Thông tin tài liệu
2 BÁO CÁO SÁNG KIẾN VẬN DỤNG SÁNG TẠO KIẾN THỨCGIẢI TÍCH VÀO BÀI TỐN SỐ HỌC, TỔ HỢP TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Số học Tổ hợp hai nội dung Toán học tổng hợpmà thao tác giải toán thuộc hai nội dung bao gồm nhiều phân môn Tốn học nói chung (Đại số, Số học, Giải tích, Hình học) Bài tốn số học tốn tổ hợp thường xun có mặt hầu hết kì thi chọn học sinh giỏi Toán với tư cách câu “phân loại” học sinh, nội dung quan trọng chương trình Tốn THPT chun đợt tập huấn đội tuyển học sinh giỏi Các “kỹ thuật”, thao tác tư cho loại tốn bắt gặp (và ứng dụng lại) việc giải nhiều toán thực tiễn Một điều thực tế diễn tài liệu (tiếng Việt) toán tổ hợp số học chun biệt (cho chủ đề) cịn ít, khơng đầy đủ học sinh khó tiếp cận Đậy yếu tố cản trở lớn trình tự học học sinh, học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Bài tốn số học tốn tổ hợp đa dạng nội dung hình thức khơng có thuật tốn rõ ràng cho chúng Trong trình nghiên cứu giảng dạy chuyên đề số học, tổ hợp cho học sinh chuyên Toán bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, tơi nhận thấy có nhiều tốn vận dụng cách linh hoạtkiến thức giải tích cao sáng tạo số ý tưởng kiểu “giải tích”vào giải tốn có hiệu so với cách xử lý dùng kiến thức đơn phân môn số học hay tổ hợp Như bên cạnh việc phân loại định hướng giải kỹ thuật giải việc liên kết sử dụng kiến thức thuộc mảng kháclà cách giúp người dạy người học dễ dàng việc tiếp cận tìm lời giải tốn Đây nguồn gốc ý tưởng báo cáo mà tác giả triển khai dạy nhiều năm Bên cạnh việc hệ thống số kiến thức giải tích, tác giả đưa số giải pháp tiếp cận sáng tạo theo kiểu “giải tích” cho tốn số học tổ hợp thông qua ý tưởng bổ đề đúc kết II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Trong phần này, báo cáo trình bày nội dung sau: Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến: - Nêu thực trạng việc làm toán số học tổ hợp - Một số nội dung giải tích chương trình Tốn THPT - Tóm tắt số nội dung kiến thứcvề giải tích Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Phần báo cáo trình bày ý tưởng cụ thể sử dụng giải tích vào toán số học, vào toán tổ hợp nhằm định hướng tư duy, tiếp cận lời giải; làm rõ định hướng thơng qua phân tích hướng dẫn giải toán số đề thi Olympic cấp Các giải pháp trình bày báo cáo bao gồm: Vận dụng sáng tạo kiến thức giải tích vào toán số học tổ hợp với ba giải pháp cụ thể cho phân môn: - Sử dụng giới hạn - Sử dụng tính liên tục - Sử dụng đạo hàm Điểm sáng tạo sáng kiến là: - Sử dụng giải tích tốn chưa có yếu tố giải tích - Thể tính “liên kết, liên mơn” phân mơn Tốn học - Cung cấp giải pháp đặc biệt việc giải toán số học hay tổ hợp bên ngồi phạm vi phân mơn số học, tổ hợp - Sáng tạo số bổ đề mới(trang 13, trang 48) thể góc nhìn giải tích vào số học, tổ hợp Đây điểm bật báo cáo bổ đề theo ý kiến chủ quan tác giả, chúng hữu hiệu nhiều tốn Olympic Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến: 1.1 Thực trạngtrong giải tốn số học, tở hợp Bài tốn số học hay tổ hợpthường đòi hỏi lực tư tổng hợp để giải quyết, kiến thức cần sử dụng phân môn thường phạm vi rộng Điều tạo “trở ngại” định đa số người giải tốn q trình tìm kiếm lời giải Nguồn tài liệu số học tổ hợp chủ yếu tài liệu trực tuyến, phong phú số lượng phần lớnbằng tiếng nước ngồi, trình bày theo hệ thống lí thuyết chung, trình bày phân mơn Tốn hồn tồn độc lập, riêng rẽ Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tác giả cho bên cạnh việc cung cấp “cái tổng quan” kỹ thuật việc hình thành cách phương pháp hay kỹ thuật liên kết phân mơn tốn vào giải vấn đề giúp học sinh tiếp cận cách giải hay cho toán mà cịn thấy tính thống Tốn Trong báo cáo này, tác giả hy vọng giảm bớt số hạn chếcủa thực nêu 1.2.Nội dung giải tích chương trình Tốn THPT Mục tiêu phần thống cách hiểu mơn giải tích phương pháp giải tích cho tồn trình bày phía sau báo cáo Trong “Từ điển Tiếng Việt” (Hoàng Phê chủ biên, NXB Đà Nẵng, năm 1997), trang 373 viết “Giải tích Tốn học ngành toán học nghiên cứu hàm số, giới hạn, phép tính vi phân, tích phân, v.v” Ở chương trình Tốn THPT, phân mơn Giải tích bắt đầu hình thành phát triển với chủ đề cụ thể sau: 1- Ánh xạ, hàm số 2- Dãy số giới hạn dãy số 3- Giới hạn hàm số 4- Tính liên tục hàm số 5- Tính khả vi hàm số 6- Nguyên hàm, tích phân Theo đó, giải tích tốn học (mathematical analysis) có vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT chun sâu, “phép tốn bản” đặc trưng “phép lấy giới hạn”, yếu tố mà nghiên cứu mang tính “động” nhiều Điều dẫn đến việc nhiều toán giải theo cách “tĩnh” (kiểu đại số) khó thành cơng phương pháp giải tích có hiệu Trong báo cáo thể việc vận dụng sáng tạomột số mạch kiến thức giải tích, gọi tắt phương pháp giải tíchvào hai phân môn Số học Tổ hợp với ba giải pháp chính, dùng giới hạn, dùng tính liên tục dùng đạo hàm 1.3 Tóm tắt số nội dung kiến thức về giải tích (liên quan tới báo cáo) 1.3.1 – Ánh xạ hàm số a) Định nghĩa ánh xạ: Một ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x thuộc X với phần tử thuộc tập Y Phần tử gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f ( x) + Ánh xạ f đơn ánh với a, b phân biệt thuộc X f ( a ) f (b ) + Ánh xạ f toàn ánh với y Y tồn x X mà f ( x) = y + Ánh xạ f song ánh vừa đơn ánh, vừa tồn ánh b) Định nghĩa hàm số: Cho tập hợp khác rỗng D Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x D với số kí hiệu f ( x ) Như hàm số f ánh xạ từ tập D vào Bên cạnh việc nghiên cứu tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh hàm số f người ta quan tâm đến tính chất khác hàm số f Trong số đặc biệt hay dùng tính đơn điệu, tính tuần hồn, tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích hàm số Xét K khoảng, đoạn nửa khoảng D : + Hàm số f đồng biến (tăng ngặt) K với x1 , x2 K x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) + Hàm số f nghịch biến (giảm ngặt) K với x1 , x2 K x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) + Hàm số f không đổi K với x1 , x2 K f ( x1 ) = f ( x2 ) 1.3.2 – Dãy sốvà giới hạn dãy số , a) Dãy số hàm số u từ M vào M = 1;2;3; ; n (cho dãy số hữu hạn), M = hạn số 0), M = * (cho dãy số vô (cho dãy số vô hạn số 1) Với dãy số u : M → thường kí hiệu ( un ) với un = u ( n ) số hạng dãy b) Xét dãy số vô hạn số ( un ) (các trường hợp khác xét tương tự): + Dãy ( un ) gọi tăng (tăng ngặt) un+1 un , n hợp un+1 un , n * * Trong trường ta nói dãy ( un ) tăng khơng nghiêm ngặt + Dãy ( un ) gọi giảm (giảm ngặt) un+1 un , n trường hợp un+1 un , n * * Trong ta nói dãy ( un ) giảm không nghiêm ngặt + Dãy ( un ) gọi tuần hoàn tồn T * mà un+T = un , n * + Dãy ( un ) gọi bị chặn tồn số A mà un A, n * + Dãy ( un ) gọi bị chặn tồn số a mà un a, n * + Dãy ( un ) gọi bị chặn bị chặn bị chặn c) Định nghĩa giới hạn dãy số: * lim un = L (Với , tồn N = N ( ) * lim un = + (Với A , tồn N = N ( A) mà un − L , n N ) * * * lim un = − (Với