Xét một bán không gian đàn hồi đẳng hướng không nén được x3 ≤ 0 được phủ một lớp nước không nhớt 0 ≤ x3 ≤ h (hình 3.1). Giả thiết cả bán không gian và lớp nước đều chịu sự tác dụng của lực hấp dẫn. Các thành phần chuyển dịch trong trường hợp biến dạng phẳng có dạng:
uk = uk(x1, x3, t), k = 1,3, u2 ≡ 0,
p = p(x1, x3, t), φ = φ(x1, x3, t), (3.1) trong đó φ là thế vận tốc của lớp nước với ∂φ/∂s là vận tốc theo hướng ds (xem [20]).
Hình 3.1. Mô hình bài toán
Theo Bromwich [20], các phương trình chuyển động của bán không gian đàn hồi và lớp nước là:
p,1 + µ52 u1 = ρu¨1, p,3 + µ52 u3 = ρu¨3, u1,1 +u3,3 = 0, 52φ = 0
(3.2)
52f = f,11+f,33. Các phương trình (3.2) phải thỏa mãn điều kiện biện tại x3 = h (xem [20]):
gφ,3 + ¨φ = 0 tại x3 = h, (3.3) điều kiện liên tục tại x3 = 0 (xem [20] ):
φ,3 = ˙u3, µ(u1,3 +u3,1) = 0,
p+ 2µu3,3 +g(ρ−ρ0)u3 −ρ0φ˙ = 0 tại x3 = 0, (3.4)
và điều kiện tắt dần tại x3 = −∞:
uk = 0 (k = 1,3), p = 0, tại x3 = −∞, (3.5) ở đây ρ0 là mật độ khối lượng của nước. Giả sử sóng Rayleigh truyền dọc theo hướng x1 với vận tốc c(> 0), số sóng k (> 0) và tắt dần theo hướng x3. Theo Bromwich [20], nghiệm của phương trình (3.2) thỏa mãn điều
kiện tắt dần (3.5) là: p
µk22 = Qe
kx3
exp(ikx1 +iωt), u1 = − p,1
µk2 2
+Aesx3exp(ikx1 +iωt), u3 = − p,3
µk22 +Be
sx3exp(ikx1 +iωt),
φ = [Ccosh(kx3) +Dsinh(kx3)]exp(ikx1 +iωt),
(3.6)
trong đó ω = k c là tần số góc, k2 = ω/c2 < k, c2 = pµ/ρ, s =
p
k2 −k2
2 (> 0), Q, A, B, C, D là các hằng số được xác định từ các điều kiện (3.3), (3.4) và quan hệ ikA+sB = 0. Thay thế (3.6) vào (3.4)2
và kết hợp với ikA+sB = 0 đưa đến:
2Q+ (x−2) ˆB = 0, (3.7) với Bˆ = B/k, x = c2/c22 gọi là vận tốc không thứ nguyên bình phương của sóng Rayleigh và 0 < x < 1 để thỏa mãn điều kiện tắt dần (3.5). Từ các phương trình (3.6) và (3.4)3, ta có: µk22Q+ 2µ(sB −k2Q) +g(ρ−ρ0)(B −kQ)−iρ0ωC = 0. (3.8) Do đó, từ (3.4)1 (3.6) suy ra: D = iω( ˆB−Q). (3.9) Thế (3.6)4 vào (3.3) và sử dụng (3.9) dẫn đến: (x−δthε)C = iω( ˆB −Q)(δ −xthε), (3.10) trong đó δ = g/(kc22) (> 0) và ε= kh(> 0).
Vì0 < thε < 1nên từ phương trình (3.10) suy rax 6= δthεvì nếu ngược lại suy ra hoặc Bˆ = Q hoặc δ−xthε= 0. Từ các phương trình (3.7)-(3.9) và ikA+sB = 0 cho thấy: nếu Bˆ = Q thì Bˆ = Q = D = C = A = 0. Điều này là không thể được vì dẫn tới nghiệm tầm thường. Nếu δ−xthε= 0, từ x = δthε chúng ta ngay lập tức có được thε = 1. Từ (3.10) và x 6= δthε, ta có:
nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ này phải bằng không, điều kiện này dẫn đến phương trình sau:
(2−x)2 −4√
1−x−δ x+ r δ x−r f(x, δ, ε)x2 = 0, 0 < x < 1. (3.14) Phương trình (3.14) chính là phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng không nén được được phủ một lớp nước không nhớt, không nén được có độ sâu h chịu tác dụng của trọng trường. Tham số không thứ nguyên δ và ε đặc trưng cho ảnh hưởng lên vận tốc sóng Rayleigh của trong trường và lớp nước. Chú ý 3.1.
i) Theo sự hiểu biết của tác giả, phương trình tán sắc chính xác (3.14) chưa xuất hiện ở bất kỳ tài liệu nào.
ii) Với giả thiếtδ và ε là đủ nhỏ, Bromwich [20] đưa ra được phương trình xấp xỉ bậc nhất của sóng dưới dạng sau:
(2−x)2 −4√
1−x−δ x+rεx2 = 0 (3.15) bằng cách sử dụng xấp xỉ: sinhε = ε, coshε = 1 (tương đương, thε = ε) và bỏ qua đại lượng δε/x (xem trong [20], dòng 12-14, trang 107). Nhưng với x ∈ (0, δthε) đại lượng này không phải là nhỏ mà nó chỉ nhỏ với x ∈ (δthε, 1). Vì vậy phương trình tán sắc xấp xỉ (3.15) chỉ đúng với các giá trị của x ∈ (δthε, 1). Rõ ràng, phương trình (3.15) có thể được đưa từ phương trình chính xác (3.14) bằng cách lấy xấp xỉ vế trái của nó trong miền δthε < x < 1.
Khi ρ0 → 0 thì r → 0, từ (3.14) ta có:
(2−x)2 −4√
1−x−δx = 0. (3.16)
Đây chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng không nén được dưới ảnh hưởng của lực trọng trường (xem trong [20]). Khi h → 0 thì ε → 0, từ (3.12) suy ra f(x, δ, ε) → δ/x. Điều này dẫn đến r δ x −r f(x, δ, ε)x2 → 0 và ta đi đến phương trình tán sắc (3.16).
Sử dụng (3.12) suy ra được khi δ → 0, f → −thε, khi đó phương trình (3.14) thu gọn về dạng sau:
(2−x)2 −4√
1−x+rx2thε = 0. (3.17) Đây là phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng không nén được, được phủ một lớp chất lỏng không nén được, không nhớt (không chịu ảnh hưởng của lực hấp dẫn) Bây giờ, giải sử hai đại lượng ε và δ là đủ nhỏ. Lấy xấp xỉ thε bằng ε và δthε bằng không, từ phương trình (3.14) ta đưa ngay về được phương trình (3.15). Bởi vì δthε ≈0 nên x−δthε ≈0 ∀x ∈ (0, δthε). Vì vậy hàm f không xác định trong khoảng (0, δthε). Điều này nói lên rằng phương trình (3.15) là phương trình xấp xỉ bậc một của phương trình tán sắc chính xác (3.14) chỉ trong miền (δthε, 1), không trong khoảng (0, δthε).