(Sáng kiến kinh nghiệm) TIẾP cận và CHINH PHỤC TOÁN tổ hợp NHẰM bồi DƯỠNG HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH CHỦ ĐỘNG TÍCH cực của các EM TRONG học tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH ***************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT VÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU - TRUNG BÌNH TIẾP CẬN VÀ CHINH PHỤC TOÁN TỔ HỢP NHẰM BỒI DƯỠNG HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH CHỦ ĐỘNG TÍCH CỰC CỦA CÁC EM TRONG HỌC TẬP Người thực hiện: Hoàng Thị Trang Nhung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH I –HỐ MỞ NĂM ĐẦU 2018 MỤC LỤC MỤC LỤC Trang I – MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………… …………………………2 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………….…………………………2 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2 II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……… …………………… .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….….3 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề……………………… …….3 2.3.1 Dạy học quy tắc cộng, quy tắc nhân sơ đồ…… …………… a) Quy tắc cộng…………………………….…………………… b) Quy tắc nhân………………………… …………… …………4 c) BT áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân cho toán đếm………5 d) Bài tập kết hợp hai quy tắc đếm…………………………………8 2.3.2.Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp….9 a) Hoán vị………………… ………………………………………9 b) Chỉnh hợp…………….………………………………… ….….9 c) Tổ hợp……………………………………………………… 10 2.3.3 Các tập giúp HS phân biệt Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp…….12 2.3.4 Cách khắc phục sai lầm thường gặp học sinh…………… ….16 2.3.5 Bài tập trắc nghiệm củng cố……………………………………….17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………… .19 III – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận…………………………………………………………………….20 3.2 Kiến nghị……………………………………………………………… …20 Tài liệu tham khảo I – MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Lý thuyết Đại số tổ hợp hình thành từ sớm lịch sử phát triển Toán học, tảng lý thuyết xác suất, công cụ giải nhiều tốn thực tế Nó góp phần bồi dưỡng tư logic cho học sinh Những kiến thức giúp ích nhiều cho học sinh em tiếp tục học lên đại học ngành tốn học, kế tốn, tài chính, xây dựng…Vì vậy, dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp trường phổ thơng có ý nghĩa lớn Thực tế cho thấy kiến thức toán học Tổ hợp đưa vào trường phổ thông kiến thức bản, so sánh với loại kiến thức khác lượng giác, đạo hàm, tích phân …thì học Tốn tổ hợp ln việc khó học sinh Học sinh thường phân vân sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn việc dùng cơng thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp… Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa khái niệm thao tác tư nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm đối tượng khác, thường cách vạch nội hàm khái niệm đó” [5] Trong trình học chủ đề Đại số Tổ hợp, nhiều học sinh chưa hiểu chất khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn ký hiệu đối tượng đối tượng định nghĩa Không học sinh yếu việc nắm vững cú pháp ngơn ngữ tốn học, học sinh hay nhầm kí hiệu với khái niệm định nghĩa Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu đòi hỏi người giáo viên phải đề biện pháp hợp lý cách chọn nội dung phương pháp: Dạy gì? Dạy để học sinh tiếp thu giảng cách có hiệu quả? Làm để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức làm tập? Công tác trường miền núi, trình giảng dạy, nhiều năm tơi dạy chương trình lớp 11 đơn vị lớp đa phần học sinh yếu, trung bình nhận thấy em gặp khó khăn việc giải tập chương tổ hợp, xác suất Dẫn đến chán nản học tập, tiếp thu thụ động, chưa tích cực, kết học tập thấp Nhận thức điều trên, viết đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực em học tập” với mong muốn đưa phương pháp tiếp cận giúp em hiểu chất có hứng thú học với chương Tổ hợp xác suất, từ giúp em tích cực học tập, thấy ý nghĩa thực tế toán học sống, u thích mơn học hơn, chủ động học tập đạt kết cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối 11 trường THPT, với kinh nghiệm giảng dạy Tôi hệ thống lại kiến thức bản, kĩ giải tốn Tổ hợp thơng qua sơ đồ “Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp Tổ hợp” Qua nội dung đề tài mong muốn giúp cho học sinh yếu, trung bình, trung bình - hiểu chất khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Thành thạo phương pháp sơ đồ vận dụng suy luận làm tập Từ khơi dậy hứng thú học tập, giúp em yêu thích mơn học hơn, có động lực để học tập đạt kết tốt Và quan trọng hết nhằm rèn luyện cho em kĩ giáo dục cho em tự tin, chủ động, sẵn sàng ứng dụng tốn học cách có hiệu lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng bảo vệ Tổ quốc – Nghị TW4 (khoá VII) nhấn mạnh mục tiêu giáo dục: “Đào tạo người lao động tự chủ, động sáng tạo, có lực giải vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo việc làm, lập nghiệp thăng tiến sống, qua góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” [8] 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh yếu, trung bình, trung bình - lớp 11 - Nội dung phần tổ hợp chương II - Đại số & giải tích 11 [1] + Quy tắc đếm + Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng số phương pháp sau: + Nghiên cứu phân tích tài liệu giáo khoa tài liệu tham khảo có liên quan + Điều tra, quan sát Thực nghiệm sư phạm + Tổng kết rút kinh nghiệm + Xây dựng hệ thống tập có phân biệt mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy Thầy hoạt động học Trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thơng nói chung, đặc biệt kiến thức mơn Tốn học việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư lơgic suy nghĩ linh hoạt Vì trình dạy học, giáo viên cần giúp cho học sinh cách học biết sử dụng kiến thức học vào tốn cụ thể Mục đích làm cho học sinh đứng trước tốn biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển toán toán đơn giản toán quen thuộc biết cách giải 2.1.2 Dạy học Toán trường THPT làm cho học sinh học tập cách tích cực, biết phát giải vấn đề, phát triển tư linh hoạt Điều 24.2 Luật giáo dục (1998) viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” [ 5] Trên quan điểm chung phương pháp dạy học vậy, người giáo viên phải đề phương pháp hợp lý, phù hợp với đối tượng học sinh Dạy để học sinh tiếp thu giảng cách có hiệu quả, khơng bị nhầm lẫn kiến thức làm tập 2.1.3 Tổ hợp tảng lý thuyết xác suất Ban đầu tiếp cận với tập hợp học sinh thường liệt kê phần tử tập hợp Tuy nhiên lúc liệt kê Quy tắc đếm đời nhằm giúp học sinh xác định số lượng phần tử tập hợp nhanh chóng xác, làm sở cho “lí thuyết xác suất” phát triển số ngành khoa học khác cần dùng 2.2- Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Nội dung chương tổ hợp xác suất xem trừu tượng, khó nắm bắt, khó phân biệt khái niệm - Học riêng lẻ khái niệm học sinh nắm bắt kết hợp học sinh lại lúng túng phải phân biệt, kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân hoán vị - chỉnh hợp, chỉnh hợp - tổ hợp - Trong q trình vận dụng khái niệm, việc khơng nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm dẫn tới học sinh hiểu khơng trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Nhiều khái niệm mở rộng thu hẹp khái niệm trước, việc không nắm vững hiểu không khái niệm có liên quan làm học sinh khơng hiểu, khơng nắm khái niệm - Sai lầm khái niệm toán học, khái niệm dẫn đến việc tất yếu học sinh giải toán sai Điều địi hỏi người giáo viên phải dạy để học sinh phân biệt rõ chất khái niệm kĩ tư duy, phân tích tốn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong khuôn khổ đề tài xin nêu số vấn đề: - Sử dụng sơ đồ quy tắc dạy học sinh quy tắc cộng, nhân - Trình bày khái niệm cách phân biệt hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - Các tập giúp học sinh nhận biết, thông hiểu vận dụng kiến thức làm tập - Một số sai lầm học sinh thường mắc phải hướng khắc phục 2.3.1 Dạy học quy tắc cộng quy tắc nhân sơ đồ Mục đích: Nhằm giúp học sinh dễ dàng phân biệt công việc thực nhiều phương án công việc thực nhiều công đoạn a) Quy tắc cộng Định nghĩa: Một công việc thực theo hai phương án A1; A2 Phương án A1 làm n1 cách Phương án A2 làm n2 cách (không trùng cách thực phương án 1) Þ Khi đó, cơng việc thực n1 + n2 cách [1] Sơ đồ: Phương án A1 Có n1 cách Phương án A2 Có n2 cách Có ( n1 + n2 ) cách thực cơng việc Cơng việc Ví dụ : Đi từ Hà Nội vào Thanh Hóa tơ tàu hỏa Mỗi ngày có 15 chuyến tơ; chuyến tàu hỏa Vậy có cách chọn từ Hà Nội – Thanh Hóa HD Giải: Phân tích theo sơ đồ Phương án HN®TH Phương án Đi tơ Có 15 lựa chọn Đi tàu hỏa Có lựa chọn Có 19 cách chọn Hà Nội – Thanh Hóa Sơ đồ Quy tắc cộng (dạng tổng quát) Công việc Phương án A1 Có n1 cách Phương án A2 Có n2 cách … Phương án Am (n1+n2+ +nm) cách thực cơng việc Có nm cách b) Quy tắc nhân Định nghĩa: Một công việc thực gồm công đoạn Cơng đoạn thứ có n1 cách thực Cơng đoạn thứ hai có n2 cách thực Þ có n1n2 cách hồn thành cơng việc [1] Sơ đồ: Công việc Công đoạn Công đoạn 2 n2 cách n1 cách n1n2 cách Ví dụ: Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số 1;2;3; ;9? HD giải: Gọi số cần tìm có dạng ab Ta có sơ đồ sau: Chọn a Chọn b Có cách chọn Có cách chọn ab 9.8 = 72 số Sơ đồ Quy tắc nhân (dạng tổng quát) Công việc Công đoạn Công đoạn 2 n1 cách n2 cách … Công đoạn m … nm cách n1n2 …nm cách Chú ý: - Một cơng việc có nhiều phương án thực nghĩa ta thực theo phương án khơng cần thực theo phương án Þ Sử dụng quy tắc cộng - Một công việc thực nhiều công đoạn tức muốn hồn thành cơng việc phải thực công đoạn, không bỏ qua bước xong cơng việc.Þ Sử dụng quy tắc nhân - Trong nhiều trường hợp cần kết hợp quy tắc để giải toán đếm c) Bài tập sử dụng quy tắc cộng quy tắc nhân cho toán đếm Bài tập 1: [2] Từ chữ số 1;2;3;4;5; tạo nên số tự nhiên a) Có chữ số? b) Có chữ số khác nhau? c) Số chẵn có chữ số khác nhau? HD giải: a) Phân tích sơ đồ: Chọn b Chọn c Chọn a abc Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn 6.6.6 = 216 số b) Phân tích sơ đồ: Chọn a abc a≠b b≠c c≠a Có cách chọn Chọn b Chọn c Có cách chọn Có cách chọn 6.5.4 = 120 số c) Phân tích sơ đồ: abc * Số chẵn cỴ{2,4,6} ưu tiên Chọn c Chọn a Chọn b Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn * a≠b b≠c c≠a 3.5.4 = 60 số Bài tập 2: Từ số A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} tạo nên số tự nhiên a) Có chữ số khác b) Có chữ số chẵn khác c) Có chữ số chẵn khác chia hết cho [2] HD giải: Số cần lập có dạng abc a) Phân tích sơ đồ: Chọn b Chọn c Chọn a abc a≠0, A Có cách chọn cỴA\{a,b} bỴA\{a} Có cách chọn Có cách chọn 6.6.5 = 180 số b) Phân tích: Số có ch s l s chn ị cẻ{2,4,6,0} ị u tiên chọn c ® chọn a ® chọn b Phân tích sơ đồ: abc Chọn cỴ{2,4,6} Chọn a (a≠c, a≠0) Chọn b b≠a b≠c Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn 3.5.5 = 75 số c=0 Chọn a Chọn b cách cách cách chọn chọn chọn 75+30 =105 (số) 1.6.5=30 (số) c) Phân tích sơ đồ: b b≠0 c=0 a ≠0 Có cách chọn Có cách chọn b≠a Phươn g án abc Có cách chọn 30+25 =55 (số) 6.5 = 30 số Phươn g án c=5 a≠0 a≠5 b b≠a c có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn b≠c 25 số Bài tập 3: Lớp 11A3 có 32 học sinh gồm 18 học sinh nam, 14 học sinh Hỏi có cách chọn được: a) bạn học sinh lớp đó? b) đội song ca nam nữ lớp đó? [3] HD giải: a) Phân tích sơ đồ: HS nam 18 cách chọn Chọn HS 32 cách chọn HS nữ 14 cách chọn b) Phân tích sơ đồ: Chọn đội song ca Chọn HS nam Chọn HS nữ Có 18 cách Có 14 cách 18´14 = 252 (cách Bài tập 4: Có số tự nhiên có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nhau? HD giải: A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Số cần lập: có dạng abcde Phân tích sơ đồ: abcde Chọn b bỴA Chọn a a≠0 Có cách chọn Có 10 cách chọn Chọn c cỴA Có 10 cách chọn Chọn d Chọn e d=b e=a Có cách chọn Có cách chọn 9.10.10.1.1 = 900 số d) Bài tập kết hợp hai quy tắc Bài tập 1: Từ A={1;2;3;4;5;6;7} lập số tự nhiên bé 100? [3] HD giải: Số tự nhiên có chữ số Có số Số tự nhiên nhỏ 100 Số tự nhiên có chữ số ab Chọn a Chọn b A Có cách chọn bỴA + 49 = 56 số Có cách chọn 7.7 = 49 số Bài tập 2:Từ A={0;1;2;3;4;5;6;7} lập số tự nhiên bé 100? Số tự nhiên nhỏ 100 Số tự nhiên có chữ số Số tự nhiên có chữ số Có số ab