Xét môi trường vô hạn, phân lớp tuần hoàn, mỗi chu kỳ gồm N lớp vật liệu khác nhau (N ≥ 2) có độ dày h1, h2, ..., hN (xem hình 5.1).
Hình 5.1. Mô hình bài toán sóng SH Đại lượng h =
N
P
i=1
hi được gọi là độ dày của một chu kỳ. Ta sử dụng hệ Đềcác vuông góc Ox1x2x3 chung cho cả môi trường, trong đó mặt phẳng Ox1x3 trùng với mặt đáy của lớp đầu tiên của một chu kỳ nào đó. Giả sử các lớp vật liệu đẳng hướng nén được đặc trưng bởi các hằng số Lame µ(x2), λ(x2) và mật độ khối lượng ρ(x2). Vì môi trường là phân lớp tuần hoàn nên µ(x2), λ(x2), ρ(x2) là các hàm tuần hoàn, chu kỳ h, tức là:
ρ(x2 + h) =ρ(x2), λ(x2 +h) = λ(x2), µ(x2 +h) = µ(x2). (5.1) Xét sóng SH (sóng có một thành phần chuyển dịch) với các thành phần
σ13, σ23. Chúng liên hệ với các chuyển dịch bởi các công thức sau:
σ13 = µu3,1, σ23 = µu3,2. (5.4) Từ các phương trình (5.3), (5.4), ta có phương trình (ma trận) sau:
u3,2 σ23,2 = 0 1/µ ρ∂t2 −µu3,11 0 u3 σ23 . (5.5)
Giả sử sóng SH truyền theo phương tạo với Ox1 một góc θ. Khi đó nghiệm của phương trình (5.5) được tìm dưới dạng sau:
u3 = (ik)−1v(y2)eik(x1cosθ−ct), σ23 = τ(y2)eik(x1cosθ−ct), (5.6) v(y2), τ(y2) là các hàm cần tìm, trong đó y2 = x2/h, k > 0 là số sóng, c > 0 là vận tốc sóng. Chú ý rằng: k = |~k|, véctơ sóng ~k có các thành phần là: k1 = kcosθ, k2 = ksinθ, k3 = 0. Véctơ sóng ~k nằm trong mặt phẳng Ox1x2 và tạo với trục Ox1 một góc θ.
Thay (5.6) vào phương trình (5.5) dẫn đến phương trình sau: dV dy2 = εP(y2)V, (5.7) trong đó ε= ikh, V(y2) = v(y2) τ(y2) , P(y2) = 0 1/µ ρc2 −µcos2θ , (5.8) c = ω/k, ω được gọi là tần số sóng. Vì P(y2) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1, theo định lý Floquet, nghiệm của phương trình (5.8) phải thỏa mãn điều kiện sau:
Như vậy bài toán dẫn đến giải phương trình (5.7) trên khoảng (0, 1) với điều kiện biên sau:
V(1) = V(0)eεsinθ, (5.10) nhận được từ (5.9) bằng cách cho y2 = 0. Giả thiết các lớp đều mỏng, tức là độ dày h của một chu kỳ nhỏ hơn nhiều so với bước sóng của sóng SH (bước sóng tỉ lệ nghịch với số sóng). Khi đó kh << 1. Với giả thiết này, để giải phương trình (5.7) trên đoạn (0, 1) với điều kiện biên (5.10) ta sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận.