Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị m nằm trên các trục tọa độ.. Giải phương trình:..[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) C Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x 2mx có đồ thị m ( m là tham số thực) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m =2 C Tìm tất các giá trị m để các điểm cực trị đồ thị m nằm trên các trục tọa độ Câu II (2,0 điểm) sin x tan x sin x tan x 3 Giải phương trình: 3+ x <1 Giải bất phương trình: √ x+ 3−x 2 x y y x 0 x x y y 3 13 0 Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt bên kề có độ dài a Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách hai đường thẳng AC' và B'D' Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y , z thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y2 z2 P x y z yz zx xy II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x y 0 và điểm M(2;1) Lập phương trình đường thẳng cắt trục hoành A, cắt đường thẳng (d) B cho tam giác AMB vuông cân M Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) có phương trình x y 25 , điểm M(1; -2) Đường tròn (C2) có bán kính 10 Tìm tọa độ tâm (C2) cho (C2) cắt (C1) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ 12 C x Ax2 A22x 81 * Câu VIII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x (xN ) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(-7;8) và hai đường thẳng d1 : x y 0, d : x y 0 cắt A Viết phương trình đường thẳng (d) qua P 29 và tạo với ( d1 ),( d ) tam giác cân A và có diện tích Câu VII.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x y 0 và đường tròn (C1) có phương trình: x y x y 0 Đường tròn (C2) có tâm thuộc (d), (C2) tiếp xúc ngoài với (C1) và có bán kính gấp đôi bán kính (C1) Viết phương trình đường tròn (C2) x mx y x 1 Câu VIII.b (1,0 điểm) Cho hàm số Tìm tất các giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm hai phía đường thẳng (d): 2x+y1=0 - Hết (2) Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: …………………… Câu I HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN MÔN TOÁN -KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang đến trang ) Đáp án Khảo sát hàm số với m = Với m = 2, hàm số trở thành: y x 4x Điểm 1,00 0,25 * TXĐ: R * Sự biến thiên hàm số: lim y ; Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: - Bảng biến thiên: 0,25 lim y x x x 0 y ' x x; y ' 0 x + Ta có: + Bảng biến thiên: x - y’ + y 0 - - + + 0 - -4 0,25 - ; - và 0; 2;0 và 2; - Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 , 2;0 điểm cực tiểu đồ thị B(0;-4) - Điểm cực đại đồ thị là - Hàm số đồng biến trên khoảng * Đồ thị: 0; và cắt trục hoành điểm + Đồ thị cắt trục tung + Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng 2;0 và 2;0 0,25 fx = -x4 +4x2 -4 -5 10 -2 -4 -6 -8 C Tìm m để tất các cực trị hàm số m nằm trên các trục tọa độ 1,00 x 0 y ' x3 4mx 4 x x m ; y ' 0 x m Ta có: Cm m 0 0,25 C Nếu m thì m có điểm cực trị Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai 0,25 Nếu tung thì có điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục 0,25 (3) 2 điểm cực đại có tọa độ ( m ; m 4) , ( m ; m 4) Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì m 0 m 2 Vì m nên chọn m = 0,25 m ( ; 0] II là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy Giải phương trình lượng giác cos 2x 0 x m , m Z - Đk Ta có: sin x tan x 3(sin x tan x) 3 (sin x tan x sin x ) (3 tan x 3) 0 sin x(tan x 3) 3(tan x 3) 0 (tan x 3)(sin x 3) 0 k tan x x k x (k Z ) (thỏa mãn) x k , k Z Vậy pt có họ nghiệm : Giải bất phương trình + Đk: x 0; x 3 Bất phương trình III x 1 0,25 0,25 0,25 3 x 3 x 0,25 0,25 0,25 1,00 + Điều kiện: x y 0, y x 0 Đặt 0,25 1,00 0,25 2x 3 x 2x 4x x x 3 x (3 x) x 0 x (3; ) x 10x x (3; ) x (3;9) x (1;9) (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm bpt là : (3;9) Giải hệ phương trình 1,00 u x2 y , v y2 8x 2u v 1 2 u v 13 + Ta được: 0,25 u, v 0 v 2u 2 u v 13 v 2u 2 u (2u 1) 13 v 2u v 2u u 2 5u 4u 12 0 u (loai ) 0,25 u 2 v 3 (4) + Khi đó x2 y x y 2 x y 4 2 y x 9 y x 3 x x 9 0,25 x2 y x x 72 x 65 0 x 1 x2 y 4 x y y 1 x ( x 1)( x 5)( x x 13) 0 x 1 x y 0,25 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu tập hợp nghiệm hệ phương trình S (1;1),( 5; 7) là: Tính thể tích … IV B 1,00 0,25 C A D M K N B' C' I A' D' + Gọi M,N là tâm hình vuông ABB'A'; ADD'A' MN B'D ' B'D ' 2a A 'B' a 2 V ABCDA ' B ' C ' D ' =AA ' S A ' B ' C ' D ' ¿ a √ ( a √ ) =2 √ a3 (đvtt) 0,25 + Gọi I là giao B'D' và A'C' Trong (AA'C') kẻ IK ⊥ AC '; K ∈ AC ' 0,25 AA ' ⊥ B ' D ' A ' C ' ⊥ B' D ' Vì } ⇒(AA ' C)⊥ B' D ' ⇒ IK ⊥ B ' D' Vậy: d ( AC ', B' D' )=IK ΔC ' IK đồng dạng với C'AA ' 0,25 IK C'I AA '.C'I a 2.a a IK AA ' C'A C'A a 3 Kết luận: Khoảng cách hai đường thẳng AC’ và B’D’ Tìm GTNN biểu thức… a √3 1,00 (5) V 3 2 x + y +z x +y +z +2 Ta có: P= xyz 2 Áp dụng bđt: a +b ≥ ab , ∀ a , b ⇒ x + y + z ≥ xy +yz +zx ( ) Đẳng thức xảy x = y = z x 3+ y 3+ z xy+ yz +zx x3 y3 z3 +2 ⇒ P≥ + + + + + xyz x y z t + Xét hàm số f (t)= + với t> ; t t −2 f ' (t)=t − = ; f ' (t)=0 ⇔ t=√4 t t ( ⇒P≥ )( )( ) + BBT t f / t 0,25 42 f t 0,25 0,25 34 Vậy P≥ √4 Đẳng thức xảy x= y=z =√4 Hay Pmin =4 4√8 0,25 VI Chương trình chuẩn a Viết phương trình đường thẳng… A Ox A(a;0), B d B(b; b) , M (2;1) MA (a 2; 1), MB (b 2; b 1) Tam giác ABM vuông cân M nên: MA.MB 0 MA MB 1,00 0,25 (a 2)(b 2) (b 1) 0 2 (a 2) (b 2) (b 1) Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này b a 2 b b a b (a 2)2 (b 2)2 (b 1) b (b 2) (b 1) b Ta có : b a b 2 (b 2) (b 1) (b 2) 1 0 0,25 a 2 b 1 a 4 b 3 a 2 Với b 1 đường thẳng qua A,B có phương trình x y 0 a 4 Với b 3 đường thẳng qua A,B có phương trình 3x y 12 0 0,25 