Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
2,18 MB
Nội dung
ĐỀ SỐ 21 ĐỀ LUYỆN ĐIỂM 10 (Đề thi có 06 trang) Mơn: Tốn (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Thể tích V khối chóp A.GBC A V = B V = ( Câu Giá trị biểu thức P = + C V = ) (4 2022 ( ) B P = − + A P = −7 + 3−7 ) 2021 D V = C P = ( D P = + ) 2020 Câu Phương trình x − 3.3x + = có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) Giá trị biểu thức A = x1 + x2 A log C 3log B D log Câu Cho hàm số f ( x ) = ln ( x − x + ) Tập nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) > A ( 2; +∞ ) B ( −1; +∞ ) C ( −2; +∞ ) D ( 1; +∞ ) Câu Tìm môđun số phức z = ( − 3i ) + ( + 2i ) A z = 137 B z = 371 C z = 173 D z = 317 Câu Cho tam giác ABC vng A có AB = a , BC = a 10 Thể tích khối nón quay tam giác ABC quanh trục AC A 3π a B π a C 2π a D 10π a 100 Câu Giá trị tích phân ∫ x.e 2x dx A 199e 200 − 1) ( Câu Cho hàm số y = B 199e 200 − 1) ( C 199e 200 + 1) ( D 199e 200 + 1) ( 2 cos x + cos x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số cos x + cho Khi M + m A –4 B –5 Câu Số phức z = ( i + i + i + i + i + 1) A −21010 B 21010 C –6 2020 D có phần ảo C 2020 D Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A x y−6 z−6 = = Biết điểm M ( 0;5;3) thuộc đường thẳng AB điểm N ( 1;1;0 ) thuộc −4 đường thẳng AC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC? Trang r A u = ( 1; 2;3) r B u = ( 0;1;3) r C u = ( 0; −2;6 ) Câu 11 Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x − + f ( x ) = −3 A (min 0;+∞ ) f ( x ) = −5 B (min 0; +∞ ) r D u = ( 0;1; −3) khoảng ( 0; +∞ ) x f ( x) = C (min 0;+∞ ) f ( x) = D (min 0; +∞ ) Câu 12 Cho log = m ; ln = n Hãy biểu diễn ln 30 theo m n A ln 30 = n +1 m B ln 30 = m +n n C ln 30 = Câu 13 Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = −20 ( + 2t ) m+n n D ln 30 = ( m / s ) Khi t = −2 n +n m vận tốc vật 30m/s Quãng đường vật di chuyển sau giây A 36m B 48m C 42m D 49m Câu 14 Phương trình log ( x − x ) = log3 ( x − 3) có nghiệm? A B C D Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 0; 2; −2 ) , B ( 2; 2; −4 ) Giả sử I ( a; b; c ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giá trị biểu thức T = a + b + c A T = C T = B T = D T = 14 Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm I ( 1; 2; −3) đường thẳng ∆ : x − y +1 z −1 = = Phương 2 trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt ∆ hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 20 A ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 41 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 41 C ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 29 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 29 2 2 2 2 2 2 Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hên ¡ có bảng biến thiên sau x y′ y −∞ + 0 –1 – +∞ + +∞ −∞ –2 Có mệnh đề số mệnh đề sau hàm số g ( x ) = f ( − x ) − ? I Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −4; −2 ) II Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) III Hàm số g ( x ) đạt cực tiểu điểm –2 IV Hàm số g ( x ) có giá trị cực đại –3 A B C D Trang Câu 18 Người ta làm tạ tập tay hình vẽ với hai đầu hai khối trụ tay cầm khối trụ Biết hai đầu hai khối trụ đường kính đáy 12, chiều cao 6, chiều dài tạ 30 bán kính tay cầm Thể tích vật liệu làm nên tạ tay A 108π B 6480π C 502π D 504π x − ( m + 1) x − m + Câu 19 Cho hàm số y = ( Cm ) Điểm cố định họ đường cong ( Cm ) x +1 13 A − ; ÷ 2 12 B ; − ÷ 3 3 C − ; ÷ 21 D ; − ÷ 3 Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng Hình chiếu vng góc H S nằm hình vng ABCD Hai mặt phẳng ( SAD ) , ( SBC ) vng góc với Góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) 60°, góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAD ) 45° Biết khoảng cách từ H tới ( SAB ) a Thể tích khối chóp S.ABCD A V = 4a 3 B V = 2a C V = a3 D V = 2a 3 Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = x Giá trị x để đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) hợp với góc α = 30° A x = 2a B x = a C x = a D x = a Câu 22 Giá trị tham số m để phương trình 16 x − 3.4 x +1 + m = có hai nghiệm thực trái dấu A < m < 36 B 11 < m < 36 C < m < 11 D < m < 13 Câu 23 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x − 12 x + ( C ) song song với đường thẳng d: 12 x + y = có dạng y = ax + b Giá trị biểu thức 2a + b A B –23 C –24 D –23 –24 m 1000 Câu 24 Giá trị thực lớn tham số m thỏa mãn ∫ ln xdx = m.ln m ( ln m − ) + A m = 21000 B m = 21000 + C m = 2999 + D m = 2999 + Câu 25 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục M có đồ thị ( C ) Biết hai tiếp tuyến với ( C ) điểm x0 = tạo với góc 45°, hai tiếp tuyến với trục hồnh tạo thành tam giác nhọn có số đo ba góc lập thành cấp số cộng Biết biểu thức A = lim+ x →1 f ( x) − f ( − x) dương Khi giá x −1 trị A Trang B + A Câu 26 Xét số thực m = − log log C 3+2 + D m m , biểu thức có 2021 dấu thức Phương trình x + x = m có nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 27 Để thực kế hoạch kinh doanh, ông A cần chuẩn bị số vốn từ Ông có số tiền 500 triệu đồng gửi tiết kiệm với lãi suất 0,4%/tháng theo hình thức lãi kép Sau 10 tháng, ông A gửi thêm vào 300 triệu lãi suất tháng sau có thay đổi 0,5% tháng Hỏi sau năm kể từ lúc gửi số tiền ban đầu, số tiền ông A nhận gốc lẫn lãi bao nhiêu? (Khơng tính phần thập phân) A 879693510 đồng B 879693600 đồng C 901727821 đồng D 880438640 đồng Câu 28 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − + 3i = đường trịn có tâm I, bán kính R Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn A I ( −4;3) , R = B I ( 4; −3 ) , R = C I ( 4;3) , R = D I ( 4; −3) , R = Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có SC = a , tam giác SAB cạnh a tam giác SAC vuông A Mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC A 4π a B π a3 C 4π a D π a3 Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S1 ) có tâm I ( 2;1;0 ) , bán kính mặt cầu ( S ) có tâm J ( 0;1;0 ) , bán kính Đường thẳng ∆ thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu ( S1 ) , ( S ) Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng cách từ điểm A ( 1;1;1) đến đường thẳng ∆ Giá trị tổng M + m A B C D Câu 31 Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cn − Cn = Hệ số a x khai triển biểu thức n x + ÷ x A a = 11520 B a = 256 C a = 45 D a = 3360 Câu 32 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Hàm số g ( x ) = f ( x2 + 2x + − x2 + 2x + ) đồng biến khoảng nào? 1 A ; +∞ ÷ 2 1 B −∞; ÷ 2 Trang C ( −∞; −1) D ( −1; +∞ ) số Câu 33 Cho hàm y = f ( x ) liên tục [ 0; 2] có đồ thị hình vẽ Biết S1 , S có diện tích Tích phân ∫ xf ′ ( x ) dx A –2 B –12 C D Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c dương Biết A, B, C di động tia Ox, Oy, Oz cho a + b + c = Biết a, b, c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng ( P ) cố định Khoảng cách từ M ( 2020;1; −2021) tới mặt phẳng ( P ) A B 2020 C D 2019 f ( − x ) f ( x ) = Câu 35 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm [ 0;3] , thỏa mãn với x ∈ [ 0;3] f ( x ) ≠ −1 xf ′ ( x ) dx f ( ) = Tính tích phân I = ∫ 2 + f − x f x ( ) ( ) A I = B I = C I = D I = Câu 36 Để tính diện tích xung quanh khối cầu đá, người ta thả vào thùng hình trụ có chiều cao 2m, bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy 0,5 m chứa lượng nước tích thể tích khối trụ Sau thả khối cầu đá vào khối trụ người ta đo mực nước khối trụ cao gấp ba lần mực nước ban đầu chưa thả khối cầu Hỏi diện tích xung quanh khối cầu gần với kết cho đây? A 2,6 m B l,5 m C 3,4 m D l,7 m Trang ( x1 , x2 , y1 , y2 ∈ ¡ ) Câu 37: Cho hai số phức z1 = x1 + y1 , z2 = x2 + y2 thỏa mãn z1 − i = 1; z1 + − 3i z2 + i = Khi z1 − z2 đạt giá trị nhỏ x1 + x2 + y1 + y2 có giá trị z2 − + i A B C D 2 Câu 38 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị cắt đồ thị ( C ) Gọi d đường thẳng qua điểm A ( 3; 20 ) có hệ số góc m Giá trị m để đường thẳng d cắt ( C ) ba điểm phân biệt 15 < m < 24 B m > 24 15 A m ≥ 15 ≤ m < 24 C m > 24 D m > 15 Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, AC = 3a , BD = 2a ; hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) a Thể tích khối chóp S.ABC 2a 3 A B a3 C a3 D a3 Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + m = mặt cầu ( S) : ( S) x + y + zh − x + y − z − = Có giá trị nguyên m để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn ( T ) có chu vi 4π ? A B C D Câu 41 Cho đường cong ( C ) : y = x − 27 x đường thẳng y = m cắt ( C ) hai điểm phân biệt nằm góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy chia thành miền phẳng (gạch sọc kẻ caro) có diện tích (tham khảo hình vẽ) Mệnh đề đúng? A < m < B < m ⇔ x > x2 − x + x2 − 2x + Câu 5: Đáp án C Ta có z = ( − 3i ) + ( + 2i ) = −4 − 26i Suy x = ( −4 ) + ( −26 ) = 173 Câu 6: Đáp án B Khối nón sinh quay tam giác ABC quanh trục AC có chiều cao h = AC = 3a ; r = a tích V = π a3 Câu 7: Đáp án C du = dx u = x ⇒ Đặt 2x 2x dv = e dx v = e Trang 100 Khi ∫ x.e x dx = 100 100 x 100 1 1 xe − ∫ e x dx = 50e 200 − e x = 50e 200 − e 200 + = ( 199e 200 + 1) 0 2 4 4 Câu 8: Đáp án D Tập xác định D = ¡ Đặt t = cos x , ≤ t ≤ ⇒ y = f ( t ) = f ′( t ) = 2t + 4t ( t + 1) 2t + t + , ≤ t ≤1 t +1 t = ⇒ f ′( t ) = ⇔ t = −2 ∉ [ 0;1] Ta có f ( ) = , f ( 1) = y = , max y = ⇒ M + m = Vậy ¡ ¡ Câu 9: Đáp án D z = ( i + i + i + i + i + 1) 2020 = ( 1+ i) 2020 1010 = ( + i ) = ( 2i ) 1010 = 21010.i1010 = −21010 Câu 10: Đáp án B x = t Phương trình tham số đường phân giác góc A ( d ) : y = − 4t z = − 3t Gọi D điểm đối xứng với M qua ( d ) uuur Khi D ∈ AC ⇒ Đường thẳng AC có vectơ phương ND Ta xác định điểm D uuuu r Gọi K giao điểm MD với ( d ) Ta có K ( t ;6 − 4t ;6 − 3t ) , MK = ( t ;1 − 4t ;3 − 3t ) uu r uuuu r uu r Ta có MK ⊥ ud với ud = ( 1; −4; −3) nên t − ( − 4t ) − ( − 3t ) = ⇔ t = xD = xK − xM xD = 1 9 K ; 4; ÷ trung điểm MD nên yD = y K − yM ⇔ yD = hay D ( 1;3;6 ) 2 2 z = 2z − z z = K M D D uuur r Một vectơ phương AC DN = ( 0; −2; −6 ) hay u = ( 0;1;3) vectơ phương Câu 11: Đáp án A Ta có f ( x ) = x − + 1 x2 −1 ′ x ∈ 0; +∞ ′ ( ) , Khi f ( x ) = − = ; f ( x ) = ⇒ x = x x x Ta có bảng biến thiên hàm số Trang 10 f ( x ) = f ( 1) = −3 Khi ta có (min 0; +∞ ) Câu 12: Đáp án D m log = m 10 = ⇔ n ⇒ 10m = 3n ⇔ n = m ln10 Ta có ln = n