Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số[r]
(1)BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI (Năm học 2012-2013) Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a a ( x 2+ ) − x ( a2+ ) b x −1+ x n +3 − xn Giải: a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung a ( x 2+ ) − x ( a2+ ) = ax 2+ a −a x − x ¿ ax ( x −a ) − ( x − a )=( x − a ) ( ax − ) b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức n n +3 n x −1+ x − x ¿ x ( x −1 ) + ( x − ) ¿ x n ( x − ) ( x2 + x +1 ) + ( x − )=( x − ) [ x n ( x 2+ x+1 ) +1 ] ( x − ) ( x n +2+ x n +1+ x n +1 ) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x8 + 3x4 + b x6 - x4 - 2x3 + 2x2 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) ¿ x [ ( x −2 x +1 ) + ( x −2 x+1 ) ] 2 2 x [ ( x −1 ) + ( x − ) ]=x ( x −1 ) [ ( x +1 ) +1 ] x ( x − ) [ x +2 x +2 ] Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a2 b+4 ab2 − a2 c +ac − b2 c +2 bc − abc b x +2007 x 2+2006 x +2007 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp: 2 2 2 a b+4 ab − a c +ac − b c +2 bc − abc a2 b+4 ab2 − a2 c +ac − b c +2 bc − abc a2 b+4 ab2 − a2 c − abc+ac − b c +2 bc2 − abc=¿ 2ab ( a+2 b ) − ac ( a+ 2b ) +c ( a+2 b ) − bc ( a+2 b ) ( a+2 b ) ( ab −ac +c − bc ) =( a+ 2b ) [ a ( b − c ) − c ( b −c ) ] ( a+2 b ) ( b −c ) ( a −c ) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức ¿ ( x − x ) + 2007 x +2007 x +2007 2 x +2007 x +206 x +2007 x ( x − ) ( x + x +1 ) +2007 ( x + x+1 ) ( x + x+ )( x − x +2007 ) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a3 +b 3+ c − abc b ( a+b +c )3 − a3 −b − c3 Giải: Sử dụng các đẳng thức a3 +b 3=( a+ b ) ( a2 +b − ab ) ¿ ( a+b ) [ ( a+b ) −3 ab ] ¿ ( a+b ) − ab ( a+b ) Do đó: a3 +b 3+ c − abc=¿ ¿ [ ( a+ b )3 +c ] − ab ( a+b ) − abc ¿ ( a+b +c ) [ ( a+b )2 − ( a+b ) c +c ] − ab ( a+b +c ) ( a+b+ c ) ( a 2+ b2 +c − ab − bc −ca ) b ( a+b +c )3 − a3 −b − c3 =[ ( a+ b+c )3 − a3 ] − ( b +c )3 (2) ¿ ( b+ c ) [ ( a+ b+c )2 +a ( a+ b+c ) +a2 ] − ( b+c ) ( b2 − bc+c ) ( b+ c ) ( a 2+3 ab+ bc+ ca ) =3 ( b+ c ) ( a+ c )( a+ b ) Ví dụ 5: Cho a + b + c = Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ ( a+b )3=− c ⇒ a3+ b3 +3 ab ( a+ b )=− c ⇒ a 3+ b3 +c − abc=0 ⇒ a3 +b 3+ c 3=3 abc ab Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > Tính P= 2 a −b 2 2 ⇔ Giải: Biến đổi 4a + b = 5ab 4a + b - 5ab = ⇔ ( 4a - b)(a - b) = ab a Do đó P= 2 = = a −b 3a Giải: Vì a + b + c = ⇔ a = b Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác và khác Chứng minh nếu: a b c x y z x2 y2 z2 + + =0 ; + + =1 thì ; + + =1 x y z a b c a b c a b c ayz+ bxz+ cxy =0 ⇒ ayz+ bxz+cxy =0 Giải: x + y + z =0⇒ xyz x y z 1 a b c x2 y2 z ayz bxz cxy x2 y z x y z 1 1 a b c abc a b c a b c Chuyên đề 2:.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI Chứnh minh : (Với a , b ³ 0) (BĐT Cô-si) Giải:( a – b ) = a - 2ab + b ³ a + b ³ 2ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b ³ 0) Giải:( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ³ + 4ab ( a + b ) ³ 4ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b ³ 0) Giải:2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ³ 2(a + b) ³ ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a.b > 0) Giải: + = Do ab £ ³ Hay + ³ Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a.b < 0) Giải: + = - Do ³ - £ -2 Hay + £ - Đẳng thức xảy a = -b Chứng minh: (Với a , b > 0) Giải: + - = = ³ + ³ Đẳng thức xảy a = b Chứng minh rằng: Giải:2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ³ 2(a +b +c) ³ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ³ ab+bc+ca Đẳng thức xảy a = b;b = c;c = a Û a = b= c Chuyên đề 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT DẠNG 4ac-b b 4ac-b b P ax + bx +c = a x MinP = x=4a a 4a Khi 2a Nếu a > : Suy a c+b b P ax + bx +c = a x 4a a Nếu a < : 2 (3) MaxP a c+b x= b 2a 4a Suy Khi Một số ví dụ: Tìm GTNN A = 2x + 5x + 25 25 2( x x )7 16 16 Giải: A = 2x + 5x + = = 25 56 25 31 2( x ) 7 2( x ) 2( x )2 8 MinA 31 Khi x Suy Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 25 25 2( x x )7 16 16 Giải: A = -2x2 + 