A , tồn N = N ( A ) mà un A, n N ) * mà un A, n N ) d) Một số định lý quan trọng giới hạn dãy số: * Tính chất: Giả sử lim un = L lim = M c số Khi đó: lim ( un ) = L M , lim ( unvn ) = LM , lim ( cun ) = cL , lim lim un = L , un L (nếu M ), = M lim un = L , lim un = L L * Cấp số nhân lùi vơ hạn: - Nếu q lim q n = - Dãy số ( un ) cấp số nhân với công bội q thỏa mãn q u1 + u2 + + un + = u1 1− q * Tiêu chuẩn Cauchy: Một dãy số hội tụ dãy Cauchy (hay dãy bản) * Tiêu chuẩn Weierstrass: Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ * Định lý kẹp: Xét dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) - Nếu un wn với n đủ lớn lim un = lim wn = L lim = L - Nếu un với n đủ lớn lim un = + lim = + - Nếu wn với n đủ lớn im wn = − lim = − 1.3.3 – Giới hạn hàm số a) Định nghĩa: * Giả sử ( a; b ) khoảng chứa x0 hàm số f ( x ) xác định ( a; b ) \ x0 Ta nói lim f ( x ) = L với cách chọn dãy số ( xn ) ( a; b ) \ x0 x → x0 mà lim xn = x0 có lim f ( xn ) = L n →+ n→+ Nói cách khác: lim f ( x ) = L x → x0 0, 0: x x0 , x − x0 f ( x ) − L * Giả sử ( a; b ) khoảng chứa x0 hàm số f ( x ) xác định ( a; b ) \ x0 Ta nói lim f ( x ) = + với cách chọn dãy số ( xn ) ( a; b ) \ x0 x → x0 mà lim xn = x0 có lim f ( xn ) = + n→+ n→+ Nói cách khác: lim f ( x ) = + x → x0 M 0, : x x0 , x − x0 f ( x ) M Ta có lim f ( x ) = − lim ( − f ( x ) ) = + x → x0 x → x0 * Các định nghĩa khác lim f ( x ) = L , lim f ( x ) = L , lim f ( x ) = … x →+ x →− x →+ phát biểu tương tự b) Tính chất giới hạn hàm số: Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm tổng, hiệu, tích, thương giới hạn chúng điểm (nếu giới hạn thành phần tồn trường hợp thương giới hạn mẫu phải khác khơng) 1.3.4 – Hàm số liên tục a) Định nghĩa: * Hàm số f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) gọi liên tục điểm x0 ( a; b ) lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x0 Trong trường hợp ngược lại ta nói f ( x ) gián đoạn x0 * Hàm số f ( x ) liên tục ( a; b ) liên tục điểm thuộc ( a; b ) Hàm f ( x ) liên tục a; b ) liên tục ( a; b ) lim+ f ( x ) = f ( a ) x →a * Các trường hợp lại: Hàm f ( x ) liên tục ( a; b, a; b định nghĩa tương tự b) Tính chất: - Các hàm số sơ cấp liên tục tập xác định chúng - Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu thức điểm khác 0) - Nếu hàm g ( x ) liên tục x0 f ( x ) liên tục g ( x0 ) hàm hợp f ( g ( x ) ) liên tục x0 - Hàm số f ( x ) liên tục đoạn a; b có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn 10 Định lý Bolzano-Cauchy (định lý giá trị trung gian) - Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn a; b f ( a ) f ( b ) tồn c ( a; b ) mà f ( c ) = - Nếu f ( x ) liên tục đoạn a; b nhận giá trị nằm f ( a ) , f ( b ) Nói cách khác: Nếu f ( x ) liên tục đoạn a; b có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn a; b tương ứng M , M phương trình f ( x ) = m có nghiệm x a; b M m M 1.3.5 – Tính chất hàm số khả vi a) Định nghĩa đạo hàm điểm: Giả sử hàm số f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) x0 ( a; b ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) gọi đạo hàm f ( x ) x − x0 điểm x0 kí hiệu f / ( x0 ) f / ( x ) x = x0 Khi f ( x ) có đạo hàm điểm x0 người ta nói khả vi điểm x0 Nhận xét: Nếu f ( x ) khả vi x0 liên tục x0 , nhiên chiều ngược lại chưa b) Một số định lý giá trị trung bình: Bổ đề Fermat:Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm ( a; b ) x0 ( a; b ) điểm cực trị f ( x ) f / ( x0 ) = Định lý Lagrange:Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn a; b có đạo hàm khoảng ( a; b ) tồn c ( a; b ) mà f / ( c ) = f (b) − f ( a ) b−a Định lý Rolle: Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn a; b có đạo hàm khoảng ( a; b ) f ( b ) = f ( a ) tồn c ( a; b ) mà f / ( c ) = 11 c) Quy tắc L’Hopital:Xét U lân cận x0 f ( x ) , g ( x ) hai hàm số liên tục U có đạo hàm U \ x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) = , f ( x) f / ( x) lim / = L Khi lim = L x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) d) Tính đơn điệu đạo hàm vấn đề số nghiệm phương trình: * Nếu f / ( x ) 0, x ( a; b ) dấu xảy hữu hạn điểm f ( x ) đồng biến (tăng ngặt) ( a; b ) Nếu f / ( x ) 0, x ( a; b ) dấu xảy hữu hạn điểm f ( x ) nghịch biến (giảm ngặt) ( a; b ) * Nếu f ( x ) đơn điệu ( a; b ) thì: - Phương trình f ( x ) = m có tối đa nghiệm khoảng ( a; b ) - Xảy f ( u ) = f ( v ) (với u, v ( a; b ) ) u = v * Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm ( a; b ) Nếu f / ( x ) có k nghiệm ( a; b ) f ( x ) có tối đa k + nghiệm khoảng ( a; b ) 49 n 1 Áp dụng liên tiếp tính chất thu un+1 − un u1 − u0 , với 3 n - Suy với n nguyên dương k nguyên dương un+k − uk un+k − un+k −1 + un+k −1 − un+k −2 + + uk +1 − uk n + k −1 n+ k −2 n n i n 1 1 + + + + = → 3 3 i =0 Điều chứng tỏ dãy số ( un ) dãy nên hội tụ số thực x đó, tất nhiên x 0;1 Khi đó, f liên tục 0;1 có un+1 = f ( un ) nên lấy giới hạn hai vế có x = f ( x) Số x có số x / mang tính chất số x ta có x − x/ = f ( x ) − f ( x/ ) x − x / x − x / , vơ lý + Quay lại tốn nối điểm, ta thấy số x f ( x ) chứng minh cho ta cặp điểm ( E; E / ) thỏa mãn yêu cầu cặp tồn Trong thực tế, đa số toán tổ hợp dẫn tới việc xét hàm nhận giá trị rời rạc miền nguyên Phần báo cáo mở rộng ý tưởng từ định lí giá trị trung gian hàm liên tục tập số thực vào hàm rời rạc cách khái quát thành bổ đề cho hàm trạng thái toán tổ hợp Bở đề (Tính liên tục tốn rời rạc): Xét T ( k ) hàm định lượng theo trạng thái thứ k với k = 0,1,2, , n Nếu T ( k ) , k thỏa mãn điều kiện: kết thúc T ( n ) = b i) Ban đầu T ( ) = a ii) Phạm vi thay đổi T ( k + 1) − T ( k ) 1, k = 0, n − − + Khi tồn trạng thái k mà T ( k ) = Chứng minh: Giả sử ngược lại, trạng thái k cho T ( k ) 50 Do số trạng thái hữu hạn có trạng thái T ( ) nên tồn số k lớn mà T ( k0 ) Hiển nhiên k0 n − T ( k0 + 1) Chú ý T ( k0 ) , T ( k0 + 1) nên có T ( k0 ) −1 T ( k0 + 1) Khi có T ( k0 + 1) − T ( k0 ) = T ( k0 + 1) − T ( k0 ) − ( −1) = , có điều vơ lý Vậy điều giả sử sai, tức phải tồn trạng thái k mà T ( k ) = Nhận xét: 1- Trong bổ đề trên, ta chứng minh tồn trạng thái k để T ( k ) = c với c số nguyên nằm hai số nguyên a b 2- Trong nhiều tốn, đơi hàm trạng thái T nhận giá trị số nguyên chẵn (hoặc lẻ) phạm vi thay đổi (ii) điều chỉnh lại T ( k + 1) − T ( k ) 2, k = 0, n − ta kết luận T nhận giá trị số chẵn (lẻ) trung gian hai số a, b Ví dụ Trên mặt phẳng cho 2n điểm phân biệt ( n * ) Chứng minh tồn đường thẳng cho nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa n điểm số điểm cho Lời giải: + Ta vẽ tất đường thẳng nối hai số điểm cho số đường thẳng thu hữu hạn, theo ln tồn đường thẳng không song song với đường thẳng nối, gọi đường thẳng 2n điểm nằm hết phía + Dịch chuyển tiến phía điểm cho cho ln song song với vị trí ban đầu Đặt (P) nửa mặt phẳng có bờ ban đầu chứa 2n điểm Rõ ràng lần dịch chuyển qua điểm số điểm (P) nhiều điểm số điểm cho sau dịch chuyển 51 Ban đầu (P) chứa 2n điểm có vị trí để (P) không chứa điểm điểm cho, trình dịch chuyển liên tục nên phải có vị trí mà (P) chứa n điểm số điểm cho Vị trí cho ta đường thẳng thỏa mãn yêu cầu Ví dụ9 Ta xếp hàng ngang cho 100 học sinh nam 100 học sinh nữ cho đứng đầu hàng cuối hàng học sinh nam Chứng minh ln chọn từ hàng số học sinh liên tiếp kể từ vị trí (nhưng 200 học sinh) mà nhóm chọn số học sinh nam số học sinh nữ Lời giải: Giả sử xếp hàng xong ta đánh tên học sinh số thứ tự từ đến 200 kể từ vị trí đầu hàng đến hết Đặt S k hiệu số số học sinh nam số học sinh nữ dãy k học sinh Ta có S1 = − = S199 = 199 − 200 = −1 Xét thay đổi từ vị trí k sang vị trí k + cho ta Sk +1 = Sk , phải tồn k 2;3; ;198 mà Sk = , tức nhóm k học sinh liên tiếp tính từ đầu hàng số học sinh nam số học sinh nữ (và nhóm lấy khơng q 198 học sinh) Ví dụ 10 Chứng minh với số tự nhiên có chữ số, ta ln chữ số cho hiệu tổng ba chữ số đầu tổng ba chữ số cuối thuộc đoạn 0;9 Lời giải: Xét số tự nhiên có chữ số ban đầu N = abcdef với a , a, b, c, d , e, f 0;1; ;9 52 Giả sử cách xếp lại chữ số không thỏa mãn yêu cầu toán + Lập hiệu S0 = a + b + c − d − e − f S0 S1 = d + b + c − a − e − f + Lập hiệu (đổi chỗ a, d ) S1 − S0 = 2a − 2d 18 + Lập hiệu S2 = d + e + c − a − b − f (đổi tiếp chỗ b, e ) S2 − S1 18 + Lập hiệu S3 = d + e + f − a − b − c (đổi tiếp chỗ f , c ) S3 − S2 18 Theo giả thiết phản chứng ta có Si 9, i = 0,1,2,3 Rõ ràng Si , Si +1 không khoảng hai khoảng ( −; −9) , ( 9; + ) dẫn đến Si − Si +1 18 mâu thuẫn với phần lập luận Vậy phải có tất S0 , S1 , S2 , S3 phải thuộc hai khoảng ( −; −9) , ( 9; + ) , điều khơng thể đảm bảo tính chất S3 = − S0 Vậy điều giả sử sai Bài tốn giải Ví dụ 11 Cho bảng ô vuông n n , ô vuông điền số nguyên cho hai số hai ô chung cạnh không đơn vị Chứng minh có số nguyên xuất bảng n lần Lời giải: * Ta đánh số thứ tự cho hàng từ xuống cho cột từ trái qua phải Với i , đặt M i , mi số lớn số nhỏ hàng i , M = M i | i = 1, n m = max mi | i = 1, n * Trường hợp 1: M m , có mi m M M i , i = 1, n i … Mi → m → mi … 53 - Với số i , hàng i ta xét ô liên tiếp hai ô điền M i , mi , hiệu số hai ô liền kề không m giá trị hai số mi , M i nên có điền m nằm dãy ô liên tiếp xét - Do có n hàng nên theo có n điền số m Vậy có Đpcm * Trường hợp 2: M m - Tồn hai hàng i j mà M = M i , m = m j với i j n k i aik M j a jk - Ta xét cột k , có giao với hai hàng i j ô a jk , k hình vẽ Xét số liên tiếp từ ô aik đến ô a jk cột k này, M m nên aik M i = M m = m j a jk nên có số ô điền M - Có n cột giống cột k nên suy bảng có n điền số M Vậy có Đpcm Ví dụ 12 Trên bảng vng 20 20 người ta điền vào ô vuông số thuộc 0; 1 cho tổng số bảng 80 Chứng minh tồn bảng vng cho bảng có giá trị tuyệt đối tổng tất số khơng vượt q Lời giải: Với bảng vng T có kích thước ta ký hiệu S (T ) tổng số điền Bây ta chia bảng vng ban đầu 20 20 thành 16 54 bảng vuông , tồn hai bảng vuông S ( A) A, B mà 80 = S (B) 16 * Trường hợp 1: S ( A) −5 , có S ( A) nên A bảng thỏa mãn * Trường hợp 2: S ( A) −5 Xét dãy bảng vng kích thước A = X , X , X , , X n = B mà với i = 2, n − bảng X i +1 tạo thành từ bảng X i cách dịch chuyển bảng X i lên xuống hàng, sang phải sang trái cột Nhận xét: X i X i +1 sai khác 10 ô nên có S ( X i ) − S ( X i +1 ) 10 Ban đầu có S ( X1 ) = S ( A) −5 kết thúc có S ( X n ) = S ( B ) nên S ( X ) − S ( X n ) 10 , suy tồn i 2, , n − 1 mà S ( X i ) Vậy tốn giải Ví dụ 13 Trên vòng tròn người ta điền 2018 số mà số −1 Biết tổng 10 số liền kề khác tổng 2018 số vòng tròn số ngun dương Tìm giá trị nhỏ tổng tất số điền vòng tròn Lời giải: Gọi số đặt vòng tròn (theo chiều kim đồng hồ) a1 , a2 , , a2018 Theo có = 1, i ; Si = + +1 + + +9 0, i (1), (ở số hiểu theo mode 2018); S = a1 + a2 + + a2018 * Ta chứng minh với i j Si S j (2) Thật vậy, giả sử có i j mà Si S j , chẳng hạn coi Si S j - Theo giả thiết có Sk +1 − Sk = ak +10 − ak - Mỗi tổng S k tổng 10 số lẻ nên chẵn Vậy phải có số t mà i t j cho St = , điều mâu thuẫn với (1) (2) chứng minh xong 55 * Có 10S = S1 + S2 + + S2018 , theo có số Si số nguyên chẵn khác dấu với nên có Si 2, i Suy S 2018 = 403,6 S 404 10 * Để cách điền ứng với S = 404 ta chọn dãy a1 , a2 , , a2018 là: X , X , , X ,1,1,1,1,1, −1, −1, −1 với cụm X = 1,1,1, ,1, −1, −1, −1, −1 201 groups numbers numbers numbers numbers Vậy S = 404 Ví dụ 14 Mèo Tomy rút quân tú 52 quân Mỗi lần Tomy đốn chất qn chuẩn bị rút theo cách: Chọn chất có nhiều quân quân cịn lại Nếu có nhiều chất có số quân lớn Tomy chọn ngẫu nhiên chất Chứng minh Tomy đốn chất qn rút 13 lần Lời giải: Ta ký hiệu M i = max Ri ; Ci ; Bi ;Ti mà Ri ; Ci ; Bi ;Ti số quân bốn chất tương ứng 52 − i quân lại sau lần bốc thứ i ( i = 0,1, ,52 ) + Ban đầu có M = 13 M 52 = + Nhận xét: Sau bước M i giữ nguyên giá trị (nếu Tomy đoán sai), M i giảm (nếu Tomy đoán đúng) Như trình biến đổi giá trị M i từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối giảm 13 đơn vị, phải có 13 lần Tomy đoán chất quân rút Ví dụ 15 Cho khối lập phương đơn vị với mặt sơn màu trắng hặc đen cho tổng số mặt trắng tổng số mặt đen Chứng minh từ khối ta xếp thành khối lập phương cho bề mặt nhìn thấy có số ô đen số ô trắng Lời giải: Đặt A = (số ô đen) – (số ô trắng) bề mặt khối lập phương 56 Vì số đen số ô trắng sơn lúc đầu số cách tạo khối hữu hạn nên tồn cách tạo có A đạt cách tạo có A đạt max * Ta chứng minh đổi từ trạng thái có hiệu A sang trạng thái có hiệu − A : Xét góc đại diện, ta đánh số mặt nhìn thấy 1, 2, 3; đánh số mặt tương ứng đối diện với mặt 1’, 2’, 3’ (bị khuất) Như sau = 24 bước đổi ngược tất khối khối lập phương đưa trạng thái A thành − A , đưa Amax thành Amin * Nhận xét: A chẵn có (tổng số đen) + (tổng số ô trắng) = = 24 Hơn bước biến đổi (xoay khối) A không đổi, A tăng giảm đơn vị Vậy theo bổ đề phải tồn trạng thái xoay để A = 2.2.3 – Vận dụng tính khả vi tốn tở hợp Nhiều toán tổ hợp dẫn tới việc khảo sát hàm số Việc nghiên cứu tính khả vi hàm số dẫn đến điều kiện tham số miền giá trị hàm số phù hợp với yêu cầu toán tổ hợp Các toán sau minh họa cho ý tưởng này: Ví dụ 16 Có bốn ngơi làng đặt bốn đỉnh hình vng cạnh km Chứng minh làm mạng đường với tổng chiều dài số nằm 13,7 km 15 km để từ làng sang làng khác Lời giải: 57 Ta xét mạng đường tạo đoạn thẳng AM , BM , MN , ND, NC hình vẽ với EM = FN = x (km), E, F trung điểm AB, DC Rõ ràng mạng đường cho phép ta từ bốn làng A, B, C, D sang làng lại Tổng độ dài mạng đường ( AM + MO + MB ) = x + 25 5 + − x = f ( x ) , với x 0; 2 Khảo sát miền giá trị hàm f ( x ) cách dùng đạo hàm ta thu ( ) min5 f ( x ) = f = + 13,66 x0; 2 max5 f ( x ) = f ( ) = 15 x0; 2 Từ chứng tỏ với tổng độ dài mạng đường cần thiết kế nằm 13,7 km 15 km ln tồn x để f ( x ) nhận giá trị Bài tốn giải xong Ví dụ 17 Có sáu số nguyên ( a1 , a2 , , a6 ) mà 2020 với i = 1,6 cho a1 x − + a2 x − + a3 x − = a4 x + + a5 x + + a6 x + với x Lời giải: + Nhận xét: Hàm số f ( x ) = a x − khả vi điểm x , khả vi x = a = 58 Thật vậy: Với x0 lim x→ x a x − − a x0 − f ( x ) − f ( x0 ) a ( x − ) − a ( x0 − ) = lim = lim =a x→ x x→x x − x0 x − x0 x − x0 0 Tương tự với x0 lim x→ x f ( x ) − f ( x0 ) a ( − x + ) − a ( − x0 + ) = lim = −a x→ x x − x0 x − x0 Vậy hàm f ( x ) có đạo hàm x0 với x0 Xét lim x → + f ( x ) − f ( ) a( x − ) − = lim = a, x → x − x − + f ( x ) − f ( ) a ( −x + ) − = lim = −a , hàm số f ( x ) có x → x → x − x − f ( x ) − f ( ) f ( x ) − f ( ) đạo hàm x = lim hay = lim x → x → x − x − a = −a a = lim − − + − + Giả sử a1 x − + a2 x − + a3 x − = a4 x + + a5 x + + a6 x + với x Ta có a1 x − = −a2 x − − a3 x − + a4 x + + a5 x + + a6 x + với x Ta thấy vế phải hàm số có đạo hàm x = với cách chọn a2 , , a6 , vế trái có đạo hàm x = a1 = Lập luận tương tự có a1 = a2 = cầu = a6 = , thử lại thấy thỏa mãn yêu + Vậy có thỏa mãn ( a1 , a2 , , a6 ) = ( 0,0, ,0 ) 2.2.4 – Một số tập vận dụng giải tích tốn tở hợp 59 Bài Cho + n * Biết dãy số x1 , x2 , x3 , , x2 n có tổng S hai số hạng liên tiếp dãy chênh lệch không đơn vị S Chứng minh tồn n số hạng dãy có tổng T thỏa mãn T − 2 Bài Cho số nguyên dương S bội tất số nguyên từ đến 2015, cho n số nguyên dương a1 , a2 , , an thuộc tập hợp M = 1;2; ;2015 chúng có tổng 2S Chứng minh ta chọn vài số dãy a1 , a2 , , an có tổng S Bài Cho A = x1 x2 xn số nguyên dương có n chữ số Mỗi bước ta tách số có thành phần (nhưng giữ nguyên trật tự chữ số) cộng phần lại số mới, lặp lại q trình với số thu Ví dụ: Từ 123567 → thành 123+567 = 690 → thành 6+9+0 = 15 → thành 1+5 = Chứng minh có cách cho sau tối đa bốn bước thu số có chữ số Bài Người ta tô màu đỉnh 20-giác A1 A2 A20 với 10 đỉnh tô đen 10 đỉnh tô xanh Xét tập hợp X gồm đường chéo A1 A4 tất đường chéo độ dài với A1 A4 a) Chứng minh X , số đường chéo có hai mút đen số đường chéo có hai mút xanh b) Trong tập X có đường chéo với hai mút đen? Bài (Thi chọn đội tuyển trường chuyên KHTN-ĐHQG Hà Nội, 2017) Cho n số nguyên dương Ta xét đa giác 2n đỉnh Ta điền số 0,1vào đỉnh thỏa mãn số số số số Ta gọi tập 2k đỉnh liên tiếp cân số số số số (với k số nguyên dương không n ) a) Chứng minh với k n , ln có tập cân có độ dài 2k b) Chứng minh k 2n + − ln tồn hai tập cân 2k khơng có đỉnh chung 60 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Hiệu kinh tế: - Nội dung trình bày sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh chuyên Toán khối 10, 11, 12; tài liệu dùng tập huấn học sinh giỏi thuộc đội tuyển Toán dự thi Quốc gia, chọn đội thi Quốc tế - Các toán ý tưởng trình bày sáng kiến tài liệu tham khảo bổ sung thêm cho thầy giáo sinh viên ngành Tốn chủ đềứng dụng Giải tích Với việc đề xuất số ý tưởng sử dụng cách sáng tạo kiến thức Giải tích sáng kiến trình bày, tác giả mong muốn giải pháp sử dụng rộng rãi, cách tiết kiệm chi phí tài liệu, chi phí giảng dạy cho học sinh chun Tốn đội tuyển HSG Toán; tiết kiệm ngân sách tỉnh mời chuyên gia giảng dạy cho em học sinh đội tuyển Hiệu về mặt xã hội: Trong q trình giảng dạy lớp chun Tốn bồi dưỡng HSG Quốc gia, HSG tham gia chọn đội tuyển dự thi Quốc tế, HSG khu vực Duyên hải Đồng Bắc Bộ nhiều thi HSG Toán khác, tác giả triển khai nội dung sáng kiến tới em học sinh thu kết tốt với đội tuyển Một số kết năm học 2017-2018: Kỳ thi HSG Quốc gia: Nhì, Ba, Khuyến khích; có HS thi chọn đội Quốc tế.Kỳ thi HSG DH ĐBBB khối 10, 11: HC Vàng, HC Bạc, HC Đồng.Kỳ thi Olympic chuyên KHTN: HC Vàng, HC Bạc, HC Đồng Một số kết năm học 2018-2019: Kỳ thi HSG Quốc gia: Ba, Khuyến khích.Kỳ thi HSG DH ĐBBB khối 10, 11: HC Vàng, HC Bạc, 2Khuyến khích.Kỳ thi Olympic Tốn Iran: HC Vàng Một số kết năm học 2019-2020: Kỳ thi HSG tỉnh khối 12 chuyên: Nhất, 10 Nhì, 20 Ba, 22 Khuyến khích Kỳ thi HSG Quốc gia: Nhất, Nhì, Ba, Khuyến khích Có học sinh 61 chọn thi vòng – thi chọn Đội tuyển dự thi Toán Quốc tế năm 2020; học sinh giành HC Đồng Olympic Toán học Quốc tế năm 2020 Khả áp dụng nhân rộng: - Các nội dung sáng kiến áp dụng giảng dạy chuyên sâu Toán lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong dạy cho đội tuyển Toán dự thi Quốc gia, khu vực - Có thể dùng sáng kiến áp dụng cho đối tượng học sinh THPT chuyên toàn quốc; học sinh – sinh viên ngành Tốn IV CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN: Tơi xin cam kết kết trình bày sáng kiến nghiên cứu qua q trình dạy lớp chun Tốn bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia, khu vực Tôi không chép vi phạm quyền tác giả Nam Định, tháng 10 năm 2020 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: CƠ QUAN, ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (ghi rõ nhận xét, phạm vi ảnh hưởng hiệu áp dụng có đạt mức sở hay khơng, tính sáng kiến gì?) ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 62 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Phê (1997), Từ điển tiếng Việt, NXB Đà Nẵng Bộ Giáo dục Đào tạo (2009), Chương trình chuyên sâu THPT chun, mơn Tốn Nguyễn Đình Thành Cơng (2015), Toán rời rạc Tổ hợp, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh Chen Chuan-Chong (1992),Principles And Techniques in Combinatorics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd Nguyễn Văn Mậu(2008), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Tốn rời rạc, NXB Giáo dục Việt Nam Đồn Quỳnh (2012), Tài liệu chuyên Toán Đại số 11, NXB Giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh (2012), Tài liệu chuyên Toán Bài tập Đại số 11, NXB Giáo dục Việt Nam Đồn Quỳnh (2012), Tài liệu chun Tốn Đại số 10, NXB Giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh (2012), Tài liệu chuyên Toán Bài tập Đại số 10, NXB Giáo dục Việt Nam 10 Pablo Soberón (2013), Problem Solving Methods in Combinatorics -An approach to Olympiad, Springer Basel Heidelberg New York Dordrecht London 11 Pranav A Sriram (2014), Olympiad Combinatorics (Bản điện tử) 12 Titu Andresscu (2012), 102 combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Tearm, Birkhauser 13 Titu Andresscu (2007), A path to combinatorics for undergranduates, Birkhauser 14 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Các đề đề xuất thức DH ĐBBB; Các đề thi Việt Nam MO, Việt Nam TST; IMO; IMO Shortlist … ... a; b ) f ( x ) có tối đa k + nghiệm khoảng ( a; b ) 12 Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: 2.1 Vận dụng sáng tạo kiến thức giải tích vào toán số học 2.1.1 – Vận dụng giới hạn toán số học Trước... Một số nội dung giải tích chương trình Tốn THPT - Tóm tắt số nội dung kiến thứcvề giải tích Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Phần báo cáo trình bày ý tưởng cụ thể sử dụng giải tích vào tốn số... rõ định hướng thông qua phân tích hướng dẫn giải tốn số đề thi Olympic cấp Các giải pháp trình bày báo cáo bao gồm: Vận dụng sáng tạo kiến thức giải tích vào tốn số học tổ hợp với ba giải pháp
Ngày đăng: 22/06/2021, 07:34
Xem thêm:
