MỘT SỐ BÀI HAY TRONG ĐỀ THI HSG TOÁN MTCT TỈNH BÌNH ĐỊNH 2013 Nhận xét : Đề thi năm nay hay vì không chỉ yêu cầu HS biết tính toán tốt, nhanh nhẹn mà còn đòi hỏi học sinh có kĩ năng suy [r]
(1)MỘT SỐ BÀI HAY TRONG ĐỀ THI HSG TOÁN MTCT TỈNH BÌNH ĐỊNH 2013 Nhận xét : Đề thi năm hay vì không yêu cầu HS biết tính toán tốt, nhanh nhẹn mà còn đòi hỏi học sinh có kĩ suy luận, phân tích… tránh rập khuông các kiểu bài thường gặp -Đặc biệt có nhiều bài toán không khó nhiều học sinh không làm vì không xử lý trước tính toán Ví dụ bài sau: 1 A 2 3 99 100 100 99 Bài 1: Tính Bài này khá đơn giản nhiều HS giải sai vì viết công thức Ta thấy n n n 1 n n n n n 1 n 1 n n n sai n n 1 (n *) 1 A 2 3 99 100 100 99 1 1 1 1 1 0,9 10 2 3 99 100 Do đó: 99 x x x 1 x ( có thể tính trên máy: ) Đây là bài toán quen thuộc chương trình toán 9: 1 A 1 2 3 n n n 1 n n 1 Bài 2: Cho đa thức f(x) biết f(0) = 0; f(x+1)= f(x)+2x+1 Tính f (…) Để tính f(n) ta phải xác định công thức f(n) Có hai cách: Cách 1: Tìm quy luật Ta có: f(0) = = 02 f(1) = f(0)+2.0+1= 1=12 f(2)=f(1)+2.1+1= 4=22 f(3)=f(2)+2.2+1=9=32 Dự đoán f(n) = n2 (1) Ta chứng minh dự đoán trên phương pháp quy nạp toán học: Ta có (1) đúng với n = Vì f(0) = 02 đúng Giả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là f(k) = k2 Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là chứng minh : f(k+1)=(k+1)2 Ta có f(k+1) = f(k) + 2k+1= k2+2k+1=(k+1)2 đúng Vậy f(k) = k2 Cách 2: Ta có: f(1) = f(0)+2.0+1 f(2)=f(1)+2.1+1 f(3)=f(2)+2.2+1 f(n-1)=f(n-2)+2.(n-2)+1 f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta được: (2) n n n 1 n 1 f(x) 0 f(x) n 1 1 1 1 0 f(x) 2 n 0 f(x) n n n n ( để thuận tiện tôi dùng kí hiệu )chuyển vế thu gọn ta được: f(n) = n2 Lúc này muốn tính giá trị đa thức bao nhiêu mà chẳng Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 17n -1 25 Bài không khó lại có nhiều học sinh lúng túng vì không giới hạn được: Ta có 17n -1 25 17n -1 có chữ số tận cùng là 00; 25; 50 ; 75 17n có chữ số tận cùng là 01; 26; 51 ; 76 mà 7n có thể có chữ số tận cùng là 1; 3; ;9 17n có chữ số tận cùng là 01 51 mà để .7n có chữ số là thì n = 4k ( với k ) 17n có chữ số tận cùng là 01 51 và n = 4k ( với k ) Ta có 174 21 (mod 100) 178 (21)2 41(mod 100) 1712 (21)3 61(mod 100) 1716 (21)4 81(mod 100) 1720 (21)5 01(mod 100) 1724 1720 174 01.21 21(mod 100) 1728 1720 178 01.41 41(mod 100) 1732 1720 1712 01.61 61(mod 100) 1736 1720 1716 01.81 81(mod 100) 1740 1720 1720 01.01 01(mod 100) 1744 1740 174 01.21 21(mod 100) Ta thấy 174k có chữ số cuối cùng lặp lặp lại là 21; 41; 61; 81; 01 và 174k có hai chữ số cuối là 01 n = 4k = 20 m (với m ) Vậy 17n -1 25 n = 20 m (với m ) Bài 4: Cho ∆ ABC cân A có Â=200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Lập quy trình tính tan ACD Đặt AD=BC = a ; AC = b Vẽ DH AC => DH =a.sin200 và AH = a.cos 200 a b a.sin B a.sin800 a.sin80 b a.cos20 0 sin A sin 20 => HC= b-AH = sin 20 Lại có: sin A sin B a.sin80 DH sin 20 0 a.sin20 : a.cos20 0 0 HC sin 20 sin 80 sin 20 cos20 => tan ACD = (3)