* Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A có giá trị là một sốnguyên.. Chøng tá r»ng Ot lµ ph©n gi¸c cña gãc xoy..[r]
(1)§Ò thi häc sinh giái líp (thêi gian lµm bµi 90 phót) C©u : So s¸nh A vµ B A = 1975 79 −975 1000+78 1975 vµ B = 175 91 −100 75+90 175 C©u : T×m c¸c sè nguyªn x , y cho : 2xy + x = 6y + C©u : T×m ¦CLN cña : 3n + vµ 4n + (n lµ sè tù nhiªn) C©u : Cho A = + + ❑2 + ❑3 + … + ❑999 a) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A b) Chøng minh r»ng A ⋮ 15 C©u : (3®) T×m x : 1+3+5+ + 99 2+ 4+ 6+ +98+ x =1 Câu : Cho 30 điểm đó có điểm thẳng hàng hai điểm ta nối đđợc îc đđờng êng th¼ng a) Cã bao nhiªu ®o¹n th¼ng? b) Có bao nhiêu đđờng êng th¼ng ? Câu7: Cho điểm A , B , C , D không nằm trên đđờng êng th¼ng a Chøng tá đđờng êng th¼ng a hoÆc kh«ng c¾t , hoÆc c¾t ba , hoÆc c¾t bèn ®o¹n th¼ng c¸c ®o¹n th¼ng AB , AC , AD , BC , BD , CD C©u : Chøng minh 1 1 1 1 (1− + − + + − )= + + 2005 2006 1004 1005 2006 (T (Tong ong tù c©u ddíi íi ) §¸P ¸N C©u : A = 1975 79 −975 1000+78 1975 = 1975 (78+1)− 975 1000+78 1975 1975 78+1975 − 975 1000+78 1975 = 1975 78+1000 1000+1975 78 =1 = (2) B = 175 91 −100 75+90 175 = 175 (90+1)− 100 75+90 175 = 175 90+ 175− 100 75+90 175 = 175 90+75 = 75+90 175 VËy A = B C©u : ta cã 2xy + x = 6y + ⇔ 2xy + x – 6y – = 2x( y+1) – 6( y+1) = (y+1) ( 2x- 6) =2 y+1 = và 2x – = tìm đđợc îc y = vµ x = y + = và 2x – = tìm đđợc îc y = vµ kh«ng cã gi¸ trÞ cña x y + = -1 và 2x – = - tìm đđợc îc y = - vµ x = y + = -2 và 2x – = -1 tìm đđợc îc y = - kh«ng cã gi¸ trÞ cña x C©u : Gäi ¦CLN (3n+2 ; 4n+5) = d Ta cã 3n+2 ⋮ d nªn 12n +8 ⋮ d 4n+5 ⋮ d nªn 12n +15 ⋮ d VËy (12n+15 ) - ( 12n + ) ⋮ d nªn 23 ⋮ d vËy d { ,23 } *NÕu 3n+2 ⋮ 23 tøc lµ 24n + 16 ⋮ 23 suy n +16 ⋮ 23 hay n +16 = 23k hay n = 23k –16 th× ¦CLN( 3n+2 ; 4n+5) = 23 * NÕu n 23k – 16 th× ¦CLN( 3n+2 ; 4n+5) = C©u : a Ta cã A = 1+ + ❑2+23 +2 4+ .+2999 (1) 2A = + ❑2+23 +2 4+ .+21000 (2) LÊy (2) – (1) ta cã A = ❑1000 - mµ Error! Objects cannot be created from editing field codes = (2 ❑4 ¿250 = 16 ❑250 cã tËn cïng lµ VËy A cã tËn cïng lµ b Ta cã A = (1+ + ❑2 +2 ❑3 ) + ( 24 +25 +26 +27 ) + … + (2 1996 1997 1998 1999 ) = (1+ + ❑2 +2 ❑3 ) + ❑4 (1+ + ❑2 +2 ❑3 ) + … + ❑1997 (1+ + ❑2 +2 ❑3 ) = (1+ + ❑2 +2 ❑3 ) ( 1+2 ❑4 +2 ❑8 + … + ❑1996 ) = 15 ( 1+2 ❑4 +2 ❑8 + … + ❑1996 ) ⋮ 15 (®pcm) ❑ +2 +2 +2 (3) 1+3+5+7+ .+99 2+ 4+ 6+8+ + 98+ x C©u : =1 + + + … + 98 + x = + + + … + 99 x = ( + + + … + 99) – ( + + + … + 98) x = (99 – 98) + (97 – 96) + … + ( – ) + x = + + + … + (50 sè) x = 50 C©u : a) Cã sè ®o¹n th¼ng lµ 30 29 : = 435 (®o¹n th¼ng) b) Nếu không có điểm thẳng hàng thì có số đđờng êng th¼ng lµ 30 29 : = 435 đđờng êng th¼ng Nh Nhng ng v× cã ®iÓm th¼ng hµng nªn sè đờng thẳng bị giảm là : = 28 đđờng êng Vậy có tổng số đđờng ờng thẳng 435 – 28 + = 408 đđờng êng th¼ng ⇔ `C©u : A B C ` D a - Nếu điểm A , B , C , D nằm cùng phía đđờng ờng thẳng a thì đđờng êng th¼ng a kh«ng c¾t c¸c ®o¹n th¼ng AB , BC , CD , DA - NÕu ®iÓm A n»m ë mét n÷a mÆt ph¼ng bê a , B , C , D n»m ë n÷a mÆt phẳng đối thì đđờng êng th¼ng a c¾t ba ®o¹n thÈng AB , AC , AD (4) - NÕu Avµ B n»m ë cïng n÷a mÆt ph¼ng bê a cßn C vµ D n»m ë n÷a mÆt phẳng đối thì đđờng êng th¼ng a c¾t bèn ®o¹n th¼ng AC , AD vµ BC , BD Vậy đđờng êng th¼ng a hoÆc kh«ng c¾t , hoÆc c¾t ba hoÆc c¨t bèn ®o¹n do¹n th¼ng AB , AC , BD ,BC , CD , DA (®pcm) C©u : Chøng tá 1 1 1 1 + + + + =1 − + − + + − 51 52 53 100 99 100 1 1 + + + + 51 52 53 100 ThËt vËy : = ( + + + )−( ! + + + ) 100 50 = ( + + + ) −2( + + + ) 100 100 = 1− + − + + − 99 C©u : Cho A = 100 §Æt B”= 10000 10000 9999 10000 (§PCM) 100 B = 9999 10000 So s¸nh A vµ B § §¬ng ¬ng nhiªn B” > B , B ❑2 < B.B” Mµ B B” = 9999 10000 10000 ( ).( )= 10000 9999 10000 10000 VËy B ❑2 < C©u 10 : 10000 Nªn B < 100 VËy B < A (§PCM) Cho a = 1+2+3+ + n b = 2n +1 Chøng minh ph©n sè a tèi gi¶n b Ta cã a= ( 1+n) n : Gäi ¦CLN (a,b) = D Ta cã (1+n) n ⋮D vµ 2n-1 ⋮ D V× 2n +1 ⋮ D nªn n kh«ng chia hÕt cho D suy n kh«ng chia hÕt cho D vËy n kh«ng chia hÕt cho D Suy n+1 ⋮ D (5) Suy 2n +2 ⋮ D Nªn (2n + ) – (2 n +1) ⋮ D hay ⋮ D VËy a b lµ ph©n sè tèi gi¶n C©u : Cho sè tù nhiªn a ❑1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 Tháa m·n 2003 = a ❑1 < a ❑2 < a ❑3 < a ❑4 < a ❑5 < a ❑6 a) NÕu tÝnh tæng sè bÊt k× th× cã mÊy tæng b) BiÕt r»ng c¸c tæng bÊt k× lµ kh¸c chøng minh a ❑6 2012 a) cã tÊt c¶ 6.5 :2 = 15 tæng b) Gi· s÷ a ❑6 < 2012 th× tæng lín nhÊt lµ 2011+ 2010 = 4021 Tæng bÐ nhÊt lµ 2003 + 2004 = 4007 Từ 4007 đến 4021 có đúng 15 tổng nh nhng ng l¹i cã hai tæng b»ng (v« lÝ) vËy a ❑6 2012 (§PCM) §Ò thi häc sinh giái líp ( thêi gian lµm bµi 90 phót) C©u : TÝnh nhanh A = + + 3 +…+ C©u : a ) Tìm số nguyên tố p cho p + và p + là số nguyên tố b) Cho p vµ 8p - lµ sè nguyªn tè, chøng minh r»ng 8p + lµ hîp sè C©u : TÝnh : a) b) 3+2 6+3 9+4 12 5+2 10+3 15+ 12 20 3 3 + − + 17 137 1127 5 5 + − + 17 137 1127 C©u : T×m c¸c sè nguyªn x , y biÕt : (6) a) b) (x + ) ❑2 + ( y - ) ❑2 = (x + ) ❑2 + (y - ) ❑2 ∠ C©u : Mét sîi d©y dµi 1 m lµm thÕ nµo c¾t mét ®o¹n 0,5 m mµ kh«ng cã th thíc íc ®o tay? Câu6 : Cho tam giác ABC đđờng ờng thẳng a không qua đỉnh tam giác Nếu đđờng êng th¼ng a c¾t c¹nh AB th× cã c¾t c¹nh nµo kh«ng ? c¾t nh÷ng c¹nh nµo ? §¸P ¸N C©u : ta cã A = 1 1 + + + .+ 3 3 3A = + (1) 1 1 + + + .+ 3 3 Lấy (2) – (1) ta đđợc îc 2A = (1+ 2A = - (2) 1 1 1 1 + + + .+ ) - ( + + + .+ ) 3 3 3 3 vËy A = (1 - ) :2 C©u : a) * NÕu p = 3k +1 th× P + = 3k + + = 3k + ⋮ * NÕu p = 3k + th× P + = 3k + + = 3k + ⋮ VËy P = 3k mµ P lµ sè nguyªn tè vËy P = b) NÕu p = th× 8p – = 23 vµ 8p + = 25 (tho¶ m¶n) NÕu p > th× p = 6k + hoÆc 6k - NÕu p = 6k - th× 8p – = 48k – – = 48k – ⋮ VËy p = 6k + nªn 8k + = 48k + + = 48k + lµ hîp sè (®pcm) C©u : a) 3+2 6+3 9+4 12 5+2 10+3 15+ 12 20 3(1 1+ 2 2+3 3+4 4) 5(1 1+ 2 2+3 3+ 4) = = b) 3 3 + − + 17 137 1127 5 5 + − + 17 137 1127 = 1 1 3( + − + ) 17 137 1127 1 1 5( + − + ) 17 137 1127 = = (7) C©u : a) (x + ) ❑2 + ( y - ) ❑2 = * NÕu (x + ) ❑2 = vµ ( y - ) ❑2 = th× x + = ± vµ y – = ± ta cã x = , -2 vµ y = , *NÕu (y-2) ❑2 = vµ (x+1) ❑2 = th× y – = ± vµ x + = ± ta cã y = , vµ x = , - Câu : Gấp đôi sợi dây ta đđợc ợc 1 : = gấp đôi lần thứ hai ta đđợc îc 3 : = gấp đôi lần thứ ba ta có 6 : = m lÊy ba ®o¹n ta ®®-6 îc 0,5 m C©u : A a B C Vì đđờng ờng thẳng a cắt AB nên A và B nằm hai mặt phẳng đối bờ a NÕu C cïng n÷a mÆt ph¼ng víi A bê a th× a c¾t BC Cßn nÕu C kh«ng cïng nòa mÆt ph¼ng víi A bê a , th× a c¾t AC Cã nghÜa lµ a lu«n c¾t hai c¹nh cña tam gi¸c Hä vµ tªn………………… Líp M«n : TOÁN Thêi gian: 90 phót (8) §iÓm Lêi phª cña thÇy c« C©u : Chøng minh r»ng : a) ❑1991 + ❑1992 + ❑1993 ⋮ 73 ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… b) ❑175 + ❑176 + ❑177 ⋮ 57 ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… C©u : Có m dây, làm nào để cắt 0,6 m mà không cần đến th thíc íc ®o? ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… C©u3 : N¨m 2000 bè 40 tuæi , Mai 11 tuæi , Nam 6` tuæi Hái sau bao l©u bố tổng tuổi hai ? Và lúc đó là năm nào ? ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… C©u 44:: So s¸nh A vµ B a) A = 83 b) A = 10 +5 10 −8 + 7 84 B = 83 + 84 B = 108 +6 10 −7 ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… (9) ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… C©u : T×m c¸c sè tù nhiªn a , b , c cho : 52 = + a+ b+ c ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Câu : Cho 14 điểm đó không có điểm nào thẳng hàng , điểm nối với đđợc ợc đoạn thẳng , điểm nối đđợc îc tam gi¸c Hái : a) Cã tÊt c¶ bao nhiªu ®o¹n th¼ng ? b) Cã tÊt c¶ bao nhiªu h×nh tam gi¸c ? ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… C©u7 : Cho tam gi¸c ABC cã ∠ A = 80 ❑0 §iÓm D n»m gi÷a B vµ C cho ∠ BAD = 20 ❑0 Trªn n÷a mÆt ph¼ng chøa B cã bê lµ AC vÏ tia A x cho ∠ CA x = 25 ❑0 tia nµy c¾t BC t¹i E a) Chøng tá E n»m gi÷a D vµ C b) TÝnh gãc DAE ? C©u : Chøng minh : 1.3.5.7 99 = 51 52 53 100 Ta cã : 1.3.5.7 99 = 2 2 100 ¿ (1 .99).(2 .100) ¿ = (1 .50) (51 52 100) (1 50).(2 ) = 51 52 53 100 (§PCM) 2 2 (50 sè 2) (10) §¸P ¸N ❑1991 + ❑1992 + ❑1993 = 81991 (1+ 8+82 )=81991 73 C©u : a) ⋮73 b) 7175 (1+7+72 )=7175 57 ⋮ 57 ❑175 + ❑176 + ❑177 = :2= 5 Câu : Chia đôi lần thứ ta có m chia đôi lần thứ hai ta có đợc îc 0,6m :2= m lÊy ba lÇn nh vËy ta ® 5 C©u : HiÖn bè h¬n tæng tuæi hai : 40 – 11 – = 23 ( tuæi) Mçi n¨m tuæi t¨ng h¬n bè : – = (tuæi) Sau sè n¨m bè b»ng tæng tuæi hai : 23 : = 23 (n¨m) Lúc đó bố có số tuổi là 40 + 23 = 63 (tuổi) C©u : a) Ta cã A = 83 + 84 B = + = = 83 + 3 + + 84 + 84 (11) 4 V× < 7 10 +5 10 −8 b) A = = B = 108 +6 = 10 −7 V× C©u : 52 nªn A < B 10 −8+13 13 =1+ 7 10 −8 10 −8 108 −7+13 13 =1+ 8 10 −7 10 −7 13 13 > 10 −8 10 − =5+ vËy A > B =5+ 9 1 =5+ 1+ = + 1+ =5 + 1+ 3+ VËy a = , b = , c = C©u : Cã sè ®o¹n th¼ng lµ 14 13 : = 91 (®o¹n th¼ng) 14 =364 (Tam gi¸c) Cã sè tam gi¸c c ❑314 = (1 11) C©u : B A D E C a) V× AD N»m tam gi¸c nªn AD n»m gi÷a AB vµ AC nªn ∠ DAC = 80 – 20 = 60 ❑0 V× AE vµ AD cïng n»m n÷a mÆt ph¼ng bê AC mµ ∠ CAE < ∠ CAD nªn AE n»m gi÷a hai tia AC vµ AD vËy E n»m gi÷a D vµ C (12) b) V× AE n»m gi÷a hai tia AD vµ AC nªn ta cã ∠ CAE = 60 – 25 = 35 ❑0 ∠ DAE = ∠ CAD - Hä vµ tªn………………… Líp §iÓm Lêi phª cña thÇy c« C©u : T×m x , y , z biÕt : a) 4(x-1) -2 |x +3| = ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… b) ( - ) ❑2 - = x 16 ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… c) 32 ❑− x 16 ❑x = 2048 ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… d ) (3x-5) ❑2006 + (y ❑2 - 1) ❑2008 + (x-z) ❑2010 = ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… C©u : Cho bz −cy Chøng minh : = cx − az a x a = b y b = z c = ay − bx ( a , b c c 0) (13) ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………… C©u : a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 2|x −1|+1 ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc B = (x+1) ❑2 + (y+3) ❑2 + 2009 …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… √ x+1 ( víi x 0,x 9) √x− Tìm các số nguyên x để M có giá trị nguyên ? ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… C©u4 : Cho M = C©u : Cho a + b + c = 2009 vµ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = a b+c a+b + b c+ a b+c + + + c+ a = 2009 c a+b ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… C©u : Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A , BiÕt gãc B = 50 ❑0 Gäi M lµ ®iÓm tam gi¸c cho ∠ MBC =10 ❑0 vµ ∠ MCB = 30 ❑0 a) Chøng minh tam gi¸c ABM c©n b) TÝnh sè ®o ∠ BAM ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… §¸P ¸N (14) C©u : a) 4(x-1) -2 |x +3| = * NÕu x+3 > ⇔ x > -3 th× 4x - – ( x+ 3) = ⇔ 4x - - 2x - = X = (tho¶ m¶n) * NÕu x + < ⇔ x – th× 4x - - 2( - x - 3) = ⇔ 4x – + 2x + = x = − (lo¹i) b) ( - ) ❑2 - x 16 =0 ⇔ ( - ) ❑2 = x 16 ⇔ x - = ⇔ x - =- = 2048 = ❑11 = ❑11 vËy x = - 11 + (y ❑2 - 1) ❑2008 + (x-z) ❑2010 = = , (y ❑2 - 1) ❑2008 = , (x-z) ❑2010 (y ❑2 - 1) = , (x-z) = Nªn V× bz −cy a abz − acy a2 = = cx − az b bcx − baz b2 = = ay − bx c cay − cbx c2 Suy bz = cy vµ cx = az vËy C©u : =0 y= ± C©u : t×m x = 2,4 ❑x x=z = ⇔ 12 c) 32 ❑− x 16 ⇔ ❑− x x ⇔ ❑− x d) (3x-5) ❑2006 ⇔ (3x-5) ❑2006 , ⇔ 3x = t×m x = 11 = ( ± ¿2 = x a =0 a +b2 +c = y = z b c (15) 2|x −1|+1 a) A = lín nhÊt ¿ x −1∨¿ + nhá nhÊt , mµ ¿ x −1∨¿ nªn biÓu thøc nhá nhÊt x- = x = Nªn gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = ⇔ x = b) B = (x+1) ❑2 + (y+3) ❑2 + 2009 cã (x+1) ❑2 vµ (y+3) ❑2 nªn B nhá nhÊt x + = vµ y + = ⇔ x = - vµ y = - Nªn gi¸ trÞ nhá nhÊt B = 2009 ⇔ x = - vµ y = - √ x+1 = √ x − 1+2 =1+ cã gi¸ trÞ nguyªn √x− √ x −1 √x − √ x −1 = ± HoÆc √ x −1 = ± * √ x −1 = ± thì tìm đđợc îc x = , * √ x −1 = ± Thì tìm đđợc îc x = C©u M = C©u : Ta cã (a+ b + c)( a+b + b+c + ) c+ a Nhân cặp vào ta tìm đđợc îc S = - C©u : D A M B C a) Dựng tam giác ADC(A và D cùng phiá BC ) Δ ADB = Δ ADC (cgc) (16) Nªn AD lµ ph©n g¸c cña gãc A Δ ADB = Δ MCB (gcg) nªn BA = BM VËy tam gi¸c ABM c©n tai B b) gãc ABM = 60 – 10 – 10 = 40 ❑0 , Tam gi¸c ABM c©n t¹i B nªn gãc BAM = (180 – 40 ) : = 70 ❑0 ` §Ò thi häc sinh giái líp C©u : T×m x , y , z biÕt : a) 4(x-6) -2 |x +3| = b) ( - ) ❑2 - = x c) 32 ❑− x 16 ❑x = 2048 d) (2x-3) ❑2006 + (y ❑2 - 4) ❑2008 + (x-z) ❑2010 = C©u : Cho bz −cy a Chøng minh : x a = = cx − az b y b = ay − bx ( a , b c c 0) = z c C©u : a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 2|x −1|+1 b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc B = (x-1) ❑2 + (y+2) ❑2 + 145 C©u4 : Cho M = √ x+1 ( víi x 0,x 9) √x− (17) Tìm các số nguyên x để M có giá trị nguyên ? C©u : Cho a + b + c = 14 vµ a b+c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = a+b + b+c + + b c+ a + c a+b c+ a = 14 C©u : (4®) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A , BiÕt gãc B = 50 ❑0 Gäi M lµ ®iÓm tam gi¸c cho ∠ MBC =10 ❑0 vµ ∠ MCB = 30 ❑0 a) Chøng minh tam gi¸c ABM c©n b) TÝnh sè c¸c gãc cña tam ABM §Ò thi häc sinh giái líp (90 phót) C©u : T×m x : a) |x +5| = b) ( x+ 1) ❑2 - = c) =x d) |2 x+3| = -5 |x| C©u : Cho hai ®a thøc : P(x) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 Q(x) = x ❑2 + ( 2m + 1) x + m ❑2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña biÓu thøc : A= |x +1| + , 2 x +2 B= , C= x +15 x +3 C©u : Cho ba sè a , b , c kh¸c vµ kh¸c ( a+b , b+c , c+a Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a b+c = b a+c = o) c a+b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P = b+c + a+c + a+b a b c C©u : Cho Δ ABC cã gãc A = 60 ❑0 C¸c ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c DIE C©u : Cho a , b , c, d lµ c¸c sè nguyªn dd¬ng ¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a ❑2 - b ❑2 = c ❑2 - d ❑2 Chøng minh S = a + b + c + d lµ hîp sè (18) Đáp án HD : C©u : thay x = vµo P(x) thay x = -1 vµo Q(x) vµ gi¶i hÖ pt C©u : Min A , Max B , Max C C©u : V× a b+c = b c+ a = c a+b nªn a+b c = b+c = c+ a = … a b =2 VËy P = C©u : Trong tam gi¸c c©n to¸n C©u : V× a ❑2 - b ❑2 = c ❑2 - d ❑2 nªn a ❑2 + d ❑2 = c ❑2 + b ❑2 suy a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 + d ❑2 ⋮ mµ ( a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 + d ❑2 ) - ( a + b + c + d ) = = ( a ❑2 - a) + ( b ❑2 - b) + ( c ❑2 - c ) + ( d ❑2 - d) = a (a-1) + b( b-1) + c( c-1) + d( d-1) c¸c sè h¹ng lµ tÝch c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho VËy S = a + b + c + d chia hÕt cho mµ S l¹i lín h¬n nªn S lµ hîp sè (19) §Ò thi häc sinh giái líp ( Thời gian 120 phút (không kể thời gian chép đề) C©u : (2 ®iÓm) T×m hai sè tù nhiªn chia hÕt cho biÕt r»ng : a.Tæng cña chóng lµ *657 vµ hiÖu cña chóng lµ 5*91 b.Tổng chúng là 523* và số lớn gấp đôi số bé C©u2: (2 ®iÓm) Cho S = + 22 + 23 + 24 +…+ 2100 a.Chøng minh S b Chøng minh S 15 c T×m ch÷ sè tËn cïng cña S C©u3 : (2 ®iÓm) Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 101 làm thành số A a A có là hợp số đđợc îc kh«ng? b A cã lµ sè chÝnh ph ph¬ng ơng đđợc îc kh«ng? c A cã thÓ cã 35 íc sè kh«ng? C©u :(1 ®iÓm) Tìm các số tự nhiên n để 5n + và 8n + là hai số nguyên tố cùng C©u : (2 ®iÓm) Tìm số có chữ số biết viết thêm chữ số vào đằng tr tríc ớc thì đđ-ợc số gấp lần viết thêm chữ số vào đằng sau? C©u : (1 ®iÓm) Cho AB = 2cm ; BC = 3cm ; CA = 4cm Chøng minh r»ng ba ®iÓm A , B , C kh«ng th¼ng hµng §¸p ¸n : C©u :(2 ®iÓm) a.