5x + = = 25 56 25 81 2( x )2 2( x ) 2( x ) 8 £ MinA 81 Khi x Suy Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + ³ MinB = : Û Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - £ 10 GTLNC = 10 khi: Û Chuyên đề 4: Ví dụ 1`: a + 12 a+9 a Rút gọn Biếu thức B= Với a − 2 a −a − 0,5 a2+ a+2 a3 − : + b Thực phép tính: (a 1+ 0,5 a a+ a ( −a ) ( a+3 )2 a + 12 a+9 a+ ¿ = Giải:a B= ( a+ )( a− ) a −2 a −a − 0,5 a + a+2 a − a + 2a+ a+2 = ⋅ + b 1+ 0,5 a : a+ + ( a+2 a −a ) a −8 a ( 2− a ) a +2 a+ a −2 ¿ − = = ( a− ) ( a +2 a+ ) a ( a −2 ) a ( a −2 ) a 2 x + y − xy Ví dụ Thực phép tính: A= 2 : Giải: ± 2.) x +y ( Với x x −y x + y −2 xy x y x y xy x3 y x y xy x y A : 2 2 x y x y xy x y x y x y x y xy x y Ví dụ Cho biểu thức : A= x + x + x+ x − x +2 x − x +1 a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh A không âm với giá trị x A= x + x + x+ x + x + x+1 = 2 x − x +2 x − x +1 x − x + x + x − x +1 ± y) (4) x x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x3 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 ( x +1 ) ; ( x+1 )2 ≥ ; x2 +1>0 ⇒ A ≥ x +1 a + a +a + a Ví dụ Tính giá trị biếu thức : −5 −6 −7 −8 a +a +a +a b A= với a = 2007.Giải: 8 a5 a a a8 a a a a8 a5 a a a8 a a a a a B 5 1 1 a a a a a a a a3 a2 a 1 a5 a a a8 a8 a13 a a a a a a 1 a13 B 200713 Ví dụ 5: Tính giá trị biếu thức : x −25 y −2 : x −10 x +25 x y − y − Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x − 3| ⇔ x=3 y x=3 ⇔ Giải: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x − 3| ⇔ ( x −3 y )2+|x − 3|=0 ¿ x=3 y=1 ¿{ ( x − ) ( x+5 ) ( y −2 )( y +1 ) ( x +5 ) ( y +1 ) x −25 y −2 8 C= : = ⋅ ¿ = =− 2 y−2 x ( x −5 ) ( −2 ) x −10 x +25 x y − y − x ( x −5 ) Chuyên đề 5: Bài 1: Tính Căn thức bậc hai A= ( 4) 19 ( 4) 19 3 2 C= 17 12 B= 32 D= 10 10 17 12 E= 10 10 F= ( 2)( 2) 32 G= 2( 2) H= Bài 1: Chứng minh 2( 2) a) 10 60 24 40 1 9 2 99 100 b) 1 1 2 2006 2005 d) 1 28 225 c) 1 1 100 99 99 100 10 e) 1 1 2012 2 2013 2.2011 k (2012 k 1) 2012.1 f) 1.2012 (5) 1 1 2012 2 2 3 2013 2013 g) 1 1 100 h) Cho S= Chứng minh S không phải là số tự nhiên.\ i) Chứng minh rằng: Bài 3: 2006 1 1 2007 1008016 a) Cho x y z xy yz zx đó x,y,z là các số dương C/m x = y = z b) Cho a,b,c là các só thực không âm Chứng minh: b1) a b c ab bc ca b2) c(a c) c(b c) ab £0 (a>c ; b>c) b3) Nếu b c 2 a thì b c ³2a 1 1 1 ³ ab bc ca b4) a b c c) Cho a,b,c là ba số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: 1 2 A= (a b) (b c) (c a) là số hữu tỉ d) Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1 Tính tổng S= x (1 y )(1 z ) (1 x )(1 z ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Bài 4: a) Tìm tất các giá trị x,y,z thỏa mãn đẳng thức: 1/ x y z x y z 3/ 2/ x y z 2 x y z x y z ( x y z) Chuyên đề 6: x yz 4 x y 3 z 4/ Phương trình vô tỉ x TXD Û f ( x ) g ( x ) ³0 Û f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x) D¹ng1: (*) Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp f(x) ³0 và g(x) ³0 VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x 3x 2m x x x x ³0 1 £ x £2 Û x x 2m x x ³0 Û Û x m x m §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× £m £2 Û £m £1 g ( x )conghia & g ( x) ³0 f ( x) g ( x ) Û f ( x) g ( x) D¹ng2: Chú ý: Không cần đặt điều kiện f ( x) ³0 x x 1 Û VD: Giải phương trình: VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-1 D¹ng3: x ³0 x ³1 x x Û Û Û x 2 x x ( x 1) f ( x) co nghia & f ( x) ³0 f ( x ) g ( x) h( x) Û g ( x) co nghia & g ( x) ³0 ( f ( x) g ( x)) h( x) (6) Chú ý: Không cần đặt điều kiện h( x) ³0 VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 2x 1 x ³0 Û x x x Û 1 x ³0 Û 1 x x (1 x)(1 x) x x £2 £ x £ Û 2 Û 2 x ³0 (1 x)(1 x ) (2 x 1) 2 x x 0 x £1 x £ (1 x)(1 x) 2 x 1 £x £ Û x 0 x 0 x Bài 18: Giải các phương trình sau: a) x x x x 36 x c) 28 x y b) x x x x 4 y 2 d) x x x 3x 0 2 e) x x 4 x 3x f) x x 10 ( x 2)( x 6) 0 2 g) 2 x 3x 2 x 3( x 2) h) x x x x 5 i) x x x x 2 k) x x x x 7 2 l) x x x 10x+27 m) x x x 12x+38 n) x x 3x 12x+14 p) x x x 6x+13 2 q) 3x 6x+7 x 10x+21 5 2x - x r) Bài 5: Cho A = a Rút gọn A x2 x 1 x x x x 1 x x 1 x x x 2 víi x ³0 , x 1 b Tìm GTLN A x HD: a) A = x x b)NÕu x = th× A = x 1 A max Û x Û x x x 1 x x 1 x Theo bất đẳng thức Co si có: x Û x 1.Khi đó Amax = 2 Û x x x NÕu x 0 th× A = Bài 6: Cho biểu thức B a b1 a b b b ( ) a ab ab a ab a ab a) Rút gọn B b) Tìm giá trị cúa B a 6 c) So sánh B với -1 x (7) Bài 7: Cho biểu thức C ( a 2ab 2ab a ) 1 2 1+b 1+b b với a ³0; b ³0 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm gái trị C với a 56 24 c) Tìm giá trị nhỏ A x2 x 2x+ x D 1 x x 1 x Bài 8: Cho biểu thức a) Rút gọn D Tìm x để D = b) Giả sử x > Chứng minh rằng: D D 0 c) Tìm giá trị nhở D Chuyên dề 8: Một số đÒ thi häc sinh giái to¸n Đề 1: Câu 1: ( 6,0 điểm) 1)Giải phương trình: x 2x x 2x 2 2 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 4x 4x 4x 12x Câu 2: ( 3,0 điểm)Chứng minh rằng: với số tự nhiên n 15 n2 S 16 n không thể là số nguyên ³ thì Câu 3: ( 3,0 điểm)Trong đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng lúc Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm người thứ 15km và nhanh người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm người thứ 12 phút và sớm người thứ ba phút Tính vận tốc ba tay đua môtô trên Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH 10cm, đường cao BK 12cm Tính độ dài các cạnh tam giác ABC Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác ABC cạnh a và điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1) Chứng minh: điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC 2) Tìm GTLN biểu thức P = MA + MB + MC ( M thuộc cung nhỏ AB) ĐỀ 2: Bµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc P= x √ x − − 2( √ x − 3) + √ x+ x − 2√ x − √ x+1 3− √ x 1) Rut gọn biểu thức P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña P x = 14 - √ 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P và giá trị tương ứng x Bµi 2: (3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:1) 1 + + =1 √ x +3+ √ x+ √ x +2+ √ x +1 √ x+1+ √ x (8) 2) 36 + =28 −4 √ x −2 − √ y − √x− √ y− Bµi 3: (3 ®iÓm) 1) Cho biểu thức A = x x 20 Tìm giá trị nhỏ A 2) Cho (x+ √ x +3)( y + √ y 2+ 3) =3 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y Bài 4: (3 điểm)1) Tìm các GT nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + )x2 + = y2 2) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau: √ x+ √ y= √ 1980 Bài 5: ( điểm) Cho a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB tam giác ABC A a £ Chứng minh rằng: sin 2 bc Bµi 6: (5 ®iÓm) Cho tam giác ABC có cạnh 60 cm Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = 20cm Đường trung trực AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự E, F Tính độ dài các cạnh tam giác DEF./ ĐỀ 3: Bài1(1,5đ) 6 62 a/ Tính b/ Cho a +b +c = , a,b,c ≠0 Chứng tỏ 1 a2 b2 c2 = 1 |a b c| c/ Hãy chứng tỏ x Bài2(2đ) là nghiệm phương trình x3 +3x – = A a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức x y 1 xy xy x y x y xy 1 y x y x Với x = 3, y 2 b/ Giải phương trình x x 4 Bài3(2,5đ) B x2 x 1 x x 1 a/ Tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung EF ( A ,E (O) , B , F (O’) ) a/ Gọi M là giao điểm AB và EF Chứng minh : Δ AOM và Δ BMO’ đồng dạng b/ Chứng minh AE vuông góc với BF c/ Gọi N là giao điểm AE và BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD Tính cos MAN biết M ,N theo thứ tự là trung điiểm BC, CD §Ò Bµi 1(3®) Cho biÓu thøc: A = ( x √3 √3 + + +1 x + x √3+3 x − √ 27 √ x )( ) (9) a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cña A x = √ +2010 Bµi 2(3®) Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1; 5) b Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc câu a Gọi giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục 0x là B; giao điểm đờng thẳng hạ từ A vuông góc với 0x là C Tính diện tích tam gi¸c ABC? x y z = = Bµi 3(2) Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n 2008 2009 Chøng minh r»ng: z – x =2 √( x − y)( y − z) 2010 Bµi 4(2.5) Cho x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x3 + y3 + xy Bµi 5(2.5) Cho a, b>0 Chøng minh r»ng: b2 a2 + ≥ √ a+ √ b a b √ √ Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC ( B^ = 900, BC > BA) nội tiếp đờng tròn đờng kính AC Kẻ dây cung BD vuông góc với đờng kính AC Gọi H là giao điểm AC và BD Trên HC lấy điểm E cho E đối xứng với A qua H Đờng tròn đờng kính EC cắt cạnh BC I ( I kh¸c C) Chøng minh r»ng: a CI.CA = CB.CE b HI là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính EC Bài 7(4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R) Đờng cao AK cắt đờng tròn (0) D; AN là đờng kính đờng tròn (0) a Chøng minh: BD = CN b Tính độ dài AC theo R và α Biết = α c Gäi H, G lÇn lît lµ trùc t©m, träng t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng H; G; th¼ng hµng SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bình phương đúng số nguyên II TÍNH CHẤT: Số chính phương có thể có chữ số tận cùng 0, 1, 4, 5, 6, ; không thể có chữ số tận cùng 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số chính phương có thể có hai dạng 4n 4n + Không có số chính phương nào có dạng 4n + 4n + (n N) Số chính phương có thể có hai dạng 3n 3n + Không có số chính phương nào có dạng 3n + (n N) Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG (10) Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chính phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng luôn là số chính phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + là số chính phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + là số chính phương 1 Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 1 k(k+1)(k+2)(k+3) k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 ⇒ S= 1.2.3.4 0.1.2.3 + 2.3.4.5 1.2.3.4 +…+ 4 4 1 (k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2) 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết bài ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + là số chính ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước nó Chứng minh tất các số dãy trên là số chính phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n n n chữ số 10 −1 10 −1 10n + +1= 9 102 n+ 10n +1 n 10 +1 = = ( n chữ số 2n n n 10 − 10 +8 10 − 8+9 = ) n Ta thấy 2.10 +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho nên nó chia hết cho ⇒ n ( 103 +1 ) n-1 chữ số Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương Bài 5: Chứng minh các số sau đây là số chính phương: (11) A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số Kết quả: A = ( n 10 +2 ) ; B= ( n 10 +8 ) ; C= ( n 2 10 +7 ) Bài 6: Chứng minh các số sau là số chính phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) ⇒ A là số chính phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số = n chữ số n 10 −1 10n + 102 n +4 10n + = = n 10 −1 ( n 10 +2 n chữ số +1= 2n n n 10 − 10 +5 10 −5+ 9 ) là số chính phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh tổng các bình phương số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Gọi số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 không thể tận cùng đó n2+2 không thẻ chia hết cho ⇒ 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 đó n N và n>1 không phải là số chính phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 và n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 ⇒ n2 – 2n + không phải là số chính phương (12) Bài 9: Cho số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Cách 1: Ta biết số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Vì chữ số hàng chục số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 đó tổng chúng + + + + = 25 = 52 là số chính phương Cách 2: Nếu số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số tận cùng a là ⇒ a ⋮ ⇒ a2 ⋮ Theo dấu hiệu chia hết cho thì hai chữ số tận cùng M có thể là 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: + + + + = 25 = 52 là số chính phương Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ không phải là số chính phương a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) ⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t N) Không có số chính phương nào có dạng 4t + (t N) đó a2 + b2 không thể là số chính phương Bài 11: Chứng minh p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương Vì p là tích n số nguyên tố đầu tiên