ôn thi môn Toán

ôn thi môn Toán

TÀI LIỆU ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CƠ BẢN CHO HỌC SINH THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ BỔ TÚC THPT MÔN: TOÁN Nhằm tạo điều kiện và định hướng cho học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT và bổ túc THPT đạt hiệu quả, Sở Giáo dục và Đào tạo phát hành tài liệu lưu hành nội bộ về “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng cơ bản cho học sinh thi tốt nghiệp THPT và bổ túc THPT” các môn Ngữ văn, Toán và Tiếng Anh. Tài liệu có tính chất tạo điều kiện để học sinh ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ năng theo chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình Giáo dục phổ thông và là tài liệu tham khảo để giáo viên ôn tập cho học sinh (Tài liệu không phải là Đề cương ôn thi tốt nghiệp THPT). Ban biên tập rất mong được sự góp ý của cán bộ, giáo viên và các em học sinh để tài liệu ngày càng hoàn chỉnh hơn. Phần thứ nhất: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 3 2 , 0y ax bx cx d a= + + + ≠ . (1) Tập xác định: D = R. (2) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 3ax 2 + 2bx + c. - Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. * Cực trị: - Nếu qua x 0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x 0 ; y CĐ = y(x 0 ). - Nếu qua x 0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ;y CT = y(x 0 ). * Giới hạn: - 3 2 , 0 lim ( ) , 0 x a ax bx cx d a →+∞ +∞ >  + + + =  −∞ <  - 3 2 , 0 lim ( ) , 0 x a ax bx cx d a →−∞ −∞ >  + + + =  +∞ <  * Bảng biến thiên: (3) Vẽ đồ thị: - Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ. - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương 24 , 0y ax bx c a= + + ≠ . (1) Tập xác định: D = R. (2) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b). - Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. * Cực trị: - Nếu qua x 0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x 0 ; y CĐ = y(x 0 ). - Nếu qua x 0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ;y CT = y(x 0 ). * Giới hạn: - 4 2 , 0 lim ( ) , 0 x a ax bx c a →±∞ +∞ >  + + =  −∞ <  . * Bảng biến thiên: (3) Vẽ đồ thị: - Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ. - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ. Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 1 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức : ( 0) ax b y ac cx d + = ≠ + . (1) Tập xác định: D = \ d R c   −     . (2) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: - Đạo hàm 2 ( ) ad cb y cx d − ′ = + . - Nếu y' > 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; d c −∞ − ) ,( ; d c − + ∞ ). - Nếu y' < 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; d c −∞ − ),( ; d c − + ∞ ). * Cực trị: Hàm số không có cực trị. * Giới hạn và tiệm cận: - Tìm các giới hạn khi , ( ) d x x c ± → ±∞ → − . - Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = d c − làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = a c làm tiệm cận ngang. * Bảng biến thiên: (3) Vẽ đồ thị: - Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ. - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục tọa độ. B. Bài tập luyện tập. 1. Cho hàm số 3 2 ( ) 3 4y f x x x= = + − . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Biện luận số nghiệm phương trình 3 2 3 0x x m+ + = tuỳ theo giá trị của tham số m. (ĐS: m<-4 hoặc m>0 :1 nghiệm; m=-4 hoặc m=0: 2 nghiệm; -4<m<0: 3 nghiệm.) 2. Cho hàm số 3 ( ) 3y f x x x= = − + . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. (ĐS: 9 2 S = .) 