Chọn a Chọn b bỴA A\{0} Có cách chọn 8+56 = 64 số Có cách chọn 7.8 = 56 số ● Các toán toán mở đầu tương đối đơn giản nên việc sử dụng sơ đồ tưởng chừng cồng kềnh Nhưng đối tượng học sinh yếu kém, trung bình việc dạy học theo sơ đồ giúp em tiếp cận tốt kiến thức quy tắc đếm, có nhìn tổng qt cho tốn, dễ dàng phân biệt quy tắc cộng quy tắc nhân để giải toán Hơn tạo cho em thói quen tư để vận dụng linh hoạt cho toán phức tạp sau 2.3.2 Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp a) Hoán vị * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ) Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử * Số hoán vị: Số hoán vị n phần tử là: Pn  n! n(n  1)(n  2) 3.2.1 Quy ước: 0! [1] Ví dụ 1: Cho số 1, 2, Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số trên? HD giải * Hiểu theo sơ đồ quy tắc nhân abc Chọn a Chọn b Chọn c Có cách chọn Có cách chọn A Có cách chọn 3.2.1 = 3! = số * Hiểu theo hoán vị phần tử Mỗi cách xếp thứ tự số vào vị trí khác cho ta hốn vị phần tử Þ Số số tạo thành 3! = (số) Ví dụ 2: Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ thành hàng cho nam nữ xếp xen kẽ? [2] HD giải: Phân tích theo sơ đồ: HS nam HS nữ Sắp xếp HS nam Sắp xếp HS nữ Đổi chỗ nam nữ P4=4! cách xếp P3=3! cách xếp P2=2! cách xếp 4! 3! 2! cách xếp b) Chỉnh hợp * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ), với số nguyên k với (  k  n ) Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A * Số chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k n Kí hiệu Ank Ank  n( n  1) (n  k  1)  n! [1] ( n  k )! Ví dụ 1: Có cách xếp người vào vị trí khác nhau? HD giải a1 a1a2a3 Có cách chọn người vào vị trí a1 a2 a3 Có cách chọn người vào vị trí a2 Có cách chọn người vào vị trí a3 5.4.3  A53 * Phân biệt Ank Pn + Giống : Đều có tính thứ tự + Khác nhau: - Hốn vị :có phần tử xếp thứ tự nhiêu phần tử - Chỉnh hợp:Sắp xếp thứ tự phần tử tập tập A Þ Khi k = n A kn =Pn.(hốn vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp) Ví dụ 2: Cho A ={0; 1; 2; 3; 4; 5} a) Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ A? b) Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ A? [2] HD giải a) Phân tích theo sơ đồ: SXTT số vào vị trí Chọn a1 a1a2a3a4a5a6 a1 ≠0 a2,a3,a4,a5 P5 = 5! Có cách chọn 5.5! = 600 (số) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn số vào vị trí Chọn a1 a1a2a3 a2,a3 a1≠0 a1 có cách chọn cách chọn = 100 (số) c) Tổ hợp * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ), với số nguyên k (  k  n ) Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A * Số tổ hợp: Số tổ hợp chập k n kí hiệu C nk Công thức: C nk  Ank n!  [1] Pk k!(n  k )! Sơ đồ tổng quát: 10 Lấy k phần tử từ n phần tử Tập A có n phần tử A kn =  C kn  k n C kn SXTT k phần tử Pk x A n!  Pk k!(n - k)! Ví dụ: Một hộp có 10 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi: a) Có cách lấy cầu trắng cầu đen? b) Có cách lấy cầu có cầu đen? c) Có cách lấy nhiều cầu đen? [3] HD giải a) Phân tích theo sơ đồ: Lấy cầu Lấy cầu trắng từ 10 cầu trắng Lấy cầu đen từ cầu đen cách lấy cách lấy (cách lấy) b) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ: cầu đen cầu trắng C16 C10 (cách lấy) Lấy cầu có cầu đen cầu đen cầu trắng C 62 C110 (cách lấy) cầu đen ++ = 440 (cách lấy) cách lấy Cách 2: làm gián tiếp: * Lấy cầu từ 16 cầu Þ C16 (cách lấy) 11 * Lấy cầu đen, cầu trắng Þ Þ Lấy cầu có cầu đen là: c) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ: cầu đen lấy) (cách C Lấy cầu có cầu đen - C = 440 (cách lấy) C110 cầu trắng C16 C102 cầu trắng C (cách lấy) 10 cầu trắng cầu đen (cách lấy) 16 C10 ++ = 540 cách lấy cách lấy Cách 2:* Lấy cầu từ 16 cầu Þ C16 (cách lấy) * Lấy cầu đen Þ C6 (cách lấy) Þ Lấy cầu có nhiều cầu đen là: C16 - C36 = 540 (cách lấy) ● Trong số toán “đường thẳng” gây cho học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh yếu chán nản Nên việc hướng dẫn em tư duy, lựa chọn phương án giải toán “đường tắt” quan trọng Giúp em tự tin, chủ động việc chiếm lĩnh tri thức 2.3.3 Các tập giúp học sinh phân biệt tổ hợp chỉnh hợp Sơ đồ tổng quát: Chỉnh hợp chập k n Số chỉnh hợp A k n Lấy k phần tử n phần tử SXTT k phần tử Số cách xếp Số cách lấy (cách lấy) Pk = k! Ckn Pk  A kn  Ckn Pk  Ckn  n! k!(n - k)! Bài tập 1: Cho A = {1; 2; 3} a) Có tập gồm phần tử thuộc A? b) Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ A? [4] 12 HD giải C32 = a) Số tổ hợp chập là: b) Phân tích theo sơ đồ a1a2 Chọn phần tử từ A SXTT phần tử Số số lập = (số) Liệt kê: Chọn {1; 2} ® SXTT ta số 12 21 hai số khác Chọn {1; 3} ® SXTT ta số 13 31 hai số khác Chọn {2; 3} ® SXTT ta số 23 32 hai số khác Nhận xét: Sự thay đổi thứ tự số ta số khác (tính phân biệt thứ tự) Bài tập 2: Cho điểm phân biệt không thẳng hàng mặt phẳng Oxy a) Có đoạn thẳng có đầu từ điểm trên? b) Có vec tơ (¹ ) có điểm đầu điểm cuối từ điểm trên?[2] HD giải a) Mỗi tổ hợp điểm phân biệt cho ta đoạn thẳng Þ Số đoạn thẳng tạo thành là: C = 10 ( không phân biệt thứ tự) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn điểm từ điểm cho Chọn véc tơ SXTT điểm Số véctơ A = C ´ P2 Phân tích: Þ Qua điểm phân biệt xác định véc tơ AB ; BA Bài tập 3: Lớp 11B4 có 31 học sinh cần bầu ban cán có người a) Có cách bầu ban cán lớp? b) Có cách bầu ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó, ủy viên?[1] HD giải * Sai lầm thường gặp: - Chọn bạn vào ban cán lớp => Số cách chọn là: A 331 = 26970 (cách) - Số cách chọn cán lớp có lớp trưởng, lớp phó, ủy viên là: C 331 = 4495 (cách chọn) * Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm rõ chất tổ hợp chỉnh hợp -Tổ hợp: Khơng có tính xếp thứ tự Ví dụ: Chọn bạn Lan; Hoa; My giống chọn bạn My; Lan; Hoa 13 -Chỉnh hợp: Có tính xếp thứ tự Phân biệt thứ tự: Chọn bạn Sắp xếp vào vị trí chức danh Ví dụ: bạn Lan làm lớp trưởng khác bạn Thương làm lớp trưởng * Lời giải đúng: a) Mỗi cách chọn bạn từ 31 bạn lớp tổ hợp chập 3 31 Þ Số cách chọn là: C 31 = 4495 (cách) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn bạn: Lớp trưởng-lớp phó-ủy viên Chọn bạn từ 31 bạn C31 Sắp xếp chức danh: Lớp trưởng-lớp phó-ủy viên P3 ´ =26970 cách Bài tập 4: Một tập vé xổ số có 100 vé Mỗi người mua vé xổ số a) Có cách chọn vé xổ số? b) Có cách chọn vé xổ số vé giải nhất, vé giải nhì, vé giải ba? [4] HD giải a) Chọn mua vé xổ số (không phân biệt thứ tự) Số cách chọn vé xổ số từ 100 vé xổ số là: C100 =161700 (vé xổ số) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn vé xổ số trúng giải: nhất, nhì, khuyến khích Chọn vé từ 100 vé C100 Sắp xếp thứ tự nhất, nhì, khuyến khích ´ P3 == 970200 Bài tập 5: Một đề thi Toán đề gồm câu chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình, câu khó Một đề thi gọi “tốt” đề thi có loại câu hỏi: dễ, trung bình, khó số câu dễ khơng a) Có cách tạo đề thi? b) Có cách tạo đề thi “tốt”? HD giải a) C 30 Chọn câu hỏi đề thi Chọn câu hỏi từ 30 câu cách b) Phân tích theo sơ đồ: hỏi 14 Chọn câu dễ Chọn câu khó 15 C C Chọn đề thi “tốt” Chọn câu dễ 15 C Chọn câu dễ 15 C Chọn câu trung bình 10 C Chọn câu khó Chọn câu trung bình C15 C102 Chọn câu khó Chọn câu trung bình C15 C110 Þ C15 C5 C10 + C15 C C10 + C15 C C10 =58250 (cách) Bài tập 6: Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh a) Tìm số đường chéo đa giác b) Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho [2] HD giải a) Cứ nối đỉnh đa giác ta cạnh đường chéo đa giác Þ Số đường chéo = Số đoạn thẳng nối đỉnh - số cạnh = C10 - 10 = 35 đường b) Số tam giác phân biệt có đỉnh lấy từ 10 đỉnh đa giác lồi là: C320 = 1140 Ứng với cạnh đa giác có đỉnh để tạo nên tam giác,có 10.8 = 80(tam giác) B 10 A 2 1 4 Trong số tam giác có cạnh cạnh liên tiếp đa giác tính lặp Þ Số tam giác phân biệt có cạnh cạnh đa giác 80 – 10 = 70 (tam giác) ● Các tập khơng mang nặng tính trình bày Dạy học theo sơ đồ vừa giúp học sinh tư cách mạch lạc, xác mang tính tổng quát, vừa phù hợp với phương pháp kiểm tra đánh giá hình thức trắc 15 nghiệm Học theo phương pháp sơ đồ giúp tiết kiệm thời gian giải toán Làm cho học sinh cảm thấy mẻ phương pháp học tập, tăng hứng thú học hiệu nâng lên Các tập đề nghị đa phần toán ứng dụng thực tế Đưa vào chương trình học để em thực thấy toán học gần gũi với sống Thấy tầm quan trọng việc học toán để giải vấn đề sống 2.3.4 Cách khắc phục sai lầm thường gặp HS học tốn Tổ hợp Khơng học sinh mắc sai lầm học toán tổ hợp: + Sai lầm vận dụng quy tắc đếm + Sai lầm chưa phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Đặc biệt nhầm lẫn chỉnh hợp tổ hợp + Sai lầm phân chia trường hợp riêng, giải tốn gián tiếp Trong khn khổ đề tài đề xuất cách khắc phục sai lầm cho học sinh: a) Giáo viên: Trước tiên, người giáo viên cần phải diễn đạt xác, từ ngơn ngữ thơng thường đến ngơn ngữ tốn học, phải mẫu mực phương pháp, tư lời giải xác cho tốn Khơng nhận xét lời giải sai học sinh cách chung chung mà phải sai lầm, nguyên nhân sai lầm học sinh cách xác thuyết phục Chính xác hố lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt, Đánh giá cho điểm công bằng, giúp em ngày hứng thú học tiến b) Về phương pháp, kĩ - Rèn luyện cho học sinh kĩ học - hiểu - ghi nhớ Muốn làm tập, điều quan trọng học sinh phải nắm vững kiến thức liên quan đến tập Tức khái niệm, định lý, quy tắc Học tốt khái niệm tốn điều kiện để đảm bảo tư tốn học xác, khơng học tốt khái niệm, định lý nguyên nhân gốc dẫn đến sai lầm giải tập toán - Cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải tập toán đếm: * Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu phương án phân biệt, tức cách thực công việc thuộc phương án Quy tắc cộng phát biểu dạng tổng số phần tử tập hợp không giao * Trong quy tắc nhân phát biểu: Với cách thực cơng đoạn Ai cơng đoạn Ai+1 làm theo ni+1 cách Như vậy, số cách thực công đoạn Ai+1 ni+1 không phụ thuộc vào cách thực công đoạn - Khi dạy khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được: [7] * Thế hoán vị tập hợp, hai hoán vị tập hợp khác nghĩa gì, nhớ cơng thức tính số hốn vị tập hợp * Thế hợp chập k phần tử tập hợp có n phần tử, hiểu chỉnh hợp chập n n phần tử hốn vị tập hợp 16 Hai chỉnh hợp chập k n phần tử A khác chỗ nào, nhớ cơng thức tính số chỉnh hợp * Hiểu rõ tổ hợp chập k n phần tử tập hợp A, khác hai tổ hợp, cơng thức tính số tổ hợp * Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp - Dạy học phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp tổ hợp: Giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc dùng cơng thức tổ hợp, dùng cơng thức chỉnh hợp toán đếm Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp tổ hợp Trong trình dạy hai khái niệm giáo viên cần lưu ý cho học sinh * Tổ hợp không kể đến thứ tự phần tử chọn nghĩa việc thay đổi vị trí phần tử không tạo cách * Chỉnh hợp ngược lại, kể đến thứ tự phần tử chọn ra, việc thay đổi thứ tự phần tử sinh cách c) Hướng dẫn học sinh giải toán gián tiếp Một tốn có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm phương pháp giải toán cho lớp toán Khi dạy quy tắc cộng quy tắc nhân, tốn đếm phức tạp giáo viên hướng dẫn học sinh: - Nếu toán chuẩn dạng biết sử dụng quy tắc biết để giải - Nếu tốn khơng chuẩn cần hành động theo hướng: Tách từ toán chia nhỏ toán thành tốn nhỏ có dạng chuẩn diễn đạt lại toán theo cách khác, dẫn đến toán đến tốn có dạng chuẩn 2.3.5 Bài tập trắc nghiệm củng cố [1], [5] Câu 1: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; lập số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau? B P3 D 83 A C 83 C A 83 Câu 2: Từ 0; 1; 2; 3; lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? A B 10 C 20 D Câu 3: A={0; 1; 4; 6; 7; 9} Hỏi lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác có mặt số A 36 B 32 C 24 D 92 Câu 4: X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Hỏi lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác chia hết cho 5? A 630 B 315 C 24 D 44 Câu 5: Có cách xếp bệnh nhân vào phịng có giường bệnh? 17 A 125 B 120 C D 100 Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt đường trịn Hỏi có véctơ (khác ) có gốc trùng với số 10 điểm cho? A 45 B C 90 D 15 Câu 7: Một họ có đường thẳng song song cắt họ gồm đường thẳng song song (không song song với đường ban đầu) Hỏi có hình bình hành tạo nên? A 36 B 18 C 12 D 72 Câu 8: Cho đường thẳng d1 d2 song song với Trên d1 lấy điểm, d2 lấy điểm Hỏi có tam giác mà đỉnh lấy từ điểm chọn? A 450 B 30 C 45 D 15 Câu 9: Có số tự nhiên đôi khác nhỏ 1000 tạo thành từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4? A 48 B 68 C 69 D 125 Câu 10: Có cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc? A 10! B 1010 C 1000 D 10000 Câu 11: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Người ta cần chọn em tham gia văn nghệ Hỏi có cách chọn? A 493 B 11880 C 24 D 44 Câu 12: Lớp 11A3 có 31 học sinh (16 học sinh nam, 15 học sinh nữ) Chọn học sinh có học sinh nữ? A 900 B 1000 C 1800 D 200 Câu 13: Trong đua thuyền có 16 thuyền xuất phát Hỏi có khả xếp loại thuyền đích? A 43680 B 1820 C 4680 D 1840 Câu 14: Trong thi có 36 thí sinh Hỏi có khả trao giải nhất, nhì, ba? A 42840 B 7140 C 4840 D 3600 Câu 15: Trong buổi chơi dã ngoại chào mừng 26-3 nhóm học sinh Cứ học sinh chụp với kiểu ảnh Mỗi kiểu ảnh có người, người chụp ảnh tất bạn nhóm Sau kết thúc việc chụp ảnh thấy có 220 ảnh Tính số học sinh nhóm? A B 12 C D 10 Câu 16: Ơng Hùng có nhẫn kim cương khác muốn tặng cô gái Xuân, Hạ, Thu, Đông cô Hỏi ơng Hùng có tất cách tặng nhẫn cho cô gái? A 16 B C 256 D 24 Câu 17: Số đường chéo đa giác n cạnh (n ³ 4) là: n(n - 1) n(n - 3) C n(n-1) D n(n-2) A B 2 Câu 18: Một hộp chứa 10 cầu có cầu đỏ; cầu vàng Hỏi có cách chọn cầu có cầu đỏ? 18 A 120 B 116 C 96 D 100 Câu 19: Số đường chéo đa giác lồi 20 cạnh là: A 170 B 190 C 360 D 380 Câu 20: A- Tập số tự nhiên có chữ số khác nhau, chọn ngẫu nhiên số A Có số có chứa 2; 0; 1; A 900 B 9000 C 180 D 1800 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy lớp 11B4 11B6 năm học 2017 - 2018 tơi trình bày 2/3 nội dung chọn lọc sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp sử dụng sơ đồ áp dụng tiết học khố, tiết học tự chọn, tiết luyện tập, ôn tập chương Kết hợp với kĩ thuật dạy học khác, tơi nhận thấy đối tượng học sinh yếu, trung bình dễ dàng tiếp cận lý thuyết tổ hợp giải toán liên quan từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng thấp Các em hào hứng việc lập sơ đồ ngắn gọn, xúc tích hiệu Các tốn có nội dung thực tế hút em hơn, khơi dậy em tích cực khám phá, chinh phục toán Các em học sinh thấy phần gần gũi toán học sống Thấy muôn màu muôn vẻ mơn tốn khơng đơn cơng thức khơ khan, tốn rập khn cứng nhắc mà em, kiến thức nặng nề, khó hiểu Sự chủ động, ý thức tích cực em thay đổi theo chiều hướng tích cực Kết học tập từ cải thiện Nhìn lại việc kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh trước sau dạy phần kết thu khả quan Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi (đối với lớp mũi nhọn 11B4) học sinh đạt điểm khá, trung bình (đối với lớp 11B6) tăng lên so với mặt chung so với lớp dạy theo chương trình bình thường Số học sinh yếu giảm Cụ thể sau: * Trước áp dụng phần kiến thức SKKN: Lớp dạy Sỹ số 11 B4 33 11 B6 44 Tỉ lệ HS đạt điểm giỏi (8 ->10) HS đạt điểm ( 6,5 –> 8) HS đạt điểm TB (5 –> 6,5) HS đạt điểm yếu (3,5 –> 5) HS đạt điểm (dưới 3,5) 11 15 ( 9%) %) (33% ) (2 ) (46 %) 29 (11% (12 %) (67%) %) (0 %) (18 %) (2 * Sau áp dụng phần kiến thức SKKN: Lớp dạy Sỹ số Tỉ lệ HS đạt điểm giỏi (8 ->10) HS đạt điểm ( 6,5 –> 8) HS đạt điểm TB (5 –> 6,5) HS đạt điểm yếu (3,5 –> 5) HS đạt điểm (dưới 3,5) 19 11 B4 33 11 B6 44 %) %) (15 13 (40 %) 18 (4( %) 14 (42 %) 29 (18 (3 %) %) (67 %) (0 %) (11 %) (0 III - KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 - Kết luận Qua vài kinh nghiệm nhỏ đưa thấy việc dùng phương pháp sơ đồ đem lại số kết thật tốt đẹp, giúp học sinh yếu, trung bình tiếp cận toán tổ hợp, học sinh hứng thú với mơn học, thấy tốn học gần gũi với sống hàng ngày, phát huy tính tích cực, chủ động học sinh Qua thực nghiệm sư phạm thấy học sinh ngày nhạy bén vận dụng giải tốn có nội dung thực tiễn Do nghĩ rằng, để 45 phút lên lớp giáo viên có hiệu thầy giáo cần sáng tạo cách thức truyền thụ kiến thức cho học sinh phù hợp đối tượng, làm điều trình tiếp thu tri thức học sinh tự nhiên dễ dàng Trên số kinh nghiệm nhỏ tôi, chắt lọc trình