e = Vậy ln 30 = ln + ln10 = n + n m Câu 13: Đáp án B Vận tốc v = −20 ∫ ( + 2t ) dt = 10 + C Khi t = vận tốc vật 30m/s, suy v = 10 + 20 + 2t + 2t 10 + 20 ÷dt ≈ 48 Quãng đường s = ∫ + 2t 0 Câu 14: Đáp án C x > x − 2x > x Điều kiện phương trình 2 x − > x > 2 x = 2 Ta có: log ( x − x ) = log ( x − 3) ⇔ x − x = x − ⇔ x − x + = ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện, x = thỏa mãn, loại x = Vậy phương trình có nghiệm Câu 15: Đáp án A uuu r uuur Ta có OA = ( 0; 2; −2 ) , OB = ( 2; 2; −4 ) Phương trình mặt phẳng ( OAB ) x + y + z = I ∈ ( OAB ) ⇒ a + b + c = ( 1) uur uur uur AI = ( a; b − 2; c + ) , BI = ( a − 2; b − 2; c + ) , OI = ( a; b; c ) a + ( c + ) = ( a − ) + ( c + ) AI = BI a − c = ⇔ ⇔ Ta có hệ 2 2 AI = OI −b + c = −2 ( b − ) + ( c + ) = b + c ( 2) Trang 11 a − c = a = a − c = ⇒ b = Từ ( 1) ( ) , suy −b + c = −2 ⇔ −b + c = − c = − a + b + c = 2 Vậy I ( 2;0; −2 ) ⇒ T = a + b + c = Câu 16: Đáp án B r Đường thẳng ∆ qua điểm M ( 2; −1;1) có vectơ phương u = ( 1; 2; ) uuur uuur r uuur r Ta có IM = ( 1; −3; ) ⇒ IM , u = ( −14; 2;5 ) ⇒ IM , u = 15 uuur IM , ur 15 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ d ( I , ∆ ) = r = = u S ∆IAB 2.20 = = d ( I, ∆) Diện tích tam giác IAB 20 nên AB = 2 AB 2 Bán kính mặt cầu ( S ) R = ÷ + d ( I , ∆ ) = + = 41 Phương trình mặt cầu ( S ) cần lập ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 41 2 Câu 17: Đáp án C Từ bảng biến thiên ta có hàm số y = f ( x) có x = f ′( x) = ⇔ , x = x < f ′( x) > ⇔ , x > f ′ ( x ) < ⇔ < x < f ( ) = −1 , f ( ) = −2 Xét hàm số g ( x ) = f ( − x ) − ta có g ′ ( x ) = − f ′ ( − x ) 2 − x = Giải phương trình g ′ ( x ) = ⇔ 2 − x = Ta có g ′ ( x ) > ⇔ − f ′ ( − x ) > ⇔ f ′ ( − x ) < ⇔ < − x < ⇔ < x < 2 − x < x > g′ ( x) < ⇔ − f ′ ( − x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > ⇔ ⇔ 2 − x > x < g ( ) = f ( − ) − = f ( ) − = −4 g ( ) = f ( − ) − = f ( ) − = −3 Bảng biến thiên Trang 12 Từ bảng biến thiên ta có Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) nên I sai Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) nên II sai Hàm số g ( x ) không đạt cực tiểu điểm –2 nên III sai Hàm số g ( x ) đạt cực đại x = cực đại –3 nên IV Câu 18: Đáp án D Gọi h1 , R1 , V1 chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ đầu 2 Ta có: V1 = h1.π R1 = 6.π = 216π Gọi h2 , R2 , V2 chiều cao, bán kính đáy, thể tích tay cầm 2 Ta có V2 = h2 π R2 = ( 30 − 2.6 ) π = 72π Thể tích vật liệu làm nên tạ tay V = 2V1 + V2 = 504π Câu 19: Đáp án A Tập xác định D = ¡ \ { −1} Gọi A ( x; y ) điểm cần tìm Khi A điểm cố định họ đường cong ( Cm ) phương trình x − ( m + 1) x − m + y= x +1 ⇔ ( −2 x − 1) m + x − x + − xy − y = ( 1) có nghiệm với m x = − ≠ −1 −2 x − = ⇔ Để ( 1) có nghiệm với m ⇔ x − x + − xy − y = y = 13 Câu 20: Đáp án A · Ta có hai mặt phẳng ( SAD ) , ( SBC ) vng góc với suy MSN = 90° với M , N hình chiếu vng góc S cạnh AD BC Khi H nằm đoạn MN Lại có d ( N ; ( SAB ) ) a = sin 60° = = d ( N ; SB ) d ( N ; SB ) d ( M ; ( SAB ) ) a = sin 45° = = d ( M ; SA ) d ( M ; SA ) Trang 13 1 = = + 2 4a SN NB 2a d ( N ; SB ) Do d ( N ; SB ) = , d ( M ; SA ) = a Bên cạnh ta lại 1 1 = = + 2 d ( M ; SA ) 2a SM MA2 Do NB = MA = HK suy Vậy 1 1 = + + = + + = 2+ ⇒ HK = 2a 2 2 2 ÷ 4a SM SN HK HK HK a HK SH 1 2a = − ⇔ SM = 2a ⇒ SH = = − ⇔ SN = a ; ; MN = a 2 SM 2a 4a SN 4a 4a Thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD ( ) 2a 1 4a 3 = S ABCD SH = a = 3 3 Câu 21: Đáp án B Ta có sin α = d ( B, ( SCD ) ) d ( A, ( SCD ) ) = = SB SB Lại có d ( A, ( SCD ) ) = ax x +a 2 , SB = x + a Suy ax = ⇔ x=a a +x 2 Câu 22: Đáp án C Đặt x = t ( t > ) Phương trình cho trở thành t − 12t + m = ( 1) Để phương trình cho có hai nghiệm thực x1 , x2 trái dấu, tức x1 < < x2 phương trình ( 1) có hai nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn t1 < < t2 ( *) Ta có: ∆′ = 36 − m > ⇒ m < 36 t1 + t2 = 12 Theo định lí Vi-ét t1.t2 > Từ t1 < < t ⇒ ( t1 − 1) ( t2 − 1) < ⇒ t1.t2 − ( t1 + t2 ) + < ⇒ m − 11 < Vậy < m < 11 Câu 23: Đáp án B Giả sử M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) Suy y ′ ( x0 ) = x0 − x0 − 12 hệ số góc tiếp tuyến Hệ số góc đường thẳng d k = −12 x0 = ⇒ y0 = Tiếp tuyến song song với đường thẳng d suy y ′ ( x0 ) = k ⇔ x0 − x0 − 12 = −12 ⇔ x0 = ⇒ y0 = −12 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) M ( 0;1) y = −12 x + Trang 14 a = −12 ⇒ 2a + b = −23 Suy b = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) M ( 1; −12 ) y = −12 x (loại trùng với đường thẳng d: 12 x + y = ) Câu 24: Đáp án C ln x u = ln x du = dx ⇒ x Đặt dv = dx v = x m m m 2 Khi I = x.ln x − ∫ ln xdx = m.ln m − 2∫ ln xdx = m.ln m − J 1 m m u = ln x du = dx ⇒ ⇒ J = x ln x − dx = m.ln m − ( m − 1) x Đặt ∫1 dv = dx v = x Suy I = m.ln m − 2m.ln m + ( m − 1) = m.ln m ( ln m − ) + ( m − 1) m 1000 Theo ta có ∫ ln xdx = m.ln m ( ln m − ) + ⇒ m.ln m ( ln m − ) + ( m − 1) = m.ln m ( ln m − ) + 21000 ⇔ ( m − 1) = 21000 ⇔ m − = 2999 ⇔ m = 2999 + Câu 25: Đáp án A Ta nhận thấy đạo hàm hàm số y = f ( x ) không xác định x0 = ; tồn đạo hàm trái đạo hàm phải điểm x0 = ; tức lim+ x →1 f ( x ) − f ( 1) f ( x ) − f ( 1) = f ′ ( 1+ ) lim− = f ′ ( 1− ) x → x −1 x −1 Các giá trị đạo hàm hệ số góc hai tiếp tuyến Dễ dàng suy tam giác mà hai tiếp tuyến tạo với Ox có góc 60° góc 75° f ′ ( 1− ) + f ′ ( 1+ ) = tan 60° − tan 75° = −2 Suy f ′ ( 1− ) + f ′ ( 1+ ) = tan 75° − tan 60° = A = lim+ x →1 f ( x) − f ( − x) f ( x ) − f ( 1) + f ( 1) − f ( − x ) f ( x ) − f ( 1) f ( 1) − f ( − x ) = lim+ = lim+ + lim+ x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x −1 ⇒ A = lim+ x →1 f ( x ) − f ( 1) f ( − x ) − f ( 1) f ( x ) − f ( 1) f ( − x ) − f ( 1) + lim+ = lim+ + lim+ x →1 x →1 x →1 x −1 1− x x −1 ( − x ) −1 Đặt t = − x ; nhận thấy x → 1+ t → t − Trang 15 Suy A = f ′ ( 1+ ) + lim− x →1 f ( t ) − f ( 1) = f ′ ( 1+ ) + f ′ ( 1− ) = (do A > ) t −1 Câu 26: Đáp án A Ta có: m = − log log = − log log 2 2021 = − log 2021 ÷ = 2021 2 2021 2021 Khi xét phương trình f ( x ) = x + x − 2021 = 2020 Ta có f ′ ( x ) = 2021x + > hàm số f ( x ) đồng biến ¡ nên phương trình x m + x = m m có nghiệm Câu 27: Đáp án A Sau 10 tháng số tiền ơng A có S1 = A1 ( + r1 ) = 500 ( + 0, 004 ) n 10 (triệu đồng) Sau gửi thêm 300 triệu số tiền ông A A2 = 500 ( + 0, 004 ) + 300 (triệu đồng) 10 14 tháng sau số tiền ông A S = A2 ( + r2 ) = A2 = 500 ( + 0, 004 ) + 300 ( + 0, 005 ) = 879, 6935105 (triệu đồng) n 10 14 Vậy sau năm số tiền ông A 879693510 (đồng) Câu 28: Đáp án C Gọi số phức z = x + yi ⇒ z = x − yi ( x, y ∈ ¡ ) x − yi − + 3i = ⇔ x − + ( − y ) i = ⇔ x − x + 16 + − y + y = ⇔ x + y − x − y + 21 = ( 1) ( 1) phương trình đường trịn có tâm I ( 4;3) , R = Câu 29: Đáp án A Từ giả thiết ta có AC = SC − SA2 = a = AB ⇒ ABC tam giác cân A Gọi E, F trung điểm SB, BC ⇒ AF ⊥ BC ⇒ AF ⊥ ( SBC ) SB ⊥ AE , SB ⊥ AF ⇒ SB ⊥ ( AEF ) ⇒ SB ⊥ EF ⇒ SF = FB = FC ⇒ ∆SBC vng S Ta có AF trục đường trịn ngoại tiếp tam giác SBC nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vì kính mặt Suy tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC VS ABC = 4π a BC = SC + SB = a nên bán cầu R = OA = OB = a Câu 30: Đáp án A Trang 16 · Ta đặt ·AKI = α , EKI =β d ( A, ∆ ) = AE = AK sin ( β − α ) Khi max d ( A, ∆ ) = AD = AK sin ( β + α ) Ta có I ( 2;1;0 ) J ( 0;1;0 ) nên K ( −4;1;0 ) sin α = Ta tính cos α = 26 ; 26 sin β = AK = 26 cos β = Do d ( A, ∆ ) = AE = AK sin ( β − α ) = 5− 5+ ; max d ( A, ∆ ) = AD = AK sin ( β + α ) = 2 Vậy M + m = Câu 31: Đáp án A Điều kiện n ∈ ¥ , n ≥ Ta có 5Cn − Cn = ⇒ 5n − n ( n − 1) n = = ⇔ n − 11n + 10 = ⇔ n = 10 Do n ≥ ⇒ n = 10 10 k 10 10 10 − k 10 − k 10 −3 k Xét khai triển x + ÷ = ∑ C10k ( x ) ÷ = ∑ C10k ( x ) x x x k =0 k =0 Hệ số a x khai triển tương ứng với 10 − 3k = ⇔ k = Vậy hệ số cần tìm a = C10 = 11520 Câu 32: Đáp án C Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x2 + 2x + − x2 + 2x + ) ( x + 1) x + 2x + − ÷ x + 2x + Ta có: x + 2x + − x + 2x + 2 < 0; x2 + x + − x2 + x + = x + 2x + + x + 2x + 2 ≤ 1+ Do phương trình g ′ ( x ) = có trường hợp x = −1 Lập trục xét dấu ta suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Câu 33: Đáp án A 2 2 Ta có: ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xdf ( x ) = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − f ( ) − ( S1 − S ) = −2 0 0 Câu 34: Đáp án A Trang 17 a b c a +b+c a b c = =1 Tâm mặt cầu điểm I ; ; ÷ Ta có x1 + y1 + z1 = + + = 2 2 2 2 Tâm I mặt cầu thuộc mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 2020 + − 2021 − Khi d M , ( P ) = = Câu 35: Đáp án A f ( − x) f ( x) = ⇒ f ( 3) = Từ giả thiết f x = ( ) Ta có: 1 + f ( − x ) f ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) f ( x ) = f ( x ) + 1 2 xf ′ ( x ) 3 x dx = − ∫ xd =− +∫ dx = −1 + J ÷ + Tính I = ∫ ÷ 1+ f ( x) 1+ f ( x) 0 1+ f ( x) + f x ( ) 3 3 t =3− x 1 1 dx = − ∫ dt = ∫ dt = ∫ dx + f x + f − t + f − t + f − x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + Tính J = ∫ 3 3 xf ′ ( x ) 1 + f ( − x ) f ( x ) 1 dx + ∫ dx = ∫ dx ( f ( − x ) f ( x ) = 1) = ⇒ J = 1+ f ( x) 1+ f ( − x) 0 ⇒ 2J = ∫ Vậy I = ∫ dx = Câu 36: Đáp án A π Thể tích lượng nước có thùng Vn = π 0,5 = 16 Do thả khối cầu vào mực nước dâng lên cao gấp ba lần mực nước ban đầu chưa thả khối cầu nên Vc = 3Vn − Vn = 2Vn = π ⇒R= 32 2 Vậy S xq = 4π R = 2,59m Câu 37: Đáp án B Điều kiện z1 ≠ −2 + 3i ; z2 ≠ − i Ta có z1 − i = ⇔ z1 − i = z1 + − 3i ⇔ x1 + ( y1 − 1) i = ( x1 + ) + ( y1 − 3) i z1 + − 3i ⇔ x12 + ( y1 − 1) = ( x1 + ) + ( y1 − 3) ⇔ x1 − y1 + = Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường thẳng ∆ : x − y + = Trang 18 Ta có z2 + i = ⇔ z2 + i = z2 − + i ⇔ x2 + ( y2 + 1) i = ( x2 − 1) + ( y2 + 1) i z2 − + i ⇔ x22 + ( y2 + 1) = ( x2 − 1) 2 + ( y2 + 1) ⇔ x22 − x2 + y2 + = Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 đường tròn ( C ) : x + y − x + y + = có tâm I ( 2; −1) bán kính R = 22 + ( −1) − = Khoảng d ( I;∆) = cách từ − ( −1) + 12 + ( −1) I đến ∆ = > R ⇒ Đường thẳng ∆ đường trịn C khơng có điểm chung Ta có: z1 − z2 = MN , suy z1 − z2 nhỏ MN nhỏ Dễ thấy MN = − = 2 M ( −1; ) , N ( 1;0 ) Vậy z1 − z2 nhỏ 2 z1 = −1 + 2i ; z2 = Khi x1 + x2 + y1 + y2 = −1 + + = Câu 38: Đáp án B Đường thẳng d qua điểm A ( 3; 20 ) có hệ số góc m có phương trình y = m ( x − 3) + 20 