3. Cho hàm số 3 ( ) 1y f x x= = − . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox. (ĐS: 3 3y x= − ) 4. Cho hàm số 3 ( ) 2 3y f x x= = − + (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A nằm trên (C) có hoành độ bằng -1 . (ĐS: 6 1y x= − − ) 5. Cho hàm số 4 2 ( ) 2y f x x x= = − . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1)M − . ĐS: 32 1, 22 7 5 7 y y x= − = − + . 6. Cho hàm số 4 2 3( ) 2y f x x x+= − += . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị hàm số. (ĐS: d=2) Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 2 7. Cho hàm số 4 2 1 3 ( ) 2 2 y f x x x= −= + . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Biện luận số nghiệm phương trình 24 2 0x x m+ + = tuỳ theo giá trị của tham số m. (ĐS: m>0: vô nghiệm; m=0: 1nghiệm; m<0: 2 nghiệm) 8. Cho hàm số 4 2 1 1 ( ) 4 2 1y f x x x= − − += (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Biện luận theo m, số giao điểm của (C) và (d):y=m . (ĐS: m>1: không có giao điểm; m=1: 1giao điểm; m<1: 2 giao điểm) 9. Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y f x x + = = − . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) Tìm các giá trị m để đường thẳng 2y mx= + cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. (ĐS: m < -12 hoặc m > 0) 10. Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y f x x + = = + (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . b) M là điểm bất kỳ thuộc (H). I là giao điểm hai tiệm cận . Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. i. Chứng minh M là trung điểm AB. ii. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. iii. Tìm M để IA+IB nhỏ nhất. (ĐS: M(0;1) hoặc M(-2;3).) 11. Cho hàm số 2 1 y x = − ; gọi đồ thị hàm số là (H) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2 5 0x y+ − = . c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 6 os siny c x x= + . 12. Cho hàm số 3 2 3 4y x x= − + ; gọi đồ thị hàm số là (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Trên (C) lấy điểm A có hoành độ 2 A x = . Viết phương trình đường thẳng d qua A và d tiếp xúc với (C). c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2cosy x x= + trên 0; 2 π       . 13 : Cho hàm số 3 3 1y x x= − − ; gọi đồ thị hàm số là (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 3 1 0x x m− − − = . c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 2 sin .cos 4y x x x= − + . 14. Cho hàm số 4 4 y x = − ; gọi đồ thị hàm số là (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3. c)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4y x x= + − . 15. Cho hàm số 3 2 y x = − . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ, có hệ số góc k, cắt (C) tại hai điểm phân biệt. c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4 sin cosy x x= + 16. Cho hàm số 2 3 1 x y x + = − + có đồ thị (C). Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Tìm các điểm trên đồ thị ( ) C của hàm số có tọa độ là những số nguyên. c)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 (3 ) 1y x x= − + trên đoạn [0;2]. 17. Cho hàm số y = –x 4 + 2x 2 + 3 có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của m để phương trình x 4 – 2x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số 2 4 1 x x y x + + = + trên [0;3]. 18. Cho hàm số 3 2 3 4y x x= − + ; gọi đồ thị hàm số là (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 2 3 2 5 1f x x x x= − − + trên [ ] 0;3 . 