾT - (2) ĐÁP ÁN x 1 x x x x 2x x 1 x 3x 0 Bài Vậy x = là nghiệm phương trình Bài Giả sử: x là số hữu tỉ Khi đó: x 6 x 1 x 0 x 3 x 3 x2 Q là số vô tỉ nên điều trên vô lí Vậy là số vô tỉ Mà 2x x y x x 3 x 2 2x x Bài Vẽ đồ thị hàm số Vẽ đường thẳng y = Hai đồ thị cắt (–2 ; 5) và (3 ; 5) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = –2; x2 = Bài Phương trình trên có thể viết dạng: y = –2x + 7 2x x x x 1; x 2; x 3 Lại có x nguyên dương nên Vì y > nên Với x = thì y = 5; x = thì y = 3; x = thì y = Vậy phương trình có ba nghiệm nguyên dương là (1 ; 5), (2 ; 3), (3 ; 1) k k k 1 x y 3 k 3 x km 1 x k 2k kx y k y k kx k 2k y 2k Bài k k 2k ; k 2k 2k Vậy thì hệ có nghiệm nhất: k k 3 xy 2k k 2k Khi đó: Bài Hạ MI Oy Xét ∆IMF vuông I, ta có: MF MI IF x y 4a ; MH y 4a 2 2 2 MF MH x y y y ax 4a 4a Vậy quỹ tích điểm M để MF = MH là parapol y = ax2 (3) Bài Phương trình có 2m 1 4m 4m m nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 x 1 2m (1) (2) x1 x m x x 1 (3) Theo định lí Vi-ét và đề bài ta có: Từ (1) và (3) suy ra: x1 1 m, x m m m m m 0 m 0 Thay vào (2), ta có: Bài Xét các ∆ABC cân A có cùng diện tích S Kẻ đường cao AH A A HAC ; AH HC.cot 2 Trong ∆HAC vuông H, ta có: 1 A A S BC.AH BC BC.cot BC2 cot 2 2 Do đó: A A cot lớn nhỏ A Mà S không đổi nên: BC nhỏ nhỏ Bài Kéo dài AK cắt BC I Nối AI, QI ∆KAM = ∆BCM (c.g.c) ICM IAM CIA 900 Tứ giác IQBK nội tiếp QIB QKB 45 Tứ giác CIAE nội tiếp CIE CAE 45 Do đó Q, I, E thẳng hàng hay AK, BC, QE đồng quy I Bài 10 Gọi N là trung điểm AB ∆AMB cân M nên MN AB a MB ∆SBC đều, cạnh a nên: ∆MNB vuông N, ta có: a a 2 a2 a MN MB NB 2 2 1 a a SAMB AB.MN a 2 2 Mỗi câu đúng điểm -HẾT - (4) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm -o0o - Bài Giải phương trình: 4x 20 x 9x 45 4 Bài Cho x, y, z là ba số hữu tỉ đôi khác 1 2 x y y z z x Chứng minh rằng: là số hữu tỉ Bài Tìm điểm cố định họ đường thẳng y = (m – 1)x – 2m + Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 11x + 18y = 120 kx 2y 3 Bài Tìm các giá trị tham số k để hệ phương trình: 3x ky 4 có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < F 0; (d) : y (a 0) 4a Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 4a và đường thẳng Gọi M(x ; y) là điểm mặt phẳng, H là hình chiếu điểm M trên (d) Tính MF và MH2 theo x, y tìm quỹ tích điểm M cho MF = MH Bài Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x + m + 3m + = (m là tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa –3 < x1 < x2 < AH AB 1 900 HC BC A Bài Cho ∆ABC cân A ( ), đường cao BH Chứng minh rằng: Bài Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BD và CE cắt H Từ A kẻ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) Chứng minh rằng: xy // DE (5) Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC và ∆SBC cùng vuông B, ∆ASC vuông A Xác định mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, S -HẾT ĐÁP ÁN Bài ĐK: x ≥ 9x 45 4 x 2 x 4 x 9 (nhận) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài Đặt x – y = a, y – z = b, z – x = c, ta có: 4x 20 x x y y z z x 1 1 1 1 1 2 a b c a b c ab bc ac 2 a b c 1 1 1 1 1 1 1 Q abc a b c x y y z z x a b c a b c x ;y Bài Giả sử 0 là điểm cố định họ đường thẳng, ta có: y0 m 1 x 2m m mx x 2m y 0 m m x x y0 0 m x 0 x 2 x 2 x y0 0 y0 0 y0 Vậy (2 ; –1) là điểm cố định họ đường thẳng Bài Vì 120 nên (11x + 18y) suy 11x dẫn đến x Mặt khác 11x < 120 nên x < 11, ta x = Thay x = vào phương trình y = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là (6 ; 3) x k 3k 8 x 3k kx 2y 3 k2 kx 3x ky 4 y y 4k k2 Bài Do k2 + > nên để x > 0, y < thì: k 3k k 4k k Bài Hạ MI Oy Xét ∆IMF vuông I, ta có: (6) MF2 MI IF2 x y 4a 2 2 MH y MF MH x y y y ax 4a 4a 4a Vậy quỹ tích điểm M để MF = MH là parapol y = ax Bài ∆ = [–(2m + 3)]2 – 4.1.