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x − x + = m ( x − 3) + 20 ⇔ ( x − 3) ( − x − x − ) + m ( x − 3) = x = ⇔ ( x − 3) ( − x − x − + m ) = ⇔ g ( x ) = x + 3x + − m = Yêu cầu toán tương đương g ( x ) có hai nghiệm phân biệt khác 15 ∆ = −15 + 4m > m > ⇔ ⇔ g ( 3) = 24 − m ≠ m ≠ 24 Câu 39: Đáp án C Ta có diện tích hình thoi ABCD S ABCD = 3a ⇒ S ABC = 3a Theo giả thiết SO ⊥ ( SBCD ) Kẻ OK ⊥ AB , OH ⊥ SK ⇒ AB ⊥ ( SOH ) ⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SAB ) Trang 19 Ta có: d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) ) = ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH = Khi đó: a a 1 1 = + = 2⇒ = − = 2 2 2 OK OA OB 3a OS OH OK a 1 a a3 Vậy VS ABC = S ABC SO = 3a = 3 Câu 40: Đáp án C ( S) có tâm I ( 1; −2;3) bán kính R = Gọi H hình chiếu I lên ( P ) Khi IH = d ( I , ( P ) ) = 2.1 − − 2.3 + m 22 + 12 + ( −2 ) = m−6 4π Đường tròn ( T ) có chu vi 4π nên có bán kính r = =2 2π ( P) ⇔ cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn ( T ) có chu vi 4π ⇔ IH = R − r m−6 m − = m = 12 = 16 − 12 ⇔ m − = ⇔ ⇔ m − = −6 m = Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 41: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm x − 27 x = m Giả sử đường thẳng y = m cắt đường cong ( C ) góc phần tư thứ hệ trục, tọa độ 8a − 27 a = m điểm có hồnh độ < a < b , ta có 8b − 27b = m ( 1) gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − 27 x − m Ta có F ( x ) = x − 27 x − mx + C quan sát hình vẽ có diện tích hình phẳng kẻ caro gạch sọc a a 0 S1 = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx = F ( ) − F ( a ) b b a a S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) Trang 20 Vì S1 = S ⇔ F ( ) − F ( a ) = F ( b ) − F ( a ) ⇔ F ( b ) = F ( ) ⇔ 4b − Rút m = 8b − 27b3 từ ( 1) thay vào ( ) , ta có 4b − 27b − mb = ( 2) 27b 4 − ( 8b − 27b3 ) b = ⇔ 81b − 16b = ⇔ b = (vì b > ) Thay ngược lại ( 1) , ta m = 32 ≈ 1,185 27 Câu 42: Đáp án B Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) Xét tam giác SAH vng H có SH = SA2 − AH = 4a − a a 15 = 2 Diện tích đáy S ABCD = a a 15 Thể tích khối chóp VS ABCD = S ABCD SH = Câu 43: Đáp án A Do ∆ABC vuông cân B nên AC = 2a ⇒ AB = a Đồng thời d ( I ; ( ABC ) ) = IB d ( S ; ( ABC ) ) (do = ) BS Suy VI ABC = VS ABC Mặt khác S ∆AJC = S∆ABC (do J trung điểm BC) Ta có 1 1 1 a3 VAIJC = VIAJC = VIABC = VS ABC = SA.S ∆ABC = a AB = 2 3 9 Câu 44: Đáp án C Số cực trị hàm số y = f ( x ) số cực trị hàm số y = f ( x ) cộng với số giao điểm (khác cực trị) hàm số y = f ( x ) với trục hoành Xét hàm số y = f ( x ) = x − x + 22 x − 24 x + ta có x = f ′ ( x ) = x − 24 x + 44 x − 24 ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = x = 3 Ta có bảng biến thiên Trang 21 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có cực trị phương trình f ( x ) = có bốn nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Câu 45: Đáp án B Ta có: 26 y + ( y − x ) − x = xy ( x + y ) ⇔ ( y ) + ( y ) = ( x + y ) + ( x + y ) 3 ( 1) Dễ thấy h ( t ) = t + 3t đồng biến ¡ nên ( 1) ⇔ y = x + y ⇔ y = x ⇒ P = x + 1− x P′ = x ln − x 1− x 1− x 2 , −1 ≤ x ≤ ln Nếu −1 < x ≤ P′ > Xét < x < : Ta có: P′ = ⇔ Xét g ( t ) = 2x 1− x = ⇔ g ( x) = g x − x2 ( − x2 ) ( *) 2t ln 2t , t ∈ ( 0;1) có g ′ ( t ) = t − ÷ < , ∀t ∈ ( 0;1) hay y = g ( t ) nghịch biến ( 0;1) t ln t Khi ( *) ⇔ x = − x ⇒ x = Suy max P = max P ( −1) ; P ( 1) ; P ÷ = 2.2 Vậy a = b = c = ⇒ a + b − c = Câu 46: Đáp