(Sáng kiến kinh nghiệm) một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề ‘‘ tìm giới hạn dãy số

Bài toán tính giới hạn của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các kì thi olimpic Toán, các kì thi học sinh giỏi quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh.. Các dạng toán liên quan đến nội

MỤC LỤC Nội dung Tran g

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5 3.1 Giải pháp 1: Tính giới hạn dãy số bằng cách tìm công thức

3.2 Giải pháp 2: Tính giới hạn dãy số bằng công thức cơ bản 9 3.3 Giải pháp 3: Tính giới hạn dãy số bằng nguyên lý kẹp 13

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Dãy số và giới hạn của dãy số là phần mở đầu của bộ môn giải tích, do vậy

nó đóng vai trò quan trọng đối với môn học và đối với người học Bài toán tính giới hạn của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các kì thi olimpic Toán, các kì thi học sinh giỏi quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh Song khái niệm dãy số học sinh mới được làm quen trong chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của giải tích toán học Các dạng toán liên quan đến nội dung này thường là khó đối với học sinh THPT không chuyên, các em học sinh không định hướng hoặc chưa nắm được cách thức để giải các bài toán về tính giới hạn của một dãy số, đặc biệt là các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi

Qua thực tế giảng dạy chương trình môn toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc ôn luyện trực tiếp cho đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 11, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em học sinh chỉ làm được các bài toán đơn giản về giới hạn của dãy số, còn đối với các bài toán dãy số nằm trong đề thi học sinh giỏi các cấp thì các em học sinh hầu như không làm được hoặc làm chưa hoàn chỉnh câu này

Xuất phát từ các lý do trên tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’ Qua nội dung các bài toán

trong đề tài này nhằm giúp các em học sinh giỏi lớp 11 không chuyên có thêm kiến thức, kĩ năng giải một số bài toán về tính giới hạn của dãy số nhằm đáp ứng cho việc học và ôn thi học sinh giỏi môn toán lớp 11

2 Nhiệm vụ của đề tài.

+ Nắm được định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn, định lý tồn tại giới hạn của một dãy số, nguyên lý kẹp để tìm giới hạn của dãy

số

+ Nắm được cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất của nó để tìm công thức số hạng tổng quát phục vụ cho việc tính giới hạn của dãy số

+ Nắm vững một số công thức cơ bản và biết tính tổng hoặc tích của các dãy số hữu hạn có quy luật

3 Đối tượng nghiên cứu.

Các em học sinh giỏi môn toán lớp 11 trường THPT Yên Định 2

4 Phạm vi nghiên cứu.

Chỉ xét các bài toán tính giới hạn của một số dãy số có quy luật hoặc dãy số cho bởi hệ thức truy hồi tuyến tính mà học sinh được học trong chương trình môn toán lớp 11 hoặc các dãy số có thể dùng định lý kẹp để giải

5 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn

đề liên quan đến đề tài

+ Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng để nắm bắt được những mặt hạn chế, những sai lầm thường gặp của học sinh giỏi lớp 11 THPT trong quá trình học chuyên đề tính giới hạn của dãy số

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và đối chứng tại một số lớp học cụ thể để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp Kết quả thực nghiệm sư phạm được xử lý bằng phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận.

1.1 Định nghĩa dãy số:

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương  được gọi là một* dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là dãy số )

Người ta thường kí hiệu dãy số u = u(n) bởi  u n

1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm.

+ Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu *

u  u   n

+ Dãy số  u được gọi là dãy số giảm nếu n *

u  u  n

1.3 Dãy số bị chặn

+ Dãy số  u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho n

u n M, n *

+ Dãy số  u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho n

u n m, n *

+ Dãy số  u được gọi là bị chặn nếu tồn tại m và M sao cho n

*

,

n

m u M  n

1.4 Cấp số cộng.

1.4.1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà

trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là

 u là cấp số cộng n   n 2,u n u n1d

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

1.4.2 Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và

công sai d thì số hạng tổng quát  u của nó được xác định theo công thức sau: n

u n  u1 (n 1) ,d  n 2

1.4 3 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Giả sử  u n là một

cấp số cộng Với mỗi số nguyên dương n, gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của

nó Khi đó, ta có:

1

2

n

n u u

    