(m2 + 3m + 2) = > nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: 2m 2m x1 m 1; x m 2 Hiển nhiên x1 x , đó ta cần: x1 m m 4m4 m m x Bài Dựng D đối xứng với C qua A Chứng minh ∆BDC vuông B Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: BC2 BC2 CD 2AB AH AC HC AC AC AC.AB AB 1 2 2 1 HC HC HC BC2 BC2 BC 2AB Do đó: BC HC.CD CH Bài Tứ giác BEDC nội tiếp suy ra: CED CBD (hai góc nội tiếp cùng chắn CD ) 0 Ta có: AED 90 CED 90 CBD ACB Mà ACB xAB (góc nội tiếp và góc tạo tia tiếp tuyến – dây cung cùng chắn AB ) Nên: AED xAB (hai góc vị trí so le trong) Vậy: xy // DE Bài 10 Gọi O là trung điểm SC Do ∆ASC vuông A và ∆BSC vuông B nên ta có: OA OB OC OS CS CS Vậy bốn điểm A, B, C, S cùng thuộc mặt cầu tâm O, bán kính (7) Mỗi câu đúng điểm -HẾT - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm -o0o Bài Giải phương trình: x 1 x 1 Bài Cho x, y là hai số hữu tỉ khác và số nguyên dương n Chứng minh rằng: x n y n là số vô tỉ Bài Tìm k để ba đường thẳng (d 1): y = kx, (d2): y = 3x – 3, (d3): y = – 2x đồng quy điểm trên mặt phẳng tọa độ x y 1 ax 2y 2 (I) (II) 2x y 2 và x ay 1 tương đương Bài Tìm a để hai hệ phương trình m 1 x 2y m Bài Giải và biện luận hệ phương trình: 2x y m theo tham số m Bài Cho hàm số y = x2 từ đường thẳng song song với trục Ox cắt parapol hai điểm A và C Từ điểm M trên parapol (M thuộc OC ) hạ MB AC Chứng minh rằng: AB.BC = MB 1 Bài Cho b, c là hai số thỏa mãn hệ thức b c Chứng minh rằng: Trong hai phương trình x2 + bx + c = (1) và x2 + cx + b = (2) có ít phương trình có nghiệm Bài Cho ∆ABC, đường phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM đồng quy I Chứng minh rằng: AB.cosA = BC.cosB (8) Bài Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E thuộc cạnh BC (E không trùng với B và C) Vẽ EF AE (F thuộc cạnh CD) Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC điểm G Vẽ tiếp đường thẳng a qua A và vuông góc với AE, cắt đường thẳng DE điểm H Chứng minh tứ giác AEGH nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có SA mp(ABC) và ∆ABC vuông B Vẽ AH mp(SBC) , AK SC Chứng minh năm điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên mặt cầu -HẾT ĐÁP ÁN Bài ĐK: x ≥ x x 1 x 1 x Vậy phương trình có nghiệm x = Bài Giả sử x n y n a Q x n 2xy n n 1 y n 1 a Q 2 2 x 1 x 3 (nhận) n n 1 b Q n n 1 b Q Mặt khác n < n(n + 1) < (n + 1) nên n < b < (n + 1) suy n < b < n + Thực tế không tồn số nguyên n và b nào thỏa mãn hệ thức trên nên x n y n là số vô tỉ Bài Tọa độ giao điểm (d2) và (d3) là (2 ; 3) Vì ba đường thẳng đồng quy điểm nên (2 ; 3) thuộc đồ thị (d1) Thay vào ta k = 1,5 Bài Hệ (I) có nghiệm là (1 ; 0) Vì hệ (I) và hệ (II) tương đương nên hệ (II) có nghiệm là (1 ; 0) Thay vào ta a = (thử lại ta thấy đúng) m 1 x 2y m m 1 x 2y m m 3 x 3 m (1) 2x y m (2) 4x 2y 2m y m 2x Bài 3 m 1 x m • Nếu m ≠ thì vào (2) ta y = m + 1 0x 0 x R và y = –2x + • Nếu m = thì Kết luận: • m ≠ 3: Hệ có nghiệm (–1 ; m + 2) x R • m = 3: Hệ có vô số nghiệm y 2x Bài Hạ AA1, BB1, CC1 vuông góc với trục Ox Đặt OB1 = x, MB1 = y, AC = A1C1 = 2m, đó: OC1 = m, CC1 = m2, AB = m + x, BC = m – x Ta có: AB.BC = (m + x)(m – x) = m2 – x2 = CC1 – y = BB1 – MB1 = MB (9) 1 b c bc Bài b c Ta có: ∆1 = b2 – 4c, ∆2 = c2 – 4b Vậy nên ∆1 + ∆2 = b2 + c2 – 2bc = (b – c)2 ≥ Vậy hai biệt số ∆1 ∆2 không âm, nghĩa là hai phương trình phải có nghiệm Bài Kẻ MN // AB ∆IHB ∆INM HB IB MN IM IB AB HB AB MN AM Mà AD là đường phân giác ∆AMB nên IM AM 1 HB AB MN AH, AM AC AB.AH AC.HB 2 AH AC Xét ∆HAC vuông H, ta có: AH = AC.cosA Xét ∆HBC vuông H, ta