giảng dạy Vài kinh nghiệm nhỏ với tập đề nghị nêu, sách giáo khoa chưa đề cập tới, đề cập tài liệu tham khảo Tuy nhiên học sinh tôi, em chưa biết nên đưa vấn đề truyền thụ cho em mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm Các tập đa phần có mức độ phù hợp với đối tượng học sinh yếu, trung bình - phần lớn đối tượng học sinh miền núi nơi tơi cơng tác Trong q trình viết đề tài khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Những vấn đề tơi đề cập đến khía cạnh nhỏ để đồng nghiệp tham khảo Rất mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện hơn, để tơi tích luỹ thêm kinh nghiệm cho thân việc giảng dạy 3.2 Kiến nghị a) Đối với giáo viên: Tích cực tìm tòi phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, chủ đề kiến thức chương trình tốn phổ thơng Thường xun trao đổi chun mơn để có thêm kinh nghiệm giảng dạy b) Đối với học sinh: Phải nhận thức rõ chủ thể việc học Dưới hướng dẫn giáo viên phải tích cực, tự giác học tập Nắm vững lý thuyết trước làm tập c) Đối với nhà trường: - Tăng cường thiết bị dạy học phục vụ công tác giảng dạy 20 - Bổ sung thêm tài liệu, sách tham khảo vào thư viện nhà trường - Cung cấp cho giáo viên sáng kiến kinh nghiệm Sở nhà trường xếp loại năm học trước để giáo viên học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy học d) Đối với chương trình sách giáo khoa: Giảm tải số tốn mang tính chất vận dụng cơng thức để giải Qua tăng cường tốn ứng dụng thực tế, tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận rèn luyện cách giải số vấn đề sống tốn học Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Phó Hiệu trưởng Đỗ Duy Thành Thanh Hóa, ngày 19 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hoàng Thị Trang Nhung Tài liệu tham khảo: 21 [1] - Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Nhà xuất giáo dục Việt Nam - 2016 [2] - Nguồn Internet [3] - Phân dạng phương pháp giải toán tổ hợp - Xác suất– Lê Hồnh Phị – Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội – 2008 [4] – Bài tập trắc nghiệm đại số giải tích 11 - Đặng Hùng Thắng (chủ biên) Nhà xuất giáo dục Việt Nam - 2017 [5] - Luật giáo dục 1998 [6] – Phương pháp dạy học môn toán – Nguyễn Bá Kim – Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội - 2004 [7] - Một số sai lầm học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp cách khắc phục - Nguyễn Thị Hà - Đề tài nghiên cứu khoa học - 2013 [8] - Nghị Trung ương – khoá VII Sách giáo viên 10 Sách tập Đại số giải tích 11 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Nhà xuất giáo dục Việt Nam – 2010 11 - Môđun 12, 14, 18 - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên khối THPT DANH MỤC 22 CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ CẤP SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HỐ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Hồng Thị Trang Nhung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Thạch Thành – Thanh Hoá Cấp đánh Kết STT Tên đề tài SKKN giá xếp loại xếp loại Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh từ Sở toán giải hệ phương trình tiết GD & ĐT C học tự chọn toán 10 Một số kinh nghiệm bồi dưỡng hứng thú Sở học tập cho học sinh thông qua việc tăng GD & ĐT B cường toán liên hệ thực tế Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng, phát huy tính tích cực chủ động học tập học sinh Sở C học mơn Giải tích 12 thông qua việc GD & ĐT tăng cường toán liên hệ thực tế Năm học đánh giá xếp loại 2008-2009 2014-2015 2016-2017 23 ... dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực em học tập? ?? với mong muốn đưa phương pháp tiếp cận giúp em hiểu chất có hứng. .. hệ thực tế Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng, phát huy tính tích cực chủ động học tập học sinh Sở C học mơn Giải tích 12 thơng qua việc GD & ĐT tăng cường toán liên hệ thực tế Năm học đánh giá xếp... thấp Các em hào hứng việc lập sơ đồ ngắn gọn, xúc tích hiệu Các tốn có nội dung thực tế hút em hơn, khơi dậy em tích cực khám phá, chinh phục toán Các em học sinh thấy phần gần gũi toán học sống