Bài giảng xác suất và thống kê ( tiếp )- Trấn An Hải

Bài giảng xác suất và thống kê ( tiếp )- Trấn An Hải

TRẦN AN HẢI    TUẦN 2  HÀ NỘI - 2009 a) Các biến cố độc lập • Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử T được gọi là đc lp nếu ( ) ( ) ( )BPAPABP =. Khi P(B)>0, thì ( ) ( ) ( )BPAPABP = ⇔ ( )( )( )BPABPAP = ⇔ ( ) ( )BAPAP /=. Như vậy, việc xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất của biến cố A. Chú ý Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp sau cũng độc lập : A và B ; A và B; A và B. Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T được gọi là đc lp toàn phn nếu với mọi tổ hợp nkji ≤<<<≤ K1 , ta có các đẳng thức sau: ( )( )( )jijiAPAPAAP = , ( )( )( )( )kjikjiAPAPAPAAAP = ,…, ( ) ( ) ( ) ( )nnAPAPAPAAAP LL2121= . Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại. Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận. Giải H = “lô hàng được nhận”, Ai = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A1A2A3A4 và A1, A2, A3, A4 độc lập toàn phần nên P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) = 410090 = 0,6561. ☺☺☺☺ Chú ý A1, A2, …, An độc lập toàn phần ⇒ độc lập từng đôi một. Nhưng điều ngược lại có thể không đúng. Ví dụ Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ, mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Ký hiệu Đ, X, V tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ, xanh, vàng. Ta có: P(Đ) = P(X) = P(V) = 2142= . P(Đ/X) = P(V/X) = P(X/V) = P(Đ/V) =P(X/Đ) = P(V/Đ) = 21 ⇒ Đ, X, V độc lập từng đôi. P(Đ/XV) = 1 ≠ P(Đ) ⇒ Đ, X, V không độc lập toàn phần. ☺☺☺☺ b) Công thức xác suất đầy đủ • Các biến cố H1, H2, … , Hn được gọi là một nhóm đy đ các bin c nếu thỏa hai điều kiện sau:  HiHj = ∅ với mọi i ≠ j ;  Ω=∪= iniH1. Định lí Giả sử H1, H2, … , Hn là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử. Ta có ( ) ( ) ( )∑==niiiHAPHPAP1/ (công thức Xác suất đầy đủ) [...]... = n} = (1 -p) n-1 p. ☺ ☺☺ ☺ Ví dụ Có = 2 3 C 3 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm vụ. Chứng minh Từ Công thức nhân xác suất P(A)P(H i /A) = P(AH i ) = P(H i )P(A/H i ) ta có P(H i /A) = ( ) ( ) ( ) = AP HAPHP ii / ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = n i ii ii HAPHP HAPHP 1 / / .☺ ☺☺ ☺ Nhưng nói chung P{X = i} ≠ P{Y = i}. Vì vậy, một bnn được xác định khi ta biết xác suất để... nhân xác suất: P(AH i ) = P(H i )P(A/H i ) (i = 1,…, n), ta có ( ) ( ) ( ) ∑ = = n i ii HAPHPAP 1 / . ☺ ☺☺ ☺ Định nghĩa Các biến cố A 1 , A 2 , …, A n liên quan đến phép thử T được gọi là đc lp toàn phn nếu với mọi tổ hợp nkji ≤<<<≤ K1 , ta có các đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) jiji APAPAAP = , ( ) ( ) ( ) ( ) kjikji APAPAPAAAP = ,…, ( ) ( ) ( ) ( ) nn APAPAPAAAP LL 2121 =... i” (i = 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố Theo Ví dụ trên P(H 1 ) = 1/3, P(A/H 1 ) = 6/10, P(A) = 121/180. Theo công thức Bayes P(H 1 /A) = [P(H 1 )P(A/H 1 )]/P(A) = 36/121 ☺ ☺☺ ☺ Ví dụ Có = 2 3 A 3⋅2 = 6 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm vụ, trong đó một người làm đội trưởng. ⇒ ( ) ( ) ∑ = = n