1.5 Cấp số nhân.

1.5.1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà

trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng

ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:

 u là cấp số nhân n   n 2,u n u q n1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

1.5.2 Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công

bội q thì số hạng tổng quát 0 u n

của nó được xác định theo công thức sau:

1

n

u u q   n

1.5.3 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Giả sử  u là một n

cấp số nhân với công bội q thì 1 S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó được

tính theo công thức:

1

1

1

n

q





1.6 Phương trình sai phân tuyến tính đơn giản

1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Phương trình sai phân

tuyến tính cấp một có dạng axn1bx n f a n, 0

1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai: Phương trình sai phân

tuyến tính cấp hai có dạng axn2bx n1cx n f a n, 0

1.7 Nguyên lý kẹp.

Cho ba dãy số  u ; n  v và n  wn thỏa mãn v u n n w ,n n

Nếu limv nlim wnL thì limu n L

1.8 Định lý về sự tồn tại giới hạn của dãy số.

Định lý: Một dãy số tăng ( giảm ) và bị chặn trên ( dưới ) thì có giới hạn

1.9 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n là đúng với* mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k  ( gọi là giả1 thiết quy nạp ), chứng minh nó đúng với n = k + 1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Thuận lợi: Trong những năm gần đây công tác bồi dưỡng cho học sinh

giỏi khối 11 rất được nhà trường và BGH quan tâm Chất lượng học sinh cũng

được nâng cao, đa số các em đều có ý thức trong học tập, các thầy cô trong tổ toán hăng say nhiệt tình trong vấn đề ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi

2.2 Khó khăn: Tuy chất đội tuyển đã được nâng cao, tuy vậy giữa các em

học sinh còn có khoảng cách nhất định, kiến thức về phần giới hạn của dãy số trình bày trong sách giáo khoa chỉ là kiến thức cơ bản, tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên về chuyên đề giới hạn dãy số không nhiều Tuy nhiên các bài toán về tính giới hạn của dãy số trong kì thi học sinh giỏi các cấp lại rất khó

và đa dạng, cần vận dụng nhiều kiến thức, nhiều kĩ năng mới giải quyết được các bài toán đó

Được tổ Toán trường THPT Yên Định 2 trực tiếp phân công dạy chuyên đề giới hạn của dãy số cho đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11, tôi nhận thấy rằng các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về tính giới hạn của dãy số Vì vậy thông qua đề tài này tôi mong rằng sẽ phần nào giúp các em học sinh giải thành thạo các bài toán tính giới hạn của dãy số, đặc biệt là các bài toán về giới hạn dãy số trong đề thi học sinh giỏi các cấp

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Giải pháp 1: Tính giới hạn của một dãy số bằng cách tìm công thức

số hạng tổng quát của dãy số đó

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, cấp số nhân, hoặc sử dụng cách giải một số phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 để tìm ra công thức số hạng tổng quát, từ đó suy ra giới hạn dãy số cần tính

+ Dùng cấp số cộng và cấp số nhân:

Bài 1: Cho dãy  u được xác định như sau: n  

2005; 2006

2 , 2,3,

u u  u  u u  n





Tìm lim n



Giải : Từ điều kiện đề bài suy ra 1 1

, 2,3,

n

u u  u  

Do đó dãy

1

n u

 

 

  là cấp số cộng với công sai

1 2005.2006

d

2005.2006 n 2007

n

n u





Vậy lim n 0

Bài 2: Cho dãy  u được xác định như sau: n

3 2 , 2,3,

u  u u  n





Hãy tìm số hạng tổng quát u n vàtính giới hạn lim2n n

u

Giải : Mấu chốt của bài toán ở đây chính là tìm số hạng tổng quát u n

Ta có u n1 3u n 2u n1  u n1u n 2(u n u n1) (2) với mọi n2

Đặt v n u n1 u n Khi đó từ (2) ta có v n 2v n1 với mọi n 2

Như vậy ( )v n lập thành cấp số nhân với q=2 và v1 u2  u1 1

Ta có: u n (u n u n1) ( u n1u n2) (  u2u1) u1 v n1v n2    v1 2

=

1

1

1

n

n

v q q





Hay 2n 1 1

n

u    Vậy lim2 12

n n

u 

Bài 3: Cho dãy số  u n được xác định như sau:

u  u u  n





Hãy tìm số hạng tổng quát u n vàtính giới hạn 2

2 lim u n n

Giải:

Từ giả thiết ta có: (u n1u n) ( u n u n1) 1 (3) với mọi n2

Đặt v n u n u n1 Khi đó từ (3) ta có v n1  1 v n với mọi n 2

 v lập thành cấp số cộng với công sai d=1 và n v2 u2  u1 1

Ta có:

2

1

n

Hay

2

n

n n

u   

vậy 2

2 lim u n 1

n 

Bài 4: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2016 ) Cho dãy số  u n được xác định bởi:

1

1

, 1,2,

u

n

n n













Tìm công thức số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số  u n

Giải:

Từ giả thiết ta có:

n

1



Đặt

3 1

v u

n

 

 Khi đó từ (4) ta có 1

3 2

v   v

với mọi n 1

 ( )v n lập thành cấp số nhân với

3 2

q

và 1

1 2

v  

Ta có:

n



Bài 5: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2017 ) Cho dãy số  u được xác định bởi: n

1

1

1

n n

u











Tìm công thức số hạng tổng quát u n và tính giới hạn của dãy số  u n

Giải: Ta có

2 1

2( 1)

2( 1)

n







    

( 1)



Vậy limu n0

Bài 6: Cho dãy số  u xác định bởi: n

u  và 1 2 3n

u   u  với mọi 1n Hãy tính giới hạn của dãy số 1

3

n n

u



  Giải:

Ta có

1

Đặt 3n

v   , ta được u

1

v    và v n1 2 ,v n  n 1,2,

 v n

 lập thành cấp số nhân với v1  và công bội q=2 5

5.2n 5.2n 3n

1 lim

n n

u

 

+ Dùng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2

Bài 7: Cho dãy số  u được xác định bởi: n

u  u   u n n

Hãy tìm số hạng tổng quát u n vàtính giới hạn

2

lim

n

n n u

 

Giải:

Phương trình đặc trưng    có nghiệm 1 0   Ta có 1 u n uˆn u n*,

trong đó ˆ 1n

n

u q  , q u n* n an b.(  Thay ) *

n

u vào phương trình ( 7 ) ta được:

(n1) (a n  1) b n an b(  ) 2n

Với n=1 ta được 3a+b=2

Với n=2 ta được 5a+b=4

    u n* n n( 1)

Ta có u n    uˆn u*n q n n(  Vì 1) u1 2 nên q2

Suy ra u n  2 n n( 1) hay u n n2   Vậy n 2

2

n

n n u

  

Bài 8: Cho dãy số  u được xác định bởi: n

u  u   u  n (8) Hãy tìm số hạng tổng quát u n vàtính giới hạn

1

3 4 lim

n

n

n u



 

Giải:

Phương trình đặc trưng    có nghiệm 3 0   3

Ta có u n  uˆn u*n, trong đó ˆ 3n

n

u q , * 2n

n

u a

Thay u vào phương trình (8) ta được: n*

1

a   a   a a   a

n

u

   Do đó ˆ * 3n 2n

u u u q 

Vì u1 1 nên q 1

Hay 3n 2n

n

u   Vậy

1

n

n

n u



Bài 9: Cho dãy số  u được xác định bởi: n

u  u  v u   u  u  n

Hãy tìm số hạng tổng quát u n vàtính giới hạn lim5n n

u

Giải:

Phương trình đặc trưng 2 815 0 có nghiệm   hoặc 5   3

Khi đó 5n 3n

n

u  A B

Từ u1 8,u2 34 ta có hệ phương trình:

Vậy 5n 3n

n

u   Do đó lim5 1

n n

u 

Bài 10: Cho dãy số  u xác định bởi: n





Hãy tìm số hạng tổng quát u n vàtính giới hạn lim2n n

u

Giải:

Phương trình đặc trưng 2 2  có nghiệm kép 1 0   1

Khi đó u n   với ˆ (uˆn u n* ).1n

n

u  A Bn  A Bn và * 2n

n

u k

Thay u vào (10) ta được: n*

.2n 2 2n 2n 2.2n 4

k   k k    k

u n* 4.2n 2n2

u n  uˆn u n*  A Bn2n2

Từ u1 1,u2 0 ta có hệ phương trình

Suy ra 2 9 2n 2

n

u   n  Vậy limu 2n n 4

3.2 Giải pháp 2: Tính giới hạn của dãy số bằng các công thức cơ bản.

Ta chú ý một số công thức cơ bản sau đây:

1)

( 1)

1 2

2

n n

   

2)

1 2

6

   

3)

1 2

4

n n

   

4) 1 3 (2   n 1) n2

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán vận dụng các công thức nêu trên

1 3 (2 1) lim

n M

n n



 

Ta có

2

M

Bài 2: Tính

1 2

lim

n P

  



Giải:

Ta có

1 2

lim

n P

  



( 1) lim

n n



Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số  s biết: n

n

n s

n n





Ta có    2 2    2

n

n s

n n





= 2 2 2 2  2



=  2

1 1

1

n



 Vậy lims n 1

Bài 4: Tính

N

Giải:

Ta có:

N

Nhận xét : Để tính tổng hữu hạn S n ta thường biểu diễn nó dưới dạng

S n   u1 u2 u2   u3 u n1u n  u1 u n

3

2

1 5 9 (4 3) lim

1 5 9 (4 3)

n n

Giải:

Ta có

= 64 n 144 n 108 n 27

2

(4 2)

1 5 9 (4 3) 2

2

n n

1

( 1)

2

n

i

n n

i









;

2 1

( 1)(2 1) 6

n

i

i







;

2 3

1

( 1) 2

n

i

n n i





  



Do đó:P x( ) 1    3 53 93 (4n3)3là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64

16

4 

( ) 1 5 9 (4 3)

Q x      n là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4

2

4

1 5 9 (4 3)

n

n n

 

Bài 6: Cho dãy số  u được xác định như sau: n

1

1

1

( 2)( 4)( 6) 16

u









1 5

n

n

v

u









, hãy tính limv n

Giải:

Dễ thấy: u n  0, n 1,2,

Theo bài ra ta có :

u   u  u u  u    u  u  u  u 

1





n

v

Mặt khác, từ u n1u n2 6u n  ta suy ra 4 u n1 6u n

Bằng quy nạp ta chứng minh được : 6n 1 lim

u    u 

lim lim

n

n

v

u 



Bài 7: Cho dãy số x thỏa mãn: n

1

4 3 ( 2) n n ( 1) n n , 1,2,

x

n x n x  n x x  n

 





 Hãy tìm limx n

Giải:

Dễ thấy x n  0, n 1,2, Từ giả thiết ta có

1

2

1

n

x  x



1

2

       

4

n n

y x

ta được  

2 2 1

2

n

n

 



2

n

2 2

2 2

n

n n x

n n



 

Vậy limx n 4

Bài 8: ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2010 ) Cho dãy số  x thỏa mãn n

1

2

2

( 1)

n n

x

n n









Tìm limu với n u n (n1)3x n

Giải:

Ta có 2

1

3

x 

Với n 3 : x1 2x2 3x3   nx n n x3 n (1)

3

1 2 2 3 3 ( 1) n 1 ( 1) n 1

x  x  x   n x   n x  (2)

Từ (1) và (2) ta có nx n n x3 n  (n 1)3x n1

Suy ra

2 3

1

1 3

1

n





     

2

n

            

4

( 1)

n

x

n n

 suy ra limu n

=

2 2

4( 1)

n

Nhận xét : Để tính tích hữu hạn P n ta thường biểu diễn nó dưới dạng

n n

P



Bài 9: ( HSG Tỉnh Lạng Sơn năm 2012 ) Cho dãy số  u xác định bởi: n

1

2 1

2012

u







Hãy tìm

n

Giải:

Vì u n1 u n 2012u n2   0 n u n1u n, nên n  u là dãy số tăng n

Giả sử dãy số  u có giới hạn là a thì n a 2012a2    ( vô lý )a a 0

Do đó limu n  

Ta có:

2

1

2012

n





2

1

2012

n

n

3.3 Giải pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng nguyên lý kẹp.

Phương pháp giải:

Định lý: Cho ba dãy số  u ; n  v và n  wn thỏa mãn v u n n w ,n n

Nếu limv nlim wnL thì limu n L

Bài 1: Cho dãy số  u xác định bởi: n

1

2 1

1 4

2

n

u

u

 



