Do sự tồn tại của sóng Rayleigh phụ thuộc vào sự tồn tại của phương trình (3.14) trong khoảng (0, 1), nên trước tiên ta chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1.
i) Nếu 0 < δ < 1: phương trình (3.14) có một nghiệm thực duy nhất nằm trong khoảng (0, 1), r ≥ 1 + 2/δ, với 0< r < 1 + 2/δ thì phương trình này cho ta hai nghiệm thực chính xác x(1), x(2) trong khoảng (0, 1):
Chứng minh: Phương trình (3.14) tương đương với: φ2(x) ≡ φ(x) + φ1(x) + δ(r −1) = 0, x∈ (0, 1), x6= δthε, (3.18) trong đó: φ(x) = (2−x)2 −4√ 1−x x , x ∈ (0, 1), (3.19) và: φ1(x) = −rxf(x, δ, ε), x ∈ (0, 1), x 6= δthε. (3.20) Dễ dàng chứng minh được: x2√ 1−x φ0(x) = (2−x)[2−√1−x(2 +x)] > 0 ∀ x ∈ (0, 1). (3.21) Vì vậy φ0(x) > 0 ∀ x ∈ (0, 1), tức là φ(x) là đơn điệu tăng thực sự trong khoảng (0, 1). Vì (chú ý 0 < thε < 1):
φ01(x) = rthε[(x−δ)2 + 2δ x(1−thε)] (x−δthε)2 > 0
∀x ∈ (0, 1)x 6= δthε, ∀δ > 0,
(3.22)
nên hàm φ2(x) là đơn điệu tăng thực sự trong các khoảng (0, δthε) và
(δthε, 1) ∀ε, r, δ > 0. Từ các phương trình (3.18)-(3.20) thấy: φ2(+0) =−2 +δ(r −1), φ2(−δthε) = +∞ φ2(+δthε) =−∞, φ2(1) = 1−δ + rthε(1−δ2)]
(1−δthε) . (3.23)
i) Giả sử 0 < δ < 1, khi đó ta có 0 < δthε < 1 (do 0 < thε < 1) và φ2(1) > 0(theo (3.23)4). Từ φ2(1) > 0 và (3.23)3 suy ra rằng phương trình
(3.14) luôn luôn có một nghiệm thực duy nhất trong khoảng (δthε, 1). Từ
(3.23)1,2, nếu −2 + δ(r −1) ≥ 0 ↔ r ≥ 1 + 2/δ thì phương (3.14) không có nghiệm thực trong (0, δthε) và phương trình này có đúng một nghiệm thực thuộc (0, δthε) nếu 0 < r < 1 + 2/δ. i) được chứng minh.
ii) +) Giả sử δ ≥ 1 và 0 < δthε < 1. Sử dụng phương trình (3.23)4
suy ra φ2(1) ≤ 0 (3.23)4, bởi vậy từ phương trình (3.23)3 suy ra phương trình (3.14) không có nghiệm thực trong khoảng (δthε, 1). Theo (3.23)2, nếu φ2(0) ≥ 0, phương trình (3.14) không có nghiệm thực trong khoảng
(0, δthε) và nó có chính xác một nghiệm trong (0, δthε) nếu φ2(0) < 0. Từ những điều trên, kết hơp với (3.23)1, kết luận ii) cho 0 < δthε < 1 được chứng minh.
+) Giả sửδ ≥1và δthε= 1. Trong trường hợp này ta có φ2(+1) = +∞. Bởi vì φ2(x) là đơn điệu tăng thực sự trong khoảng (0, 1), phương trình (3.14) không có nghiệm thực trong khoảng (0, 1) nếu φ2(0) ≥ 0 và nó có chính xác một nghiệm thực trong (0,1) nếu φ2(0)< 0. Từ các sự kiện này kết hợp với (3.23)1 suy ra kết luận ii) cho trường hợp δthε = 1.
iii) Giả sử δ ≥ 1 và δthε > 1. Vì φ2(x) là liên tục và đơn điệu tăng thực sự trong khoảng (0, 1) (⊂ (0, δthε)) nên phương trình (3.14) có một nghiệm thực duy nhất trong khoảng (0, 1) nếu φ2(0) < 0 và φ2(1) > 0, và nó không có nghiệm thực trong khoảng (0, 1) nếu hoặc φ2(0) ≥ 0 hoặc φ2(1) ≤ 0. Từ những sự kiện này ta đi đến ngay kết luận
Chú ý 3.2.Khiδ → 0:x(1) → 0và x(2) → xr(ε), trong đó xr(ε)là nghiệm thực duy nhất của phương trình (3.17). Vì vậy, sóng tương ứng với x(2) có nguồn gốc từ các sóng Rayleigh cổ điển được gọi là "sóng Rayleigh cổ điển (CRW)". Sóng tương ứng với x(1) tồn tại chỉ khi có lực trọng trường được gọi là "sóng Rayleigh hấp dẫn (GRW)". Từ mệnh đề 3.1 và phần chứng minh của nó, chúng ta có định lý sau đây phát biểu về sự tồn tại của các sóng Rayleigh.
iv) Để tồn tại chính xác hai sóng Rayleigh, một CRW và một GRW nếu
{0< δ < 1, 0< r < 1 + 2/δ}.
Chú ý 3.3. Bằng cách lập luận tương tự như trong bổ đề 3.1, ta có thể chứng minh được rằng:
i) Phương trình (3.16) có một nghiệm thực (duy nhất) trong khoảng
(0, 1) khi và chỉ khi 0≤ δ <1.
ii) Phương (3.17) luôn luôn có một nghiệm thực chính xác trong khoảng
(0, 1).
Trong khi phương trình tán sắc chính xác (3.14) hoặc không có nghiệm hoặc có một nghiệm hoặc có hai nghiệm trong khoảng (0, 1), phương trình tán sắc xấp xỉ (3.15) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (0, 1) như được chứng minh dưới đây.
Mệnh đề 3.2.
i) Nếu phương trình (3.15) có một nghiệm thực trong khoảng (0, 1), thì
nó là duy nhất.
ii) Phương trình (3.15) có một nghiệm thực trong khoảng (0, 1) khi và chỉ khi 0 ≤ δ <1 +rε.
Chứng minh: Bằng cách lập luận tương tự như trong mệnh đề 3.1.
Chú ý rằng Bromwich [20] không xét sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong phương trình (3.15).