i i AHPAP 1 theo Quy tắc cộng xác suất. Do Công thức nhân xác suất: P(AH i )... biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử, P(A) ≠ 0. Với mỗi i = 1, 2, … , n, ta có cơng thức sau P(H i /A) = ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = n i ii ii HAPHP HAPHP 1 / / (công thức Bayes). Trong ví dụ trên X 1 2 3 4 5 6 p i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ∗ ∗∗ ∗ Tìm hàm pbxs của bnn X và vẽ đồ thị của nó. ∗ ∗∗ ∗ Tính )(lim _ xF x 2→ , )(lim → xF x + 2 , )(lim -→ xF x... bnn X và vẽ đồ thị của nó. ∗ ∗∗ ∗ Tính )(lim _ xF x 2→ , )(lim → xF x + 2 , )(lim -→ xF x ∞ , )(lim → xF x +∞ . ∗ ∗∗ ∗ F(x) có liên tục tại x ≠ i với i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}? ∗ ∗∗ ∗ Tính P{1,5<X < 4}. Do đó, theo Cơng thức Xác suất đầy đủ P(A) = P(H 1 )P(A/H 1 ) + P(H 2 )P(A/H 2 ) + P(H 3 )P(A/H 3 ) = 20 15 3 1 15 10 3 1 10 6 3 1 ⋅+⋅+⋅ = 121/180 ☺ ☺☺ ☺  Quy tắc... ) kjikji APAPAPAAAP = ,…, ( ) ( ) ( ) ( ) nn APAPAPAAAP LL 2121 = . Nhận xét Theo Công thức Xác suất đầy đủ, biểu thức P(H 1 )P(A/H 1 ) + ⋅⋅⋅ + P(H n )P(A/H n ) chính là P(A), nên Công thức Bayes hay được dùng cùng với Công thức Xác suất đầy đủ. Số cách chia = 28 4 )10 .(3 ,5≈ )!1 3( !52 . Nếu mỗi giây đồng hồ chia được một cách thì mất khoảng 1680 tỉ tỉ năm để chia xong. ... < x 3 < … với P{X = x i } = p i thì F(x) = 0 nếu x ≤ x 1 F(x) = p 1 nếu x 1 < x ≤ x 2 F(x) = p 1 + p 2 nếu x 2 < x ≤ x 3 …………………… F(x) = p 1 + p 2 + ⋅⋅⋅ + p k-1 nếu x k-1 < x ≤ x k Giải A = “lấy được chính phẩm”. H i = “sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ i” (i = 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố và P(H 1 ) = P(H 2 ) = P(H 3 ) = 1/3. Giải A = “ lấy... phân bố xác suất • Hàm phân b xác sut (hay hàm phân b) của bnn X là F(x) := P{X < x}.  Chỉnh hợp • Một tập con gồm k phần tử sắp thứ tự của một tập n phần tử được gọi là một chnh hp chp k ca n phn t này. Đặc biệt, một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử này. Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng = k n A n(n - 1)(n -... = k n A n(n - 1)(n - 2)⋅⋅⋅(n – k + 1) Số tất cả các hoán vị của n phần tử bằng P n = n! HỘP 1: ⇒ P(A/H 1 ) = 6/10 HỘP 2: ⇒ P(A/H 2 ) = 10/15 HỘP 3: ⇒ P(A/H 3 ) = 15/20 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm Giải X := số viên đạn được sử dụng. X có tập giá trị là N*. P{X = 1} = p P{X = 2} = (1 -p)p P{X = 3} = (1 -p) 2 p …………………. ⇒... Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy đó là chính phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc hộp 1. 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ TỔ HỢP Phần này cung cấp cho ta cách tính gián tiếp số phần tử của một tập hợp hữu hạn.  Quy tắc cộng Giả sử một việc V được hoàn thành khi và chỉ khi một trong . (công thức Bayes). Chứng minh Từ Công thức nhân xác suất P(A)P(Hi/A) = P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) ta có P(Hi/A) = ( ) ( )( )=APHAPHPii /( ) ( )( ) (. thử T được gọi là đc lp nếu ( ) ( ) ( )BPAPABP =. Khi P(B)>0, thì ( ) ( ) ( )BPAPABP = ⇔ ( )( )( )BPABPAP = ⇔ ( ) ( )BAPAP /=. Như vậy, việc xảy