19. Cho hàm số 4 2 1 4 6 2 y x x= − + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4 2 1 4 0 2 x x m− + + = có 4 nghiệm phân biệt. c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 4 1 f x x x = + + trên đoạn [ ] 0;2 . 20. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 ; (l) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m =1. b) Tìm m để đồ thị hàm số (l) có 3 điểm cực trị. c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: 2 1 1 x y x x + = − + II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ( )y f x= trên D A. Hai cách thường dùng. Cách 1: - Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D. - Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN . Cách 2: Nếu ( )f x liên tục trên D = [a;b] - Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x… trên khoảng (a;b) mà tại đó , ( )f x bằng 0 hoặc , ( )f x không tồn tại. - Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b… . - Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. - Ta có [ ; ] [ ; ] min ( ) ,max ( ) a b a b f x m f x M= = . B. Bài tập. 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 ( ) 9f x x x x= + + trên đoạn [-3;5]. (ĐS: [ 3;5] [ 3;5] min ( ) ( 3) 45, max ( ) (5) 195f x f f x f − − = − = − = = ) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 ( ) 2 f x x x = + − trên đoạn [3;5]. (ĐS: [3;5] [3;5] min ( ) (4) 6, max ( ) (3) 7f x f f x f= = = = ) 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 1 2 2 f x x x = − + + trên khoảng 5 ( ; ) 2 −∞ − . (ĐS: 5 ( ; ) 2 max ( ) ( 3) 9f x f −∞ − = − = − , ( )f x không có GTNN ) 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ( ) 8f x x x= + − . Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 4 (ĐS: max ( ) (2) 4,min ( ) ( 8) 8f x f f x f= = = − = − ) 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 9 3f x x= − trên đoạn [-2;2]. (ĐS: [ 2;2] [ 2;2] min ( ) (2) 3,max ( ) ( 2) 15f x f f x f − − = = = − = ) 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 ( ) sin cos 2 f x x x= − + . (ĐS: 2 3 6 min ( ) 7 4 2 6 x k f x x k π π π π  = − +  = − ⇔   = +   , 2 3 max ( ) 2 2 f x x k π π = ⇔ = + ) 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 ( ) cos cos 1f x x x= + − trên đoạn 3 [0; ] 2 π . (ĐS: min ( ) 1 3 2 2 x f x x x π π π   =   = − ⇔ =    =  , max ( ) 1 0f x x= ⇔ = ) 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 4 ( ) cos sinf x x x= + . (ĐS: 1 min ( ) 2 4 2 f x x k π π = ⇔ = + , max ( ) 1 2 f x x k π = ⇔ = ) 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) x x e f x e e = + trên đoạn [ln 2 ; ln 4] . (ĐS: [ln2;ln 4] [ln2;ln 4] 2 min ( ) (ln 2) ,max ( ) (ln 4) 2 4 4 f x f f x f e e = = = = + + ) 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ( ) ln( 5 )f x x x= + + trên đoạn [-2;2]. (ĐS: [ 2;2] [ 2;2] min ( ) ( 2) 0,max ( ) (2) ln 5f x f f x f − − = − = = = ) III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1. ( )F x là một nguyên hàm của ( ) tan .sin 2f x x x= a) Tính ( ) 6 ''F π b) Biết đồ thị hàm số y = ( )F x cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 5. Hãy xác định ( )F x . 2. 3 ( ) ( .sin .cos ) x F x a x b xe − += là một nguyên hàm của 3 ( ) (3.sin 4.cos ) x f x x xe − −= . Hãy xác định các giá trị của a và b. 3. ( )F x , ( )G x lần lượt là các nguyên hàm của 2 2 1 ( ) sin . os f x x c x = và 3 1 ( ) x x e g x e + = . Biết 1 ( ) ( ln 2 ) 4 2 F G π = = . Hãy tính : 3 ( ) 4 F π và ( )0G . 4. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1 : ( ) 1 2 x f f x x − = − 5. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1 1 1 : ( ) sin osf f x c x x x = 6. Tìm nguyên hàm của hàm số 1 : ( ) 2 x x e f f x e + = + 7. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 : ( ) 3 log x f f x x= + Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 5 8. Tìm họ nguyên hàm : I = 3 3 4 2011( ) . . x x e e dx+ ∫ ; J = 2011 (1 ) .dxx x− ∫ 9. Tìm họ nguyên hàm : I = 1 ( .ln ). .ln x x dx x x − ∫ 10. Tính tích phân : I = 1 4 0 (1 2 ) .x dx− ∫ ; J = 2 3 1 2 0 . ( 1) x dx x + ∫ 11. Chứng tỏ : 2 2 1 0 (1 ) .x x dx− ∫ = 3 3 ln2 ln15 log log 26 e + − 12. Tính tích phân : J = ( ) 4 2 0 cos3 .sinx tan 3x x dx π − + ∫ 13. Tính tích phân : I = 1 2 2 1 2 x x e e d x − − + − ∫ ; J = 2 4 2 2 2 1x x d x − − + ∫ 14. Tính tích phân : I = 2 0 os( ) 3 3 3 x x c dx π π × − ∫ ; J = 2 1 ( 1) ln e x x x dx+ + ∫ 15. Tính tích phân : I = ln2 0 3 x x dx e − × ∫ ; I = 2 0 cos x e x dx π ∫ 16. Tính tích phân : I = 1 ln ln3 x x dxe + ∫ ; J = 2 1 0 . . 2 x x dx e ∫ 17. Tính tích phân : I = 4 2 0 .tanx x dx π ∫ ; I = 2 2 0 .cos .x x dx π ∫ ; J = 2 3 2 0 sin . osx c x d x π ∫ 18. Tính tích phân : I = 2 3 0 cos . (2 sin ) x dx x π + ∫ ; J = 6 0 os ( ).cos2 . 6 c x x dx π π − ∫ 19. Tính tích phân : I = 2 0 sin 5 2cos .x x dx π − ∫ ; J = 2 1 3 ln . (1 ) x dx x+ ∫ 20. Tính tích phân : I = 2 1 2 2 4 . ln( 1) .x dx x x   + +     ∫ ; I = 0 cos ( ).sin . x x dxxe π + ∫ 21. Tính tích phân : I = 6 2 0 tan sin 2 . os x x dx c x e π + ∫ 22. Tính tích phân : I = 1 3 0 . 1 . dxx x+ ∫ ; J = 3 1 2 0 . 1 .x dxx + ∫ 22. Tính tích phân : I = 0 4 2 1 . 1 2 1 x dx x + + + ∫ ; I = 3 2 0 3 x d x− ∫ 23. Tính tích phân : K = 2 3 2 0 8 1 4 3 x d x x + + ∫ ; 2 0 1 9 6 5 x I d x x x − − = − + ∫ 24. Tính tích phân : 2 1 0 10 3 6 9 x I d x x x − = − + ∫ ; 2 4 3 4 11 6 10 x I d x x x − = − + ∫ 25. Tính tích phân : I = 2 0 1 sin cos dx x x π + + ∫ Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 6 26. a) Cho hàm số y = f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ ] ;a a− . Chứng minh rằng : ( ) 0 a a f x dx − = ∫ . b) Vận dụng kết quả trên, hãy tính tích phân: G = 3 4 2 4 3 sin 6 os x x x dx c x π π − − + − ∫ 27. a) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Chứng minh rằng : ( ) ( ) b b a a f x dx f a b x dx= + − ∫ ∫ . b) Vận dụng kết quả trên, hãy tính tích phân : K = 4 0 (1 tan )ln x dx π + ∫ 28. a) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): 2 1 x y x − = + và hai trục tọa độ. b) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. 29. Tính diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường sau : 4 2 1 ; 3 ; 0 ; 2 3x x y y x x= − = = = + + 30. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox : a) sin , 0 , 0 , 2 4 x y y x x π = = = = ; b) ln , 0 ,y x y x e= = = . IV. LÔGARÍT 1. a) Rút gọn biểu thức sau: E = 3 4 5 6 8 log 2.log 3.log 4.log 5.log 7 b) Cho biết lg2 = a, lg3 = b. Tính lg 24 25 theo a và b 2. Tìm tập xác định của hàm số: y = 1 3 1 log ( 2)x− − . 3. Cho hàm số y = 2 ln( 1)x + . a) Tính y’. b) Giải phương trình . 1 0y ′ + = . 4. Giải phương trình log 3 (x + 1) - log 1 3 (x + 3) = 1. 5. Giải phương trình: 2 4 log log ( 3) 2x x− − = 6. Giải phương trình: 2 6log 1 log 2 x x = + 7. Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 2 log 1 log 1 5 0x x+ − + − = 8. Giải bất phương trình 1 3 3 1 log 1 2 x x − > + 9. Giải bất phương trình 1 1 1 1 log logx x + > − 10. Giải bất phương trình 2 0,2 0,2 log 5log 6x x− ≤ − V. HÀM SỐ MŨ 1. Giải phương trình: 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = HD giải : Đặt 2 2 0 x x t t − = ⇒ > . Khi đó phương trình trở thành: 2 4 3 3 4 0 ( 1)( 4) 0 4t t t t t t t − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ = (vì 0t > ). 2 2 2 4 2 1 2 x x x x x hay x − = ⇔ − = ⇔ = − = . Do đó phương trình có 2 nghiệm là: 1 ; 2x x= − = . Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 7 2. Giải hệ phương trình: 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y +  = −   + =   + HD giải: hệ phương trình đã cho 3 2 3 2 2 5 4 5 4 0 2 2 0 x x x y y y y y y y   = − − + = ⇔ ⇔   = = >   0 1 4 1 4 2 0 0 2 x y hay y hay y y y hay y x x = = = = =    ⇔ ⇔    = > = =    3. Tìm a để bất phương trình ( ) 2 .9 1 .3 1 0 x x a a a + + − + − > được nghiệm đúng với mọi x . HD giải : Đặt 3 0 x t = > . BPT 2 2 9( 1) 1 0 ( 9 1) 9 1at a t a a t t t⇔ + − + − > ⇔ + + > + ( ) 2 9 1 1 9 1 t a t t + ⇔ > + + . Bất phương trình đã cho sẽ được nghiệm đúng ( ) 1x∀ ⇔ đúng 0t∀ > . Xét hàm số ( ) 2 9 1 9 1 t f t t t + = + + . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 9 2 ' 0, 0 9 1 t t f t t t t − − = < ∀ > + + Do đó xét bảng biến thiên ta được ( ) 1 đúng ( ) 0 max 1t a f t a∀ > ⇔ ≥ ⇔ ≥ . 4. Giải phương trình: 3 1 125 50 2 x x x+ + = HD giải : 125 50 125 25 2 2 0 8 8 8 4 x x x x PT         ⇔ + = ⇔ + − =  ÷  ÷  ÷  ÷         Đặt 5 0 2 x t   = >  ÷   . PT thành 3 2 2 0t t+ − = . Giải phương trình trên ta được 1t = suy ra 0x = . 5. Tìm m để bất phương trình 2 2 2 2 2 2 .9 (2 1)6 .4 0 x x x x x x m m m − − − − + + ≤ nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện 1 2 x ≥ HD giải : BPT ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 . (2 1) 10 2 2 x x x x m m m − −     ⇔ − + + ≤  ÷  ÷     Đặt 2 2 3 2 x x t −   =  ÷   do điều kiện 1 2 x ≥ ( ) 2 2 3 3 ' 4 1 .ln 2 2 x x t x −   ⇒ = −  ÷   luôn cùng dấu với 4 1x − . t⇒ lấy các giá trị trong [1; )+∞ . ( ) ( ) 2 2 1 2(2 1) 0 ( 2 1) 1mt m t m m t t⇔ − + + ≤ ⇔ − + ≤ ( ) 1 đúng ( ) 1 2 2 x∀ ≥ ⇔ đúng [1; )t∀ ∈ +∞ ( ) 2 1 , 1 0 1 m t m t ⇔ ≤ ∀ > ⇔ ≤ − 6. Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x+ = + HD giải : Đặt ( ) 3 5 6 2 x x f x x= −+ − . Phương trình tương đương với: ( ) 0f x = Dễ thấy phương trình có 0; 1x x= = là nghiệm Ta có ( ) ' .ln 3 .3 6ln55 x x f x += − và ( ) 2 2 " .ln 3 .3 n 5 05 l x x f x += > với x∀ ∈ ¡ ( ) ( ) min ' ; min ' 6 x x f x f x →+∞ →−∞ = +∞ = − Suy ra ( ) 'f x là hàm liên tục, đồng biến và nhận cả giá trị âm, cả giá trị dương trên ¡ nên phương trình ( ) ' 0f x = có nghiệm duy nhất o x . Từ bảng biến thiên của hàm ( ) f x ( ) 0f x⇒ = có không quá hai nghiệm. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : 0; 1x x= = Chú ý : Có thể chứng minh phương trình ( ) ' 0f x = có nghiệm như sau : Ta có : ( ) ' 0 ln 3 ln 5 5 0f = + − < và ( ) ' 1 3ln 3 5ln5 6 0f = + − > Suy ra phương trình ( ) ' 0f x = có nghiệm duy nhất ( ) 0;1 o x ∈ . Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 8 7. Giải phương trình: 1 5 .8 500 x x x − = HD giải : ( ) 1 3( 1) 3 3 3 2 3 3 5 .2 5 .2 5 2 5 2 x x x x x x x x x PT − − − − − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( ) 1 1 1 3 3 3 5 3 0 3 1 5 5.2 1 log 2 2 5.2 1 x x x x x x x x x − − − − =  =    ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔   ÷  = − =     8. Giải phương trình: 2 2 5 1 5 4 12.2 8 0 x x x x− − − − − − + = HD giải : Đặt 2 2 5 2 3 2 5 1 2 ( 0) 9 4 5 2 4 x x x t x x t t t x x x − − =   = − − =    = > ⇒ ⇒ ⇔   = =   − − =   9. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x − + + = HD giải : Đặt ( ) 2 3 x − =t (t>0). phương trình trở thành : 2 3 2 1 4 2 2 3 t x t x t t  = − =  + = ⇔ ⇒   = − = +    10. Giải phương trình: ( ) ( ) 7 5 2 ( 2 5) 3 2 2 3(1 2) 1 2 0 x x x + + − + + + + − = . HD giải : Đặt (1 2) ; 0 x t t= + > 3 2 2 ( 2 5) 3 1 2 0 ( 1)( ( 2 4) 2 1) 0PT t t t t t t⇔ + − + + − = ⇔ − + − + − = 1 0 3 2 2 2 1 1 2 t x t x x t =  =    ⇔ = − ⇒ = −     = = +   11. Giải phương trình: ( ) 3 2 ( 3 2) ( 5) x x x − + + = HD giải: PT 3 2 3 2 1 5 5 x x     − + ⇔ + =  ÷  ÷  ÷  ÷     . Đặt 3 2 3 2 , 0 1; , 1 5 5 u u v v − + = < < = > + Nếu 0 : 0; 1 1 x x x u v VT≥ > ≥ ⇒ > + Nếu 0 : 1; 0 1 x x x u v VT< ≥ > ⇒ > . Vậy PT vô nghiệm. 12. Giải phương trình: 2 2 3.16 (3 10)4 3 x x x x − − + − + − HD giải : Đặt 2 4 , ( 0). x t t − = > PT trở thành : 2 3 (3 10) 3 0t x t x+ − + − = 2 4 2 1 1 4 2 log 3 3 3 2 3 4 3 x x x t x t x x − −   = = − =    ⇔ ⇒ ⇔    =  = − = −    13. Tìm m để phương trình .2 2 5 0 x x m − + − = có nghiệm duy nhất. HD giải: Đặt 2 , . x t t o= > Pt trở thành : ( ) 2 1 5 0 ( ) 5 1 0 *mt f t mt t t + − = ⇔ = − + = + Nếu 1 0 : 5 m t= = (t.m) ; + Nếu 0 :m ≠ PT đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình ( ) * có duy nhất 1 nghiệm dương. Xét 3 trường hợp : 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 không có 25 0 và 0 0 4 t t m m t t m m m t t < < <   <     = < ⇔ ⇔    =   ≠ ∆ = < =    14. Tìm a để phương trình ( ) ( ) 5 1 5 1 2 x x x a+ + − = có nghiệm duy nhất. Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 9 HD giải : PT 5 1 5 1 1 2 2 x x     + − ⇔ + =  ÷  ÷  ÷  ÷     Đặt t = 5 1 2 x   +  ÷  ÷   (t>0) phương trình trở thành : 2 1 0 a t t t a t + = ⇔ − + = Đáp số : 1 0 4 a hay a≤ = . 15. Tìm m để phương trình .16 2.81 5.36 x x x m + = có nghiệm duy nhất. HD giải: Đặt 9 ; 0 4 x t t   = >  ÷   . Phương trình trở thành 2 2 5 0 (*)t t m− + = 2 2 5m t t⇔ = − + Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng một nghiệm dương. Khảo sát hàm số 2 2 5y t t= − + trên (0 : +∞) ta được 25 ; 0 8 m m= ≤ . VI. SỐ PHỨC 1. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. 2. Chứng minh: a) Số phức Z là số thực khi và chỉ khi Z Z= . b) Số phức Z là số ảo khi và chỉ khi Z Z= − . 3. Chứng minh rằng mọi số phức Z 1 , Z 2 ta có: 1 2 1 2 Z Z Z Z+ = + ; 1 2 1 2 .Z Z Z Z= 4. Tìm số phức Z thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) 2Z = và Z là số ảo. b) 5Z = và phần thực bằng hai lần phần ảo. 5. Chứng minh: 3 (1 ) 3 2 5i i i+ + = − + . 6. Chứng minh: 7 7 1 1 1 2 i i i    ÷   − = − . 7. Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn bất đẳng thức: 1 1Z i− − < . 8. Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn bất đẳng thức 1 2z< ≤ . 9. Tìm mô đun số phức: 3 4 3 (1 )Z i i= − + − . 10. Cho số phức Z thỏa 2 8Z Z i+ = + . Hãy tìm 2 Z . 11. Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn 3 (3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i+ + − = + . 12. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: (3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i 13. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2 – 4z + 6 = 0. 14. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2 – 8(1 – i)z + 63 – 16i = 0 15. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 3 – 8 = 0. 16. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 4 + 4z 2 – 5 = 0. 17. Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm của phương trình: z 2 + 2z + 10 = 0. Tính 2 1 2 A z z= + . 18. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết rằng z là acqumen 3 π . 19. Chứng minh rằng số phức 2 3z i= + + có 1 acqumen là .2 12 k π π + . Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp THPT” 10