Đề thi HSG toán tỉnh Bình Định 2010

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY: 23 - 3 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 23/3/2010 Bài 1: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3 3 2 81 7 18x x+ − = 2. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng 2010 Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình 2 2 2 2 1 0x mx m− + − = (1) ( m là tham số). 1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. 2. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức: x 1 3 + x 2 3 - x 1 2 - x 2 2 = -2 Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm x,y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 3 11 2 2 6 1.P x y xy x y= + − − + − 2. Cho đa thức P(x) bậc 5 có các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x ∈ Z thì P(x) không thể có trị số bằng 2010. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC. a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 4S ABC b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất. Bài 5: (4,0 điểm) 1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng: 3 3 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) bc ca ab a c b b a c c b a + + ≥ 2 + + + 2. Cho ba số thực α, β, γ > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = . x y z y z z x x y α β γ + + + + + Với mọi x, y, z > 0 . ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY: 23 - 3 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 23/3 /2010 Bài. 18x x+ − = 2. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng 2010 Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình 2 2 2 2 1 0x mx m− + − = (1) ( m là tham số). 1. Tìm m. giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x ∈ Z thì P(x) không thể có trị số bằng 2010. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần