De thi HSG Vong 1 Dong nai20122013

Tam giác gọi là tam giác nhọn nếu các góc trong của chúng đều là góc nhọn Caâu 2.3,5 ñieåm.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :.[r]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013 Caâu ( 3,5 ñieåm) Cho haøm soá y  x  x  1 ; với a là tham số thực, x là biến số thực.Chứng minh đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác nhọn và a   ( Tam giác gọi là tam giác nhọn các góc chúng là góc nhọn) Caâu 2.(3,5 ñieåm)      x  y  3xy  x     x  y  3xy  y 2 x  ; y   Giaûi heä phöông trình :  ( ) Caâu 3.(3,5 ñieåm) Giaûi phöông trình :   cos x   sin x  cos x  2 Caâu 4.(3,5 ñieåm) 2 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa : a  b  c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b   b  c   c  a   a  b  c  Caâu ( 3,5 ñieåm) SA   ABCD  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Bieát AB a, BC 2a, SA a ( Với a  , a  ).Gọi M,N là trung điểm các đoạn thẳng SB,AD Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và BN Caâu 6.( ñieåm) Ck Cho p,k là các số nguyên dương thỏa p là số nguyên tố và k  p  Chứng minh : p 1 chia hết cho p.( Bieát C pk 1 là số các tổ hợp chập k p+1 phần tử) …Heát… Đáp án Caâu y  x  ax TXÑ : D = R  x 0 y ' 4 x  2ax ; y ' 0    x  a (*)  a   0 a0 Để hàm số có cực trị - Khi đó pt (*) có nghiệm là : x   a  a a2   a a2  O  0;0  ; A   ;  ; B   ;      Giả sử hàm số có điểm cực trị là : a4 a  16  OAB cân O, đó ta cần chứng minh OAB có góc AOB nhọn Suy : OA = OB = thì OAB coù goùc nhoïn a a4    OA.OB a  8a a  cos AOB     164   a  8a a  OA OB  a  a 16 Ta coù : AOB   a    a    cos AOB a3  laø goùc nhoïn ( vì a < neân a   ) a   Kết hợp điều kiện có cực trị hàm số ta a < -2 Vậy hàm số có cực trị lập thành tam giác nhọn và a < -2  x  y  3xy  x     x  y  3xy  y 2 Caâu Giaûi heä phöông trình :  Ñieàu kieän : x 0; y 0 Nhaän xeùt x = y = khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình neân x >0 vaø y >           x  y  xy  x  y 0    3 xy  x  y 0 2 x  y 3 xy (1)    x  y x  y    x  y y  x     x  y  x  y 1 (2)    Hpt x  y 2  x  x 2 x  y 3 xy        0   x  y  y  y  (l )  Từ (1) và (2) Suy : ( Vì x >0 vaø y >0)      x 2  x 2 y Với y vào (2) ta : 3y   y  y 1  y y    1   y    x; y   21 3 2  y 3 3 2 3 2   ;  9   Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø :   cos x   sin x  cos x  2 Caâu Giaûi phöông trình : Suy x 2 y 2 3 2 Pt    2sin 2 x   sin x  cos x  2    sin 2 x   sin x  cos x  1   t sin x  cos x  sin  x    ( Ñk : t  )  Ñaët     t   t 1  Suy : sin x 1  t Phương trình trở thành :    t  2t   t 1  t  2t  2t  0   t  1  t  t  t  t  1 0  t  0   t  t  t  t  0   x   k 2      sin  x   1  sin  x     ;k   4 4    x   k 2 Với t = thì 1 t  t  t  t  0   t   t   0 t t Với (vì t =0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình) 1 u t   t  u  2 t t Ñaët Khi đó phương trình trở thành : u  u  0 (vn)    x   k 2 ; k    Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :  x   k 2 Câu : Giả sử c b a Ta coù : P 4  a  b  c   a  b   b  c   c  a  4  a  b  c   b  a   c  b   c  a    a  b  c   b  a    c  b   c  a    b  c  a  b  2c   a   b  c  2  a  b  c  1  P Caâu 1 2 2 PMax  a 0; b  ;c  Vaäy 2 Qua A kẻ đường thẳng song song với BN cắt CB E Gọi H  AB  EN Kẻ MH // SA a MH  MH   ABCD   Suy MH là đường cao khối chóp M ANBE Ta có : S ANBE 2 SANB 2 a a 2 a3 VM ANBE  MH S ANBE  Suy AM a; AE a 2; CB   SAB   CB  SB Ta laïi coù : 2 Suy SBE vuoâng taïi B  ME  BE  MB a Ta coù : AE ME a  AME caân taïi E a  S AME  a 2  a2 a2  4 BN / /  AME   d  BN ;  AME   d  N ;  AME    Vì 3VN AME SAME VM ANBE a 21 2  SAME d  AM ; BN   Vaäy Caâu a 21 Ck Aùp dụng bổ đề : p là số nguyên tố và p chia hết cho p với k 1, 2,3, , p   p  k  1  p  k    p  1 p   p! C pk   k ! p  k  ! k! Chứng minh : Ta có : p, k   p, k  1   p,1 1 C pk n p (n  )  Vì k < p , p nguyeân toá neân : Suy : C pk 1 C pk   C pk Ta coù : chia hết cho p ( với k  p  ) ( đpcm)