có: HB = BC.cosB Vậy AB.AC.cosA = AC.BC.cosB hay AB.cosA = BC.cosB Bài Tứ giác AEFD nội tiếp đường tròn đường kính AF ( E D 90 ) · · DAG HEF (cùng chắn DF ) (1) · · AH // EF (cùng vuông góc với AE) và AD // EG DAH GEF (2) · · · · · · Từ (1) và (2) suy ra: DAG DAH HEF GEF HAG HEG (cùng nhìn HG) nên tứ giác AEGH nội tiếp đường tròn Gọi M là trung điểm HE · ∆AHE vuông A A, H, E (M) AHE là góc nội tiếp chắn AE (M) · · Mà tứ giác AEGH nội tiếp nên AHE AGE (cùng chắn AE ) Vậy G (M) hay M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEGH Bài 10 Do AH mp(SBC) AH HC nên ∆HAC vuông H AK SC (gt) nên ∆KAC vuông K ∆ABC vuông B Lấy O là trung điểm AC, ta có: OA = OB = OC = OH = OK AC Vậy năm điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính Mỗi câu đúng điểm (10) -HẾT - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm -o0o Bài (1 điểm) So sánh 12 11 với 11 10 Bài (1,5 điểm) x yz Chứng minh rằng: xy zx x y z x Bài (2 điểm) A y 5x y 6x Cho biểu thức: a) Phân tích A thành nhân tử 18 x ; y 4 b) Tính giá trị A x c) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa mãn A = và y 0 Bài (2 điểm) Cho biểu thức: M x x x x với x ≥ a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ M (11) Bài (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy P thuộc BD, M là điểm đối xứng với C qua P a) Tứ giác AMDB là hình gì? Vì sao? b) Gọi E, F là hình chiếu M trên AD, AB Chứng minh EF // AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số các cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD PB 16 Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật ABCD CP BD d) Cho , CP = 2,4 và -HẾT - ĐÁP ÁN Bài (1 điểm) So sánh 12 11 với 11 10 Đáp án 12 11 12 11 Vì 12 11 12 11 12 11 Ta có: 12 11 Tương tự: 11 10 nên 12 11 11 10 Điểm 11 10 11 10 0,50 0,50 Bài (1,5 điểm) x yz Chứng minh rằng: x yz xy x y xy zx x y z x Đáp án zx z x z x zx xy x y x y xy x y z x zx z x (x y)(z x) (x y)(z x) x yz Bài (2 điểm) A y 5x y 6x Cho biểu thức: a) Phân tích A thành nhân tử (0,5 điểm) 18 x ; y (0,75 điểm) b) Tính giá trị A x y 0 c) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa mãn A = và (0,75 điểm) Điểm 0,75 0,75 (12) a) A y 5x y 6x y y b) 18 4 A 8 y 2x 3x 4 1 1 3 71 Đáp án y 2x Điểm y 3x y 2x 0,50 y 71 0,25 1 22 3 0,50 x y 0 (I) y 3x 0 y 2x 0 c) Theo đề bài, ta có: 2x x x x 1 (I) y 3x y y 2x 1 9 y 4 ; Vậy hai cặp số thỏa mãn đề bài là (1 ; 4) và 0,25 0,50 Bài (2 điểm) Cho biểu thức: M x x x x với x ≥ a) Rút gọn M (1 điểm) b) Tìm giá trị nhỏ M (1 điểm) Đáp án M x2 x x x a) b) Với ≤ x ≤ thì M = Với x > thì M 2 x M 2 Min M 2 ≤ x ≤ x 1 Điểm x 1 x 1 x 1 1,00 0,25 0,50 0,25 Bài (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy P thuộc BD, M là điểm đối xứng với C qua P a) Tứ giác AMDB là hình gì? Vì sao? (0,75 điểm) b) Gọi E, F là hình chiếu M trên AD, AB Chứng minh EF // AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng (1 điểm) c) Chứng minh tỉ số các cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P (0,75 điểm) PD d) Cho CP BD , CP = 2,4 và PB 16 Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật ABCD (1 điểm) Đáp án Điểm (13) Vẽ hình đúng a) Chứng minh: AM // BD Do đó tứ giác AMDB là hình thang b) Chứng minh: AFE BAC EF // AC Gọi O là giao điểm MA và EF Khi đó PO là đường trung bình ∆CAM nên PO // AC Theo tiên đề Ơ-clit thì hai đường thẳng OP, EF trùng Vậy nên ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh: ∆MAF ∆DBA (g.g) MF DA FA BA không đổi P thay đổi d) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông tính được: AD = BC = AB = CD = -HẾT - 0,75 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 (14)