nên p ⋮ và p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 là số chính phương Đặt p+1 = m2 (m N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + ⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) ⋮ mâu thuẫn với (1) ⇒ p+1 là số chính phương b p = 2.3.5… là số chia hết cho ⇒ p-1 có dạng 3k+2 Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chính phương Vậy p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N ⋮ ⇒ 2N-1 không chia hết cho và 2N-1 = 3k+2 (k N) ⇒ 2N-1 không là số chính phương b 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho và 2N ⋮ 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư ⇒ 2N không là số chính phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết cho nên 2N+1 không chia cho dư (13) ⇒ 2N+1 không là số chính phương Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số Chứng minh 2007 chữ số √ ab+1 là số tự nhiên 2008 10 Cách 1: Ta có a = 11…1 = 2008 chữ số ⇒ ab+1 = √ ab+1 = 2008 (10 √( −1 −1)(10 102008 + 2 ) 2008 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2007 chữ số +5) +1= = ( 10 2008 +2 ) 102008 +2 Ta thấy 102008 + = 100…02 ⋮ nên 2007 chữ số 2008 chữ số 102008 ¿2 + 102008 − 5+9 ¿ ¿ ¿ 102008 +2 N hay √ ab+1 là số tự nhiên Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + 12 = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 a+1 ¿ ⇒ √ ab+1 = = 3a + N ¿ √¿ B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho các số sau là số chính phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Giải a Vì n + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) 2 2 ⇒ (n + 2n + 1) + 11 = k ⇔ k – (n+1) = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k=6 k–n-1=1 n=4 2 2 b Đặt n(n+3) = a (n N) ⇒ n + 3n = a ⇔ 4n + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3) ❑2 - 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a)= Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + + 2a = ⇔ n=1 2n + – 2a = a=2 c Đặt 13n + = y ( y N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) ⋮ 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + ⋮ 13 y – ⋮ 13 ⇒ y = 13k ± (Với k N) ⇒ 13(n – 1) = (13k ± ) – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + Vậy n = 13k2 ± 8k + (Với k N) thì 13n + là số chính phương ⇒ (14) N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 ⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > và chúng là số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để các số sau là số chính phương: a a2 + a + 43 b a2 + 81 c a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là số chính phương Với n = thì 1! = = 12 là số chính phương Với n = thì 1! + 2! = không là số chính phương Với n = thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 là số chính phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! tận cùng đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng chữ số nên nó không phải là số chính phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương: a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 d 2n + 15 Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N) Từ đó suy m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006 Như số m và n phải có ít số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là số chẵn ⇒ (m + n)(m - n) ⋮ Nhưng 2006 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương Bài 6: Biết x N và x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m Đẳng thức đã cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái là số chính phương nên vế phải là số chính phương Một số chính phương có thể tận cùng các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x có thể tận cùng các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) (15) Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và < x ≤ (2) Từ (1) và (2) ⇒ x có thể nhận các giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, đó 762 = 5776 Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 và 3n+1 là các số chính phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ khoảng trên ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh n là số tự nhiên cho n+1 và 2n+1 là các số chính phương thì n là bội số 24 Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m là số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + ⇒ ⇒ n= m −1 = a (a+1) n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với b = 2a(a+1) N) ⇒ k2 = 4b(b+1) +1 ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n ⋮ (1) Ta có k2 + m2 = 3n + 2 (mod3) Mặt khác k chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) thì k2 (mod3) m (mod3) 2 ⇒ m – k ⋮ hay (2n+1) – (n+1) ⋮ ⇒ n ⋮ (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ n ⋮ 24 Bài 9: Tìm tất các số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì n 2 = a – 48 = (a+48)(a-48) p q 2 = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q p p q ⇒ ⇒ – = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3 a+48 = a- 48 = 2q ⇒ q = và p-q = ⇒ p = ⇒ n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A là số chính phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị thì ta số chính phương B Hãy tìm các số A và B Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị thì ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ ⇒ Ta có A = abcd = k2 (16) B = abcd + 1111 = m2 ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k và m+k là số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101 ⇔ Do đó m – k == 11 ⇔ m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số chính phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = và k N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10 ⋮ 101 k-10 ⋮ 101 Mà (k-10; 101) = ⇒ k +10 ⋮ 101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) đó 9a+1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn ⇒ b = Số cần tìm là 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa là số chính phương vừa là lập phương Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vì y3 = x2 nên y là số chính phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096 Bài 5: Tìm số chính phương gồm chữ số cho chữ số cuối là số nguyên tố, bậc hai số đó có tổng các chữ số là số chính phương Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd chính phương ⇒ d { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố ⇒ d = Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k là số có hai chữ số mà k2 có tận cùng ⇒ k tận cùng Tổng các chữ số k là số chính phương ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 Vậy số phải tìm là 2025 (17) Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu các bình phương số đó và viết số hai chữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒ a2 - b2 ⋮ 11 Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11 2 Khi đó ab - ba = 32 112 (a - b) Để ab 2- ba 2là số chính phương thì a - b phải là số chính phương đó a-b = a -b=4 Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm là 65 Bài 7: Cho số chính phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số đó ta số chính phương Tìm số chính phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng các chữ số nó Gọi số phải tìm là ab với a,b N và ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 ⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3 ⇒ ab là lập phương và a+b là số chính phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l ( l N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 ⇒ a + b = là số chính phương ⇒ a + b = 10 không là số chính phương ⇒ loại Nếu ab = 64 Vậy số cần tìm là ab = 27 Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1) + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và ≤ a ≤ ⇒ 12n( n + ) = 11(101a – ) ⇒ 101a – ⋮ ⇒ 2a – ⋮ Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – { 3; 9; 15 } ⇒ a { 2; 5; } Vì a lẻ ⇒ a = ⇒ n = 21; số càn tìm là 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số đó với tổng các chữ số nó tổng lập phương các chữ số số đó (18) ab (a + b ) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab ⇔ 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b và a + b – nguyên tố cùng đó a + b = 3a a + b – = 3a a +b–1=3+b a+b=3+b ⇒ a=4,b=8 a=3,b=7 Vậy ab = 48 ab = 37 - (19)