de thi hsg co dap an

Phòng giáo dục và đào tạo triÖu s¬n.. §Ò chÝnh thøc.[r]

Phòng giáo dục và đào tạo triÖu s¬n Kiểm định chất lợng học sinh giỏi lớp N¨m häc: 2011 - 2012 §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngµy thi: 09/05/2012 (§Ò thi cã 01 trang, gåm 05 c©u) Sè b¸o danh ……………… C©u 1: (4,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P = ( x+12 − x −13 − 1x+− x7 ) : −2 x x −1 Rót gän biÓu thøc P Tìm x để P < C©u 2: (4,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x −4 x −5|2 x − 1|− 5=0 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: ( x2 +3 x +4 )2 − ( x + x+ )2 > C©u 3: (4,0 ®iÓm) Tìm cá số tự nhiên n để ( n2 −8 )2+36 là số nguyên tố Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức: 2 10 x +20 y +24 xy+ x −24 y +51<0 C©u 4: (6,0 ®iÓm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Cho biết AB = 15cm và AC = 20cm a) Chøng minh r»ng: AH.BC = AB.AC TÝnh: BC, AH b) KÎ HM AB, HN AC Chøng minh: Δ AMN  Δ ACB c) Trung tuyÕn AK cña tam gi¸c ABC c¾t MN t¹i I Tinh diÖn tÝch tam gi¸c AMI BC Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, cã BAC = 108 ❑0 TÝnh tû sè AC C©u 5: (2,0 ®iÓm ) 1 Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng vµ + = a c b a+b c+ b Chøng minh r»ng: + ≥4 2a−b 2c−b Hết -Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi C©u 1: 4,0 ®iÓm C©u 2: ý 2® 2® Néi dung Rót gän: P = ®iÓm 2® −2 x <0x> −2 x 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x −4 x −5|2 x − 1|− 5=0 2® §Ó P < 0, nghÜa lµ: (1) 4,0 ®iÓm 2®   NÕu: x  NÕu: x < (1)  2x(2x – 7) =  1® x=0 ( loai ) ¿ x= ¿ ¿ ¿ ¿ (1)  (2x + 5)(x – 1) =  1® x=1( loai) ¿ x=− ¿ ¿ ¿ ¿ ;x= 2 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: ( x2 +3 x +4 )2 − ( x + x+ )2 > Biến đổi dạng: x(x + 2)(3x ❑2 + 4x +8) > NhËn xÐt: v× 3x ❑2 + 4x +8 = (x + 2) ❑2 + 2x ❑2 + >  x(x + 2) >  x < - x>0 Tìm cá số tự nhiên n để ( n2 −8 )2+36 là số nguyên tố VËy (1) cã nghiÖm x = - 2® C©u 3: 4,0 ®iÓm 2® Ta cã: ( n2 −8 )2+36 = 4 2 2 n −16 n + 64+36=n + 100− 16 n =( n + 10 ) − 36 n =( n + 10− n ) ( n +10+6 n ) §Ó ( n2 −8 )2+36 lµ sè nguyªn tè, ®iÒu kiÖn cÇn lµ: n2 +10 −6 n=1  1® 1® 1® 1® n −3 ¿2=0 ⇔ n=3 Thö l¹i: víi n = th×: ( n2 −8 )2+36 = 37 lµ sè nguyªn tè ¿ VËy n = th× ( n2 −8 )2+36 lµ sè nguyªn tè 2® C©u 4: 6,0 ®iÓm 1® Biến đổi: 10 x2 +20 y +24 xy+ x −24 y +51<0  ( x+ y )2 + ( x+ )2+ ( y −6 )2 −1<0 ¿ x+ y=0 x + 4=0 y − 6=0  ⇔ ¿ x =−4 y=3 ¿{{ ¿ a AB AH ABH  CBH  = ( ∗) BC AC  AH.BC = AB.AC Vµ tÝnh dîc: BC = 25 cm AB AC (1)  AH = =12 cm BC b Chøng minh: ACB  HCA HCA  NHA NHA = AMN  AMN  ACB ❑ ❑ c  N = B (AKC c©n t¹i K) 1® ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ Vµ A = C , mµ B + C = 90 ❑0  N + A = 90 ❑0  AIN vu«ng c©n t¹i I vµ NHA  ACB (chøng minh trªn) NH AH AC AH 20 12  NH= = = =9,6 cm AC BC BC 25  AM = NH = 9,6 cm AM IM AI 9,6 Vµ IMA  AMN  IMA  ACB  = = = BC AC AB 25 192 144  IM = ; AI =  S ❑AMI = AI.IM = 15 25 192 144 13824 = 25 25 625  A N I M H B C K A B C M AB BM AB+ BC BM+ AC BC = ⇒ = = BC AC BC AC AC BC AB AC BC  §Æt: x = (x > 0) =1+ =1+ AC BC BC AC x=1+  x − x −1=0 GiảI ta đợc: x = 1+ √ x BC VËy: = 1+ √ AC C©u 5: 1 ab bc + = Tõ:  2a – b = vµ 2c – b = 2,0 a c b c a ®iÓm a+b c +b a+ b c +b c c a a ac  a − b + c +b = ab + bc = b + a + b + c ≥ b ≥ c a Bất đẳng thức Cosi và a, b, c dơng DÊu b»ng xÈy  a = b = c Ta cã: AMB  BAC  √