0,25 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x y 0 và 3x y 12 0 (6) VII a Tìm tọa độ tâm đường tròn… (C1) A 1,00 (C2) O M I B +(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5 OM (1 ; −2 ) ⇒ OM=√ 5⇒ OM< R⇒ M nằm đường tròn (C1) + Giả sử (C2) cắt (C1) A và B Gọi H là trung điểm đoạn AB AB=2 AH=2 √ OA2 −OH 2=2 √25 − OH2 Mà OH lớn H trùng với M Vậy AB nhỏ M là trung điểm AB AB qua M và vuông góc với OM + Phương trình AB: x – 2y – = Tọa độ A,B là nghiệm hệ: ¿ x − y −5=0 x + y 2=25 Giải hệ hai nghiệm(5;0);(-3;-4) ¿{ ¿ + Giả sử A(5;0); B(-3;-4) Phương trình OM: 2x + y = Gọi I là tâm (C2); Do I ∈ OM⇒ I (t ; − 2t ) 2 Mà IA = √10 => −t ¿ +¿4 t =40 Giải ra: t = -1 t = t I( 1, 2) ; 0,25 0,25 0,25 0,25 t=3 ⇒ I (3,− 6) Vậy tâm (C2) có tọa độ (-1 ; 2) (3, -6) a Tìm nghiệm BPT… VIII 1,00 0,25 + Đk : x ∈ N ; x ≥3 12 x! x ! (2 x)! − ≥ − 81 x 3! (x − 3)! (x −2)! (2 x −2)! ⇔2(x −2)(x − 1) −3( x −1) x ≥ x (2 x − 1) −81 −17 ⇔ x +2 x − 85≤ ⇔ ≤ x ≤5 + Kết hợp điều kiện ta x ∈ { 3; ; } Vậy tập nghiệm pt là { ; ; } bpt⇔ 0,25 0,25 0,25 Chương trình nâng cao b Viết phương trình… VI 1,00 d2 d1 A 0,25 d B P H C Ta có A d1 d tọa độ A là nghiệm hệ x y 0 5 x y 0 x 1 A 1; 1 y (7) Phương trình các đường phân giác các góc tạo d1 , d là 1 : x y 0, : x y 10 0 Vì d tạo với d1 , d tam giác cân A nên d 1 d 3x y C1 0 x y C 0 Mặt khác P ( 7;8) ( d ) nên C1 77, C2 25 d : 3x y 77 0 Suy ra: d : x y 25 0 Gọi B d1 d , C d d Thấy (d1 ) (d ) tam giác ABC vuông cân A 1 29 S ABC AB AC AB AB 29 2 nên: và BC AB 58 29 2 S ABC 58 AH BC 58 Suy ra: Với d : x y 77 0 , ta có Với d : x y 25 0 ta có Vậy d : x y 25 0 d ( A; d ) d ( A; d ) 3.1 7( 1) 77 32 ( 7) 7.1 3( 1) 25 32 87 58 AH 58 VII (C1) có tâm I(2 ;-1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = Gọi J là tâm (C2) Do J ∈ d ⇒J ( t ; −t − ) (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) nên IJ = R1 + R2 = hay IJ2 = 2 (loại) 0,25 1,00 0,25 0,25 t −2 ¿ + ( − t −1 ) =9 ⇔t −t − 2=0 ⇔ ¿ t=2 ¿ t=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ y +1 ¿ =4 x+1 ¿2 +¿ + t=−1 ⇒ J ( −1 ; −1 ) ⇒ (C 2):¿ y+ ¿ =4 x −2 ¿ +¿ + t =2⇒ J (2 ; − ) ⇒ (C ): ¿ y +1¿ 2=4 Vậy có đường tròn (C2) thỏa mãn là: x +1 ¿2 +¿ ¿ y +4 ¿ =4 và x −2 ¿2 +¿ ¿ b Tìm m để… 0,25 29 58 AH 58 (t/mãn) b Viết phương trình … 0,25 0,25 0,25 1,00 (8) VIII y' 0,25 x2 2x m x 1 Ta có Hàm số có CĐ, CT pt y'=0 có nghiệm phân biệt khác -1 x x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác – ' 4 m m4 m 0 Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là A x1 ; y1 , B x2 ; y2 Khi đó pt đường thẳng qua điểm CĐ,CT là y = 2x+m Suy y1 2 x1 m; y2 2 x2 m Hai điểm A, B nằm hai phía đường thẳng (d) x1 y1 1 x2 y2 1 x1 m 1 x2 m 1 16 x1 x2 m 1 x1 x2 m 1 Theo định lý Vi-et x1 x2 x1 x2 m Thay vào bpt trên, ta được: 0,25 0,25 0,25 m 6m 39 m Vậy m (9)