de thi HSG Lop 8

Thời gian: 120 phút Không kể thời gian giao đề ĐÁP ÁN.[r]

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ C©u 1: (5 ®iÓm) a) Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1) b) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 – 6x2 +11x -6 C©u 2: (5 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng ( x2 + y2 + z2)2 = 2( x4 + y4 + z4) biÕt r»ng x + y + z = x+1 x+2 x+3 x+ x+5 x+6 b) T×m x , biÕt : + + + + + +6=0 1000 999 998 997 996 995 C©u 3: (3 ®iÓm): 3x  3 Cho biÓu thøc A = x  x  x  a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên ? c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A C©u 4:(7 ®iÓm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB) đờng cao AH Trên tia HC lấy HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E a) Chøng minh AE = AB b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BE TÝnh gãc AHM TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN Câu Nội dung a) (x – 1) – x (x +6) +4x(x +1) = x4- 4x3 + 6x2 - 4x +1 – x4 - 6x2 + 4x3 + 4x =1 Vậy với giá trị x biểu thức đã cho khụng phụ thuộc vào biến x b) x3 – 6x2 +11x - = x3 – x2 – 5x2 +5x + 6x – = x2(x – 1) -5x( x -1) + 6( x – 1) = (x -1) ( x2 -5x + 6) = (x -1)( x – 2)(x -3) 2 Điểm 1,5 1,0 1,5 1,0 Ta cã : x + y + z =  x = -(y + z)  x2= [-(y + z)]2 x2= y2+ z2 + 2xz x - y - z = 2xz (x2- y2- z2)2 = (2xz)2 x4+ y4 + z4 -2x2y2 -2x2z2 +2y2z2 = 4x2z2 x4+ y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 4 x + y + z + x4+ y4 + z4 = x4+ y4 + z4+ 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 2(x4+ y4 + z4) = ( x2 + y2 + z2)2 2 x+1 x+2 x+3 x+ x+5 x+6 + + + + + +6=0 1000 999 998 997 996 995 x 1 x2 x 3 x 4 x 5 x 6  1  1   1  1   0 1000 999 998 997 996 995 x+1001 x +1001 x +1001 x +1001 x+ 1001 x+1001 ⇔ + + + + + =0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 ⇔ (x+1001)( + + + + + )=0 1000 999 998 997 996 995 ⇔ x=-1001 1,0 1,0 0,5 b) 1,0 0,5 0,5 0,5 3x  3 a) A = x  x  x  3( x  1) = x ( x  1)  ( x  1) 3( x  1) = ( x  1)( x  1) = x 1 b)     Muèn A nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× x2 +1  ¦(3) = {-3,-1 , , 3} NÕu x2 +1 = - kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tháa m·n NÕu x2 +1 = -1 kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tháa m·n NÕu x2 +1 =  x = th× A = NÕu x2 +1 =  x2 =  x =  th× A = 1,0 1,0 Vậy tập hợp các giá trị x để A nhận giá trị nguyên là: {- ,0 , } c) A= x  nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt x2 +1 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Mµ x2 +1  víi mäi x  R 3 Tức là x2 +1= là nhỏ đó A = NÕu x2 +1 =  x = 1,0 Vậy x = Thì A đạt giá trị nhỏ là A F E M B C H D a) CM: AE = AB KÎ EF  AH  Tø gi¸c HDEF lµ h×nh ch÷ nhËt  EF = HD mµ HD = AH (gt)  EF = AH XÐt  HBA vµ  FAE cã : 2,0  F 90 H AH = EF    FEA BAH cïng phô víi FAE Do đó  HBA =  FAE ( g –c – g)  AE = AB 2,0  b)TÝnh AHM BE Ta cã  BAE vu«ng t¹i A  AM = BE  BDE vu«ng t¹i D  DM = 1,0 Do đó : AM = DM XÐt  AHM vµ  DHM cã : AM = MD AH = HD HM lµ c¹nh chung  Do đó AHM =  DHM ( c-c-c) 1,0  AHD 90 AHM MHD    450  2  VËy AHM = 450 1,0