(1®iÓm) V× hai sè tù nhiªn cÇn t×m chia hÕt cho nªn tæng vµ hiÖu cña số đó là số chia hết cho (20) -V× *657 nªn *+6+5+7 nªn 18 + * VËy * = nªn tæng lµ 9657 -V× 5*91 nªn 5+*+9+1 nªn 15+ * VËy * = nªn hiÖu lµ 5391 VËy sè bÐ lµ : ( 9657-5391) : = 2133 Sè lín lµ : 9657 – 2133 = 7524 b (1 ®iÓm) V× hai sè tù nhiªn cÇn t×m chia hÕt cho nªn tæng chia hÕt cho V× 523* nªn 5+3+2+* nªn 10 + * vËy * = nªn tæng lµ 5238 Ta có sơ đồ : Sè bÐ … Sè lín …… Sè bÐ lµ : 5328 : (1+2) = 1776 Sè lín lµ : 5328 – 1776 = 3552 C©u : (2 ®iÓm) a.(1 ®iÓm) S = 2+22+23+24+…+2100 =(2+22)+(23+24)+(25+26)+…+(299+2100) =(2+22)+22(2+22)+24(2+22)+…+298(2+22) =(2+22)(22+24+26+…+298) = (22 + 24 +26 +…+298) 3 b ( 0,5 ®iÓm) S = 2+2 +23+ …+ 2100 =(2+23)+(22+24)+…+(298+2100) =(2+23)+2(2+23) +…+297(2+23) =(2+23)(1+2+…….+297) =10 (1+2+….+297) Ta cã tæng trªn võa chia hÕt cho võa chia hÕt cho mµ UCLN(3,5) =1 VËy tæng trªn chia hÕt cho 15 c (0,5 ®iÓm) V× S = 10 (1+2+ ….+ 297) nªn S cã ch÷ sè tËn cïng lµ C©u3 : (2®iÓm) a (1 ®iÓm) Ta cã : A = 1+2+3+4+… +101 Cã tæng c¸c ch÷ sè lµ (1+2+3+ … +9) + (1+2+3+…+10)+(2+3+4+…+11) +…+(9+10+11+…+18) +1+2 = 903 chia hÕt cho vËy A lµ hîp sè b ( 0,5 ®iÓm) V× 903 chia hÕt cho mµ kh«ng chia hÕt cho vËy A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph ph¬ng ¬ng c ( 0,5 ®iÓm) V× A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph ph¬ng ¬ng nªn A kh«ng cã lÏ sè íc sè nªn A kh«ng cã 35 íc sè C©u : (1 ®iÓm) Gäi ¦CLN(5n+6, 8n+7) =D Ta cã 5n+6 D 40n+48 D 8n+7 D 40n+ 35 D VËy (40n+48) – ( 40n+ 35) D Hay 13 D nªn D = hoÆc 13 *NÕu 8n+7 13 th× 40n+35 13 nªn n+9 chia hÕt cho 13 nªn n+9 = 13 k (k lµ sè tù nhiªn) nÕu n =13k-9 th× UCLN(5n+6, 8n+7) = 13 *NÕu n 13k – th× UC LN(5n+6, 8n+7) = C©u5 : (2®iÓm) Gäi sè cÇn t×m lµ abcdg ViÕt thªm ch÷ sè vµo tr tríc ớc ta đđợc: îc: 4abcdg (21) Viết thêm chữ số vào sau ta đđợc: îc: abcdg Theo bµi ta cã : 4abcdg = abcdg 400000 + abcdg = 4.(10 abcdg +4) 400000 + abcdg = 40 abcdg + 16 399984 = 39 abcdg abcdg = 39984 : 39 abcdg = 10256 C©u : (1 ®iÓm) V× +3 4 Nªn AB+ BC AC vËy B kh«ng n»m gi÷a A vµ C V× 3+4 Nªn BC+ CA AB vËy C kh«ng n»m gi÷a A vµ B V× 4+2 Nªn CA+AB BC vËy A kh«ng n»m gi÷a B vµ C Nªn ®iÓm A, B , C kh«ng cã ®iÓm nµo n»m gi÷a hai ®iÓm cßn l¹i VËy ®iÓm A , B , C kh«ng th¼ng hµng §Ò thi häc sinh giái khèi M«n: to¸n Thßi gian 120 phót §Ò bµi bµi 11:: Chøng minh ( 210 + 211 + 212 ) ⋮ Bµi 2: ViÕt 32 thµnh tæng lòy thõa c¬ sè víi c¸c sè mò lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi 33:: TÝnh A = × × − × upload.123doc.net − × + 117 119 117 119 117 119 39 Bµi 4: Cho biÓu thøc A = ×2 − × 432 − 229 433 229 433 229× 433 a)Bằng cách đặt a = , b= 229 433 Rót gän biÓu thøc A theo a vµ b a) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A b) Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 Bµi 66:: T×m sè d chia 1963 1964 cho Bài 77:: Một xí nghiệp đã làm số dụng cụ đợt (22) đợt đã làm đđợc îc tæng sè dông cô đợt làm đđợc tæng sè dông cô vµ lµm thªm 25 chiÕc §ît xÝ îc nghiÖp lµm nèt 25 dông cô TÝnh tæng sè dông cô đáp án toán C©u 1: (3 ®iÓm) Chøng minh: ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho Ta cã ( 210 + 211 + 212 ) = 10 (1 + + 2 ) (1 ®) mµ (1 + + 2 ) chia hÕt cho (1 ®) 10 (1 + + ) chia hết cho Do đó ( 210 + 211 + 212 ) chia hÕt cho (1 ®) C©u 22:: (3 ®iÓm) §Æt sè tù nhiªn thø nhÊt lµ a c¸c sè tiÕp theo lµ a + 1, a + Ta cã: 32 = a + a+1 + a+2 = 2a +2a + 2a 22 = 2a (1 + + 22 ) = 2a (1,5 ®) 32 = 2a 32 = 2a a = (1 ®) VËy 32 = + + C©u 33:: TÝnh A= × − 5× upload.123doc.net − × + đặt a = 117 (1 ®) 117 119 , b= 119 117 119 117 1 upload.123doc.net × − ×5 − × + 117 119 117 119 117 119 39 = 3ab – 4a (5 + - b) – 5ab + 39 3× Ta cã: (0,5 ®) = 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + 39 (0,5 ®) = 2ab – 24a + 39 (0,5 ®) Thay a = , b = 117 ta cã A = = (0,5 ®) C©u 44:: A = 119 1 2× × −24 × + 117 119 117 39 24 × 119 24 ×119 = − + 117 ×119 117 × 119 117 ×119 1 432 ×2 − × − 229 433 229 433 229× 433 117 ×119 119 39 (23) a) đặt a , b = 229 433 Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a (1,5 ®) b) A = 5a = = 229 229 (1,5 ®) C©u 55:: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20 C¸ch 1: ta cã (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1) (1 ®) Mµ (1915 +1) = (BS 19 + 1) chia hÕt cho 20 (1 ®) Do đó: 1930 (1915 +1) chia hết cho 20 (1 ®) Nªn (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20 (1 ®) C©u 66:: Ta thÊy 1963 chia cho d Do đó 19631964 = (BS +3)1964 = BS + 31964 (1 ®) XÐt sè 31964 = 32 (33)654 = (28 – )654 = (BS + ) = BS + (1,5®) Vậy 31964 chia cho d đó 19631964 chia cho d (0,5 ®) C©u 77:: §Æt tæng sè dông cô xÝ nghiÖp s¶n xuÊt lµ a (0,5 ®) Ta cã: a + + 15 + 25 = a 4a (0,25 ®) 1 + 40 = a a + 4a (0,25 ®) 1 - a = -40 a + 4a a ( + −1 ) = - 40 a ( 4+3 − 12 ) = - 40 12 (0,5 ®) 5 ) =96 − a = - 40 a = (- 40) : ( − 12 12 (0,5 ®) §¸p sè sè:: 96 dông cô (24) §Ò thi häc sinh giái khèi C©u1 C©u1 T×m x biÕt: a) (x+1) + (x+2) + (x+3)+ + (x+100) = 205550 b) 3x + 3x+1+ 3x+2 = 351 C©u2 C©u2 TÝnh a) A = + + + + 3 5 99 101 b) B = 1.2 + 2.3 + 3.4+ + 99.100 C©u 33 a) Chøng minh : n+ n+5 (n Z) tèi gi¶n b) Cho A= n+2 2n−4 *Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số * Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A có giá trị là sốnguyên C©u a) Cho ba ®iÓm th¼ng hµng A , B , C víi AB = 8cm, BC=3cm Gäi D lµ trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn DC? b) Cho 100 điểm A1, A2, A3, , A100 đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đđợc ợc đđờng ờng thẳng.Tính số đđờng êng th¼ng kÎ đợc? c) Cho ∠ x y = 600 VÏ tia 0t gãc xoy cho ∠ y 0t = 300 Chøng tá r»ng Ot lµ ph©n gi¸c cña gãc xoy (25) §Ò thi häc sinh giái líp Baøi : Tìm x bieát a ) x + (x+1) + (x+2) + + (x +30) = 620 b) + + + + + 2x = 210 Baøi : a) chứng tỏ số tự nhiên liên tiếp luôn có số chia hết cho b) cho A =( 17n +1 )(17n +2 ) ⋮ với n N Baøi 3: Cho S = 1+ 3+ 32 + 33+ .+ 348 + 349 a ) chứng tỏ S chia hết cho b) Tìm chữ số tận cùng S Baøi : Baøi : 50 −1 c) Chứng tỏ S = Tìm số a ,b N thoả mãn : 12a + 36b = 3211 Cho (2a + 7b) ⋮ ( a,b N ) Chứng tỏ : (4a + 2b ) ⋮ Bài : Lấy tờ giấy cắt thành mảnh Lấy mảnh cắt thành mảnh khác Cứ tiếp tục nhiều lần a) Hỏi sau đã cắt số mảnh nào đó ,có thể tất 75 maûnh giaáy nhoû khoâng ? b) Giả sử cuối cùng đếm 121 mảnh giấy nhỏ Hỏi đã cắt tất bao nhieâu maûnh giaáy ? Bài : Cho đoạn thẳng AB Hãy xác định vị trí điểm C trên đoạn thẳng AB cho CA CB Bài : Vẽ đoạn thẳng AB = cm Lấy điểm C ,D nằm A và B cho : AC + BD = cm a) chứng tỏ điểm C nằm B và D b) Tính độ dài đoạn thẳng CD (26) §Ò thi häc sinh giái líp 5 A = n Bµi 1: Cho biÓu thøc a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên Bµi : T×m x biÕt biÕt:: a, x chia hÕt cho c¶ 12; 25; 30 vµ ≤ x ≤ 500 b, (3x – 24) 73= 74 c, x 16 2.( 3) Bµi : B¹n H H¬ng ơng đánh số trang sách từ trang đến trang 365 hỏi b¹n H H¬ng ơng đã dùng hết bao nhiêu chữ số, các chữ số đã dùng thì có bao nhiªu ch÷ sè 5? Bài : Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, trên tia đối cña tia BA lÊy ®iÓm N cho AM = BN So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN Bµi : Cho ∠ xOy=100o Vẽ tia phân giác Oz góc xOy; vẽ tia Ot nằm góc xOy cho ∠ yOt= 250 1, Chứng tỏ tia Ot nằm hai tia Oz và Oy 2, Tính số đo góc zOt 3, Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác góc zOy (27) §Ò thi häc sinh giái khèi N¨m häc 2010 - 2011 C©u : T×m x a) ( 2x + ) : ❑2 - = c) |x +2| = C©u : So s¸nh A vµ B a) A = ❑225 b) A = 2003 + 2004 b) ❑2 x− + = 29 d) x ❑2001 =1 B = ❑151 B = 2003+2004 2004 2005 2004+2005 Câu : a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhât biết chia số đó cho , cho , cho cã sè d theo thø tù lµ , , c) An và Bình có tổng số 150 bi , An có 20% bi đỏ , Bình có 15 % bi đỏ Tổng số bi đỏ An và Bình là 27 bi Tìm số bi bạn ? C©u : a) Cho A = 38 B= 57 95 76 + + 11 17 17 26 26 41 41 53 21 28 35 14 + + + 11 20 20 32 32 47 47 53 + T×m tØ sè cña A B b) Cho M = 11…1 - 22…2 ( 2010 ch÷ sè , 1005 ch÷ sè ) Chứng tỏ C viết đđợc îc ddíi íi d¹ng b×nh ph ph¬ng ¬ng cña mét sè tù nhiªn C©u : Cho gãc tï BOA ,trong cïng n÷a mÆt ph¼ng cã bê OA cã chøa OB vÏ c¸c gãc AOC b»ng 90 ❑0 vµ DOB b»ng 90 ❑0 a) Chøng tá r»ng OD n»m gi÷a OA vµ OC b) Chøng tá hai gãc AOB vµ COD b»ng c) Gäi OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOD vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc COB TÝnh gãc MON ? Gîi ý : - C©u 3c dïng ph ph¬ng ¬ng ph¸p khö 19 - Câu 4a đặt vµ ngoµi lµm thõa sè chung - C©u 4b Tacã 11…1 = 102010 −1 ¿ §Æt 10 1005 = k ta cã M = ❑ ¿¿ k −1 ¿ k2 − k −1 k −1 −2 k +2 k −2 k +1 −2 = = =¿ 9 9 1005 22 = 10 −1 (28)