án C Số điểm cực trị hàm số y = x − x + ( − m ) x + 2m − số điểm cực trị hàm số y = x − x + ( − m ) x + 2m − cộng với số nghiệm phương trình x − x + ( − m ) x + 2m − = Xét hàm số y = g ( x ) = x − x + ( − m ) x + 2m − Ta có g ′ ( x ) = x − 12 x + − m Yêu cầu toán tương đương phương trình x − 12 x + − m = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho y ( x1 ) y ( x2 ) < ( *) Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu 2m 2 y = −2 + ÷x + m + = − m + ÷( x − ) 3 Trang 22 ∆′ = + 3m > ⇒ m > −3 Ta có ( *) ⇒ 2m + ÷ ( x1 − ) ( x2 − ) < Vậy giá trị m thỏa mãn { −2; −1;0;1; ; 2019} Câu 47: Đáp án A Cách 1: Không gian mẫu n ( Ω ) = C15 Tính biến cố bù sau: Xét số cách chọn đỉnh khơng tạo thành tứ diện Có trường hợp + Trường hợp 1: Chọn điểm thẳng hàng, có 25 cách Chọn điểm cịn lại, có 12 cách Vậy có 25.12 = 300 cách + Trường hợp 2: Chọn điểm thuộc mặt mà khơng có điểm thẳng hàng - Có 10 mặt chứa điểm: Mỗi mặt 11 cách chọn Suy có 110 cách - Có 15 mặt chứa điểm, mặt cách chọn Suy có 15 cách Tổng 300 + 110 + 15 = 425 cách Vậy xác suất để điểm chọn bốn đỉnh tứ diện − 425 188 = C154 273 Cách 2: Mặt phẳng chứa đỉnh tứ diện đường trung bình mặt đối diện, suy có điểm thuộc mặt (đỉnh, trung điểm, cạnh trọng tâm) có 12 mặt loại Vậy có 12C5 (bộ) Vậy xác suất để điểm chọn bốn đỉnh tứ diện − 6.C74 + 4C74 + 3C54 + 12C54 188 = C154 273 Câu 48: Đáp án B Đặt z = a + bi ⇒ z − − i = ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = ⇔ a + b = 2a + 2b − 2 Khi z + z − − 4i = a + b + = 2a + 2b − + ( a − 4) + ( b − ) = 2a + 2b − + 2 ( 2a + 2b − 1) − 8a − 8b + 32 = = 6a + 6b − + −6a − 6b + 31 ≤ ( (a + b ) − 8a − 8b + 32 2a + 2b − + −6a − 6b + 31 ) + 2 ( 6a + 6b − − 6a − 6b + 31) = 14 a + b = 2a + 2b − a + b = ⇒ z = a + b2 = Dấu “=” xảy 6a + 6b − −6a − 6b + 31 ⇔ = a + b2 = Câu 49: Đáp án C Từ công thức xác định dãy ( un ) suy un > , ∀n ∈ ¥ * Ta có: un + = 2un un +1 1 1 ⇔ = + ữ, n Ơ * un + un +1 un + 2 un +1 un Trang 23 Đặt = 1 , ta v1 = ; v2 = + = ( +1 + ) un 2 1 ⇔ + + +1 = vn+1 + , ∀n ∈ ¥ * 2 1 ⇒ +1 + = v2 + v1 = , ∀n ∈ ¥ * 2 ⇒ +1 = − + , ∀n ∈ ¥ * ⇒ +1 − 1 2 = − − ÷, ∀n ∈ ¥ * 2 3 Đặt wn = − ⇒ ( wn ) w1 = cấp số nhân với q = − n −1 1 ⇒ wn = − ÷ 2 n −1 1 1 ⇒ = − ÷ + 3 2 ⇒ un = Vậy n −1 1 1 − ÷ + 3 2 lim un = lim n −1 1 1 − ÷ + 3 2 = Câu 50: Đáp án A Gọi I ( x0 ; y0 ; z0 ) tâm mặt cầu Theo giả thiết, ta có R= = ( 2sin a − cos a ) x0 + ( 2sin a + cos a ) y0 + ( 2sin a − cos a ) cos az0 + sin a + 3cos a − + ( 2sin a + cos a ) + ( 2sin a − cos a ) x0 + ( 2sin a + cos a ) y0 + ( cos a ) cos az0 + sin a + 3cos a − 2 Ta tìm x0 , y0 , z0 cho ( 2sin a − cos a ) x0 + ( 2sin a + cos a ) y0 + cos az0 + sin a + 3cos a = , ∀a ( ) ⇔ ( x0 + y0 + 1) sin a + − x0 + y0 + z0 + cos a = , x0 + y0 + = 2 ∀a ⇔ ⇒R= = 2 − x0 + y0 + z0 + = Trang 24 Trang 25 ... Câu 26: Đáp án A Ta có: m = − log log = − log log 2 2 021 = − log 2 021 ÷ = 2 021 2 2 021 2 021 Khi xét phương trình f ( x ) = x + x − 2 021 = 2020 Ta có f ′ ( x ) = 2021x + > hàm số f (... ) 2 021 2 021 ) −7 2 021 ( + 3) Câu 3: Đáp án C 3 x = x = x x − 3.3 + = ⇔ ⇔ Ta có: x x = log 3 = Do < log ⇒ x1 = , x2 = log ⇒ A = x1 + x2 = 2.0 + 3.log = 3log Câu 4: Đáp án D ′ Ta có: ... x + ta có x = f ′ ( x ) = x − 24 x + 44 x − 24 ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = x = 3 Ta có bảng biến thi? ?n Trang 21 Dựa vào bảng biến thi? ?n ta thấy hàm số có cực trị phương trình f ( x ) = có bốn